Tam giác cân Tam giác đều và định lí pitago

Chia sẻ: Ba Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

828
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tam giác cân tam giác đều và định lí pitago', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tam giác cân Tam giác đều và định lí pitago

TAM GIAÙC CAÂN, TAM GIAÙC ÑEÀU VAØ ÑÒNH LÍ PITAGO Chuû ñeà : Moân: Hình hoïc 7. III/ NOÄI DUNG: 1/ Toùm taét lyù thuyeát: + Tam giaùc caân laø tam giaùc coù hai caïnh baèng nhau, hai caïnh baèng nhau goïi laø hai caïnh beân, caïnh coøn laïi goïi laø caïnh ñaùy.  ABC coù AB = AC   ABC caân taïi A. + Trong moät tam giaùc caân, hai goùc ôû ñaùy baèng nhau.    ABC caân taïi A  B = C . + Muoán chöùng minh moät tam giaùc laø tam giaùc caân, ta caàn chöùng minh tam giaùc ñoù coù hai caïnh baèng nhau hoaëc hai goùc baèng nhau. + Tam giaùc ñeàu laø tam giaùc coù ba caïnh baèng nhau. + Trong moät tam giaùc ñeàu, ba goùc baèng nhau vaø baèng 60 0.  ABC coù AB = AC=BC   ABC laø tam giaùc ñeàu.     ABC laø tam giaùc ñeàu  A = B = C = 600 + Muoán chöùng minh moät tam giaùc laø tam giaùc ñeàu, ta caàn chöùng minh:  Tam giaùc coù ba caïnh baèng nhau.  Hoaëc chöùng minh tam giaùc coù ba goùc baèng nhau.  Hoaëc chöùng minh tam giaùc caân coù 1 goùc baèng 60 0.  (moät soá phöông phaùp khaùc seõ ñöôïc nghieân cöùu sau) + Ñònh lí Pitago thuaän: Trong moät tam giaùc vuoâng, bình phöông ñoä daøi caïnh huyeàn baèng toång bình phöông cuûa hai caïnh goùc vuoâng.  ABC vuoâng taïi A  BC2 = AC2 + AB2. + Ñònh lí Pitago ñaûo: Neáu moät tam giaùc coù bình phöông cuûa moät caïnh baèng toång bình phöông cuûa hai caïnh coøn laïi thì tam giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng. Neáu  ABC coù BC2 = AC2 + AB2 hoaëc AC2 = BC2 + AB2 hoaëc AB2 = AC2 + BC2 thì  ABC vuoâng. 2/ Baøi taäp:  Baøi 1: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, bieát C = 470. Tính goùc A vaø goùc B. Giải :     Vì tam giác ABC cân tại A nên B = C mà C = 470 => B = 470    Trong tam giác ABC có : A + B + C = 1800  A + 47 + 47 = 180 0 0 0  A 0 0 = 180 – 94 = 86 0  Vậy A = 86 0  ; B = 470 Baøi 2: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AC vaø AB. Chöùng minh raèng BE = CF. Giải : Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
AC AB Ta có AE = EC = và AF = FB = (gt) 2 2 Mà AC = AB nên EC = FB xét  EBC và  FCB   Có : EC = BF (cmt) ; C  B (  ABC cân ) ; BC chung Vậy  EBC =  FCB (CGC) => BE = CF. (đđpcm)   Baøi 3: Cho tam giaùc ABC caân taïi A vaø coù B = 2A . Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc B caét AC taïi D. a) Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ABC. b) Chöùng minh DA = DB. c) Chöùng minh DA = BC. Giải :    a)Trong tam giác ABC ta có A + B + C = 1800 (ĐL))     Mà B = 2A . (gt) và B = C (  ABC cân) Nên    A + 2 A + 2 A = 180 0  5A = 180 0  A = 36 0  B   b) Ta có ABD = DBC =    và B = 2A => ABD = A  2   Xét tam giác ABD ABD = A => tam giác ABD cân tại D => AD = DB c) ta có CDB      A ABD ( góc ngoài tam giác )   Mà ABD = A => CDB  2 A => CDB  B => tam giác DBC cân tại B     => BC = DB mà DA = BD => AD = BC Baøi 4 : Cho  ABC caân taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AB=5cm, BC=6cm. Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BH, AH? Giải : Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH Có AB = AC (  ABC ) ;   B  C (  ABC ) Nên  vuông ABH =  vuông ACH (CH – GN )  BH = HC = BC : 2 = 6 : 2 = 3 Trong tam giác vuông ABH có 2 2 2 Có AB = BH + AH 2 2 2 AH = AB - BH 2 2 2 AH = 5 -3 = 25 – 9 = 16 AH = 4 Baøi 5 : Cho  ABC caân taïi A. Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm D, treân tia ñoái cuûa tia CA laáy ñieåm E sao cho BD = CE. Veõ DH vaø EK cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng BC. Chöùng minh : a) HB = CK b)  AHB   AKC c) HK // DE Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
Chứng minh : a) HB = CK Ta có DBH    ABC (đđ) và ECK    ACB Mà  ACB   ABC (  ABC )   => DBH  ECK Xét  vuông DHB và  vuông EKC   Có DBH  ECK (cmt) và DB = CE (gt) Vậy  vuông DHB =  vuông EKC (CH - GN) => HB = HC ; DH = EK (cạnh tương ứng ) b) Ta có  ABH    1800 và  ABC ACK    1800 mà   ABC (  ABC ) ACB ACB  Nên HBA    ACK Xét  AHB và  AKC Có AB = AC ( gt ) ; HBA    ACK (cmt) và HB = HC(cmt) (gt) Vậy  AHB =  AKC (cgc) =>  AHB   AKC (góc tương ứng )   Ta có HD  BC (gt) và EK  BC (gt) => DH // EK => HEK  EHD (slt) c) Xét  EHK và  HED   Có EH = DH ( cmt ) ; HEK  EHD (cmt) và HE là cạnh chung Vậy  EHK =    HED (cgc ) => EHK  HED (góc tương ứng )   Mà EHK & HED ở vị trí so le trong nên KH // DE Bài 6: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC. Chứng minh Trong tam giác vuông AHB 2 2 2 Có AB = BH + AH 2 2 2 BH = AB - AH 2 2 2 BH = 25 - 24 = 625 – 576 2 BH = 49 => BH = 7 Trong tam giác vuông AHC 2 2 2 Có AC = CH + AH 2 2 2 CH = AC - AH 2 2 2 CH = 26 - 24 = 676 – 576 2 CH = 100 => CH = 10 Mà BC = BH + CH ( H nằm giữa B và C) BC = 7 + 10 = 17 Baøi 7 : Cho  ABC caân taïi A (   900 ), veõ BD  AC vaø CE  AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD A vaø CE. a) Chöùng minh :  ABD =  ACE b) Chöùng minh  AED caân Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
c) Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED Chứng minh a)  ABD =  ACE xét  vuông ABD &  vuông ACE AB = AC (gt) ;  chung A Vậy  ABD =  ACE (CH - GN)  AD = AE (cạnh tương ứng ) b)  AED caân Tam giác AED có AD =AE (cmt) => tam giác AED cân tại A c) Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED Xét  vuông AEH và  ADH Có AE = DA ( cmt ) ; AH là cạnh chung Vậy  vuôngAEH =  ADH (CH + CGV ) => AE = AD và EH = HD (góc tương ứng ) => AH là trung trực của DE Bài 8 : .Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc cạnh BC, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N. Chứng minh tam giác NBM cân Chứng minh Ta có NMB    ACB ( đồng vị) A mà  ACB   ABM ( ABC cân tại A) N do đó NMB    ABM Vì vậy NMB cân tại N (đpcm) B C M Baøi 9 : Cho goùc nhoïn xOy. Treân tia Ox laáy ñieåm A, treân tia Oy laáy ñieåm B, treân tia phaân giaùc cuûa goùc xOy laáy ñieåm M sao cho OA = OB = OM. Chöùng minh raèng tam giaùc AMB caân . Chứng minh Xét  AOM và  BOM   Có OA = OB (gt) ; O1  O2 (gt) và OM là cạnh chung Vậy  AOM =  BOM (cgc ) => AM = BM (cạnh tương ứng ) Vậy tam giác ABM cân tại M Baøi 10: Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Treân tia ñoái cuûa tia BC laáy ñieåm M, treân tia ñoái cuûatia CB laáy ñieåm N sao cho BM = CN.   a) So saùnh caùc goùc ÂABM;ACN . b) Chöùng minh raèng  AMN laø tam giaùc caân. Chứng minh a) Ta có  ABM   ABC  1800 và  ACN    1800 ACB mà  ACB   ABC (  ABC ) Nên MBA    ACN Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
Xét  AMB và  ANC Có AB = AC ( gt ) ; HBA    ACK (cmt) và MB = NC(cmt) (gt) Vậy AMB =  ANC (cgc) => AM = AN (cạnh tương ứng ) Vậy  AMN laø tam giaùc caân tại A.   Baøi 11: Cho  ABD, coù B = 2D , keû AH  BD (H  BD). Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy BE = BH. Ñöôøng thaúng EH caét AD taïi F. Chöùng minh: FH = FA = FD. Chứng minh Tam giác BHE cân gì BE = BH (gt)   => E = H1 (hai góc đáy)  Và ta có B1 là góc ngòai tam giác BHE Nên     B1 = H1 + E = 2 H1   Mà H1 = H 2 (đđ)  => B = 2 H 1 2   Mà B1 = 2D  => H 2 =  D => tam giác HFD cân tại F => FD = FH (1) 0 0 Ta có D +  2 = 90 và H 2 +   A  AHF = 90 =>  2 =  A AHF Vậy tam giác AHF cân tại F => AF = HF (2) Từ (1 ) và (2) => FA = FH = FD  Baøi 13: Cho tam giaùc MNP coù M =900. bieát NP = 13cm; MP = 5cm. Tính MN. Chứng minh Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MNP ta có 2 2 2 NP = MP + MN 2 2 2 MN = NP - MP 2 2 2 MN = 13 -5 = 169 - 25 2 MN = 144 => NM = 12 Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn. Keû AH  BC (H  BC). Bieát AB = 7cm; BH = 2cm; BC = 13 cm. Tính AH, AC. Chứng minh Trong tam giác vuông ABH có 2 2 2 Có AB = BH + AH 2 2 2 AH = AB - BH 2 2 2 AH = 17 - 2 = 289 – 4= 285 AH = 16,9 Ta có HB + HC = BC => HC = BC – HB = 13 – 2 = 11 Trong tam giác vuông ACH có 2 2 2 2 Có AC = CH + AH = 9 - 285 = 81 + 285 = 366 AC = 19,13 Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5