SKKN: Một số biện pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

MỤC LỤC<br />  THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN<br /> 1. Tên sáng kiến: <br /> <br /> “MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CHO HỌC SINH KHI <br /> GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT <br /> PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN”.<br /> <br /> 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng trong giảng dạy môn <br /> Toán nội dung Hình học không gian lớp 11cho đối tượng học sinh lớp 11.<br /> <br /> 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 10 năm  2015 đến ngày 25 <br /> tháng  04 năm  2015.<br /> <br /> 4. Tác giả: <br /> <br /> Họ và tên : Lê Thị Hà.<br /> Năm sinh: 1985<br /> Nơi thường trú: Thôn Ba Trung­Yên Minh­Ý Yên­ Nam Định.<br /> Trình độ chuyên môn:   Thạc sỹ <br /> Chức vụ: Giáo viên<br /> Nơi làm việc: Trường THPT Lý Nhân Tông<br /> Điện thoại: 0979.054.196<br /> Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%.<br /> <br /> 5. Đồng tác giả: Không có.<br /> <br /> 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:<br /> Tên đơn vị: Trường THPT Lý Nhân Tông<br /> Địa chỉ:   Xã Yên Lợi­ Huyện Ý Yên – Tỉnh Nam Định<br /> Điện thoại:  03503. 963. 939<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br />  BÁO CÁO SÁNG KIẾN<br /> <br /> <br /> I.  Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến. <br />            Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm, <br /> đường thẳng, mặt phẳng. Mở  đầu nội dung hình học không gian chương II <br /> trong sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ  bản đã trình bày “Đại cương về <br /> đường thẳng và mặt phẳng”. Mặt khác hầu hết các bài toán hình học không <br /> gian đều liên quan đến hai đối tượng này. Do vậy nếu học sinh thành thạo giải <br /> bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì sẽ <br /> góp phần giải quyết được rất nhiều bài toán hình học không gian khác như: bài  <br /> toán  tìm  giao  tuyến, bài   toán tìm  thiết diện,  bài toán  liên quan   đến  khoảng <br /> khoảng cách, bài toán phân chia và lắp ghép khối đa diện,… Như vậy nội dung  <br /> của bài toán là một trong những nội dung cơ sở, nội dung mở đầu của hình học  <br /> không gian, nên nó đóng vai trò quan trọng trong hình học không gian. Nếu học  <br /> sinh không thành thạo bài toán này sẽ  dẫn đến sự  lúng túng khi học các nội <br /> dung tiếp theo (chẳng hạn như không vẽ  được hình, không xác định được giao  <br /> tuyến, thiết diện,..).<br />           Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải là bài <br /> toán khó trong mảng hình học không gian, nhưng không phải học sinh nào cũng <br /> thành thạo bài toán này.  Trong quá trình dạy học và quan sát  học sinh giải bài  <br /> toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tác giả thấy các em còn mắc  <br /> phải một số  khó khăn như: khả  năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt, <br /> chưa có con đường rõ ràng để  chỉ  ra mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và cắt <br /> mặt phẳng theo giao tuyến nào đó, chưa biết cách quan sát và kiểm tra một  <br /> đường thẳng có thuộc một mặt phẳng hay không … Bên cạnh đó các em còn có <br /> tâm lí tránh né các câu hình trong các bài kiểm tra cũng như trong các đề thi tập  <br /> trung. Nguyên nhân của thực trạng này là do các em không có kiến thức nền  <br /> tảng vững chắc về hình học không gian, chưa có phương pháp tư duy phù hợp,  <br /> khả  năng tư  duy trừu tượng và tưởng tượng hình không gian của các em chưa <br /> tốt,… Thêm vào đó là còn một số giáo viên có quan niệm chỉ tập trung dạy phần  <br /> Đại số  và giải tích mà coi nhẹ  phần Hình học. Với lí do phần Đại số  và giải <br /> tích chiếm nhiều điểm hơn phần Hình học trong các đề  thi, và cho rằng học  <br /> sinh khó lấy điểm nội dung Hình học hơn là nội dung Đại số  và giải tích, dẫn  <br /> đến việc các em ít được rèn luyện nội dung này.<br />          Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số <br /> giải pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của <br /> đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Với mong muốn giúp các em <br /> <br /> <br /> <br /> 3Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> giảm bớt khó khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Tác  <br /> giả hy vọng  rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để <br /> nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các <br /> em học sinh nói chung. Từ đó góp phần nhỏ bé của mình  nâng cao chất lượng <br /> giáo dục toàn diện của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam  <br /> Định nói chung .<br /> <br /> <br /> II.  Mô tả giải pháp.<br /> 1. Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến.<br />           Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng  và  <br /> mặt phẳng  các giáo viên thường hướng dẫn học sinh làm theo hai cách:<br />           Cách 1: Tìm trong  một đường thẳng  cắt  tại I. Khi đó điểm I chính là <br /> giao điểm của  và  .<br /> <br />           Cách 2: Tìm một mặt phẳng phụ  chứa và cắt  theo giao tuyến .Sau đó tìm <br /> giao điểm I của  và . Điểm I chính là giao điểm của  và  .<br /> <br />           Trong quá trình giảng dạy, bên cạnh việc nêu phương pháp giải thì việc  <br /> nhận xét,dự  đoán các khó khăn, những sai sót mà học sinh trong quy trình giải <br /> toán là việc rất cần thiết.<br />           Bản thân tác giả cũng hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo hai cách  <br /> trên, đồng thời tiến hành quan sát trong quá trình giải toán của học sinh và rút ra  <br /> những nhận xét sau:  <br />            Ưu điểm của giải pháp này là: Học sinh dễ  hiểu và dễ  ghi nhớ. Cả  hai <br /> cách đều quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng,  <br /> điều này rất quen thuộc khi các em học trong hình học phẳng.<br /> <br />           Nhược điểm của giải pháp này là: <br /> <br />                    Trong cách 1: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra đường <br /> thẳng , đôi khi còn ngộ  nhận   ( tức là học sinh chỉ  ra một đường thẳng   cắt <br /> nhưng thực tế  không cắt  ).<br /> <br />           Trong cách 2: Học sinh gặp khó khăn khi tìm và phát hiện ra mặt phẳng .<br /> <br />          Như  vậy hướng dẫn học sinh khắc phục một số khó khăn khi giải bài <br /> toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là rất cần thiết.        <br />           <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:<br /> <br /> 2.1.   Nêu vấn đề cần giải quyết: <br />   Trong báo cáo sáng kiến, tác giả xin trình bày giải pháp để khắc phục  một số <br /> khó khăn thường gặp của học khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng  <br /> và mặt phẳng.<br /> 2.2. Chỉ ra tính mới: <br />       Báo cáo chỉ rõ và hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục  một số khó khăn <br /> thường gặp khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đó <br /> là:<br /> ­Học sinh hiểu và tìm được đường thẳng , tránh ngộ nhận  trong cách 1.<br /> ­Học sinh hiểu và tìm được mặt phẳng () trong cách 2.<br />  2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: <br />       Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục <br /> khó   khăn  trong  quá   trình  giải   toán   tìm  giao   điểm  của   đường   thẳng   và   mặt  <br /> phẳng. Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn  <br /> học sinh giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của <br /> đường thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự  tin trong quá trình giải <br /> toán hình học không gian.<br /> 2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ <br /> thể, rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để  áp dụng giải pháp.<br /> <br /> 2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.<br /> <br /> *Một số tính chất thừa nhận:<br /> <br /> Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.<br /> <br /> Tính chất 2: Có một và chỉ  một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt <br /> không thẳng hàng.<br /> <br /> Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một <br /> mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.<br /> <br /> Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một  <br /> điểm chung khác nữa.<br /> <br />           Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một  <br /> đường thẳng chung đi qua điểm chung đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao <br /> <br /> <br /> <br /> 5Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> tuyến của hai mặt phẳng. Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên <br /> giao tuyến của hai mặt phẳng.<br /> <br /> *Một số cách xác định một mặt phẳng:<br /> <br /> Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không  <br /> thẳng hàng.<br /> <br /> Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa <br /> một đường thẳng không đi qua điểm đó.<br /> <br /> Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt <br /> nhau.<br /> <br /> Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng <br /> song song.<br /> <br /> *Vị  trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:<br /> <br /> Cho hai đường thẳng  và  trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai <br /> trường hợp:<br /> Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa   và . <br /> <br /> Ta nói  và  đồng phẳng, và có ba khả năng xảy ra:  và  cắt nhau,  và song <br />    <br /> song,  trùng với  .<br /> Trường hợp 2: Không có một mặt phẳng nào chứa   và .Ta nói  và  chéo <br />  <br /> nhau.<br /> <br /> *Một số các định lí và hệ quả: <br /> <br /> Định lí 1:  Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho <br /> trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.<br /> <br /> Định lí 2 ( về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi <br /> một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến  ấy hoặc đồng quy  <br /> hoặc đôi một song song với nhau.<br /> <br /> Hệ  quả:  Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song  <br /> song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó  <br /> hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.<br /> <br /> <br /> 6Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ  ba <br /> thì song song với nhau.<br /> <br /> Định lí 4:  Nếu đường thẳng   không nằm trong mặt phẳng   và song song với <br />  <br /> đường thẳng  nằm trong  thì song song với  . <br /> <br /> Định lí 5: Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng .Nếu mặt phẳng  chứa <br />    <br /> và cắt  theo giao tuyến  thì  song song với  .  <br />    <br /> <br /> Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì <br /> giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.<br /> <br /> Định lí 6: Nếu mặt phẳng  chứa hai đường thẳng cắt nhau , và ,  cùng song song <br /> với mặt phẳng thì song song với  . <br /> <br /> Định lí 7: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt này thì <br /> cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.<br /> <br /> 2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh <br /> thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng <br /> trong không gian.<br /> <br /> a) Khó khăn thứ  nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ  thể  thì <br /> nên dùng theo cách 1 hay cách 2.<br />          Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào <br /> thì nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2. Để  khắc phục khó <br /> khăn này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát  trong mặt phẳng , nếu <br /> có ngay đường thẳng  thì ta dùng cách 1 còn nếu không có  thì ta chuyển sang  <br /> cách 2.  Ở đây lại đặt ra vấn đề  là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào <br /> để tránh  ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng  chưa  <br /> đúng?<br /> Tác giả xin nêu ra giải pháp cho khó khăn này như sau: <br /> Thứ nhất : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm của đường thẳng d’ là : d’ <br /> nằm trong mặt phẳng  và  cắt  .  <br /> Thứ  hai  : Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trên một mặt phẳng thì <br /> đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Từ đó HS chỉ cần nối hai điểm sẵn có hoặc <br /> những điểm đặc biêt như  trung điểm của đoạn thẳng ,… trong mặt phẳng  thì  <br /> sẽ có được một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng  . <br /> <br /> <br /> <br /> 7Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Thứ ba :   và  cắt nhau tức là hai đường thẳng này phải cùng nằm trên một mặt  <br /> phẳng. <br /> VD1 :    Cho tứ  diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh  <br /> AB,AC của tứ  diện sao cho MN không song song với BC. Tìm giao điểm của  <br /> đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D. Nối hai <br /> điểm trong ba điểm này ta có một số  đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng <br /> (BCD) là: BC,BD,CD. Trong ba đường thẳng này chỉ  có BC thuộc cùng mặt <br /> phẳng (ABC) với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với <br /> nhau nên BC cắt MN. Vậy BC chính là đường thẳng .<br /> Lời giải:<br /> Trong (ABC) có: MN không song song với BC nên ta gọi MN cắt BC tại I<br /> <br /> <br /> VD2: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam  <br /> giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Phân tích bài toán: <br /> Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B, C, D. Nối hai điểm trong ba điểm <br /> này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: BC, BD, CD. <br /> Trong ba đường thẳng này không có đường thẳng nào đồng phẳng với GK.  <br /> Nhưng theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên chúng ta có thể nghĩ <br /> đến điểm đặc biệt  ở  đây là trung điểm M của BC. Nối M với D ta có thêm  <br /> đường thẳng MD của mặt phẳng (BCD). Nhận thấy MD và GK cùng thuộc mặt <br /> phẳng (AMD) và  do đó GK và MD cắt nhau. Vậy MD chính là đường thẳng <br /> Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.Trong (AMD) có :  nên ta gọi MD cắt  <br /> GK tại I <br /> *Khó khăn thứ hai là: Khi học sinh đã xác định làm theo cách 2 thì học sinh lại  <br /> gặp khó khăn khi đi tìm mặt phẳng , các em cũng thường mắc phải lỗi ngộ <br /> nhận hình vẽ.<br /> Biện pháp khắc phục: Giáo viên gợi ý cho học sinh nhớ  lại một số  cách xác <br /> định mặt phẳng:<br /> ­ Hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau xác định một mặt phẳng.<br /> ­ Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.<br /> ­ Một điểm và một đường thẳng không đi qua nó xác định một mặt phẳng.<br /> Từ đó có thể hướng dẫn học sinh tìm mặt phẳng  bằng một trong các cách sau:<br /> Cách 1:  Chúng ta quan sát xem   có thể  cắt hoặc song song với những đường  <br /> thẳng   nào thì mặt phẳng chứa  và  có thể là mặt phẳng  .  <br /> Cách 2: Tìm những cặp đường thẳng   và   cắt nhau hoặc song song lần lượt  <br /> chứa hai điểm của đường thẳng d. Khi đó mặt phẳng  có thể là mặt phẳng chứa  <br /> và .<br /> Cách 3: Chúng ta chú ý đến hai điểm nằm trên  chẳng hạn hai điểm A và B. Sau <br /> đó quan sát tiếp một trong hai điểm đó có nằm trên đường thẳng  nào đó không  <br /> (Ví dụ A thuộc ). Khi đó mặt phẳng  có thể là mặt phẳng chứa  và B.<br /> VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam  <br /> giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 9Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải: <br /> Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào? <br /> Cách 1:  Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào?<br />  Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP. <br /> ­Nếu ta kết hợp GK với AM hoặc AD thì ta có được mp (AMD) chứa GK và  <br /> cắt (BCD) theo giao tuyến DM. Từ đó giao điểm của MD với GK chính là giao  <br /> điểm của đường thẳng GK với (BCD).<br /> ­Nếu ta kết hợp GK với CP  thì ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên  <br /> cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua C và song song với BD.  cắt GK tại I thì I là  <br /> giao điểm của GK với mp(BCD).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ­Nếu ta kết hợp GK với BN   thì ta được mặt phẳng (BNK) chứa GK, chứa  <br /> NK//CD nên cắt (BCD) theo giao tuyến  đi qua B và song song với CD.  cắt GK  <br />  <br /> tại I thì I là giao điểm của GK với mp(BCD).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 10Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Cách 2: Dựa vào hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau lần lượt chứa hai  <br /> điểm của đường thẳng GK để xác định mặt phẳng  .<br /> Phân tích và tìm lời giải:<br /> Ta có K là trung điểm của AD như  vậy K thuộc đường thẳng AD, G là trọng <br /> tâm của tam giác ABC nên G có thể  thuộc các đường trung tuyến AM,BN,CP  <br /> của tam giác ABC. Nhưng trong ba đường AM,BN,CP thì chỉ  có đường thẳng  <br /> AM là cắt đường thẳng AD do đó chúng xác định một mặt phẳng đó là mặt <br /> phẳng (AMD), hai đường thẳng còn lại thì không đồng phẳng với đường thẳng <br /> AK. Vậy GK nằm trên mặt   phẳng (AMD). Mặt phẳng (AMD) chứa  đường <br /> thẳng DM của mặt phẳng (BCD). Tiếp theo chúng ta xét xem hai đường thẳng  <br /> GK và DM có thể cắt nhau được không? Do tỉ số  nên DM cắt GK tại I. Vậy I  <br /> chính là giao điểm của GK với (BCD)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Lời giải:  Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: <br /> <br /> Suy ra GK không song song với DM. <br /> Gọi   <br /> <br /> Cách 3:  Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là  <br /> trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng do đó xác định mặt  <br /> phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến MD. Từ  đó <br /> giao điểm I của GK và MD chính là giao điểm của GK với (BCD).<br /> Tương tự như vậy chúng ta có thể chỉ thêm các mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa  <br /> GK và cắt (BCD) theo những giao tuyến đã chỉ  ra trong cách 1. Từ  đó dễ  dàng <br /> xác định được giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 11Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> VD4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giao điểm của AC’ với mặt phẳng  <br /> (BDD’B’).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Phân tích:<br /> Cách 1:  Tìm trong mặt phẳng (BDD’B’) một đường thẳng cắt đường thẳng <br /> AC’.<br />   Thật   vậy:   Trong   mặt   phẳng   (BDD’B’)   có   BD’   cùng   thuộc   mặt   phẳng  <br /> (ABC’D’) với đường thẳng AC’. Nên giao điểm I của AC và đường thẳng BD’ <br /> chính là giao điểm của AC với (BDD’B’).<br /> Lời giải:<br /> Trong mặt phẳng (ABC’D’) gọi <br /> <br /> <br /> Cách 2:<br /> Phân tích: Hai điểm A, C’ của đường thẳng AC’ lần lượt nằm trên hai đường <br /> thẳng song song AC và A’C’. Do đó AC’ nằm trong mặt phẳng (ACC’A’). Mặt  <br /> phẳng này cắt nhau theo giao tuyến OO’. Với O, O’ lần lượt là giao điểm của <br /> AC với BD và A’C’ với B’D’. Vậy giao điểm I của AC’ với OO’ chính là giao  <br /> điểm của AC’ và mặt phẳng (BDD’B’).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 12Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Lời giải: <br /> Gọi <br /> gọi<br /> <br /> *Chú ý: Nếu chúng ta quan sát không có sẵn đường thẳng  thỏa mãn thì chúng  <br /> ta cũng có thể tạo ra  bằng cách kéo dài các đường thẳng của mặt phẳng  hoặc <br /> kẻ thêm đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng  .<br /> VD5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M,N,P lần lượt <br /> là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các <br /> cạnh của hình chóp.<br /> <br /> Phân tích và hướng học sinh tìm lời giải: Tìm giao điểm của đường thẳng SB <br /> và mp(MNP):<br /> <br /> Cách 1:  Kéo dài đường thẳng MN của mặt phẳng (MNP). MN nằm trên mặt <br /> phẳng (ABCD), MN không song song với BC và CD nên MN cắt BC, CD lần <br /> lượt tại hai điểm J, I. Nối PJ, PI ta có thêm hai đường thẳng của mặt phẳng  <br /> (MNP). Đường thẳng PJ và SB cùng thuộc mp(SBC) và cắt nhau tại F. Khi đó F <br /> là giao điểm của SB và (MNP). Tương tự  ta cũng tìm được giao điểm E của <br /> (MNP) và SD.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 13Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Lời giải: Trong mặt phẳng (ABCD) gọi <br /> <br /> Trong mặt phẳng (SBC) gọi <br /> <br /> Tương tự  ta có IP cắt SD tại I. Điểm I chính là giao điểm của mặt phẳng  <br /> (MNP) với SD. Các cạnh SC, AB, AD lần lượt cắt (MNP) tại các điểm P, M, N. <br /> Các cạnh BC, CD, SA của hình chóp không cắt mặt phẳng (MNP).<br /> <br /> Cách 2 (Sử dụng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng): <br /> Giả sử SB cắt mặt phẳng (MNP) tại F. Khi đó PF chính là giao tuyến của mặt <br /> phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC). Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng  <br /> (SBC), mặt phẳng (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến là BC, MN, FP. Mà MN <br /> và BC không song song nên chúng cắt nhau tại J. Do đó PF cũng đi qua J. Vậy F  <br /> chính là giao điểm của PJ với SB. Hoàn toàn tương tự  ta cũng có giao điểm E <br /> của PI với SD chính là giao điểm của SD với mặt phẳng (MNP).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Lời giải:  Gọi E, F lần lượt là giao điểm của SD,SB với mặt phẳng (MNP).<br /> Xét ba mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (SBC), mặt phẳng (ABCD) có:<br /> <br /> Hoàn toàn tương tự ta cũng có giao điểm E của đường thẳng SD với mặt phẳng  <br /> (MNP).<br /> VD5: Cho tứ  diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh <br /> CB, DB, DA sao cho NP song song với AB. Tìm giao điểm của mặt phẳng  <br /> (MNP) với đường thẳng AC.<br /> <br /> Phân tích:<br /> <br /> <br /> 14Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Cách 1: <br /> Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB, điểm Q thuộc đoạn AC. Có AB//NP nên  <br /> NP//MQ. Do đó M,N,P,Q đồng phẳng hay Q thuộc mặt phẳng (MNP). Vậy Q  <br /> chính là giao điểm của AC với (MNP).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Lời giải:<br /> Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MQ//AB,Q thuộc đoạn AC<br /> Lại có: <br />  M,N,P,Q đồng phẳng <br /> <br /> <br /> Cách 2: (Sử dụng hệ quả định lí giao tuyến của ba mặt phẳng):<br /> Giả  sử  AC cắt (MNP) tại điểm Q. Khi đó MQ chính là giao tuyến của mặt <br /> phẳng (MNP) và (ABC) . Xét hai mặt phẳng (MNP), mặt phẳng (ABC) lần lượt  <br /> chứa hai đường thẳng NP và AB song song với nhau, do đó giao tuyến  MQ song  <br /> song hoặc trùng với AB. Mặt khác MQ không trùng với AB nên MQ song song <br /> với AB. Vậy trong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AB  <br /> cắt AC tại Q. Khi đó Q chính là giao điểm của (MNP) với AC.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 15Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Lời giải:<br /> Gọi <br /> Xét ba mặt phẳng (MNP), (ABD),(ABC) có:<br /> <br /> Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AC tại Q.<br /> <br /> BÀI TẬP HỌC SINH TỰ HỌC.<br /> Bài 1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi <br /> I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với  <br /> CD.<br /> a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).<br /> b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn  <br /> AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC).<br /> Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần <br /> lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm <br /> của JK với mặt phẳng (ABC).<br /> a) Hãy xác định điểm L.<br /> b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.<br /> Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương  ứng là các điểm thuộc các cạnh <br /> SC và BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).<br /> Bài 4:  Cho hình lăng trụ  tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung <br /> điểm của BC, B’C’, K là một điểm trên đoạn MM’. Tìm giao điểm của đường  <br /> thẳng A’K với mặt phẳng (ABC).<br /> Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không <br /> song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng () và M là trung điểm đoạn SC. <br /> Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).<br /> Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung <br /> điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao  <br /> điểm của CD và mặt phẳng (MNP).<br /> Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và <br /> CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.<br /> a) Tìm giao điểm E của MP và mặt phẳng (BCD).<br /> b) Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (MNP).<br /> Bài  8:  Cho hình chóp S.ABCD có  đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt <br /> phẳng đáy vẽ đường thẳng  đi qua A và không song song với các cạnh của hình <br /> bình hành,  cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm trên cạnh SC. Tìm giao điểm <br /> M của CD và mặt phẳng (C’AE).<br /> <br /> <br /> <br /> 16Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Bài 9:  Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một  <br /> điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.<br /> a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).<br /> b) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).<br /> c) Tìm giao điểm P của SC với mặt phẳng (ABM).<br /> Bài 10: Cho tứ  diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, <br /> CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp:<br /> a) PR song song với AC<br /> b) PR cắt AC<br /> Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,  <br /> CD và G là trung điểm của đoạn MN. Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG <br /> với mặt phẳng (BCD).<br /> Bài 12:  Cho tứ  diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho () là mặt  <br /> phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng AC và BD. Tìm giao điểm  <br /> của () với các cạnh của tứ diện.<br /> Bài 13:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm <br /> của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với  <br /> mặt phẳng () đi qua O, song song với AB và SC. <br /> Bài 14: Trong mặt phẳng () cho hình bình hành ABCD. Qua A,B,C,D lần lượt <br /> vẽ bốn đường thẳng  song song với nhau không nằm trên (). Trên  lần lượt lấy  <br /> ba điểm A’,B’,C’ tùy ý. Xác định giao điểm D’ của đường thẳng   với mặt  <br /> phẳng (A’B’C’).<br /> Bài 15: Cho hình lăng trụ  tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung <br /> điểm của các cạnh BC và B’C’,  là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và <br /> (BA’C’). Tìm giao điểm G của đường thẳng   với mặt phẳng (AM’M). chứng <br /> minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.<br /> Bài 16:  Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’<br /> a) Tìm các giao điểm G1, G2 của AC’ với các mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C).<br /> b) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.<br /> Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P theo <br /> thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC, CD. <br /> a) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).<br /> b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD, hãy tìm giao  <br /> điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).<br /> Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N theo <br /> thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.<br /> a) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN). <br /> b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 17Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> Bài 19: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=. Các cạnh bên SA, SB,  <br /> SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC  <br /> và vuông góc với SA.<br /> a) Tính thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.<br /> b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.<br /> Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ  nhật, SA vuông góc <br /> với đáy và AB=, AD=,SA=. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ  tự thuộc SB,SD sao  <br /> cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC  <br /> tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.<br /> Bài 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên  <br /> tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và <br /> song   song   với   BD,   cắt   SB   tại   E   và   cắt   SD   tại   F.   Tính   thể   tích   khối   chóp <br /> S.AEMF.<br /> <br /> * Điều kiện áp dụng giải pháp:<br /> ­Về  phía học sinh: Yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức đại cương về <br /> đường thẳng và mặt phẳng, nắm chắc cách xác định giao tuyến của hai mặt  <br /> phẳng, nắm chắc các tiên đề  và các tính chất của hình học phẳng, nắm chắc  <br /> một số  định lí về  quan hệ  song song trong không gian, có niềm yêu thích môn <br /> Toán, yêu thích hình học không gian. <br /> ­Về phía giáo viên: Hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh và thường xuyên nhắc lại các  <br /> kiến thức lí thuyết cũ có liên quan, nhất là các kiến thức về hình học phẳng mà  <br /> các em đã biết, đồng thời vừa giới thiệu kiến thức mới vừa mô hình hóa những <br /> kiến thức mới thông qua những hình  ảnh thực tế  trong phòng học để  học sinh <br /> dễ dàng chiếm lĩnh và trải nghiệm kiến thức.<br /> Quá trình tôi nghiên cứu đưa ra kết quả của giải pháp như sau: <br /> Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thực tế   ở  lớp  <br /> 11A4, năm học 2014 – 2015  thì trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:<br /> Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ  giác lồi. Gọi O là giao điểm  <br /> của hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với  <br /> mặt phẳng () đi qua O, song song với AB và SC.<br /> Kết quả kiểm tra :<br /> Số  học sinh làm được câu tìm  Số học sinh làm không làm <br /> giao điểm của đường thẳng và  được   câu   tìm   giao   điểm <br /> mặt phẳng của   đường   thẳng   và   mặt <br /> phẳng<br /> Lớp 11A4 15/37 22/37<br /> Tỉ lệ 40,54% 59,46%<br /> <br /> Sở dĩ đạt kết quả như trên là do:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 18Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> ­ Thời gian làm quen và luyện tập bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và <br /> mặt phẳng  chưa nhiều.<br /> ­ Là phần kiến thức mới nên các em chưa  hình thành được thao tác tư  duy  <br /> cho dạng toán này.<br /> ­ Học sinh lớp 11A4  chủ yếu có học lực trung bình.<br /> ­ Khi tiếp cận các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đòi <br /> hỏi các em phải nắm chắc các kiến thức tương giao trong hình học phẳng,  <br /> và đòi hỏi khả năng phân tích, tưởng tượng và khái quát hóa cao độ.<br /> ­ Khả năng tưởng tượng hình không gian của các em còn kém.<br /> Rút kinh nghiệm từ kết quả bài kiểm tra ấy tôi đã tập trung suy nghĩ, tìm tòi <br /> và hoàn thiện sáng kiến : “Một số  biện pháp khắc phục khó khăn khi giải bài <br /> toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” giảng dạy <br /> trên lớp 11A3 trong năm học 2015 – 2016 thì đã đạt được kết quả thiết thực sau:<br /> Trong đề trong đề thi kiểm tra 45’ hình học có câu:<br />       Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của  <br /> hai đường chéo AC và BD. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp với mặt  <br /> phẳng () đi qua O, song song với AB và SC.<br /> Kết quả kiểm tra:<br /> <br /> Số  học sinh làm được câu  Số học sinh làm không làm được <br /> tìm giao  điểm  của  đường  câu   tìm   giao   điểm   của   đường <br /> thẳng và mặt phẳng. thẳng và mặt phẳng.<br /> Lớp 11A3 24/29 5/29<br /> Tỉ lệ 82,75% 17,25%<br /> <br /> <br /> <br /> Biểu đồ so sánh kết quả kiểm tra của hai lớp 11A4 và lớp 11A3.<br /> <br />                          <br /> Như vậy tỉ lệ  phần trăm các em học sinh làm được bài toán tìm giao điểm của <br /> đường thẳng và mặt phẳng tăng, tỉ lệ các em không làm được bài giảm.<br /> Hơn nữa sau mỗi kì thi hoặc bài kiểm tra học sinh đã không tránh né với  <br /> các bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, cũng như  các bài  <br /> toán hình học không gian nói chung. Một số học sinh còn tỏ ra rất thích thú với  <br /> những bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Từ  đó các em <br /> hoàn toàn tự  tin và làm chủ  các bài toán liên quan như  tìm thiết diện, tính thể <br /> tích, và các bài toán có liên quan đến khoảng cách,…<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 19Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> 2.5. Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại <br /> lợi ích thiết thực.<br /> Từ  những kết quả  trên đây cho thấy sáng kiến hoàn toàn có khả  năng áp dụng  <br /> vào việc giảng dạy và học tập nội dung hình học không gian ở lớp 11.<br /> 2.6. Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức <br /> nào nữa không ?<br /> Sáng kiến hoàn toàn có thể  áp dụng vào việc giảng dạy và học tập nội dung <br /> hình học không gian ở tất cả các đối tượng học sinh lớp 11, lớp 12  ở tất cả các <br /> trường THPT khác.<br /> III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:<br /> <br /> 1. Hiệu quả về kinh tế:  Không tính bằng tiền.<br /> <br /> 2. Hiệu quả về mặt xã hội: <br /> Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường  <br /> THPT, góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học toán, giúp các em yêu thích  <br /> môn học hơn.<br /> IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền:<br /> Tôi xin cam đoan sang kiến này là do chính tôi suy nghĩ và biên soạn, thực <br /> nghiệm. Tôi xin chịu trách nhiệm trước các cơ  quan quản lý và pháp luật của  <br /> nhà nước về lời cam đoan này!<br />               <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> 1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), 2006, Hình học 11, NXB Giáo Dục.<br /> 2. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2006, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo Dục.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 20Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br /> 3. Nguyễn Phú Khánh, 2013, Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải hình  <br /> học không gian, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.<br /> 4. Nguyễn Văn Nho,2011, Các dạng toán trong những kì thi tuyển sinh vào đại  <br /> học hiện nay, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.<br /> 5. Đỗ Thanh Sơn, 1999, Phương pháp giải Toán Hình học không gian 11 , NXB <br /> Thành Phố Hồ Chí Minh.<br /> 6. Nguyễn Bá Kim, 2007, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư <br /> phạm Hà Nội.<br /> 7. Trần Đình Thì, 2007,  Phân dạng và phương pháp giải Hình học 11, NXB <br /> Đại học Quốc gia Hà Nội.<br /> 8. Các diễn đàn Toán học trên internet: <br /> bachkim.violet.vn, diendantoanhoc.net, vnmath.vn, ......<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 21Giáo viên:  Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông                   <br />