THAM KHẢO: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Trần Thị Hoai | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

529
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là bài tập nguyên hàm tích phân gửi đến các bạn học sinh tham khảo để củng cố kiến thức toán 12 giúp cho các bạn củng cố thêm kiến thức, và là những dạng bài toán căn bản nhất giúp các bạn vượt qua những kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: THAM KHẢO: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 2x 4 + 3 ( x 2 − 1) 2 1 3. f(x) = x + 3 x + 4 x 1. f(x) = x2 – 3x + 2. f(x) = 4. f(x) = x x2 x2 x −1 x −1 1 2 2x ( x − 1) 2 −3 9. f(x) = 2 sin 5. f(x) = 2 6. f(x) = 7. f(x) = 8. f(x) = 3 2 x x x x x 1 10.f(x) = tan2x 11. f(x) = cos2x 12. f(x) = (tanx – cotx)2 13. f(x) = sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 17. f(x) = ex(ex – 1) 14. f(x) = 15.f(x) = sin3x f(x) = 2sin3xcos2x sin x. cos 2 x 2 e−x 18. f(x) = ex(2 + 19. f(x) = 2ax + 3x 20. f(x) = e3x+1 ) 2 cos x 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/ 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 1 4. f’(x) = x - 2 + 2 và f(1) = 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 x b x2 1 5 6.f’(x) = ax + 2 , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = 2 ĐS. f(x) = ++ x 2x2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 3. ∫ 5. ∫ ∫ 1. (5 x − 1) dx x( x − 2)12 dx 5 − 2 x dx 15 2. 4. (3 − 2 x) 5 2x − 1 xdx x ln 3 x 6. ∫ (2 x + 1) xdx 7. ∫ ( x + 5) x dx 9. ∫ ∫ ∫ x dx 2 7 3 42 x 2 + 1.xdx dx 8. 10. 11. 12. ( x − 2) 5 x +5 2 dx 3x 2 ∫ ∫ dx 15. ∫ sin 4 x cos xdx 14. ∫ x.e x 2 +1 dx 16. cot xdx 13. x (1 + x ) 2 5 + 2x 3 x sin x tgxdx dx e 19. ∫ cos x sin xdx 21. ∫ tgxdx 17. ∫ 18. ∫ 20. ∫ ∫ 3 2 dx dx 22. cos 5 x cos 2 x cos x x dx e x dx dx e tgx 26. ∫ ∫ 28. ∫ ∫ 27. ∫ x 2 1 − x 2 .dx 24. ∫ 1 − x 2 .dx 23. 25. 29. dx 1+ x2 4− x 2 cos 2 x e −3x 2 x dx dx dx dx ∫ 32. ∫ x x − 1.dx 30. ∫ 31. ∫ 33. ∫ x 34. ∫ x 3 x 2 + 1.dx x + x +1 e +1 2 sin x 1− x 2 (s inx+ cos x)dx dx dx dx 3 3 38. cos xdx 39. sin xdx 35. 36. 37. 40. s inx − cos x 3 3 3 sin x cos x tan x xe + 1 x dx sin x dx 45. 3 sin x cos xdx 42. sin 4 x sin xdx dx 41. 43. 44. x + 2x + 2 x (e + ln x) 3 2 x cos x dx dx xdx dx 49. x 3 1 − x 2 dx 46. cos 3 x sin xdx 47. 48. 51. 50. x x2 + 1 (1 + x ) (2 x + 1) 2 23 3x + 1 2 dx dx 3x 3x x 2 dx dx dx 55. 56. 52. 53. 54. x x2 − 1 x x4 + 1 2x + 1 1 − 3x 1 − 3x x 3 3 1 − x 2 dx 57. 1
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ x. sin xdx 2. ∫ x cos xdx 3. ∫ x ln xdx 4. ∫ ln xdx ∫ x sin 2 xdx ∫ x.e dx 7. ∫ x cos 2 xdx x 5. 6. 8. ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx 9. ∫ ( x + 5) sin xdx 10. ∫ ln xdx 12. ∫ sin x dx 11. ∫ e dx 2 2 2 x ln(1 + x) ln xdx x 15. ∫ 6. ∫ ln( x + 1)dx 17. ∫ e . cos xdx ∫ cos 2 x 14. ∫ 18. ∫ x e dx 3 x2 2 x dx dx 13. x2 x 19. ∫ x ln(1 + x )dx 20. ∫ 2 xdx 21. ∫ x lg xdx 22. ∫ 2 x ln(1 + x)dx 23. ∫ xtg xdx 24. ∫ x cos 2 xdx 2 x 2 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 1 e 3 2 11 ( x 3 + x + 1)dx x + 1dx 4. (e x + x )dx 2. ( x + + 2 + x )dx 2. x − 2 dx 2 3. 1. xx 0 0 1 1 1 π π 1 2 2 2 1 ( x 3 + x x )dx (2sin x + 3cosx + x)dx 7. ( x + 1)( x − x + 1)dx 8. (3sin x + 2cosx + ) dx 5. 6. x π π 0 1 3 3 3 1 2 2 11. ( x + 1).dx 3 (e x + x 2 + 1)dx ( x 2 + x x + 3 x )dx 12. ( x − 1)( x + x + 1)dx 9. 10. 0 1 1 −1 2 2 5 2 ( x + 1).dx e 7x − 2 x − 5 x.dx dx dx 13. 14. 15. 16. 17. x2 + 2 x 2 + x ln x x+2+ x−2 x -1 2 1 1 π cos3 x.dx 2 3 sin x π 6 π π ex − e− x 1 2 ln 3 1 e x .dx dx .dx tgx .dx 19. 4 2 dx dx 18. 20. 21. 22. 22. ex + e− x e + e− x x 4x + 8x −x e +e 2 x 1 + sin x cos2 x 0 1 0 0 0 0 2 4 2 1 2 1 1 2 25. ∫ ( 2 x − x − )dx ∫ (x 23. ∫  2 + 3 dx ∫ (2 x ∫ x( x − 3)dx − 4)dx 3 2 + x + 1) dx 2 24. 26. 27. 3 1x x −3 −1 −2 0 1 e2 2 16 x 2 − 2x e 2 x + 5 − 7x dx 29. ∫ ∫ ∫ ∫ dx x .dx dx 30. 31. 32. 33. x3 x x 1 1 1 1 e  1 8 ∫  33 x 2 dx  4x −  1  II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π π π π π 2 2 4 2 4 sin x 3 2 sin 2 xcos 3 xdx 1. sin xcos xdx cot gxdx 2. 3. 4. 5. 6. dx tgxdx 1 + 3cosx π π π 0 0 3 3 6 1 x x 2 + 1dx 0 2
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 1 1 1 1 2 x2 1 7. x 1 − x dx 8. x x + 1dx 10. x 1 − x dx 2 3 2 3 2 dx dx 9. 11. 12. x3 + 1 x x3 + 1 0 0 0 0 1 π 1 1 1 1 2 1 1 1 1 sin x dx dx dx dx 16. e cosxdx 13. 14. 15. 17. 1 + x2 (1 + 3x 2 ) 2 x + 2x + 2 2 x +12 π −1 0 0 0 4 π 2 sin 3 xcos 2 xdx π 3 π π π 1 1 2 2 2 2 2 +2 +2 ex ex 3 2 sin x cosx xdx xdx 19. sin xcos xdx e cosxdx e sin xdx 22. 18. 20. 21. 23. π π π 0 0 3 4 4 π sin 5 xdx 0 π π 1 1 2 x2 2 1 2 sin x x 3 1 − x 2 dx 34. 2 3 dx 24. sin xcos xdx dx 32. 33. 25. dx x3 + 1 x x3 + 1 1 + 3cosx π 0 0 1 0 3 e 2 ln x +1 e e e e 1 + ln x 1 + 3ln x ln x sin(ln x) dx dx dx dx 35. 36. 37. 38. 39. x x x x 1 1 1 1 e2 1 + ln 2 x dx x ln x e 1 1 1 2 x 1 x x x + 1dx dx dx dx 41. 42. 43. 44. 45. 2x +1 x +1 + x 1 1+ x −1 0 0 0 1 1 dx x +1 − x 0 e2 e 2 ln x +1 e e 3 x +1 sin(ln x) 1 dx dx dx dx 46. 47. 49. 51. 53. xcos (1 + ln x) 2 x x x 1 1 1 e π 4 1 dx 1 1 0 x 2 ( sin 4 x + 1) cos xdx 55. ∫ (2x + 1) dx 58. ∫ e dx 4 − x dx 57. ∫ e dx 2 −x 2 x +3 56. 59. 3 1+ x 2 0 −1 0 0 0 0 1 4 x + 11 1 1 1 3 2x − 5 x3 x ∫ 61. ∫ x 1− xdx 63. ∫ 2 ∫ x2 + 2x + 1dx dx dx dx 60. 62. 64. 65. x − 4x + 4 x + 5x + 6 2x + 1 2 0 0 0 0 0 π π π π π 68. 1 + sin 2 x dx 3 6 2 4 2 67. 4sin x dx cos x 2 66. (sin 6 x + cos 6 x)dx 69. cos 4 2 xdx 70. dx ∫ 1 + cos x 0 5 − 2 sin x cos 2 x 0 0 0 0 π π π 1 π 1 1 + sin 2 x + cos 2 x 2 4 1 cos 2 x sin 3 x dx 73. 4 2 dx ∫ cosxdx 71. 72. x 74. ∫ 75. dx dx ∫ e +1 sin x + cos x 0 1 + 2 sin 2 x 0 2 cos 3 x + 1 π 0 0 6 π π π 1 0 2x + 2 dx 2 1 4 4 1 sin 4 x cos5 xdx 76. ∫ x 3 1 − x 2 dx dx 77. ∫ 2 78. dx . 79. 80. dx x + 2x − 3 −1 x + 2 x + 5 2 1 + cos 2 x 4 cos x 0 −2 0 0 0 π π π 1 2 2 86. ∫ x (1− x ) dx 5 36 4 81. sin 2 x(1 + sin 2 x)3 dx 82. 84. ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 3 2 cos x sin xdx 0 0 0 0 3
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π π π π 89. cos x + sin x dx sin 2 x 6 4 sin 2 x cos x 2 2 87. 88. ∫ 90. ∫ dx dx dx 0 ( 2 + sin x ) 6 − 5sin x + sin 2 x 2 3 + sin 2 x cos 2 x + 4 sin 2 x 0 0 0 π π π sin x − cos x 3 4 ln(tgx ) dx tg x ln 5 3 2 4 dx dx 91. ∫ 93. ∫ x 95. ∫ dx 92. 94. ∫ (1 − tg 8 x)dx −x ln 3 e + 2e −3 1 + sin 2 x π sin 2 x cos 2 x π 0 0 4 4 π π π 1 x 2 96. ∫ sin 2 x + sin x dx 98. ∫ 1 − 2 sin x dx 2 ∫ 97. ∫ sin 2 x cos x dx 1− x2 dx 2 2 4 dx 99. ∫ 100. 1+ x −1 0 1 + cos x 0 1 + sin 2 x 1 + 3 cos x 1 0 0 π 1 1 1 1 1 + 3 ln x ln x e ∫ 1+ x2dx ∫ dx 2 101. 102. ∫ 103. 104. dx + cos x) cos xdx sin x ∫ (e 4 − x2 x 1 0 0 0 π 2 1 1 2 1 x 2 1 105. ∫ 2 106. ∫ 4 2 dx x2 2 109. ∫ x 4 − x dx 2 2 dx ∫ 1+ cos x + sin x dx 107. 108. ∫ dx x − x+1 x + x +1 1− x2 0 0 1 0 0 π 2 2 1 1 1− x 3 9 + 3x2 ∫ 2 3 cos x dx 112. ∫ 1 ∫ x x2 − 1dx 101. ∫ dx dx ∫ 110. 113. 114. dx x x2 −1 x2 (1+ x ) 5 2 7+ cos2x 0 1 0 2 3 π 1 1+ x 4 cos x dx dx x x −1 1 0 2 115. ∫ 116. ∫ dx dx 118. ∫ 117. ∫ 119. ∫ 120. dx 1+ x 6 −1 x + 2 x + 2 1 + 1 + 3x 2 0 1+ cos x 1 x−5 2 0 0 7 ln2 8 7 3 1 x3 1 x +1 3 ∫ ∫x ∫ 122. ∫ x dx 1+ x dx 5 2 dx dx ∫ 121. 123. 124. dx e +2x x +1 2 1+ x 3 2 3x + 1 3 0 0 0 3 0 2 dx 23 ∫x x 3 + 1dx 2 ∫ 125. 126. x x2 + 4 5 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b b Công thức tích phân từng phần : �x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − �x)u '( x)dx u( v( a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ β � ax � sin β f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: � � f ( x) � cosax � dx ̣ @ Dang 1 α �ax � α ̣ Đăt e � � dx � = f ( x) � = f '( x)dx u du du = u = ln(ax) x � � � � � � ax � � ax � sin sin dv = f ( x)dx � v = f ( x)dx �� = � ax � dx � = � dv cos v cosax �dx β ax � ax � sin �� ax ax e e �� @ Dang 3: e . � dx ̣ cosax � � � α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x5 u = x 2e x 1 3 x 2e x 8 x dx dx đăt ̣ ̣ a/ b/ đăt x3 dx dx ( x + 1) 2 dv = ( x 4 − 1)3 dv = 0 ( x + 1) 2 2 ( x 4 − 1)3 1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx c/ � 2 2 = � dx = � 2 − � 2 2 = I1 − I 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 2 1 + x 0 (1 + x ) 0 0 0 1 dx Tinh I1 = ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ 1 + x2 0 4
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN u=x 1 x 2 dx x ́ băng phương phap từng phân : đăt ̀ ́ ̀ ̣ Tinh I2 = dv = (1 + x 2 ) 2 dx (1 + x 2 ) 2 0 Bài tập 1 e e e e e ln 3 x ln 3 x x ln( x + 1)dx 2 2 dx 2. x ln xdx 3. x ln xdx dx 6. x ln xdx 1. 4. 5. x3 x3 0 1 1 1 1 1 π 1 e e 1 2 ln x 2 x ln( x + 1)dx 10. ( x + ) ln xdx 2 2 8. x ln xdx dx 7. 9. ( x + cosx) s inxdx 11. x5 x 1 0 1 1 0 π π π 2 1 3 2 2 ln( x + x)dx 2 x xe dx 13. 14. 15. 16. 12. x tan 2 xdx e x cos xdx x cos xdx 0 1 0 0 0 Tính các tích phân sau π π π 1 6 2 2 ∫ x.e 3x dx 1) 2) 3) 4) ∫ ( x − 1) cos xdx ∫ (2 − x) sin 3xdx ∫ x. sin 2 xdx 0 0 0 0 1 2 e e 3 5. ∫ x ln xdx 6. ∫ (1 − x ). ln x.dx 7. ∫ 4 x. ln x.dx 8. x ln(3 + x ).dx 9. ( x + 1)e dx 2 2 x 2 10. 0 1 1 1 1 π π π π2 1 2 lnx 2 2 15. ∫ e sinxdx ∫ x. cos x.dx 12. ∫ sin xdx 13. ∫ 5 dx x ∫ 11. x 2 . cos x.dx 14. xcos2 xdx 16) ∫ x 0 1 0 0 0 0 π 2 ( x 2 + 2 x)sin xdx 0 π π π π e 18. x + sinxdx 3 4 19. ∫ xsinxcos xdx 17. ∫ xln xdx 2 2 2 ∫ cos2 x ∫ 20. x(2cos2 x − 1)dx 21. ∫ ( x + cos 3 x) sin xdx 0 1 0 0 0 e ln x 1 e 1 24. ∫ ( x − 2)e dx 25) ∫ (x + 1)2 dx 1 1 22. ∫ (x + 1) e dx 23. ∫ (xlnx) dx 2 2x 27. ∫ x ln(1 + x )dx 2 2 2x 2 26. x tan xdx 1 0 0 0 1 0 e π/3 2 ln(1+ x) ln x e 2 3 30. ∫ cosx.ln(1+ cosx)dx 31. ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 32. ∫ ln( x − x)dx dx dx 2 29. ∫ 28. x2 x 1 0 2 0 1 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 1 1 1 2x −1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 x2 1 1. ∫ 2 2. ∫ ∫ x + 1 dx ∫ x 2 + 1 dx ∫ (3x + 1) 3 dx dx dx 3. 4. 5. ( x + a )( x + b) 3 x − 3x + 2 a 0 0 0 1 1 x 2 n −3 2 3 2 1 − x 2008 x4 1 1 6. ∫ 9. ∫ 7. ∫ 8. ∫ 2 ∫ x(1 + x dx dx dx dx dx 10. ( x + 2) ( x + 3) 2 (1 + x 2 ) n 2 1 x (1 + x 2 ( x − 1) 2008 2 4 ) ) 0 0 1 2 1 2 0 x2 − 3 2x3 − 6x 2 + 9x + 9 1 x ∫ 4 + x 2 dx ∫1+ x ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x 2 − 3x + 2 dx dx 11. 12. 13. 14. 4 −1 0 0 1 2 1 4 3 2 3x 2 + 3 x + 3 1− x2 1 x 1 15. ∫ 2 16. ∫ 17. ∫ 3 ∫ x 3 − 3x + 2 dx 19. ∫ dx dx dx 18. dx x − 2x + 2 (1 + x 2 ) 3 2 x − 2x + x 1 1+ x 2 4 0 0 2 1 1 4 x + 11 1 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 dx 1 20. ∫ 21. ∫ 22. ∫ dx dx dx dx 23. 24. x + x +1 x + 5x + 6 2 2 0 1+ x x6 + 1 0 1+ x 3 2 0 0 0 5
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 1 1 1  3x − 1  2x − 2 1+ x4 x 2 + 2x + 3 3 x+2   25. ∫  27. ∫  28. ∫ 29. ∫ 26. ∫ − x − 1dx − 3 dx dx dx dx x+2 x +1 x+3 1 + x6 x −1 0  0  0 0 2  x2 + x +1   2x 2 + x − 2  0 1 1 0  x−2  dx 31. ∫  32. ∫  ∫x 30. ∫   x − 1 − 2 x + 1dx − x + 1dx − 2 x + 1dx 33.    x +1 + 4x + 3 2x − 1 2 −1  −1  0  0 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π π π 2 2 2 2 1. sin 2 x cos 4 xdx 2. 3. sin 4 x cos 5 xdx 4. (sin 3 x + cos 3 ) dx ∫ ∫ sin ∫ ∫ 2 x cos 3 xdx 0 0 0 0 π π π 2 2 2 5. cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x) dx 7. ∫ ∫ ∫ (sin x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx 10 0 0 0 π π π π π π 3 2 1 dx 3 2 2 2 2 9. ∫ 12. ∫ dx 1 sin x cos x ∫ 2 − cos x π sin x dx 8. 10. 11. 13. ∫ 2 + sin x dx ∫ 1 + cos ∫ 1 + cos x dx dx 4 π sin x. cos x 2 x 0 0 0 0 3 6 π π π π cos 3 x 4 2 2 2 dx cos x sin x 14. 15. 16. 17. ∫ sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx ∫ 1 + cos x dx 0 0 0 0 π π π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx 4 2 19. ∫ ∫π 1 dx ∫ 18. 20. 21. tg 3 xdx ∫ sin x + cos x + 1 dx sin x + 2 cos x + 3 π (1 − cos x ) 2 − 0 0 3 2 π π π π 2π 4 dx 3 4 ∫ 4 22. ∫ cot g xdx 23. ∫ tg xdx ∫ 1 1 + sin x dx 3 4 24. 25. 26. ∫ 1 + tgx dx π cos x cos( x + ) π π 0 0 0 4 6 4 π π π π sin x + 7 cos x + 6 30. 1 + cos 2 x + sin 2 x dx 3 2 4 4 2 dx 4 sin x 27. 28. 29. ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx ∫ 2 sin x + 3 cos x + ∫ 1 + cos ∫ sin x + cos x dx 4 x 13 0 0 0 0 π π π π 2 dx 3 2 4 2 32. ∫ sin 3x sin x 31. 33. 34. sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx ∫ 1 + cos x dx ∫ cos ∫ dx π sin 2 x − sin x 2 x 0 0 0 4 π π π π sin 3 x − sin x 33 2 2 ∫ cos x ∫ dx dx sin x dx dx 35. 36. 37. 38. ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 sin 3 xtgx π 0 0 0 4 π π π π 6 2 dx 4 2 39. ∫ cos x sin xdx ∫ sin 4 xdx dx 3 5 40. 41. 2. ∫ 1 + cos 2 x ∫ 5 sin x + 3 4 π sin x cos x π 0 0 4 6 π π π π 3 π 3 dx dx 2 3 3 sin xdx ∫ ∫ ∫ 46. ∫ tgxtg ( x + )dx 43. 44. 45. π π cos 6 x 6 sin x sin( x + sin x cos( x + π ) π ) π π 6 4 6 4 4 6 π π π 0 sin 2 x ∫π 3 2 2 4 sin xdx 47. 48. 49. sin 3 x dx 50. ∫ (sin x + cos x) 3 ∫ ∫x 2 (2 + sin x) 2 cos xdx − 0 0 0 2 π π π π 4 sin 3 x sin 4 x 1 + sin x 2 2 2 53. ∫ sin 2 xdx dx 54. 51. sin 2 x.e 2 x +1 dx 52. ∫ ∫ 1 + cos x e ∫ sin x dx π tgx + cot g 2 x x − 5 sin x + 6 2 0 0 0 6 6
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π π π 2 3 ln(sin x ) 2 56. ∫ ∫ x sin x cos 55. ∫ cos(ln x )dx 2 dx xdx 57. (2 x − 1) cos xdx 58. ∫ 2 cos 2 x π 0 1 6 0 π π π π 2 4 2 4 59. 60. cos x (sin 4 x + cos 4 x)dx 61. ∫ e sin x sin x cos 3 xdx 62. ∫ xtg ∫ ln(1 + tgx)dx 2 2 xdx 0 0 0 0 π π π π 2 (1 − sin x ) cos x 4sin 3 x 2 4 2 dx sin 2 x sin 7 xdx 63. 64. 65. 66. ∫ (sin x + 2 cos x) 2 ∫ (1 + sin x)(2 − cos 2 x) dx dx 1 + cos x π − 0 0 0 2 π π π π 2 2 4 ∫e 68. ∫ cos 5 x. cos 3xdx ∫π sin 7 x. sin 2 xdx 70. sin x cos xdx 2x 2 sin xdx 69. 71. 67. ∫2 π 0 − − 0 2 2 π 4 ∫ sin 2 xdx 0 π /3 π/ 2 π /4 π /4 5π / 4 sin x − cos x sin x dx dx ∫ sin 2 x.tan x.dx 75. I = 76. I = dx dx 72. 73. 74. 3 + cos2x cos 4 x sin 4 x 1 + sin 2 x π 0 0 0 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a π a−x ) §Æt x = a cos2t, t ∈ [0; ] +) R(x, a+x 2 a 2 − x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t +) R(x, ax + b ax + b +) R(x, ) §Æt t = n n cx + d cx + d 1 Víi ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx 2 + βx + γ 1 Khi ®ã ®Æt t = αx 2 + βx + γ , hoÆc ®Æt t = ax + b ππ +) R(x, a 2 + x 2 ) §Æt x = a tgt , t ∈ [− ; ] 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } +) R(x, x 2 − a 2 ) §Æt x = 2 cos x ( ) n1 n n x ; 2 x ;...; i x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) +) R §Æt x = tk 1 2 dx 23 2 2 ∫ dx dx dx ∫ ∫ (2 x + 3) ∫x 2. 3. 4. 1. x x −12 x x2 + 4 4 x 2 + 12 x + 5 x3 + 1 2 1 1 5 − 3 2 7
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 2 1 1 2 dx ∫ 7. ∫ x 1 + x dx ∫ ∫ (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 x 2 + 2008dx 5. 6. 8. x + 2008 2 1 0 0 1 2 2 1 3 dx x2 +1 2 ∫ 1+ x dx 2 ∫x dx ∫ 9. 10. 11. 12. ∫ dx (1 + x ) 23 x +1 2 2 1− x (1 − x 2 ) 3 0 1 0 0 π 2 1 2 2 2 ∫ cos xdx x dx 1 + x dx 2 13. 14. 15. 16. ∫ ∫ 7 + cos 2 x 1− x 2 0 0 0 π 2 ∫ sin x cos x − cos 2 x dx 0 π π 3 7 x 3 dx sin 2 x + sin x 2 2 ∫x cos xdx ∫ 10 − x 2 dx 3 17. 18. 19. 20. ∫ ∫ dx 1+ x 3 2 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 0 0 1 1 1 7 x 3 dx xdx dx ∫ ∫ x+ ∫x ∫ 1 + 3 x 8 dx 15 21. 22. 23. 24. 2x + 1 2x + 1 + 1 x +12 0 0 0 2 π ln 3 1 ln 2 e 2 x dx dx dx 25. 26. 27. 28. 2 ∫ ∫1+ x + ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6 ex +1 x2 +1 ex +1 −1 0 0 0 1 4 e 3 1 + 3 ln x ln x x5 + x3 ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx ∫ 30. ∫ ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx dx dx 29. 31. 32. x 1+ x 2 5 0 1 0 4 cos 2 x π ln 2 + 2 3tgx e x dx 0 ln 3 ln 2 x ∫ ∫ x (e ∫ + x + 1)dx 3 2x 3 dx 35. cos 2 x 33. 34. 36. ∫ dx x ln x + 1 (e x + 1) 3 cos 2 x 0 −1 ln 2 0 π π 7 2a x+2 3 2 ∫ ∫ cos xdx cos xdx x 2 + a 2 dx dx 37. 38. 39. 40. ∫ ∫ x+3 3 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 0 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: −a 0 3π 3π ; 2 − 2 cos 2 x , VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ] tháa m·n f(x) + f(-x) = 22 3π 1 x 4 + sin x 2 ∫π +) TÝnh ∫ f ( x)dx dx TÝnh: 1+ x2 3 −1 − 2 a ∫ f ( x)dx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0. −a π 1 2 ∫π cos x ln( x + VÝ dô: TÝnh: ∫ ln( x + 1 + x )dx 1 + x 2 )dx 2 −1 − 2 a a ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: −a 0 8
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π 2 x + cos x 1 x dx ∫x dx VÝ dô: TÝnh 4 − sin 2 x − x +1 4 2 −1 π − 2 a a f ( x) Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫ dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) − a1 + b x 0 π 3 x2 +1 2 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh: ∫ ∫π dx dx 1+ 2x 1+ ex −3 − 2 π π π 2 2 Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 2 0 0 π π 2009 2 2 sin x sin x VÝ dô: TÝnh ∫ sin ∫ dx dx x + cos 2009 x 2009 sin x + cos x 0 0 π ππ Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 20 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b ∫ f (a + b − x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f (b − x)dx = ∫ f ( x)dx ⇒ Bµi to¸n 6: a a 0 0 π π x sin x 4 ∫ 1 + cos dx VÝ dô: TÝnh ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx 2 x 0 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T nT T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ f ( x) dx = n ∫ f ( x)dx ⇒ a 0 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π π x − x + x − x +1 x + cos x 1 7 5 3 1 4 2 1− x 2 dx ∫π ∫π 4 − sin ∫ (1 + e ∫ dx 3. dx dx 1. 2. 4. cos 4 x 2 )(1 + x 2 ) x 1+ 2x x −1 −1 − − 4 2 tga cot ga 1 π �� xdx dx 2π 1− x sin 5 x 2 2 + 5. ∫ cos 2 x ln( 6. ∫ sin(sin x + nx )dx 7. ∫ )dx dx 8. 1 + x2 x(1 + x 2 ) 1+ x 1 + cos x −π 1 0 1 1 − 2 2 e e (tga>0) VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: π 3 2 1 2 ∫x ∫x 3. ∫ x x − m dx ∫π sin x dx − 1 dx − 4 x + 3 dx 2 2 2. 4. 1. −3 0 0 − 2 π 3π π 2π 3 4 ∫ ∫ ∫ sin 2 x dx ∫ 1 − sin x dx tg x + cot g x − 2dx 1 + cos x dx 2 2 5. 6. 7. 8. π π −π 0 6 4 9
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN π 4 3 5 3 ∫2 ∫π cos x 12. ∫ x − 3x + 2dx ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx − 4 dx cos x − cos x dx 2 x 3 9. 10. 11. −1 −2 0 − 2 2 1 π 5 3 14. ∫ x2 + − 2dx 13. ∫ ( x + 2 − x − 2)dx ∫ ∫ 2x − 4dx 1+ cos2xdx 15. 16. x2 1 −3 0 0 2 2π 2 ∫ 1+ sinxdx 18. ∫ x − x dx 2 17. 0 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG VAØ THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY 1. Tính die ä n tích hình ph aú n g : Baøi 1: Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x; c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x; e) y = x - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2; 2 g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6. 2x2 − 10 − 12 x Baøi 2: Tìm dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = vaø x+ 2 ñöôøng thaúng y = 0. − x2 + x Baøi 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = vaø truïc x+1 hoaønh. Baøi 4: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = x3 + 3x2, truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng x = -2, x = -1. Baøi 5: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh, truïc tung, ñoà thò haøm soá y = x3 - 3x + 1 vaø ñöôøng thaúng x = -1. Baøi 6: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc tung, truïc hoaønh vaø ñoà thò cuûa 2x + 1 haøm soá y = . x+1 Baøi 7: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1. Baøi 8: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = x vaø y = x + sin2x vôùi x ∈ [0; π]. Baøi 9: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = cosx treân ñoaïn [0; 2π], truïc hoaønh, truïc tung vaø ñöôøng thaúng x = 2π. Baøi 10: Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x; 1 c) y = −2 x , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1. e Baøi 11: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a) y = x3 - 1 vaø tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = x3 - 1 taïi ñieåm (-1; -2). b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tieáp tuyeán taïi ñænh cuûa parabol (P) vaø truïc tung. 1 c) y = x3 - 3x vaø tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = - . 2 2. T heå tích vaä t th e å tro ø n xo ay : Baøi 1: Tính theå tích vaät theå troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox. a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1. Baøi 2: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây quay quanh truïc Ox: 10
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0. Baøi 3: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây quay quanh truïc Ox: a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 vaø x = 3. Baøi 4: Tính theå tích caùc hình troøn xoay taïo neân do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C) y = x2 + 1, x = 0 vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh truïc Ox. Baøi 2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: 1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2. 2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2. 3) y = -x2 + 4x, y = 0. 4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4. 5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3. 12 12 6) y = x , y = x + 3x. 4 2 7) y = x, y = 0, y = 4 - x. 12 8 8) y = x2, y = x , y = . 8 x 9) y = x − 3 x + 2 , y = 2. 2 10) y = x − 4 x + 3 , y = x + 3. 2 11) (P): y = x2, x = 0 vaø tieáp tuyeán vôùi (P) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 1. 13) (P): y = -x2 + 4x - 3 vaø caùc tieáp tuyeán cuûa (P) taïi caùc ñieåm M1(0; -3), M2(3; 0). 5 14) (P): y = -x2 + 4x vaø caùc tieáp tuyeán cuûa (P) ñi qua ñieåm A( ; 6). 2 π 15) y = tgx, y = 0, x = 0, x = . 4 1 16) y = lnx, y = 0, x = , x = e. e 1 2 x 17) y = ,y= . 1+ x2 2 18) y = - 4 − x 2 , x2 + 3y = 0. x2 x2 19) y = 4 − ,y= . 42 4 20) y = x 1 + x 2 , x = 0, x = 1. 1 21) y = − 2 x , y = ex, x = 1. e 22) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3. 23) y2 = 2x + 1, y = x - 1. 24) y = x , x + y - 2 = 0. Baøi 3: Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau: 1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox. π 2) y = tgx, y = 0, x = 0, x = , quay xung quanh truïc Ox. 4 4 3) y = , y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh truïc Ox. x 4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh truïc Ox. x3 5) y = , y = x2, quay xung quanh truïc Ox. 3 6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh truïc Ox. 7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh truïc Ox. 11
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh truïc Ox. 9) y = x ln(1 + x 3 ) , y = 0, x = 1, quay xung quanh truïc Ox. x 1 10) y = e 2 x 2 , y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh truïc Ox. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 π Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trên có diện tích nhỏ nhất. Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x bằng nhau. x − x 3  Bài 3: Xác định m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y = o ≤ x ≤ 1 có hai phần diện tích bằng nhau. y = 0  Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới hạn bởi x2+y2 = 8 Thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần.  x 2 + 2ax + 3a 2 y=   1+ a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Tìm a để diện tích là lớn nhất  y = a − ax 2  1+ a4  Bài 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: −3x − 1   y= x2  y = 4− x−1  y = x2 − 4x + 3    4 3) (H3):  y = 0 1) (H1):  2) (H2) :  y = x + 3 2 y = x x = 0     42   y = x  y = x  y2 + x − 5 = 0 2 4) (H4):  5) (H5):  6) (H6):  x + y − 3 = 0 x = −y 2 y = 2− x 2    lnx y = 2 x  3 3  y = x + x −  y = x2 − 2x 2   7) (H7):  y = 0 2 2 8) (H8) :  9) (H9):   y = − x + 4x 2  x = e y = x   x = 1  (C ) : y = x (C ) : y = e x  y2 − 2y + x = 0   11) (d ) : y = 2 − x 12) (d ) : y = 2 10) (H10):  x + y = 0 (Ox) (∆) : x = 1   y = x y = − 4 − x2  y 2 = 2x + 1   15)  x + y − 2 = 0 13)  14)  2 y = x −1 x + 3 y = 0 y = 0   12
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  x2  y = ln x, y = 0 y=   y 2 = 2x   2 16  17  18)  1 x = e , x = e  y = x, y = 0, y = 3 y = 1   1+ x2   1 1  y = sin 2 x ; y = cos 2 x  19.  20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6) π π x = ; x =   6 3 y = x   y = −x 2 + 6x − 5  y = x 2 − 4x + 5 1   y =  21)  y = −2 x + 4 22)  y = − x + 4 x − 3 2 23)  x  y = 4 x − 11  y = 3 x − 15 y = 0    x = e   y = x  y = / x 2 −1/  y = −3 x 2 − / x / + 2 3 24)  25)  2 26)   y = / x /+ 5 y = 0 y = x   y = x 2 − 2x + 2  y = / x 2 −1/ y = x + 2  2  28)  y = x + 4 x + 5 2 27)  29)  y = 4 − x  y = −x 2 + 7 y = 1   y = x3  y = sin x − 2 cos x  2 y = x + 3 +   30)  y = 0 31)  y = 3 32)  x  x = −2; x = 1  x = 0; x = π y = 0     y = 2x 2 − 2x  y = x + 2x   y = / x 2 − 5x + 6 / 2 34)  y = x + 3 x − 6 2 33)  35)  y = x + 2 y = 6  x = 0; x = 4   y = 2x 2   y = / x 2 − 3x + 2 / 36)  y = x − 2 x − 1 2 37)  y = 2 y = 2    y = / x − 3x + 2 /  y = / x 2 − 5x + 6 /  y = / x 2 − 4x + 3 / 2 38)  39)  40)  y = x +1 y = 3 y = −x2  y = eÏ  x2 y=   y = sin/ x /  −x 41)  y = e 42)  43)  x2 − x6  y = / x /− π x = 1  x = 0; x = 1    y = 2x 2  y 2 = 2x   y 2 = x 2 (a 2 − x 2 )  44)  y = x − 4 x − 4 45) 2 x + 2 y + 1 = 0 2 46)  a  0 y = 8 y = 0   13
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  x2  x = ( y + 1) 2 y = 4 −  y = ( x + 1)  y = / x − 1/ x = / y − 1/ 2 2 2   4 32)  y = sin x 33)  47)  48)  49)   x = sin πy x = 2 x = 2 2 y = x x = 0    42    x = 0;  1 34)  x = 2   x y = ;y =0 1− x4    y = x2  y = / log x / y = 5 x −2  2 2  y = 6x  y = (4 − x) 3   x2  35)  y = 0 37)  y = 39)  y = 0 36)  2 38)  2  x + y 2 = 16  y = 4x 27  x = 0; y = 3 − x     1    x = , x = 10 27 y =  10  x y = x ax = y 2  y 2 = 2x    41)  y = sin x + x 42) 2 40)   (a>0) ay = x 2 27 y 2 = 8( x − 1) 2  0 ≤ x ≤ π   43) x2/25+y2/9 = 1 với hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất  y = x3 − 2x 2 + 4x − 3 45)  y = 0 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y y x=b x=a b y=b (C ) : y = f ( x) x=0 (C ) : x = f ( y ) y=a a x x a y=0 O b O 2 2 b b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x )] dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y = 2 − x;y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x − 2)2 và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox 14
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x 2; y = x 2 + 2 . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox x2 1 Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = 2 ; y = x +1 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 x Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox  y = ( x − 2) 2 1)  quay quanh trục a) 0x; b) 0y y = 4  y = x 2 , y = 4x 2 2)  quay quanh trục a) 0x; b) 0y y = 4  1 y = 2 x +1 3)  quay quanh trục a) 0x; b) 0y  y = 0, x = 0, x = 1   y = 2x − x 2 4)  quay quanh trục a) 0x; b) 0y y = 0  y = x. ln x  5)  y = 0 quay quanh trục a) 0x;  x = 1; x = e   y = x 2 ( x > 0)  6) (D)  y = −3x + 10 quay quanh trục a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2 y = 1  y = x2  7)  quay quanh trục a) 0x; y = x  8) Miền trong hình tròn (x - 4)2 + y2 = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y x2 y2 + =1 9) Miền trong (E): quay quanh trục a) 0x; b) 0y 9 4  y = xe Ï  10)  y = 0 quay quanh trục 0x;  x = 1, ;0 ≤ x ≤ 1    y = cos 4 x + sin 4 x  11)  y = 0 quay quanh trục 0x;  π x = ; x = π  2 15
Ths Đặng Thanh Cầu-01696900100 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN y = x2 12)  quay quanh trục 0x;  y = 10 − 3x 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kình R = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y    4 14)  y = quay quanh trục 0x; x−4   x = 0; x = 2  y = x −1  15)  y = 2 quay quanh trục a) 0x; b) 0y  x = 0; y = 0  16