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Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

Chia sẻ: Võ Thanh Hùng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:131

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Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12 hướng dẫn học sinh tự học môn học Giải tích 12 của của giáo viên - Võ Thanh Hùng - GV THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp. Chúc các em học tập tốt.

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Nội dung Text: Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

  1. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 MOÄT SOÁ KÍ HIEÄU THOÂNG DUÏNG Kí hieäu Teân goïi Dieãn giaûi ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 1
  2. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 CHÖÔNG I. ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ ----- oOo -----  CHUAÅN BÒ KIEÁN THÖÙC: 1. Daáu nhò thöùc baäc nhaát: • Daïng f(x) = ax + b (a ≠ 0). Nghieäm cuûa nhò thöùc laø nghieäm phöông trình ax + b • Baûng xeùt daáu cuûa nhò thöùc baäc nhaát f(x) = ax + b (a ≠ 0): b x -∞ - a ax + b traùi daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a 2. Daáu tam thöùc baäc hai: • Daïng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Nghieäm cuûa tam thöùc laø nghieäm phöông trình • Tính ∆ = b2 - 4ac • Neáu ∆ < 0 thì: phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm vaø x -∞ f(x) cuøng daáu vôùi a b • Neáu ∆ = 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm keùp x = - vaø 2a b x -∞ - 2a f(x) cuøng daáu vôùi a 0 cuøng daáu • Neáu ∆ > 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø -∞ x1 x2 x +∞ f(x) cuøng daáu vôùi a 0 traùi daáu vôùi a 0 cuøng daáu vôùi a * Chuù yù: Coù theå xeùt daáu tam thöùc baäc hai theo ∆ ' neáu heä soá b chaün. 3. Xeùt daáu bieåu thöùc vaø giaûi baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc hai vaø heä baát phöông trình moät aån: Yeâu caàu söû duïng thaønh thaïo baûng xeùt daáu nhò thöùc baäc nhaát vaø tam thöùc baäc hai. Giaûi ñöôïc baát phöông trình chöùa aån ôû maãu, baát phöông trình baäc Ví duï1: Xeùt daáu caùc bieåu thöùc sau: −1 2 a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = 2 ; c) f(x) = ; d) f(x) = ( x + 1) ( x − 1) 2 1 − 2x . x2 + x + 5 Ví duï 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 2 5 a) x2 + 2x + 3 < 0; b) (x - 1)(x + 1)2 ≥ 0; c) ≤ ; d) x − 1 2x − 1 x 2 − 3x + 1 < 1. x −1  1− x > 0 Ví duï 3: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau: a)  2 ; b) − x − 3 x + 4 ≤ 0  x 2 + 2 x − 15 > 0  2 .  x − 6x + 8 ≥ 0 4. Daáu caùc nghieäm phöông trình baäc hai: Cho phöông trình: ax2 + bx + c = 0 (*) (∆ = b2 - 4ac) Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai nghieäm traùi daáu (x1 < nghieäm aâm phaân bieät nghieäm döông phaân 2 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  3. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 0 < x2) khi vaø chæ khi: P (x1 < x2 < 0) khi vaø chæ bieät (0 < x1 < x2 ) khi vaø c  a≠0  a≠0 = < 0.  ∆>0  ∆>0 a   c   c khi:  P = > 0 chæ khi:  P = > 0  a  a S = − < 0b S = − b > 0   a   a 5. Ñieàu kieän khoâng ñoåi daáu cuûa tam thöùc baäc hai: Cho tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). a > 0 a < 0 a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔  ; b) f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔  . ∆ ≤ 0 ∆ ≤ 0 6. Chia ña thöùc: f ( x) r ( x) Yeâu caàu bieãu dieãn = k ( x) + (vôùi f(x) laø ña thöùc coù baäc lôùn hoaëc g ( x) g ( x) f ( x) baèng baäc cuûa g(x)), trong ñoù k(x) laø thöông vaø r(x) laø dö trong pheùp chia . g ( x) f ( x) r ( x) Ví duï 1: Bieãu dieãn caùc phaân thöùc daïng thaønh daïng k ( x) + : g ( x) g ( x) x−2 x 2 + 2x − 5 x 3 − 3x + 1 x3 − 1 a) ; b) ; c) ; d) 2 ; x +1 x −1 x−2 x −1 x 3 + 3x + 1 − x 2 − 2x + 1 x 3 + 3x − 2 x 3 − 5x 2 − x + 2 e) ; f) ; g) ; h) . x2 −1 1− x 2x − 2 1 − 2x Ví duï 2: Phaân tích caùc ña thöùc sau ñaây thaønh tích cuûa nhò thöùc baäc nhaát vôùi moät ña thöùc coù baäc nhoû hôn ña thöùc ñaõ cho: a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m. 7. Caùc khaùi nieäm lieân quan ñeán haøm soá: Haøm soá cho bôûi bieåu thöùc ñöôïc kí hieäu y = f(x) vôùi f(x) laø moät bieåu thöùc • Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: D = {x ∈ R  f(x) y coù nghóa}. • Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi x0 laø y0 = Ví duï 1: Giaù trò cuûa haøm soá y = x2 + 1 taïi x0 y = f(x) = x + 1 2 = 2 laø 5 3 − 2x Ví duï 2: Cho haøm soá y = f(x) = (1) 5 x+7 a) Tính f(2), f(-1); b) Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = -2; c) Tìm toïa ñoä ñieåm M coù hoaønh ñoä x = 0 treân ñoà thò haøm soá (1); d) Tìm treân ñoà thò haøm soá (1) nhöõng ñieåm coù tung ñoä baèng 0. Ví duï 3: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá x sau: 3x + 1 O a) y = x 4 – 2 x 2 + 3; b) y = ; 2 1− x x2 − x +1 2x c) y = ; d) y = 2 ; x −1 ( x − 9) 2 x e) y = x 2 − x − 20 ; f) y = . 16 − x 2 8. Tính giôùi haïn: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 3
  4. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 Yeâu caàu tính ñöôïc caùc giôùi haïn daïng: xlim+ f ( x) , xlim− f ( x) , xlim∞ f ( x) . → x0 → x0 →± Ví duï: Tính caùc giôùi haïn sau: 3x + 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1 a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim ; x→1 1 − x + x→1 1 − x − x→+ ∞ 1 − x x→−∞ 1 − x 4 4 e) xlim∞( x + 3 x − x + 1) ; f) xlim ( x + 3 x − x + 1) ; 3 2 3 2 g) lim ; h) lim ; →+ →−∞ x → + ∞1 + x 2 x→−∞ 1 + x 2 2x − 1 2x − 1 x2 + 4 x2 − 4 i) xlim∞ ; j) xlim ; k) lim ; l) lim . →+ x − x − 20 2 →−∞ x − x − 20 2 x→± ∞ x x→± ∞ x2 9. Ñaïo haøm: a) Caùc pheùp toaùn: Giaû söû u = u(x), v = v(x), w = w(x) laø caùc haøm soá coù ñaïo haøm,(u +ñoù: = u' + v' - w'; khi u - w)' (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; u u ' v − v' u 1 v' ( )' = 2 ( )' = − 2 . v v v v b) Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn: Ñaïo haøm soá sô caáp cô baûn Ñaïo haøm haøm soá hôïp (u = u(x)) (C)' = 0 α α α α (x )' = αx -1(α ∈ R, x > 0) (u )' = αu -1.u'(α ∈ R, u > 0) 1 u' ( x )' = (x > 0) ( u )' = (u > 0) 2 x 2 u 1 1 1 u' ( )' = − 2 (x ≠ 0) ( )' = − 2 (u ≠ 0) x x u u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' 1 π u' π (tanx)' = 2 (x ≠ + kπ , k ∈ Z) (tanu)' = 2 (u ≠ + kπ , k ∈ Z) cos x 2 cos u 2 1 u' (cotx)' = - 2 (x ≠ kπ, k ∈ Z). (cotu)' = - 2 (u ≠ kπ, k ∈ Z). sin x sin u c) Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm ñaëc bieät: ax + b ad − bc ax 2 + bx + c adx 2 + 2aex + be − dc •( )' = • ( )' = cx + d (cx + d ) 2 dx + e (dx + e) 2 ax 2 + bx + c (ae − bd ) x 2 + 2(af − dc) x + bf − ec •( )' = dx 2 + ex + f (dx 2 + ex + f ) 2 Ví duï: Tính ñaïo haøm caùc haøm soá sau ñaây: 1 x−3 1− x a) y = x3 + - x2 +1 ; b) y = ; c) y = ; d) y = x x+2 x−2 1 . x +1 d) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán taïi ñieåm M(x0; y0) thuoäc ñoà thò haøm soá y = f(x) laø f'(x0) vaø phöông trình tieáp tuyeán taïi M(x0; y0) coù daïng: y - y0 = f'(x0)(x - x0). Ví duï: Cho haøm soá y = x2. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò cuûa haøm soá ñoù, bieát: a) Tieáp ñieåm laø ñieåm (1; 1); b) Tung ñoä cuûa tieáp ñieåm baèng 4; c) Tieáp tuyeán ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng y = -x + 2; 1 d) Tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng y = x + 1 . 2 2 10. Laäp baûng bieán thieân, veõ ñoà thò haøm soá y = ax + b & y = ax + bx + c (a ≠ 0): 4 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  5. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 • Yeâu caàu laäp ñöôïc baûng bieán thieân vaø veõ ñöôïc ñoà thò caùc haøm soá baäc nhaát vaø haøm soá baäc hai. Ví duï:Veõ ñoà thò caùc haøm soá sau: a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x. 11. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: • Yeâu caàu tìm ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng coù phöông trình cho tröôùc. Ví duï 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá: a) (C): y = x2 - 2x + 2 vaø d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 vaø d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 vaø d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x vaø d: y = x2 + x - 4. Ví duï 2: Tìm toïa giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng sau ñaây vôùi hai truïc toïa ñoä: a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x + 3. 2  Ghi chuù: ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 5
  6. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. 6 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  7. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 §1. SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ I - TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1) Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân K (K = (a; b) hoaëc K = [a; b) hoaëc K = (a; Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (taêng) Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) treân K neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc treân K neáu vôùi moïi caëp x1, x2 thuoäc K sao cho: K sao cho: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) y y Baûng bieán thieân: Baûng bieán thieân: x a b x a b lim− lim+ x→b x →a y y lim lim x →a + x→b − x x O a b O a b Ñoà thò haøm soá ñoàng bieán Ñoà thò haøm soá nghòch bieán laø ñöôøng ñi leân töø traùi sang phaûi laø ñöôøng ñi xuoáng töø traùi sang phaûi 2) Tính ñôn ñieäu vaø daáu cuûa ñaïo haøm:  Tính ñaïo haøm y', xeùt daáu y', quan saùt ñoà thò haøm soá y = f(x) ñeå hoaøn thieän baûng bieán thieân vaø ruùt ra nhaän xeùt: a) y = x2. TXÑ: D = R y y' = 2x y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 Baûng bieán thieân: Ñoà thò: x -∞ 0 y' - 0 + +∞ y 0 x 1 O b) y = . x TXÑ: D = .......... y y' = .............................................................................................................. Baûng bieán thieân: Ñoà thò: x -∞ 0 +∞ y' x O y Nhaän xeùt: Neáu y' < 0 treân K thì haøm soá .................................... treân K. Neáu y' > 0 treân K thì haøm soá ................................... treân K. Ñònh lí: Cho haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K. a) Neáu f'(x) > 0 ∀ x ∈ K thì haøm soá f(x) ñoàng bieán treân K. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 7
  8. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 b) Neáu f'(x) < 0 ∀ x ∈ K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K. * Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K goïi chung laø ñôn ñieäu treân K, K goïi chung laø khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x). Ví duï: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx treân khoaûng (0; 2π). Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ..................... .................. * Chuù yù: Quan saùt ñoà thò haøm soá y = x3 vaø traû lôøi caâu hoûi: y Khaúng ñònh sau ñuùng hay sai? vì sao? y=x "Neáu haøm soá y = f(x) taêng treân R thì f'(x) > 0 3 vôùi moïi x ∈ R". Traû lôøi: O x ....................................................................................................................... ................................................................................................................................... ........ ................................................................................................................................... ........ ................................................................................................................................... ........ ................................................................................................................................... 8 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  9. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ........ Ñònh lí môû roäng: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân K. Neáu f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K vaø f'(x) = 0 chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm x0 thì haøm soá ñoàng bieán (nghòch bieán) treân K. • Neáu f'(x) = 0 ∀x ∈ K thì f(x) khoâng ñoåi treân K (hay haøm soá y = f(x) laø haøm haèng y = c treân K) II. QUY TAÉC XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1. Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x):  Trình baøy baøi giaûi: • Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá. (D = {x ∈ R | f(x) coù nghóa}) • Tính ñaïo haøm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, ..., n) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. • Laäp baûng bieán thieân (löu yù saép xeáp caùc ñieåm xi theo thöù töï taêng daàn treân baûng bieán thieân). • Keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. 1 1 Ví duï 1: Xeùt söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá y = f(x) = x 3 − x 2 − 2 x + 2 3 2 Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. ................................................................................................ ................................................................................................... ................... .................. Ví duï 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá sau: x4 3 a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y = - - x2 + ; 2 2 x −1 d) y = . x +1 Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 9
  10. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... 10 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  11. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ 2. ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc: π Ví duï: Chöùng minh raèng x > sinx treân khoaûng (0; ). 2 Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................  Ghi chuù : ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 11
  12. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Xeùt söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa caùc haøm soá: 1 a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 3 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x - 6x + 2. 3 Baøi 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5; 16 3 c) y = 16x + 2x2 - x - x4; d) y = x 4 – 2 x 2 + 3. 3 Baøi 3: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá: 3x + 1 3 − 2x x +1 a) y = ; b) y = ; c) y = . 1− x x+7 x −1 Baøi 4: Xeùt söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa caùc haøm soá: x2 − x +1 x 2 − 2x x2 − 2x + 3 a) y = ; b) y = ; c) y = . x −1 1− x x +1 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Xeùt söï ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa caùc haøm soá: 12 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  13. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 2x a) y = ; b) y = x 2 − x − 20 . x −9 2 x Baøi 2: Chöùng minh raèng haøm soá y = ñoàng bieán treân khoaûng (-1; 1) vaø x +1 2 nghòch bieán treân caùc khoaûng (-∞; -1) vaø (1; +∞). (HD: Chöùng minh y' ≥ 0∀x∈ (-1;1) vaø Baøi 3: Chöùng minh haøm soá y = 2 x − x 2 ñoàng bieán treân (0; 1) vaø nghòch bieán Baøi 4: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: π x3 π a) tanx > x (0 < x < ); b) tanx > x + (0 < x < 2 3 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ §2. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ I. KHAÙI NIEÄM CÖÏC ÑAÏI, CÖÏC TIEÅU: Laäp baûng bieán thieân cuûa haøm 1 3 3 2 5 Ñoà thò haøm soá y = x + x + x soá sau: 6 2 2 1 3 5 y = x3 + x2 + x 6 2 2 .............................................................................................. ................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 13
  14. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 .............................................................................................. y ................... .............................................................................................. ................... 6 .............................................................................................. 25 ................... 6 .............................................................................................. ................... .............................................................................................. ................... -1 O x .............................................................................................. ( ) 64 -6 -5 -4 ................... 5 -7 .............................................................................................. 6 ................... .............................................................................................. ................... .............................................................................................. ................... .............................................................................................. ................... .............................................................................................. ................... .............................................................................................. ................... Ñònh nghóa: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân khoaûng (a; b) (coù theå a laø -∞; b laø +∞) vaø ñieåm x0 ∈ (a; b). a) Neáu toàn taïi soá h > 0 sao cho f(x) < f(x0) vôùi moïi x ∈ (x0 - h; x0 + h) vaø x ≠ x0 thì ta noùi haøm soá f(x) ñaït cöïc ñaïi taïi x0. b) Neáu toàn taïi soá h > 0 sao cho f(x) > f(x0) vôùi moïi x ∈ (x0 - h; x0 + h) vaø x ≠ x0 thì ta noùi haøm soá f(x) ñaït cöïc tieåu taïi x0. * Chuù yù: a) Neáu haøm soá f(x) ñaït cöïc ñaïi (cöïc tieåu) taïi x 0 thì x0 goïi laø ñieåm cöïc ñaïi (ñieåm cöïc tieåu) cuûa haøm soá; f(x0) ñöôïc goïi laø giaù trò cöïc ñaïi (giaù trò cöïc tieåu) cuûa haøm soá, kí hieäu laø fCÑ (fCT) hay yCÑ (yCT), coøn ñieåm M(x0; f(x0)) goïi laø ñieåm cöïc ñaïi (ñieåm cöïc tieåu) cuûa ñoà thò haøm soá. b) Caùc ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu goïi chung laø ñieåm cöïc trò. Giaù trò cöïc ñaïi (giaù trò cöïc tieåu) coøn goïi laø cöïc ñaïi (cöïc tieåu) vaø ñöôïc goïi chung laø cöïc trò c) Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) vaø ñaït cöïc trò taïi x0ÑIEÀU KIEÄN ÑUÛ ÑEÅ HAØM SOÁ COÙ CÖÏC TRÒ: II. thì f'(x0) = 0. Ñònh lí: Giaû söû haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân khoaûng K = (x 0 - h; x0 + h) vaø coù ñaïo haøm treân K hoaëc treân K \{x0}, h > 0. a) Neáu f'(x) > 0 treân khoaûng (x0 - h; x0) vaø f'(x) < 0 treân khoaûng (x 0; x0 + h) thì x0 laø moät ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá f(x). 14 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  15. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 b) Neáu f'(x) < 0 treân khoaûng (x 0 - h; x0) vaø f'(x) > 0 treân khoaûng (x0; x0 + h) thì x0 laø moät ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá f(x). III. QUY TAÉC TÌM CÖÏC TRÒ: 1. Quy taéc 1: Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) • Tìm taäp xaùc ñònh. • Tính f'(x). Tìm caùc ñieåm x sao cho taïi ñoù f'(x) baèng 0 hoaëc f'(x) khoâng xaùc • Laäp baûng bieán thieân. • Töø baûng bieán thieân suy ra caùc ñieåm cöïc trò. x x0 - h x0 x x0 - h x0 x0 + h x0 + h f'(x) + 0 - f'(x) - 0 + yCÑ f(x) f(x) yCT "Ñaïo haøm ñoåi daáu töø döông sang aâm" "Ñaïo haøm ñoåi daáu töø aâm sang döông" Ví duï 1: Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 3. Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ 3x + 1 Ví duï 2: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá y = . x +1 Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................  AÙp duïng quy taéc I, haõy tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x) = x(x2 - 3) 2. Quy taéc 2: Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (x 0 - h; x0 + h), vôùi h > 0. Khi ñoù: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 15
  16. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12  f ' ( x0 ) = 0  f ' ( x0 ) = 0 a) Neáu  thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu. b) Neáu  thì x0 laø ñieåm  f ' ' ( x0 ) > 0  f ' ' ( x0 ) < 0 cöïc ñaïi. Quy taéc 2: • Tìm taäp xaùc ñònh. • Tính f'(x). Giaûi phöông trình f'(x) = 0 vaø kí hieäu xi (i = 1, 2, ...) laø caùc nghieäm cuûa noù. • Tính f''(x) vaø tính f''(xi). • Döïa vaøo daáu cuûa f''(xi) ñeå suy ra tính chaát cöïc trò cuûa ñieåm xi. Ví duï: Tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) f(x) = x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x. 4 Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... 16 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  17. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ................... ................  Ghi chuù: ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. ..................................................................................................................................................................................................................... .............................................. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 17
  18. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 Baøi 1: AÙp duïng quy taéc I, haõy tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + ; x d) y = x (1 - x) ; 3 2 e) y = x − x + 1 . 2 Baøi 2: AÙp duïng quy taéc 2, haõy tìm caùc ñieåm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1. Baøi 3: Tính khoaûng caùch giöõa ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá y = x3 - 3x2 + 2. Baøi 4: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå x = 1 laø moät ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá x 2 − mx + m − 1 y= . x +1 x 2 + mx + 1 Baøi 5: Xaùc ñònh giaù trò cuûa tham soá m ñeå haøm soá y = ñaït cöïc ñaïi x+m taïi x = 2. Baøi 6: Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m, haøm soá y = x3 - mx2 - 2x + 1 luoân coù moät ñieåm cöïc ñaïi vaø moät ñieåm cöïc tieåu. (HD: Chöùng minh y' = 0 coù hai nghieäm phaân bieät) 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho haøm soá y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xaùc ñònh m sao cho: a) Haøm soá coù cöïc trò; b) Haøm soá coù hai ñieåm cöïc trò cuøng daáu. 5 Baøi 2: Tìm a vaø b ñeå caùc cöïc trò cuûa haøm soá y = a2x3 + 2ax2 - 9x + b ñeàu laø 3 5 nhöõng soá döông vaø x0 = − laø ñieåm cöïc ñaïi. 9 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... 18 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
  19. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ......................................... ..................................................................................................................................................................................................................... ........................................ ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä ----- 19
  20. Taøi lieäu höôùng daãn töï hoïc moân Giaûi tích 12 §3. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ I. ÑÒNH NGHÓA: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D. a) Soá M ñöôïc goïi laø giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = f(x) treân taäp D neáu f(x) ≤ M vôùi moïi x thuoäc D vaø toàn taïi x0 ∈ D sao cho f(x0) = M. Kí hieäu M = max f(x). D b) Soá m ñöôïc goïi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = f(x) treân taäp D neáu f(x) ≥ m vôùi moïi x thuoäc D vaø toàn taïi x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Kí hieäu m = min f(x). D II. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TREÂN MOÄT KHOAÛNG:  Quan saùt ñoà thò caùc haøm soá sau vaø traû lôøi caùc caâu hoûi töông öùng: y y 2 x 1 1 f ( x) = x 5+ x O -1 -2 1 x O -5 -3 f(x) = x2 + 4∙x 5 Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá Giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá f(x)= -x2 + 4x - 5 treân (-∞; +∞) laø: 1 f(x) = x - 5 + treân (0; +∞) laø: x ................... taïi x = ........................... taïi x = ............................... .....................  Baøi toaùn: Tìm giaù trò lôùn nhaát (GTLN) vaø giaù trò nhoû nhaát (GTNN) cuûa haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b).  Ta laäp baûng bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x) treân khoaûng (a; b), töø ñoù suy (Neáu baøi toaùn khoâng chæ ra khoaûng K thì ta tìm GTLN, GTNN treân taäp xaùc ñònh) x a x0 x a x0 b b f'(x) + - f'(x) - + GTLN f(x) f(x) GTNN Trong ñoù: f'(x) = 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh taïi x0. 1 Ví duï 1: Tìm GTNN vaø GTLN cuûa haøm soá y = x - 5 + treân khoaûng (0; +∞). x Giaûi: ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... ................... ................ ................................................................................................ ................................................................................................... 20 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----
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