zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Tính một số tổng đặc biệt - Nguyễn Minh Đức

Chia sẻ: Nguyễn Minh Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

114
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính một số tổng đặc biệt do Nguyễn Minh Đức biên soạn tập hợp những bài tập về một số dạng tổng đặc biệt. Đặc biệt, những lời giải cụ thể được đưa ra ở cuối mỗi bài tập sẽ giúp các bạn biết cách để giải những bài tập này. Đây là tài liệu hữu ích cho các bạn đang học và ôn thi môn Toán học, mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính một số tổng đặc biệt - Nguyễn Minh Đức

Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) Tính Một Số Tổng Đặc Biệt Kỳ Anh-24/08/2014 ****0**** Gần đây,có một số bạn (THCS) hỏi tôi tài liệu về mảng dẫy số.Cũng vì mảng kiến thức này tôi chỉ được quan tâm lúc năm còn lớp 8.Cũng để trả lời cậu hỏi trên của một số bạn,đồng thời ôn lại kiến thức nên tôi xin mạo muội viết lên bài viết nhỏ này!Có gì sai sót mong mọi người thông cảm và cho ý kiến qua các địa chỉ sau: My Facebook: www.facebook.com/gaulovemi1604 Gmail: duchuyen1604@gmail.com Sau đây sẽ là những dãy số hay những dạng tổng đặc biệt mà tôi đã sưu tầm hay nhận được từ một số bạn yêu cầu!Trong bài viết này tôi chỉ nêu qua ý kiến về cách chứng minh tổng đó!Cách chứng minh chỉ áp dụng các kiến thức sơ cấp để các bạn học cấp THCS có thể sử dụng! Start! Bài 1:Với n  N .Hãy tính các tổng sau đây: a) S1  1  2  3  ...  n b) S2  12  22  32  ...  n 2 c) S3  13  23  33  ...  n3 Giải: a ) Ta có: S1  1  2  3  ....  (n  2)  (n  1)  n S1  n  (n  1)  (n  2)  ....  3  2  1  2S1  n  1  (2  n  1)  (3  n  2)  ....  (n  2  3)  ( n  1  2)  ( n  1)  2S1  (n  1)  (n  1)  ...  (n  1) ( có n hạng tử n  1 )  2S1  n(n  1) n(n  1)  S1  2 b) Áp dụng hàng đẳng thức: ( x  1)3  x3  3x2  3x  1 Cho x nhận lần lượt các giá trị nguyên dương từ 1 đến n ta có: 23  13  3.12  3.1  1 33  23  3.22  3.2  1 ................................... (n  1)3  n3  3.n 2  3.n  1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra được: (n  1)3  1  3S2  3S1  n  3S2  (n  1)3  (n  1)  3S1 n(n  1)  3S2  (n  1)3  (n  1)  3. 2 n(n  1)(2n  1)  S2  6
Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) 3) HD: Cách làm tương tự như câu b. Áp dụng hằng dẳng thức: ( x  1)4  x4  4 x3  6 x2  4 x  1 Cho x  1, 2,3,..., n ,suy ra: (n  1) 4  1  4S3  6S2  4S1  n  n(n  1)  2  S3     S12  2  Bài 2:Với n  N .Hãy tính các tổng sau đây: a) T2  1.2  2.3  3.4  ...  n(n  1) b) T3  1.2.3  2.3.4  ...  n(n  1)(n  2) c) T4  1.2.3.4  2.3.4.5  ...  n(n  1)(n  2)(n  3) d) Tk  1.2.3...k  ....  n(n  1)...(n  k  1) Giải: a ) Ta có: 3T2  3.1.2  3.2.3  3.3.4  ..  3n( n  1)  T3  3T2  1.2.3  2.3.4  ...  (n  1)n(n  1)  T3  3T2  1.2.3  2.3.4  ...  (n  1)n(n  1)  n(n  1)(n  2)  n(n  1)(n  2)  T3  3T2  T3  n(n  1)(n  2) n(n  1)(n  2)  T2  3 b) Ta có: 4T3  4.1.2.3  4.2.3.4  ...  4n(n  1)(n  2)  T4  4T3  1.2.3.4  2.3.4.5  ...  (n  1)n(n  1)(n  2)  T4  4T3  1.2.3.4  2.3.4.5  ...  (n  1)n(n  1)(n  2)  n(n  1)(n  2)(n  3)  n(n  1)(n  2)(n  3)  T4  4T3  T4  n(n  1)(n  2)(n  3) n(n  1)(n  2)(n  3)  T3  4 c ) HD: Đặt T5  1.2.3.4.5  2.3.4.5.6  ...  n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4) .Rồi thiết lập tương tự như câu a,b.Suy ra được: T5  5T4  T5  n  n  1 n  2  n  3 n  4  n  n  1 n  2  n  3 n  4   T4  5 d ) HD: Cũng đặt Tk 1 .Rồi suy ra được: Tk 1  (k  1) Tk  Tk 1  n  n  1 n  2  ...  n  k  n  n  1 n  2  ...  n  k   Tk  k 1 Bài 3:Với x  1 .Tính các tổng sau đây : a) A1  1  x  x 2  x3  ...  x n b) A2  1  2 x  3x 2  ...  nx n 1 Giải: a ) Ta có:
Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) A1  1  x(1  x  x 2  ...  x n 1 )  A1  1  x(1  x  x 2  ...  x n 1  x n  x n )   A1  1  x A  x n  1  x n 1  A1  1 x b) Nhân A2 với x ta có : A2 .x  x  2 x 2  3x3  ...  nx n Suy ra : A2  A2 .x  1  x  x 2  ...  x n 1  nx n  A2 .(1  x)  1  x  x 2  ...  x n 1  x n  x n (n  1) 1  x n 1  x n (n  1)  A2  1  x 1 x n 1 1  x  x n (1  x)(n  1)  A2  (1  x) 2 nx n 1  (n  1) x n  1  A2  (1  x) 2 Nhận xét : Nếu đề không cho x  1 thì ta xét x  1 trước.Rồi mới thực hiện như trên ! Bài 4 :Với n  N ; n  2 Tính tổng sau đây : M  1.22  2.32  ...  (n  1)n2 Giải : a ) Ta có : (k  1)k 2  k 3  k 2 (k  N ; k  2) Cho k  2,3, 4,..., n ta có : 1.22  23  22 2.32  33  32 3.42  43  42 ..................... (n  1) n 2  n3  n 2 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra : M  (23  33  33  ...  n3 )  (22  23  42  ...  n2 )  M  (13  23  33  33  ...  n3 )  (12  22  23  42  ...  n2 ) Nhận xét : Đến đây áp dụng theo các công thức tính tổng ta đã chứng minh ở Bài 1.Ta có được :  n(n  1)  n(n  1)(2 n  1) n(n  1)(3n  2) 2 2 M     2  6 12 Bài 5 :Với n  N .Tính tổng sau đây : 12 22 n2 I   ...  1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) Giải : Ta có phân tích sau : Với k  N thì :
Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) k2 1 1 1 1       (2k  1)(2k  1) 4 8  2k  1 2k  1  Cho k lần lượt nhận các giá trị nguyên dương từ 1,2,3,4,…,n.Ta có : n k2 n 1 1   k 1 (2k  1)(2k  1)   1   4 8  2n  1  n 1 1  n(n  1) I   1   4 8  2n  1  2(2n  1) Bài 6 :Với n  N .Tính các tổng sau : a) H  1.2  2.5  3.8  ...  n(3n  1) b) G  1.4  2.7  3.10  ...  n(3n  1) Giải : a) Ta có phân tích sau : k (3k  1)  3k 2  k Cho k  1, 2,3,..., n ta có : 1.2  3.12  1 2.5  3.22  2 3.8  3.32  3 ..................... n(3n  1)  3.n 2  n Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra : H  3(12  22  32  ...  n2 )  (1  2  3  ...  n) Nhận xét : Đến đây áp dụng theo các công thức tính tổng ta đã chứng minh ở Bài 1.Ta có được : n(n  1)(2n  1) n(n  1) H  3.   n2 (n  1) 6 2 b ) Làm tương tự như câu a) ta suy ra : G  3(12  22  32  ...  n 2 )  (1  2  3  ...  n) n(n  1)(2n  1) n(n  1)  3.  6 2  n(n  1) 2 Bài 7 :Tính các tổng sau : a) I  1  10  102  ...  10n b) L  1  11  111  ...  11...11 n chu so 1 c) M  2  22  222  ...  22...22 n chu so 2 d) N  3  33  333  ...  33...33 n chu so 3 Giải : a ) Áp dụng câu a Bài 3 : ta suy ra được: 10n 1  1 I 9 b ) Ta có:
Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) 10  1 102  1 10n  1 L   ...  9 9 9 1  10  10  ...  10  (n  1) 2 n  9 n 1 10  1  (n  1)  9 9 n 1 10  9(n  1)  1  81 c ) Dễ thấy: 2[10n 1  9(n  1)  1] M  2L  81 d ) Dễ thấy: 10n 1  9(n  1)  1 N  3L  27 Bài Tập: Bài 1:Tính các tổng sau: a) A  1  3  5  ...  (2n  3)  (2n  1) b) B  12  32  52  ...  (2n  1) 2 c) C  13  33  53  ...  (2n  1)3 HD: a) Dùng tính chất giao hoán và kết hợp. Đáp án: A  n2 n(2n  1)(2n  1) b) Dùng hằng đẳng thức: (2k  1)2  4k 2  4k  1 . Đáp án: B  3 c) Dùng hằng đẳng thức: (2k  1)  8k  12k  6k 1 . Đáp án: C  n (2n2  1) 3 3 2 2 Bài 2: Tính các tổng sau đây: 1 1 1 a) M    ...  1.2 2.3 n(n  1) 1 1 1 b) N    ...  1.3 3.5 (2n  1)(2 n  1) 1 1 1 c) P    ...  1.5 5.9 (4n  3)(4n  1) 1 1 1 n HD: a) Ta có phân tích sau:   . Đáp án : M  k (k  1) k k  1 n 1 1 1 1 1  n b) Ta có phân tích sau :     . Đáp án : N  (2k  1)(2k  1) 2  2k  1 2k  1  2n  1 1 1 1 1  n c) Ta có phân tích sau :     . Đáp án : P  (4k  3)(4k  1) 4  4k  3 4k  1  4n  1 Duc_Huyen1604 Tình yêu trong quá khứ !Yêu để rồi chôn giấu !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.