Sử dụng kỹ năng nhân lượng liên hợp để giải phương trình vô tỷ - Lê Quang Thiên (THCS Trần Nhân)

Chia sẻ: ThiênĐường ThiênĐường | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

144
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9. Đứng trước một bài toán phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối. Song có một cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp. Mời các bạn cùng tham khảo nghiên cứu sau đây để hiểu rõ hơn về cách giải quyết trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng kỹ năng nhân lượng liên hợp để giải phương trình vô tỷ - Lê Quang Thiên (THCS Trần Nhân)

LÊ QUANG THIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.Lý do chọn đề tài: Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9 .Đứng trước một bài toán phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối . Song có một cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp B. Cơ sở lý luận: x0 D Ta biết x=x0 nghiệm của phương trình. f(x)=0 f (x 0 ) = 0 x − x0 = 0 Như vậy phương trình : f (x) = 0 � (x − x 0 )p(x) = 0 � p(x) = 0 Công cụ giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng liên hợp trên nhờ các hằng A−B đẳng thức sau: A B= (A; B > 0, A B) ; Am B A B 3 A 3B= 3 A m 3 A.B + 3 B2 2 C.Bài tập: Dạng 1:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một hằng số Thí dụ 1: giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0 (*) � −1 � Ta tìm x � : 6 �rồi thế vào biểu thức 3x+1 và 6x chứa trong căn nếu giá trị các �3 � biểu thức trên có dạng bình phương của một số hửu tỉ thỏa mãn phương trình trên thì giá trị của x vừa tìm là nghiệm phương trình.Dễ thấy x=5 là nghiêm phương trình (*) vì vậy ta đưa phương trình (*) về dạng (x5)f(x)=0 ,nhưng định lý Bezou chỉ đúng với f(x) là đa thức. Nhưng vế trái phương trình là biểu thức vô tỷ. Vậy cần cần xuất hiện nhân tử chung x5 từ vế trái phương trình bằng lượng liên hợp. Muốn vậy ta cần tìm hai số a;b dương sao cho hệ phương trình sau có nghiêm x=5 � 3x + 1 − a = 0 � �a = 4 � � � �b − 6−x = 0 � b =1 Vậy: 1
(*) � ( 3x + 1 − 4) + (1 − 6 − x ) + 3x 2 − 14x − 5 = 0 3x − 15 x −5 � + + (x − 5)(3x + 1) = 0 3x + 1 + 4 6 − x +1 x −5 = 0 3 1 + + 3x + 1 = 0(**) 3x + 1 + 4 6 − x +1 −1 Với �� x +6 � 0 3x 1 19 nên (**) vô nghiệm 3 Nên (*) có nghiệm duy nhất là x=5 Thí dụ. 2 : Giải Phương trình: 2x 2 − 11x + 21 = 3 3 4x − 4 (*)ĐK:x>0 Phân tích với x=3 là ngiệm phương trình mà giá trị của 3 4x − 4 là 2. Do đó 3( 3 4x − 4 − 2)( 3 (4x − 4) 2 + 2 3 4x − 4 + 4) (*) � (x − 3)(2x − 5) = 3 (4x − 4) 2 + 2 3 4x − 4 + 4 12(x − 3) � (x − 3)(2x − 5) = 3 (4x − 4) 2 + 2 3 4x − 4 + 4 12 � (x − 3)(2x − 5 − )=0 3 (4x − 4) + 2 4x − 4 + 4 2 3 (x − 3) =0 12 (2x − 5 − ) = 0 (**) 3 (4x − 4) 2 + 2 3 4x − 4 + 4 Đặt t= 3 4x − 4 nên 3 (4x − 4) 2 + 2 3 4x − 4 + 4 = t2 +2t +4 =(t+1)2+3 12 Do đó x >3 suy ra 3 4x − 4 > 2 ( t + 1) + 3 > 12 � 2 < 1 còn 2x5>1 ( ) 2 t +1 + 3 Với 0
Suy ra hạng tử cần liên hợp với 3x + 1 là 2x + 1 −1 (*) � 4x 3 + 5x 2 + x = 3x + 1 − (2x + 1) (x � ) 3 � (2x + 1) − 3x + 1 + 4x + 5x + x = 0 3 2 4x 2 + x � + (x + 1)(4x 2 + x) = 0 (2x + 1) + 3x + 1 ﾩ 1 ﾩ � (4x 2 + x) ﾩﾩ + x + 1ﾩﾩ = 0 ﾩﾩ (2x + 1) + 3x + 1 ﾩﾩ (4x 2 + x) = 0 1 + x + 1) = 0(**) (2x + 1) + 3x + 1 x = 0(t / h) 1 � x = − (t / h) 4 x �� Thí dụ. 4 giải phương trình: x 2 + x − 1 = (x + 2) x 2 − 2x + 2 = 0 (*) Phân tích cách giải Dùng máy tính bấm cho nghiệm của phương trình là một số thập phân x1 3,828427125 x 2 −1,828427125 x1 + x 2 = 2 Dùng máy tính lưu lại nghiệm, cho x1 ; x 2 là nghiệm của phương x1.x 2 = −7 trình x 2 − 2x − 7 = 0 . Cho ta hướng giải như sau. x2 + x −1 Với x=2 không là nghiêm của (*) nên (*) � = x 2 − 2x + 2 x+2 Giả sử biểu thức thêm vào hai vế phương trình là ax+b sau khi biến đổi để xuất hiện biểu thức m(x22x7), Ta có: x2 + x −1 (*) � (ax + b) = x 2 − 2x + 2 − (ax+b) , Như vậy m( x 2 − 2x − 7 ) ( m hằng số x+2 x 2 + x − 1 − (ax + b)(x + 2) dương ) là hiệu của tử biếu thức ; hoặc biểu thức m( x+2 x 2 − 2x − 7 ) có các hệ số tỉ lệ với biểu thức x − 2x + 2 − (ax + b) . Từ đó ax+b=3 2 2 Lời giải: Với x=2 không phải nghiệm phương trình nên(*) được viết dưới dạng: x 2 + x −1 x2 + x −1 ( x 2 − 2x + 2) 2 − 32 = x − 2x + 2 � 2 −3 = (x �R) x+2 x+2 x 2 − 2x + 2 + 3 3
x1 = 1 − 8 x 2 − 2x − 7 x 2 − 2x − 7 x 2 − 2x − 7 = 0 � = � � x2 = 1+ 8 x+2 x 2 − 2x + 2 + 3 x 2 − 2x + 2 + 3 = x + 2 x �� Tuy nhiên nếu không dùng máy tính, ta cũng có thể tìm được biểu thức thêm vào lượng liên hợp, bằng cách như sau: Gọi biểu thức thêm vào lượng liên hợp là ax+b, ta có x2 + x −1 (*) � (ax+b) = x 2 − 2x + 2 − (ax+b) x+2 (1 − a)x 2 − (b + 2a − 1)x − 1 − 2b (1 − a 2 )x 2 − (2 + 2ab)x + 2 − b 2 � = Và hai biểu thức trên x+2 x 2 − 2x + 2 +ax + b tử của hai vế phương trình có các hệ số tương ứng tỉ lệ nên: 1 − a b + 2a − 1 −1 − 2b a=0 = = Tính nhẩm cho được 1− a 2 2 + 2ab 2−b 2 b=3 Tiến hành cách giải như trên Ngoài ra ta còn có cách khác tìm được tìm biểu thức thêm vào hai vế phương trình cho hằng số dương b ta có : x 2 + x −1 x2 + x −1 ( x 2 − 2x + 2) 2 − b 2 = −+x� 2 −= 2xι> 2 b (x R; x 2 : b 0) x+2 x+2 x 2 − 2x + 2 + b x 2 + x − 1 − bx − 2b x 2 − 2x + 2 − b 2 � = ( x 2 − 2x + 2 + b) > 0; b > 0) x+2 x − 2x + 2 + b 2 x + (1 − b)x − 1 − 2b x 2 − 2x + 2 − b 2 2 � = x+2 x 2 − 2x + 2 + b Bậy giờ ta xác định sao cho x 2 + (1 − b)x − 1 − 2b = 0 x 2 − 2x + 2 − b 2 = 0 b=3 1 − b = −2 � �b=3 �� 2 � �b = −1 �− 1 − 2b = 2 − b 2 �b − 2b − 3 = 0 b=3 �b=3 Từ đó suy ra cách giãi như đã trình bày Đối với những bài toán ta nhẩm nghiệm dễ dàng ta cũng thực hiện như sau, chẳng hạn Thí dụ. 5 Giải phương trình: x 2 + x 2 + 11 = 31 ta thấy ngay nghiêm của nó là 5 và 5 vì vai trò của x như nhau. Vậy phương trình có chứa nhân tử x225 và hạng tử thêm vào lượng liên hợp là 6. Nên x 2 − 25 x + x + 11 = 31 � (x − 25) + ( x + 11 − 6) = 0 � (x − 25) + 2 2 2 2 2 =0 x 2 + 11 + 6 � x 2 − 25 = 0 x1 = 5 � 1 � � � (x − 25)(1 + 2 )=0� � 1 x = −5 x 2 + 11 + 6 1+ = 0 �2 � � x + 11 + 6 2 � x �� 4
Ngoài ra có những bài toán có nghiêm kép nhưng khi nhẩm nghiệm ta chỉ thấy một còn nghiệm còn lại chứa trong phương trình thư hai. Chẳng hạn Thí dụ. 6 1 Giải phương trình: 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 (x ) (*) 2 Ta nhẩm được nghiệm là 1, tiến hành giải như sau ( 2x − 1) 2 − 1 (*) � 2x − 1 − 1 + x 2 − 3x + 2 + 0 � + (x − 1)(x − 2) = 0 2x − 1 + 1 2 � (x − 1)( + x − 2) = 0 2x − 1 + 1 Nhận thấy phương trình trong ngoặc có nghiệm là 1. Nên phương trình đã cho có chứa nghiệm kép .Do đó phương trình đã cho có chứa thừa số : x 2 − 2x + 1 .Vậy ta tiến hành cách giải như sau: ( 2x − 1) 2 − x 2 (*) � ( 2x − 1 − x) + (x 2 − 2x + 1) = 0 � + (x 2 − 2x + 1) = 0 2x − 1 + x −(x − 2x + 1) 2 −1 � + x 2 − 2x + 1 = 0 � (x 2 − 2x + 1)( + 1) = 0 2x − 1 + x 2x − 1 + x x − 2x + 1 = 0 2 x =1 x = 1(t / h) � −1 � 1 � x = 2 + 2 (loai) +1 = 0 2x − 1 = 1 − x( x 1) 2x − 1 + x 2 x = − 2 + 2(t / h) Vậy : x = 1; x = 2 − 2 Thí dụ: 7 3x Giải phương trình.: = 3x + 1 − 1 (*) Nhẩm ngiệm có 2 nghiêm x=0;x=5 3x + 10 Từ đó suy ra cách giải sau: −1 TXD : x 3 3x 3x ( 3x + 1 − 1)( 3x + 1 + 1) (*) � = 3x + 1 − 1 � = 3x + 10 3x + 10 3x + 1 + 1 3x 3x 1 1 � = � 3x( − )=0 3x + 10 3x + 1 + 1 3x + 10 3x + 1 + 1 3x =0 x =0 � 1 1 � − =0 3x + 10 = 3x + 1 + 1 ( 1) 3x + 10 3x + 1 + 1 5
(1) � 3x + 10 = 3x + 1 + 1 � 3x + 10 − 5 = 3x + 1 − 4 ( 3x + 10 − 5)( 3x + 10 + 5) ( 3x + 1 − 4)( 3x + 1 + 4) � = 3x + 10 + 5 3x + 1 + 4 3x − 15 = 0 1 1 � (3x − 15)( − )=0� 1 1 3x + 10 + 5 3x + 1 + 4 − =0 3x + 10 + 5 3x + 1 + 4 x =5 x �� Vậy phương trình có hai nghiệm: x=0;x=5 Dạng: 3 Đưa về hệ tạm Nếu phương trình có dạng: �A B =C �A B =C C+α � �� A= A − B = αC ( A B) Am B =α 2 C+α Chú ý : lương liên hợp của A + B và A = là phương trình hệ quả 2 Thí dụ 8. giải phương trình: 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4 (*) Nhận xét: 2x 2 + x + 9 ( 2x 2 − x + 1 ) =2(x+4) phương trình này có nghiệm với x −4 nhưng x=4 không phải là nghiêm cửa phương trình vậy : 2x 2 + x + 9 2x 2 − x + 1 .Do đó ta xét x>4 Giải: 2x 2 + x + 9 0 ĐK: 2x 2 − x + 1 0 (* ) � ( 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1)( 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1) = (x + 4)( 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1) � 2x + 8 = (x + 4)( 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1) � 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1 = 2(* * ) T�(* ) v�(* * ) tac�h�ph�ongtrinh 2x 2 + x + 9 − 2x 2 − x + 1 = 2 � � 2 2x 2 + x + 9 = x + 6 2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4 x −6 x=0 x=0 � 2 2x + x + 9 = x + 6 �� 2 8 8 x= x= 7 7 x=0 Thử lại: 8 x= 7 Thí dụ: 9 giải hệ phương trình. 6
x + 1 + y − 2 = 3(1) x 2 ĐK: y + 1 + x − 2 = 3(2) y 2 Từ hệ phương trình ta có: x + 1 − x − 2 = y + 1 − y − 2 (3) ( x + 1 − x − 2)( x + 1 + x − 2) ( y + 1 − y − 2)( y + 1 + y − 2) � = x +1 + x − 2 y +1 + y − 2 � x + 1 + x − 2 = y + 1 + y − 2 (4) Lấy (3) +(4) theo vế ta có: x + 1 = y + 1 x=y Thay x=y vào (1). Ta có x + 1 + x − 2 = 3 x −3 x −3 � ( x + 1 − 2) + ( x − 2 − 1) = 0 � + = 0 (vi x + 1 + 2 > 0; x − 2 + 1 > 0) x +1 + 2 x − 2 +1 (x − 3) =0 1 1 �x =3 �x = 3 � (x − 3)( + )=0� 1 1 � � x +1 + 2 x − 2 +1 ( + )=0 �x �� y = 3 x +1 + 2 x − 2 +1 Vậy phương trình đã cho (x;y)=(3:3)( sau khi thử lại) Thí dụ. 10 Giải phương trình: x −3 1 = (x ��3) x 2 − 9 − (x − 3) = 2x − 1 − 1 � x 2 − 9 − 2x − 1 = x − 4(*) 2x − 1 − 1 x +3 − x −3 Nhận xét: (x 2 − 9) − (2x − 1) = x 2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) .Theo phương pháp hệ tạm ta có: (*) � ( x 2 − 9 − 2x − 1)( x 2 − 9 + 2x − 1) = (x − 4)( x 2 − 9 − 2x − 1) � x 2 − 2x − 8 = (x − 4)( x 2 − 9 − 2x − 1 � (x + 2)(x − 4) = (x − 4)( x 2 − 9 + 2x − 1) Với x4=0 � x = 4 với x 4 Ta có: (x + 2) = ( x 2 − 9 + 2x − 1)(**) Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình x 2 − 9 − 2x − 1 = x − 4 � 2 x 2 − 9 = 2x − 2 � x 2 − 9 = x − 1 x 2 − 9 + 2x − 1 = x + 2 x 1 � �x =5 x =5 Vậy phương trình có hai nghiệm:x=4;x=5 7
8