Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng

Chia sẻ: Lê Thị Trà Giang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời tham khảo Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng có hướng dẫn giúp các bạn học sinh lớp 12 ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh Đại học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán ôn thi Đại học - Chuyên đề 1: Tọa độ phẳng

CHUYEÂN ÑEÀ 1 TOÏA ÑOÄ PHAÚNG Trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong maët phaúng thöôøng gaëp caùc yeâu caàu nhö tìm toïa ñoä moät ñieåm, moät vectô, tính ñoä daøi moät ñoaïn thaúng, soá ño goùc giöõa hai vectô, quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc giöõa hai vectô, 3 ñieåm thaúng haøng. Ta vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây: r r Cho a = ( a1 , a 2 ) , b = ( b1 , b2 ) ta coù: r r ⎧a1 = b1 a= b ⇔ ⎨ ⎩a 2 = b 2 r r a + b = ( a1 + b1 , a 2 + b2 ) r r a – b = ( a1 - b1 , a 2 - b2 ) r k a = (k a1 , k a 2 ) (k ∈ R) r r α a + β b = ( α a1 + β b1 , α a 2 + β b 2 ) r r a . b = a1 b1 + a 2 b 2 . Vôùi caùc quan heä veà ñoä daøi ta coù: r r a = ( a1 , a 2 ) ⇒ a = a12 + a 2 2 ⎧A ( x A , y A ) ⎪ uuur ⎨ ⇒ AB = ( x B – x A , y B – y A ) ⎪B ( x B , y B ) ⎩ vaø AB = (xB - xA ) + (yB - yA ) 2 2 . Vôùi quan heä cuøng phöông hoaëc vuoâng goùc ta coù: r r a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a 2 b 2 = 0 r r r r a cuøng phöông b ⇔ si n( a, b) = 0 ⇔ a1 b 2 – a 2 b1 = 0 a1 a ⇔ = 2 ( b1 , b 2 ≠ 0) b1 b2 uuur uuur A, B, C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC
xB - xA yB - y A ⇔ =0 xC - x A yC - y A . Vôùi vieäc tìm goùc cuûa hai vectô ta coù: r r - Goùc hình hoïc taïo bôûi hai vectô a , b ñöôïc suy töø coâng thöùc: r r ab +a b cos( a, b ) = 1 1r r 2 2 (1) a.b r r - Soá ño goùc ñònh höôùng cuûa hai vectô a , b ngoaøi (1) coøn ñöôïc suy theâm töø moät trong hai coâng thöùc: r r ab - a b si n( a, b) = 1 2 r 2 1 r a .b r r a b - a2 b1 tg( a, b) = 1 2 a1b1 + a2 b2 Ngoaøi ra trong caùc baøi toaùn veà toïa ñoä phaúng ta coù theå aùp duïng caùc keát quaû sau ñaây: . M( x M , y M ) laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB ⎧ xA + xB ⎪x M = ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + yB ⎪ M ⎩ 2 . G( x G , y G ) laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⎧ x A + xB + xC ⎪x G = ⎪ 3 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + y B + y C ⎪ G ⎩ 3 . I( x I , y I ) vaø J( x J , y J ) laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A trong Δ ABC thì: uur uuu r IB JB AB uur = − uuu = − r IC JC AC . Vôùi A( x A , y A ), B( x B , y B ), C( x C , y C ) thì dieän tích tam giaùc ABC laø:
1 xB - xA yB - y A S= Δ vôùi Δ= 2 xC - x A yC - y A Ví duï 1: Trong maët phaúng Oxy cho ba ñieåm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñoái xöùng vôùi A qua B. uuuu r uuuu r uuuu r r b) Tìm toïa ñoä ñieåm M ñeå 2 AM + 3 BM - 4 CM = 0 c) Tìm toïa ñoä ñieåm E ñeå ABCE laø hình thang coù moät caïnh ñaùy laø AB vaø E naèm treân Ox. d) Tìm toïa ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC. e) Chöùng toû H, G, I thaúng haøng. Giaûi a) D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua B ⇔ B laø trung ñieåm cuûa AD ⎧ xA + xD ⎪x B = ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪y = y A + y D ⎪ B ⎩ 2 ⎧x D = 2x B − x A = 2 ( 0 ) − 2 = − 2 ⎪ ⇔ ⎨ hay D(–2, 7) ⎪y D = 2y B − y A = 2 ( 3 ) + 1 = 7 ⎩ uuuu r uuuur uuuu r r b) Ta coù: 2 AM + 3 BM – 4 CM = 0 = ( 0, 0 ) ⎧2 ( x M − 2 ) + 3 ( x M − 0 ) − 4 ( x M − 4 ) = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪2 ( y M + 1) + 3 ( y M − 3) − 4 ( y M − 2 ) = 0 ⎩ ⎧x M = − 12 ⇔ ⎨ hay M(–12, –1) ⎩y M = − 1 c) ABCE laø hình thang coù ñaùy AB vaø E naèm treân Ox. ⎧y E = 0 ⎧y E = 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ uuu uuu r r ⇔ ⎨ xE - 4 yE - 2 ⎪CE // ΑΒ ⎩ ⎪ 0-2 = 3+1 ⎩
⎧y E = 0 ⇔ ⎨ hay E(5, 0) ⎩x E = 5 d) H laø tröïc taâm cuûa Δ ABC uuuu uuur r ⎧ AH ⊥ BC ⎧ AH.BC = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ uuuuruuur ⎩BH ⊥ AC ⎪BH .AC = 0 ⎩ ⎧( x H − 2 )( 4 − 0 ) + ( y H + 1)( 2 − 3) = 0 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪( x H − 0 )( 4 − 2 ) + ( y H − 3)( 2 + 1) = 0 ⎩ ⎧ 18 ⎧4 x H − y H − 9 = 0 ⎪x H = 7 ⎪ ⎛ 18 9 ⎞ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ hay H ⎜ , ⎟ ⎩ 2 x H + 3y H − 9 = 0 ⎪y = 9 ⎝ 7 7⎠ ⎪ H 7 ⎩ G laø troïng taâm Δ ABC ta coù: ⎧ xA + xB + xC 2 + 0 + 4 ⎪x G = ⎪ 3 = 3 =2 ⎛ 4⎞ ⎨ hay G ⎜ 2, ⎟ ⎪ y = y A + y B + y C = −1 + 3 + 2 = 4 ⎝ 3⎠ ⎪ G ⎩ 3 3 3 + I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp Δ ABC ⎧I A 2 = I B 2 ⎪ ⇔ IA = IB = IC ⇔ ⎨ 2 ⎪I A = I C 2 ⎩ ⎧( 2 − x I )2 + ( −1 − y I )2 = ( 0 − x I )2 + ( 3 − y I )2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪( 2 − x I ) + ( −1 − y I ) = ( 4 − x I ) + ( 2 − y I ) 2 2 2 2 ⎩ ⎧ −4 x I + 8 y I − 4 = 0 ⇔ ⎨ ⎩4 x I + 6 y I − 15 = 0 ⎧ 24 12 ⎪ x I = 14 = 7 ⎪ ⎛ 12 19 ⎞ ⇔ ⎨ hay I⎜ , ⎟ ⎪ y = 19 ⎝ 7 14 ⎠ ⎪ I 14 ⎩ uuuu ⎛ 4 1 ⎞ r uuu ⎛ 6 1 ⎞ r e) Ta coù : H G = ⎜ − , ⎟ vaø H I = ⎜ − , ⎟ ⎝ 7 21 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠
4 1 − ⇒ 7 = 21 = 2 6 1 3 − 7 14 uuuu r uuu r ⇒ H G cuøng phöông vôùi H I ⇒ H, I, G thaúng haøng. Ví duï 2: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính uuur uuur cos ( AO , AB ) vaø dieän tích tam giaùc ABC. Giaûi uuur uuur Ta coù: AO = (–2, –2 3 ), AB = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) uuur uuur 2−6 1 cos( AO , AB ) = =− 4 + 12 . 1 + 3 2 uuur AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) 1 1 ⇒ SABC = a1b2 − a2 b1 = ( −1 )( − 3 ) − 3 ( −3 ) = 2 3 2 2 CHUYEÂN ÑEÀ 2 ÑÖÔØNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG Caùc baøi toaùn veà phaàn ñöôøng vaø phöông trình ñöôøng thöôøng yeâu caàu xaùc ñònh quyõ tích caùc ñieåm trong maët phaúng toïa ñoä theo nhöõng ñieàu kieän cho tröôùc, quyõ tích naøy laø moät ñöôøng maø ta phaûi tìm phöông trình cuûa noù döïa vaøo ñònh nghóa: F(x, y) = 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng (L) neáu ta coù : M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ F( x M , y M ) = 0 Neáu M ∈ (L) vaø M coù toïa ñoä phuï thuoäc tham soá t: ⎧x = f ( t ) ⎪ ⎨ (t ∈ R) ⎪y = g ( t ) ⎩ thì ñoù laø phöông trình tham soá cuûa ñöôøng (L). Töø phöông trình tham soá, ta khöû t thì coù theå trôû veà daïng F(x, y) = 0 Löu yù vieäc giôùi haïn cuûa quyõ tích tuyø theo caùc ñieàu kieän ñaõ cho trong ñaàu baøi.
Ví du1: Trong maët phaúng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quyõ tích ñieåm M ñeå r uuuu uuur uuuu r ( M A + M B ) AB = 1 Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích phaûi tìm. uuuu r uuuu uuur r M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ ( M A + M B ) AB = 1 ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + 2 – y M ) (2 – 1) = 1 ⇔ 5 + 10 x M + 3 – 2 y M = 1 ⇔ 10 x M – 2 y M + 7 = 0 ⇔ M( x M , y M ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vaäy quyõ tích phaûi tìm laø ñöôøng thaúng (L) coù phöông trình 10x – 2y + 7 = 0. Ví duï 2: Laäp phöông trình quyõ tích taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). Giaûi Goïi (L) laø quyõ tích nhöõng taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A(1, 2). I( x I , y I ) ∈ (L) ⇔ I laø taâm ñöôøng troøn qua A(1, 2) vaø tieáp xuùc vôùi Ox taïi M ⎧I M ⊥ Ox t aï M i ⇔ ⎨ ⎩I M = I A ⎧ x M − x I = 0 vaø M = 0 ⎪ y ⇔ ⎨ ⎪ (xM − xI ) + (y M − yI ) = (xA − xI ) + ( y A − yI ) 2 2 2 2 ⎩ ⇔ xI 2 – 2 xI – 4 yI + 5 = 0 ⇔ I( x I , y I ) coù toïa ñoä thoûa phöông trình F(x, y) = x2 – 2x – 4y + 5 = 0
Ñoù laø phöông trình cuûa quyõ tích phaûi tìm (Parabol). CHUYEÂN ÑEÀ 3 ÑÖÔØNG THAÚNG I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ( Δ ) ta caàn phaûi bieát: r 1) (Δ) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a = (a1, a2) seõ coù: ⎧ x = x 0 + t a1 . Phöông trình tham soá : ⎨ (t ∈ R) ⎩y = y 0 + t a2 x − x0 y − y0 . Phöông trình chính taéc : = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2 Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) 2) (Δ) qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình : a(x – x0) + b(y – y0) = 0 3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng Ax + By + C = 0 vôùi A2 + B2 > 0 (1) ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng x = x0 hoaëc y = kx + m (2). Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m. C C + Neáu B = 0 ⇒ x = − , coù daïng x = x0 vôùi x0 = − . Neáu B ≠ 0 ⇒ A A A C y=− x − , coù daïng y = kx + m. B B 3) ( Δ ) qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − x A ) ( yB − yA ) ≠ 0 xB − xA yB − yA Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b) ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( Δ ) coù ñoaïn chaén a, b vôùi phöông trình:
x y + =1 a b * Ghi chuù: Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù : (Δ) : Ax + By + C = 0 thì ( Δ ) coù : r . moät phaùp vectô n = (A, B) r . moät vectô chæ phöông a = (–B, A) uuu r A . heä soá goùc k = tg( Ox , Δ ) = − B . ( Δ′ ) // ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = 0 . ( Δ′ ) ⊥ ( Δ ) ⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = 0 Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( Δ′ ) . Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( Δ ) theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( Δ ) ⊥ x ′ x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt theâm tröôøng hôïp ( Δ ) coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng ( Δ ) naøy coù thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi khoâng. r Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì r k. n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0. u r - Neáu a = ( a1 ,a2 ) laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì k. ur a = ( ka1 ,ka2 ) cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0. II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 Ñaët : A1 B1 B1 C1 C1 A1 D= ; Dx = ; Dy = thì : A2 B2 B2 C2 C2 A2
⎧ Dx ⎪x I = D ⎪ D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I ⎨ ⎪y = D y ⎪ 1 ⎩ D D = 0 vaø Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2) D = D x = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2) hoaëc vôùi A2, B2, C2 ≠ 0 ta coù : A1 B ≠ 1 ⇔ (d1) caét (d2) A2 B2 A1 B C = 1 ≠ 1 ⇔ (d1) // (d2) A2 B2 C2 A1 B C = 1 = 1 ⇔ (d1) ≡ (d2) A2 B2 C2 B1 C1 C1 B1 C1 A1 A1 C1 Ghi chuù =− ; =− B2 C2 C2 B2 C2 A2 A2 C2 III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 A 1A 2 + B1B 2 thì cos α = A 12 + B12 . A 2 2 +B 2 2 IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng (Δ) : Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc : Ax M + By M + C d(M, Δ ) = A 2 + B2 Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( Δ ) ñeán ñieåm M(xM, yM) laø :
Ax M + By M + C t= A 2 + B2 r Ñaët phaùp vectô n = (A, B) coù goác leân ( Δ ) thì : r . t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( Δ ) r . t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi ( Δ ) Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø : A 1x + B1y + C1 A 2 x + B 2 y + C2 =± A 12 + B 12 A 22 + B 22 Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC. b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH. c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC. Giaûi uuur a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC = (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá : ⎧x = 4 + t ⎨ (t ∈ R) ⎩ y = 3 + 3t x−4 y−3 ⇔ = (phöông trình chính taéc) 1 3 ⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC. b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0 A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ C1 = –1 Vaäy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0
A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7 Vaäy pt Au : 3x – y + 7 = 0 Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc ABC. b) Tính dieän tích tam giaùc ABK. Giaûi ⎧ x A + xC ⎪x K = ⎪ 2 =2 a) K laø trung ñieåm cuûa AC ⇔ ⎨ ⎪y = y A + y C = 2 ⎪ K ⎩ 2 hay K(2, 2) x−2 y−2 Phöông trình caïnh BK : = ⇔ x – 4y + 6 = 0 −2 − 2 1− 2 AH ⊥ BK ⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0 A(1, - 1) ∈ AH ⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0 ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 1 b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = AH.BK vôùi 2 1+ 4 + 6 AH = d A (BK ) = 17 1 11 11 ⇒ S= . . 42 + 12 = ( ñvdt ). 2 17 2 Ví duï 3 ( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam 4 1 giaùc ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G ( ; ) , phöông trình ñöôøng thaúng BC laø 3 3 x − 2 y − 4 = 0 vaø phöông trình ñöôøng thaúng BG laø 7 x − 4 y − 8 = 0 .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C. Baøi giaûi ⎧x − 2y − 4 = 0 Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − 8 = 0
Vì ΔABC caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ΔABC 4 1 Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 3 3 ⎧2x + y − 3 = 0 ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − 4 = 0 ⎧x B + x C = 2x H ⎧xC = 2x H − x B = 2(2) − 0 = 4 Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎩y B + y C = 2y H ⎩yC = 2y H − y B = 2(−1) − (−2) = 0 x + xB + xC y + yB + yC ⇒ C ( 4,0 ) . Ta coù : x G = A vaø yG = A ⇒ A ( 0,3) 3 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, 0 ) ,B ( 0, −2 ) CHUYEÂN ÑEÀ 4 ÑÖÔØNG TROØN 1. Ñeå tìm phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn ta caàn löu yù: . Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a, b) baùn kính R laø : ( x − a) + ( y − b ) = R2 2 2 . Phöông trình cuûa (C) ôû daïng khai trieån : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0) vôùi c = a2 + b2 – R2 ⇔ R2 = a 2 + b2 − c Do ñoù ta phaûi coù ñieàu kieän a2 + b2 – c ≥ 0 . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng troøn taâm I(a, b) baùn kính R laø: ⎧ x = a + R cos t ⎨ (t ∈ R) ⎩ y = b + R si n t 2. Ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi moät ñöôøng troøn ta caàn phaân bieät : a) Tröôøng hôïp bieát tieáp ñieåm : ta duøng coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä : Tieáp tuyeán ( Δ ) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) vôùi : - ñöôøng troøn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 laø 2 2 (x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2 - ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 laø x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0
b) Tröôøng hôïp khoâng bieát tieáp ñieåm, ta aùp duïng tính chaát : Ñöôøng thaúng ( Δ ) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn taâm I baùn kính R ⇔ d( I , Δ ) = R. c) ñöôøng troøn (C) : ( x − a ) + ( y − b ) = R2 coù 2 tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi 2 2 Oy laø x = a ± R. Ngoaøi 2 tieáp tuyeán x = a ± R, moïi tieáp tuyeán khaùc vôùi ñöôøng troøn ( C) ñeàu coù daïng y = kx + m hoaëc daïng y = k ( x –x0 ) + y0 neáu tieáp tuyeán ñi qua ( x0 , y0 ) laø ñieåm naèm ngoaøi ñöôøng troøn. Ví duï Trong maët phaúng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4). a) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B. b) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A, B. c) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán vôùi (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) Giaûi a) Phöông trình ñöôøng troøn (C) coù daïng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Ñöôøng troøn (C) qua 3 ñieåm O, A, B neân : ⎧c = 0 ⎧c = 0 ⎪ ⎪ ⎨ 4 + 4a + c = 0 ⇔ ⎨a = −1 ⎪16 − 8b + c = 0 ⎪b = 2 ⎩ ⎩ Vaäy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân coù taâm laø trung ñieåm cuûa AB vaø ñöôøng kính laø AB neân pt döôøng troøn (C) laø: 1 1 ( x + 1 )2 + ( y − 2 )2 = AB 2 = ( 4 + 16 ) = 5 4 4 Caùch khaùc: Tam giaùc ABC vuoâng taïi O neân vôù M ( x, y ) ∈ (C ) ta coù i uuuur uuuur AM .BM = 0 . Vaäy pt ñöôøng troøn ( C ) laø ( x − x A )( x − xB ) + ( y − yA )( y − yB ) = 0 . b) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi : . Tieáp ñieåm A(–2, 0) laø : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0 ⇔ x + 2y + 2 = 0
. Tieáp ñieåm B(0, 4) laø : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0 c) Ñöôøng troøn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 coù taâm I(–1, 2) vaø baùn kính R = 1 + 22 − 0 = 5 .Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi Oy laø x = a ± R = −1 ± 5 . Hai tieáp tuyeán naøy khoâng qua M(4, 7) Vaäy phöông trình tieáp tuyeán qua M(4, 7) coù daïng: (Δ) : y – 7 = k(x – 4) ⇔ kx – y + 7 – 4k = 0 (Δ) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) ⇔ d( I , Δ ) = R − k − 2 + 7 − 4k ⇔ = 5 ⇔ 5 − 5k = 5 . k2 +1 k +1 2 1 ⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔k=2 hay k= 2 Vaäy coù 2 tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C) phaùt xuaát töø ñieåm M(4, 7) vôùi phöông trình laø : k=2 ⇒ 2x – y – 1 = 0 1 1 k= ⇒ x – y + 5 = 0. 2 2 Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù AB=AC, 2 BAC = 900 . Bieát M(1,–1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G( ; 0) laø troïng taâm tam giaùc 3 ABC. Tìm toïa ñoä caùc ñænhuuur , B,uuuu A C.r G laø troïng taâm ΔABC ⇔ AG = 2GM ⎧2 2 2 ⎪ − x A = 2(1 − ) = ⎧x A = 0 ⇔ ⎨3 3 3 ⇔ ⎨ ⇔ A (0, 2) ⎪−y A = 2(−1 − 0) = −2 ⎩y A = 2 ⎩ uuuu r PT: BC qua M (1, −1) ⊥ AM = (1, −3): x – 3y – 4 = 0 PT ñ.troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM= 1 + 9 = 10 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10 ⎧x − 3y − 4 = 0 Toïa ñoä B, C thoûa : ⎨ ⎩(x − 1) + (y + 1) = 10 2 2
⎧x = 3y + 4 ⎧x = 4 ⎧x = −2 ⇔⎨ ⇔ ⎨ ∨ ⎨ ⎩(3y + 3) + (y +1) = 10 ⇔ (y +1) = 1 ⎩y = 0 ⎩y = −2 2 2 2 Vaäy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0) Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1 : x – y = 0 vaø d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh. Giaûi A ∈ d1 ⇔ A (m; m). C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox vaø ABCD laø hình vuoâng neân : ⎧m = n ⎧m = 1 A vaø C ñoái xöùng nhau qua Ox ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩m = 2n − 1 ⎩n = 1 Suy ra A(1; 1), C(1; -1). Goïi (C) laø ñöôøng troøn ñöôøng kính AC ⇒ Phöông trình (C) : (x–1)2 +y2=1. B vaø D laø giao ñieåm (C) vaø Ox neân toïa ñoä cuûa B, D ⎧ 2 2 laø nghieäm cuûa heä : ⎨(x − 1) + y = 1 ⎪ ⎪y = 0 ⎩ ⎧x = 0 ∨ x = 2 ⇔ ⎨ . Suy ra B (0; 0), D(2; 0) hay B(2; 0), D(0; 0) ⎩y = 0 Vaäy A(1; 1), B (0; 0), C(1; -1), D(2; 0) hay A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0). Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hai ñieåm A(2; 0), B(6; 4). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5. Giaûi uur ur Goïi I (x; y) laø taâm cuûa (C). Ta coù : (C) tieáp xuùc Ox taïi A ⇒ IA ⊥ i = (1; 0) ⇔ x – 2 = 0 ⇔x=2 IB = 5 ⇔ (x – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (2 – 6)2 + (y – 4)2 = 25 ⇔ (y – 4)2 = 9 ⇔ y – 4 = ±3 ⇔ y = 7 hay y = 1 Tröôøng hôïp 1: I(2; 7) ⇒ R = d(I, Ox) = 7 Suy ra pt (C) : (x – 2)2 + (y – 7)2 = 49 Tröôøng hôïp 2: I (2; 1) ⇒ R = d(I, Ox) = 1 ⇒ pt (C) : (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1. Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn: (C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 1) Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y – 6 = 0. 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).
Giải 1) Phöông trình chuøm ñöôøng troøn qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) laø : m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 + 4x – 2y – 20) = 0 vôùi m2 + n2 > 0 ⇔ (m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0 ⎛ 4n − 10m ⎞ 2n 20n ⇔ x2 + y2 + ⎜ ⎟x − y− =0 ⎝ m+n ⎠ m+n m+n ⎛ 5m − 2n n ⎞ Coù taâm I ⎜ ; ⎟ ⎝ m +n m +n⎠ 5m − 2n + 6n − 6m − 6n Vì taâm I ∈ d : x + 6y – 6 = 0 ⇒ =0 m+n ⇒ m = −2n . Cho n = 1 ⇒ m = −2 Vaäy phöông trình ñöôøng troøn laø :x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0. 2) Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1), (C2). (C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5 ⇒ I1I2 < R1 + R2 (C2) coù taâm I2(−2; 1), baùn kính R2 = 5 Vì (C1), (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm neân coù 2 tieáp tuyeán chung. Vì x = xo khoâng theå laø tieáp tuyeán chung neân pt tt chung Δ coù daïng : y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 ⏐5a + b⏐ Δ tieáp xuùc vôùi (C1) ⇔ d(I1, Δ) = R1 ⇔ =5 a2 + 1 ⇔⏐5a + b⏐ = 5 a 2 + 1 (1) ⏐− 2a − 1 + b⏐ Δ tieáp xuùc vôùi (C2) ⇔ d(I2, Δ) = R2 ⇔ =5 a2 + 1 ⇔ ⏐−2a – 1 + b⏐ = 5 a 2 + 1 (2) (1) vaø (2) ⇒ ⏐5a + b⏐ = ⏐−2a – 1 + b⏐ ⎡ 1 ⎡5a + b = −2a − 1 + b ⎢a = − 7 ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎣5a + b = +2a + 1 − b ⎢ b = −3a + 1 ⎢ ⎣ 2 1 5 + 25 2 5 − 25 2 Theá a = − vaøo (1) ta coù : b1 = ; b2 = 7 7 7 Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø : x + 7y – 5 + 25 2 = 0 x + 7y – 5 − 25 2 = 0. Caùch khaùc: Vì R1 = R2 vaø 2 ñöôøng troøn caét nhau neân 2 tieáp tuyeán chung laø 2 ñöôøng uuuu r thaúng song song vôùi I1I2 = (−7;1) Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán coù daïng : x + 7y+m = 0 (Δ) d(I1, Δ) = 5 ⇔ ⏐5 + m⏐ = 5 7 2 + 1 ⇔ m = – 5 ± 25 2 Vaäy phöông trình 2 tieáp tuyeán laø x + 7y – 5 ± 25 2 = 0. GHI CHUÙ : Baøi ñöôøng troøn trong chöông trình lôùp 12 bao goàm caùc vaán ñeà chính laø : Tìm phöông trình ñöôøng troøn; caùc baøi toaùn lieân quan ñeán vò trí töông ñoái giöõañöôøng thaúng
vaø ñöôøng troøn, giöõa hai ñöôøng troøn; phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn; truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ngoaøi ra coøn coù moät soá caâu hoûi lieân quan ñeán phöông trình x2 + y2 + 2Ax + 2By +C = 0 (1). Chaúng haïn tìm ñieàu kieän ñeå (1) laø phöông trình ñöôøng troøn. Töø phöông trình (1) tìm taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn, tìm tham soá ñeå baùn kính thoaû moät ñieàu kieän naøo ñoù . . . Sau ñaây, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc vaø vaøi öùng duïng truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm. Ñaây laø vaán ñeá caùc em thöôøng “ sôï” khi gaëp phaûi. A/ Caùch tìm phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC : Tröôùc heát caàn löu yù : • Taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng phaân giaùc trong . • Muoán tìm phöông trình ñöôøng troøn ta tìm taâm I (a ; b) vaø baùn kính R. Khi ñoù phöông trình ñöôøng troøn coù daïng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 . • Cho k laø soá thöïc khaùc 1, ta coù : ⎧ x A − kx B ⎪x M = 1 − k ⎪ MA = k MB ⇔ ⎨ (I) ⎪y = y A − ky B ⎪ M ⎩ 1− k 1/ Neáu ñeà baøi cho bieát toïa ñoä A, B, C thì : • Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A A cuûa tam giaùc ABC. AB I Ta coù : DB = − DC AC B D C AB Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = − ta xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä ñieåm D. AC • Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC thì I chính laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong keû töø B cuûa tam giaùc ABD. BA Ta coù : IA = − ID BD BA Söû duïng coâng thöùc (I) vôùi k = − laø xaùc ñònh ñöôïc toïa ñoä taâm I. BD Coøn baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc chính laø khoaûng caùch töø taâm I ñeán moät trong 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC. Chuù yù : Neáu moät trong ba ñænh cuûa tam giaùc truøng vôùi goác toïa ñoä vaø hai ñænh coøn laïi naèm treân hai truïc toïa ñoä thì caùch giaûi ñöôïc thu goïn hôn vì bieát tröôùc ñöôïc 1 ñöôøng phaân giaùc trong keû töø goác toïa ñoä. Ñöôøng phaân giaùc coøn laïi ñöôïc tìm thoâng qua tìm chaân ñöôøng phaân giaùc trong nhö ñaõ trình baøy ôû treân. 2/ Neáu ñeà baøi cho bieát phöông trình 3 caïnh cuûa tam giaùc ABC thì töø phöông trình 3 caïnh ñoù, ta tìm ñöôïc toïa ñoä caùc ñieåm A, B, C baèng caùch giaûi heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm vaø söû duïng caùch giaûi nhö phaàn 1.
Ngoaøi ra coøn coù theå giaûi baèng kieán thöùc mieàn taïo bôûi 1 ñöôøng thaúng vaø khoaûng caùch ñaïi soá töø moät ñieåm ñeán ñöôøng thaúng. B/ Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : 1/ Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm : (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi (C1) vaø (C2) vaø coù phöông trình laø : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0 2/ ÖÙng duïng : Trong chöông trình Hình hoïc lôùp 10 ta ñaõ bieát caùch döïng truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). • Neáu (C1) vaø (C2) caét nhau taïi 2 ñieåm A vaø B thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng thaúng AB. • Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (Tieáp xuùc trong hoaëc tieáp xuùc ngoaøi) thì truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) taïi tieáp ñieåm. • Neáu (C1) vaø (C2) khoâng caét nhau thì veõ theâm ñöôøng troøn (C3) sao cho caét ñöôïc (C1), (C2) vaø coù taâm khoâng naèm treân ñöôøng noái taâm cuûa (C1), (C2). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C3), (C2) vaø (C3). Khi ñoù truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) laø ñöôøng thaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái taâm cuûa (C1) vaø (C2). Baøi toaùn : Cho ñöôøng troøn (C) vaø M laø ñieåm naèm ngoaøi (C). Töø M keû MA vaø MB laø hai tieáp tuyeán cuûa (C) (A vaø B laø hai tieáp ñieåm). Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB. Caùch giaûi : Goïi I laø taâm vaø R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C). (C) Goïi (C’) laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính : A (C’) R’ = MA = IM 2 − R 2 I M Suy ra (C) vaø (C’) caét nhau taïi A vaø B. Do ñoù ñöôøng thaúng AB chính laø truïc ñaúng phöông B cuûa (C) vaø (C’). Qua keát quaû treân ta ghi nhôù ngay 2 keát quaû : • Ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) [Nghóa laø khoâng caàn tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2)]. • Tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi tieáp ñieåm chính laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). Sau ñaây, löu yù theâm 2 baøi toaùn thöôøng gaëp : Baøi 1 : Cho (C1) vaø (C2) ôû ngoaøi nhau. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm M töø ñoù veõ ñöôïc ñeán (C1) vaø (C2) nhöõng ñoaïn tieáp tuyeán baèng nhau. Caùch giaûi : • M Goïi MA vaø MB (nhö hình veõ) laø 2 tieáp tuyeán töø M ñeán (C1) vaø (C2) Ta coù : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 A• •B (C2) (C1)
⇔ PM /(C1 ) = PM /(C2 ) Do ñoù quyõ tích M laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2). Baøi 2 : Tìm tieáp ñieåm M cuûa hai ñöôøng troøn tieáp xuùc nhau (C1) vaø (C2) d Goïi I1 vaø I2 laø taâm cuûa (C1) vaø (C2). Tieáp ñieåm M chính laø giao ñieåm cuûa truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2) vôùi ñöôøng noái taâm I1I2. I1 M I2 (C2) (C1) Ví duï Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho 2 ñöôøng troøn : (C1 ): x2 + y2 = 9 vaø (C2 ): x2 + y2 −2 x − 2 y − 23 = 0 . Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông d cuûa 2 ñöôøng troøn (C1) vaø (C2). Chöùng minh raèng neáu K thuoäc d thì khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa (C1) nhoû hôn khoûang caùch töø K ñeán taâm cuûa ( C2 ). Giải: Ñöôøng troøn ( C1 ) coù taâm O ( 0,0 ) baùn kính R1 = 3 Ñöôøng troøn ( C2 ) coù taâm I (1,1) , baùn kính R 2 = 5 Phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa 2 ñöôøng troøn ( C1 ) , ( C2 ) laø (x 2 ) ( + y 2 − 9 − x 2 + y 2 − 2x − 2y − 23 = 0 ) ⇔ x + y + 7 = 0 (d) Goïi K ( x k ,y k ) ∈ ( d ) ⇔ y k = − x k − 7 2 2 2 OK 2 = ( x k − 0 ) + ( y k − 0 ) = x 2 + y 2 = x 2 + ( −x k − 7 ) = 2x2 + 14x k + 49 k k k k 2 2 2 2 IK 2 = ( x k − 1) + ( y k − 1) = ( x k − 1) + ( − x k − 8) = 2x2 + 14x k + 65 k ( ) ( Ta xeùt IK 2 − OK 2 = 2x 2 + 14x k + 65 − 2x 2 + 14x k + 49 = 16 > 0 k k ) Vaäy IK 2 > OK 2 ⇔ IK > OK(ñpcm)
CHUYEÂN ÑEÀ 5 ELIP Caùc baøi toaùn veà elip chuû yeáu qui veà vieäc vieát phöông trình chính taéc cuûa elip, xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa elip (taâm, ñænh, tieâu cöï, ñoä daøi truïc lôùn, truïc nhoû, tieâu ñieåm…), nhaát laø xaùc ñònh phöông trình cuûa tieáp tuyeán cuøng vôùi toïa ñoä tieáp ñieåm. Trong moïi tröôøng hôïp ta caàn naém vöõng kieán thöùc cô baûn sau ñaây : . Elip (E) coù tieâu ñieåm treân . Elip (E) coù tieâu ñieåm x′ x treân y ′ y Phöông trình x2 y2 x2 y2 (E) : 2 + 2 = 1 (E) : 2 + 2 = 1 chính taéc a b a b a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2 a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2 Tieâu cöï 2c 2c Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Truïc lôùn Treân Ox, daøi 2a Treân Oy, daøi 2b Truïc nhoû Treân Oy, daøi 2b Treân Ox, daøi 2a Ñænh treân truïc lôùn A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Ñænh treân truïc nhoû B1(0, –b), B2(0, b) B1(–a, 0), B2(a, 0) c c Taâm sai e= e= a b Baùn kính qua tieâu ⎧r1 = F1M = a + ex M ⎧r1 = F1M = b + ey M Ñieåm cuûa M ∈ (E) ⎨ ⎨ ⎩r 2 = F2 M = a − ex M ⎩r 2 = F2 M = b − ey M Ñöôøng chuaån a b Δ1,2 : x = ± Δ1,2 : y = ± e e * Ghi chuù :