Tài liệu và bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Chia sẻ: Ngoclan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho tam giác ABC có a =Ö6, b = 2, c= Ö3 + 1. Tính các góc A, B bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, trung tuyến ma của tam giác ABC.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu và bài tập hệ thức lượng trong tam giác

CHÖÔNG X: HEÄ THÖÙ C LÖÔÏ N G TRONG TAM GIAÙ C I. ÑÒNH LYÙ HAØ M SIN VAØ COSIN Cho ΔABC coù a, b, c laà n löôï t laø ba caï n h ñoá i dieä n cuû a A, B, C, R laø baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC , S laø dieä n tích ΔABC thì a b c = = = 2R sin A sin B sin C a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cotgA b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − 4S.cotgB c2 = a 2 + b2 − 2ab cos C = a 2 + b2 − 4S.cotgC Baø i 184 Cho ΔABC . Chöù n g minh: A = 2B ⇔ a 2 = b2 + bc Ta coù : a 2 = b2 + bc ⇔ 4R2 sin2 A = 4R2 sin2 B + 4R2 sin B.sin C ⇔ sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C 1 1 ⇔ (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = sin B sin C 2 2 ⇔ cos 2B − cos 2A = 2 sin B sin C ⇔ −2 sin ( B + A ) sin ( B − A ) = 2 sin B sin C ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B Caù c h khaù c : sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C ⇔ (s in A − sin B) (s in A + sin B) = sin B sin C A+B A−B A+B A−B ⇔ 2 cos sin .2 sin co s = sin B sin C 2 2 2 2 ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ⇔ sin ( A − B ) = sin B ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B
sin ( A − B ) a 2 − b2 Baø i 185: Cho ΔABC . Chöù n g minh: = sin C c2 a 2 − b2 4R 2 sin2 A − 4R 2 sin2 B Ta coù = c2 4R 2 sin2 C 1 1 sin 2 A − sin 2 B 2 ( 1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = = 2 sin 2 C sin 2 C cos 2B − cos 2A −2 sin ( A + B ) sin ( B − A ) = = 2 sin 2 C 2 sin 2 C sin ( A + B ) . sin ( A − B ) sin ( A − B ) = = sin 2 C sin C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0) A B 1 Baø i 186: Cho ΔABC bieá t raè n g tg ⋅ tg = ⋅ 2 2 3 Chöù n g minh a + b = 2c A B 1 A B A B Ta coù : tg ⋅ tg = ⇔ 3sin sin = cos cos 2 2 3 2 2 2 2 ⎛ A B ⎞ ⎜ do cos > 0, cos > 0 ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ A B A B A B ⇔ 2 sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 2 ⎡ A+B A − B⎤ A+B ⇔ − ⎢cos − cos ⎥ = cos 2 ⎣ 2 2 ⎦ A−B A+B ⇔ cos = 2 cos ( *) 2 2 Maë t khaù c : a + b = 2R ( sin A + sin B ) A+B A−B = 4R sin cos 2 2 A+B A+B = 8R sin 2 cos 2 ( do ( *) ) = 4R sin ( A + B ) = 4R sin C = 2c Caù c h khaù c : a + b = 2c ⇔ 2R ( sin A + sin B ) = 4R sin C
A+B A−B C C ⇔ 2 sin cos = 4 sin cos 2 2 2 2 A−B C A+B ⎛ A+B C ⎞ ⇔ cos = 2 sin = 2 cos ⎜ do sin = cos ⎟ 2 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ A B A B A B A B ⇔ cos cos + sin sin = 2 cos cos − 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B ⇔ 3 sin sin = cos cos 2 2 2 2 A B 1 ⇔ tg ⋅ tg = 2 2 3 Baø i 187: Cho ΔABC , chöù n g minh neá u cotgA, cotgB, cotgC taï o moä t caá p soá coä n g thì a 2 , b2 , c2 cuõ n g laø caá p soá coä n g. Ta coù : cot gA, cot gB, cot gC laø caáp soá coäng ⇔ cot gA + cot gC = 2 cot gB ( * ) Caù c h 1: sin ( A + C ) 2 cos B Ta coù: ( *) ⇔ = ⇔ sin 2 B = 2 sin A sin C cos B sin A sin C sin B ⇔ sin B = − ⎡cos ( A + C ) − cos ( A − C ) ⎤ ⎡ − cos ( A + C ) ⎤ 2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⇔ sin 2 B = cos2 ( A + C ) − cos ( A − C ) cos ( A + C ) 1 ⇔ sin 2 B = cos2 B − [cos 2A + cos 2C] 2 1 ⇔ sin 2B = (1 − sin 2 B ) − ⎡(1 − 2 sin 2 A ) + (1 − 2 sin 2 C ) ⎤ 2⎣ ⎦ ⇔ 2 sin 2 B = sin 2 A + sin 2 C 2b2 a2 c2 ⇔ = + 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ 2b2 = a 2 + c2 ⇔ a 2 , b2 , c2 laø caâùp soá coäng • Caù c h 2: Ta coù: a 2 = b2 + c 2 − 2ab cos A ⎛1 ⎞ ⇔ a 2 = b2 + c 2 − 4 ⎜ bc sin A ⎟ .cotgA ⎝2 ⎠ ⇔ a = b + c − 4S cot gA 2 2 2 b2 + c 2 − a 2 Do ñoù cotgA = 4S a 2 + c 2 − b2 a 2 + b2 − c 2 Töông töï cotgB = , cotgC = 4S 4S b +c −a 2 2 2 a + b − c2 2 2 a 2 + c 2 − b2 Do ñoù: ( *) ⇔ + = 2⋅ 4S 4S 4S ⇔ 2b = a + c 2 2 2
Baø i 188: Cho ΔABC coù sin2 B + sin2 C = 2sin2 A Chöù n g minh BAC ≤ 600. Ta coù: sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A b2 c2 2a 2 ⇔ + = 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ b2 + c 2 = 2a 2 ( *) Do ñònh lyù haø m cosin neâ n ta coù a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 + c 2 − a 2 2 ( b2 + c 2 ) − b2 − c 2 ⇔ cos A = = ( do ( *)) 2bc 4bc b2 + c 2 2bc 1 = ≥ = ( do Cauchy ) 4bc 4bc 2 Vaïây : BAC ≤ 600. Caù c h khaù c: ñònh lyù haø m cosin cho a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ b2 + c2 = a 2 + 2bc cos A Do ñoù (*) ⇔ a 2 + 2bc cos A = 2a 2 a2 b 2 + c2 1 ⇔ cos A = = ≥ ( do Cauchy) 2bc 4 bc 2 Baø i 189: Cho ΔABC . Chöù n g minh : R ( a 2 + b2 + c 2 ) cotgA+cotgB+cotgC = abc b + c − a2 2 2 Ta coù: cotgA = 4S a +c −b 2 2 2 a 2 + b2 − c 2 Töông töï: cot gB = , cot gC = 4S 4S a +b +c 2 2 2 a 2 + b2 + c 2 Do ñoù cot gA + cot gB + cot gC = = 4S abc 4 4R a +b +c 2 2 2 =R abc Baø i 190: Cho ΔABC coù 3 goù c A, B, C taï o thaø n h moä t caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. Giaû söû A < B < C. 1 1 1 Chöù n g minh: = + a b c
Do A, B, C laø caá p soá nhaâ n coù q = 2 neâ n B = 2A, C = 2B = 4A π 2π 4π Maø A + B + C = π neân A = , B = ,C = 7 7 7 Caù c h 1: 1 1 1 1 Ta coù: + = + b c 2R sin B 2R sin C ⎛ ⎞ 1 ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ + ⎟ 2R ⎜ 2π 4π ⎟ ⎜ sin sin ⎟ ⎝ 7 7 ⎠ 4π 2π sin + sin 1 7 7 = 2R 2π 4π sin sin 7 7 3π π 2 sin . cos 1 7 7 ⎛ do sin 4 π = sin 3π ⎞ = ⋅ 2R 2π 3π ⎜⎝ 7 7 ⎠ ⎟ sin . sin 7 7 π cos 1 7 1 = ⋅ = R π π 2R sin A 2 sin . cos 7 7 1 = a Caù c h 2: 1 1 1 1 1 1 = + ⇔ = + a b c sin A sin B sin C 1 1 1 sin 4A + sin 2A ⇔ = + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2 sin 3A. cos A 2 cos A 2 cos A ⇔ = = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 3π 4π do : sin 3A = sin = sin = sin 4A • 7 7 Baø i 191: Tính caù c goù c cuû a ΔABC neá u sin A sin B sin C = = 1 3 2 a b c Do ñònh lyù haø m sin: = = = 2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C neâ n : = = ( *) 1 3 2
a b c ⇔ = = 2R 2R 3 4R b c ⎧ ⎪b = a 3 ⇔a= = ⇔⎨ 3 2 ⎪c = 2a ⎩ ( ) 2 Ta coù: c 2 = 4a 2 = a 3 + a2 ⇔ c 2 = b2 + a 2 Vaïây ΔABC vuoâng taïi C Thay sin C = 1 vaøo ( *) ta ñöôïc sin A sin B 1 = = 1 3 2 ⎧ 1 ⎪sin A = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin B = 3 ⎪ ⎩ 2 ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = 60 0 ⎩ Ghi chuù: Trong tam giaù c ABC ta coù a = b ⇔ A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B II. ÑÒNH LYÙ VEÀ ÑÖÔØN G TRUNG TUYEÁ N Cho ABC coù trung tuyeá n AM thì: BC2 AB2 + AC2 = 2AM2 + 2 a2 hay : c + b = 2ma + 2 2 2 2 Baø i 192: Cho ABC coù AM trung tuyeá n , AMB = α , AC = b, AB = c, S laø dieä n tích ABC. Vôù i 0 < α < 900 b2 − c 2 a/ Chöù n g minh: cotgα = 4S b/ Giaû söû α = 45 , chöù n g minh: cotgC – cotgB = 2 0 HM MB − BH a/ AHM vuoâ n g ⇒ cotgα = = AH AH a BH ⇒ cotgα = − (1 ) 2AH AH
b2 − c 2 ( a + c − 2ac cos B ) − c 2 2 2 Maë t khaù c : = 4S 2AH.a Ñaë t BC = a b2 − c 2 a c cos B a BH ⇒ = − = − (2) 4S 2AH AH 2AH AH b2 − c 2 Töø (1) vaø (2) ta ñöôï c : cotg α = 4S Caù c h khaù c: Goï i S 1 , S 2 laà n löôï t laø dieä n tích tam giaù c ABH vaø ACH Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABH vaø ACH ta coù : AM2 + BM2 − c 2 cotg α = (3) 4S1 AM2 + CM2 − b2 − cotg α = (4) 4S2 Laá y (3) – (4) ta coù : b2 − c 2 S cotg α = ( vì S 1 =S 2 = ) 4S 2 HC HB HC − HB b/Ta coù : cotgC – cotgB = − = AH AH AH = ( MH + MC ) − ( MB − MH ) AH 2MH = = 2 cotg α = 2 cotg 450 = 2 AH Caù c h khaù c: Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABM vaø ACM ta coù : BM2 + c 2 − AM2 cotg B = (5) 4S1 CM2 + b2 − AM2 cotg C = (6) 4S2 Laá y (6) – (5) ta coù : b2 − c 2 S cotg C − cot gB = = 2 cot gα =2 ( vì S 1 =S 2 = vaø caâ u a ) 2S 2
Baø i 193 Cho ABC coù trung tuyeá n phaù t xuaá t töø B vaø C laø mb , mc thoû a c mb = ≠ 1 . Chöù n g minh: 2cotgA = cotgB + cotgC b mc c2 m2 Ta coù : 2 = 2 b b mc 1⎛ 2 b2 ⎞ ⎜ a + c2 − ⎟ c2 2 2 ⎠ ⇔ 2 = ⎝ b 1⎛ 2 c2 ⎞ ⎜ b + a2 − ⎟ 2⎝ 2⎠ c4 b4 ⇔ b2 c 2 + a 2 c 2 − = a 2 b2 + b2 c 2 − 2 2 1 4 ⇔ a 2 c 2 − a 2 b2 = ( c − b4 ) 2 1 ⇔ a 2 ( c 2 − b2 ) = ( c 2 − b2 )( c 2 + b2 ) 2 ⎛ c ⎞ ⇔ 2a 2 = c 2 + b2 (1) ⎜ do ≠ 1 ⎟ ⎝ b ⎠ Thay b + c = a + 2bc cos A vaø o (1), ta coù (1) thaø n h 2 2 2 a 2 = 2bc cos A a2 4R 2 sin 2 A ⇔ cos A = = 2bc 2 ( 2R sin B ) ( 2R sin C ) cos A sin A sin ( B + C ) ⇔2 = = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔ 2 cotgA = = cotgC+ cotgB sin B sin C Baø i 194: Chöù n g minh neá u ABC coù trung tuyeá n AA’ vuoâ n g goù c vôù i trung tuyeá n BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) GAB vuoâ n g taï i G coù GC’ trung tuyeá n neâ n AB = 2GC’ 2 Vaä y AB = CC′ 3 ⇔ 9c = 4m 2 2 c ⎛ c2 ⎞ ⇔ 9c 2 = 2 ⎜ b2 + a 2 − ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 5c 2 = a 2 + b2 ⇔ 5c2 = c2 + 2ab cos C (do ñònh lyù haø m cos) ⇔ 2c 2 = ab cos C 2 ⇔ 2 ( 2R sin C ) = ( 2R sin A )( 2R sin B ) cos C
⇔ 2 sin2 C = sin A sin B cos C 2 sin C cos C ⇔ = sin A sin B sin C 2 sin ( A + B ) ⇔ = cotgC sin A sin B 2 ( sin A cos B + sin B cos A ) ⇔ = cotgC sin A sin B ⇔ 2 ( cotg B + cotgA ) = cotgC III. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goï i S: dieä n tích ABC R: baù n kính ñöôø ng troø n ngoaï i tieá p ABC r: baù n kính ñöôøn g troø n noä i tieá p ABC p: nöû a chu vi cuû a ABC thì 1 1 1 S= a.h a = b.h b = c.hc 2 2 2 1 1 1 S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc S= 4R S = pr S = p ( p − a ) ( p − b )( p − c ) 2S Baø i 195: Cho ABC chöù n g minh: sin 2A + sin 2B + sin 2C = R2 Ta coù : sin2A+ ( sin2B + sin2C ) = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] a b c 1 abc 1 4RS 2S = 4. . . = = = 2 2R 2R 2R 2 R 3 2 R3 R Baø i 196 Cho ABC. Chöù n g minh : 1 2 S = Dieä n tích ( ABC) = 4 ( a sin 2B + b2 sin 2A )
1 Ta coù : S = dt ( ΔABC ) = ab sin C 2 1 = ab sin ( A + B ) 2 1 = ab [sin A cos B + sinB cos A ] 2 1 ⎡⎛ a ⎞ ⎛b ⎞ ⎤ = ab ⎢⎜ sin B ⎟ cos B + ⎜ sin A ⎟ cos A ⎥ (do ñl haøm sin) 2 ⎣⎝ b ⎠ ⎝a ⎠ ⎦ 1 = ⎡a 2 sin B cos B+ b2 sin A cos A ⎤ 2⎣ ⎦ 1 = ( a 2 sin 2B + b2 sin 2A ) 4 Baø i 197: Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø GAB = α, GBC = β, GCA = γ. 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) Chöù n g minh: cotgα + cotgβ +cotgγ = 4S Goï i M laø trung ñieå m BC, veõ MH ⊥ AB AH ΔAMH ⊥⇒ cos α = AM BH 2BH ΔBHM ⊥⇒ cos B = = MB a Ta coù : AB = HA + HB a ⇔ c = AM cos α + cos B 2 1 ⎛ a ⎞ ⇔ cos α = ⎜ c − cos B ⎟ (1 ) AM ⎝ 2 ⎠ Maë t khaù c do aù p duï n g ñònh lyù haø m sin vaø o ΔAMB ta coù : MB AM 1 a = ⇔ sin α = MB sin B = sin B (2) sin α sin B AM 2AM Laá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : a c − cos B 2 2c − a cos B cotgα = = a b sin B a. 2 2R R ( 4c − 2a cos B ) R ( 4c − 2ac cos B ) 2 = = ab abc 3c + b − a 2 2 2 3c + b − a 2 2 2 = = abc 4S R
Chöù n g minh töông töï : 3a 2 + c 2 − b2 cotgβ = 4S 3b + a 2 − c 2 2 cotgγ = 4S Do ñoù : cotgα + cotgβ + cotgγ 3c2 + b2 − a 2 3a 2 + c 2 − b2 3b2 + a 2 − c 2 = + + 4S 4S 4S 3 (a + b + c ) 2 2 2 = 4S 3 2 Caù c h khaù c : Ta coù m2 + m2 + mc = a b 2 4 ( a + b2 + c2 ) (*) a2 c2 + m2 − 4 = 4c + 4ma − a (a) a 2 2 2 cotgα = 4SΔABM 8S 4a 2 + 4m2 − b2 4b2 + 4m2 − c2 Töông töï cotgβ = b (b), cotgγ = c (c) 8S 8S Coä n g (a), (b), (c) vaø keá t hôï p (*) ta coù : 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) cotg α + cotg β + cotg γ = 4S IV. BAÙN KÍNH ÑÖÔØ N G TROØ N Goï i R baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC vaø r baù n kính ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC thì a abc R= = 2 sin A 4S S r= p A B C r = ( p − a ) tg = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg 2 2 2 Baø i 198: Goï i I laø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC . Chöù n g minh:
A B C a/ r = 4R sin sin sin 2 2 2 b/ IA.IB.IC = 4Rr 2 B BH a/ Ta coù : ΔIBH ⊥⇒ cotg = 2 IH B ⇒ BH = rcotg 2 C Töông töï HC = r cotg 2 Maø : BH + CH = BC neâ n ⎛ B C⎞ r ⎜ cotg + cotg ⎟ = a ⎝ 2 2⎠ ⎛B + C⎞ r sin ⎜ ⎟ ⇔ ⎝ 2 ⎠=a B C sin sin 2 2 A B C ⇔ r cos = ( 2R sin A ) sin sin 2 2 2 A A A B C ⇔ r cos = 4R sin cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C A ⇔ r = 4R sin sin sin . (do cos >0) 2 2 2 2 Α IK r b/ Ta coù : Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin = ⇒ IA = 2 IA A sin 2 r r Töông töï IB = ; IC = B C sin sin 2 2 r 3 Do ñoù : IA.IB.IC = A B C sin sin sin 2 2 2 r3 = = 4Rr 2 (do keát quaû caâu a) r 4R Baø i 199: Cho ΔABC coù ñöôø n g troø n noä i tieá p tieá p xuù c caù c caï n h ΔABC taï i A’, B’, C’. ΔA 'B 'C ' coù caù c caï n h laø a’, b’, c’ vaø dieä n tích S’. Chöù n g minh:
a' b ' C⎛ A B⎞ a/ + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝ 2 2⎠ S' A B C b/ = 2 sin sin sin S 2 2 2 1 1 1 a/ Ta coù : C ' A 'B ' = C 'IB ' = ( π − A ) = ( B + C ) 2 2 2 AÙ p duï n g ñònh lyù hình sin vaø o ΔA 'B 'C ' a' = 2r (r: baù n kính ñöôø ng troø n noä i tieá p ΔABC ) sin A ' B+C ⇒ a ' = 2r sin A ' = 2r sin (1) 2 ΔABC coù : a = BC = BA '+ A 'C B C ⇒ a = r cot g + r cot g 2 2 B+C sin ⇒a=r 2 (2) B C sin sin 2 2 (1) a ′ B C Laá y ta ñöôï c = 2 sin sin (2) a 2 2 b' A C Töông töï = 2 sin .sin b 2 2 a ' b' C⎛ A B⎞ Vaä y + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ . a b 2⎝ 2 2⎠ 1 1 1 b/ Ta coù : A 'C 'B ' = .B 'IA ' = ( π − C ) = ( A + B ) 2 2 2
A+B C Vaä y sin C ' = sin = cos 2 2 1 a ' b 'sin C ' S ' dt ( ΔA 'B 'C ') 2 Ta coù : = = S dt ( ΔABC ) 1 ab sin C 2 S ' ⎛ a ' ⎞ ⎛ b ' ⎞ sin C ' ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ S ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ sin C C cos B C A 2 = 4 sin sin 2 sin ⋅ 2 2 2 C C 2 sin cos 2 2 B C A = 2 sin ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 Baø i 200: Cho ΔABC coù troï n g taâ m G vaø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p I. Bieá t GI vuoâ n g goù c vôù i ñöôø n g phaâ n giaù c trong cuû a BCA . Chöù n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b Veõ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG caé t AC taï i L vaø caé t BC taï i N Ta coù : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Maë t khaù c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) 1 = ( GH.LC + GK.CN ) (2) 2 Do ΔCLN caâ n neâ n LC = CN Töø (1) vaø (2) ta ñöôï c : 1 rLC = LC ( GH + GK ) 2 ⇔ 2r = GH + GK Goï i h a , h b laø hai ñöôø n g cao ΔABC phaù t xuaá t töø A, B GK MG 1 GH 1 Ta coù : = = vaø = ha MA 3 hb 3 1 Do ñoù : 2r = ( ha + h b ) (3) 3
1 1 Maø : S = Dt ( ΔABC ) = pr = a.ha = b.h b 2 2 2pr 2pr Do ñoù : ha = vaø h b = a b 2 ⎛1 1⎞ Töø (3) ta coù : 2r =pr ⎜ + ⎟ 3 ⎝a b⎠ 1 ⎛a + b⎞ ⇔ 1 = p⎜ ⎟ 3 ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ 2 ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b 3 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)
BAØI TAÄP 1. Cho ΔABC coù ba caï n h laø a, b, c. R vaø r laà n löôï t laø baù n kính ñöø ô ng troø n ngoaï i tieá p vaø noä i tieá p ΔABC . Chöù n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + ( c − a ) cotg = 0 2 2 2 r b/ 1 + = cos A + cos B + cos C R A B C c/ Neá u cotg , cotg , cotg laø caá p soá coä n g thì a, b, c cuõ n g laø caá p soá coä n g. 2 2 2 d/ Dieä n tích ΔABC = R r ( sin A + sin B + sin C ) e/ Neá u : a 4 = b4 + c4 thì ΔABC coù 3 goù c nhoï n vaø 2sin2 A = tgB.tgC 8 2. Neá u dieä n tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 15 3. Cho ΔABC coù ba goù c nhoï n . Goï i A’, B’, C’ laø chaâ n caù c ñöôø n g cao veõ töø A, B, C. Goï i S, R, r laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p ΔABC . Goï i S’, R’, r’ laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p cuû a ΔA 'B 'C ' . Chöù n g minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R ' = 2 c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC 4. ΔABC coù ba caï n h a, b, c taï o moä t caá p soá coä n g. Vôù i a < b < c Chöù n g minh : a/ ac = 6Rr A −C B b/ cos = 2 sin 2 2 3r ⎛ C A⎞ c/ Coâ n g sai d = ⎜ tg − tg ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠ 5. Cho ΔABC coù ba goù c A, B, C theo thöù töï taï o 1 caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. Chöù n g minh: 1 1 1 a/ = + a b c 5 b/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = 4