Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án tập trung vào bài toán điều khiển cho một số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Mục tiêu chính là thiết lập các hàm điều khiển để nghiệm của bài toán thỏa mãn một số tính chất cho trước thông qua việc nghiên cứu các bài toán (P1), (P2) và (P3). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA PHÂN THỨ TRÊN KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thi Kim Sơn TS. Nguyễn Như Thắng Phản biện 1: GS.TS. Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS. Đỗ Đức Thuận - Đại Học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Văn Tuyên - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trên thực tế, nhiều quá trình vật lý xảy ra trong tự nhiên và kĩ thuật chứa đựng các đại lượng không chắc chắn. Chúng ta có thể kể đến như lượng nhiên liệu đầu vào của máy móc, các quá trình kĩ thuật như xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào của các máy điện tử. Do đó, khi thực hiện mô hình hóa các quá trình này để phục vụ cho việc nghiên cứu, các đại lượng không chắc chắn đóng một vai trò quan trọng. Điều này đã được các kĩ sư và các nhà khoa học công nhận. Một số lý thuyết không chắc chắn đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn có thể kể đến là lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập và gần đây là lý thuyết neutrosophic. Giải tích mờ là một nhánh của toán học ứng dụng, được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh và tín hiệu, kĩ thuật y sinh... Giải tích mờ bắt đầu từ những khái niệm cơ bản về tập mờ, được đưa ra bởi Zadeh vào năm 1960. Mặc dù vậy, phải đến những năm 1970, lý thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó mới thực sự đi vào cuộc sống. Và đến nay, lý thuyết mờ đã phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng ghi nhận. Ý tưởng nghiên cứu phương trình vi phân mờ phân thứ được trình bày lần đầu tiên vào năm 2010. Ở đó, các định nghĩa về đạo hàm phân thứ cổ điển, cụ thể là đạo hàm Riemann-Liouville, Caputo, Modified- Riemann-Liouville , Caputo-Fabrizio cho các hàm số mờ đã được đề cập. Đạo hàm mờ phân thứ Riemann-Liouville theo đạo hàm H và sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho một lớp FFDE có trễ được trình bày năm 2010. Năm 2011, đạo hàm phân thứ mờ Riemann-Liouville theo của đạo hàm Seikkala đã được đề xuất. Cùng với đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho FFDE với các điều kiện ban đầu mờ theo đạo hàm này đã được đề cập. Trong năm 2012, phương trình vi phân phân thứ mờ dưới khái niệm về đạo hàm Caputo kết hợp với đạo hàm SGH đã được nghiên cứu với hai loại biểu diễn khác nhau. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho FFDE theo đạo hàm phân thứ như vậy được trình bày cho thấy rằng một FFDE của bậc β ∈ (0; 1), trong một số điều kiện, có thể có hai loại nghiệm tương ứng với dạng thứ nhất và dạng thứ hai của đạo hàm Caputo loại H. FFDE theo khái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Fabrizio kết hợp với đạo hàm SGH (đạo hàm Caputo Fabrizio SGH) đã được nghiên cứu vào năm 2018. Bằng cách kết hợp đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo với đạo hàm gr ta nhận được đạo hàm phân thứ gr Riemann-Liouville và gr Caputo. Đạo hàm phân thứ Caputo tổng quát, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và đạo hàm phân số Caputo-Katugampola được giới thiệu với nhiều ứng dụng khác nhau. Gần đây, khái niệm mới về đạo hàm phân thứ granular có ứng dụng cho FFDE đã được Najariyan và Zhao thiết lập. Đạo hàm phân thứ mờ granular dựa trên các hàm liên thuộc và hiệu granular có một số ưu điểm so với các đạo hàm trước đó vì nó có thể được tính toán trực tiếp thông qua phép biến đổi ngược của các tập mức. Ứng dụng mở rộng của đạo hàm phân thứ granular cho bài phương trình tuyến tính bậc hai cũng đã được xây dựng. Tính ổn định, khả năng điều khiển, khả năng quan sát có thể được coi là một số đặc điểm vốn có của hệ động lực. Liên quan đến hệ động lực mờ, khả năng điều khiển trong không gian vectơ mờ n chiều đối với phương trình vi phân mờ nửa tuyến tính (FDE) đã được chứng minh bởi Kwun và Park (2010). Nghiên cứu về khả năng kiểm soát với các điều kiện không địa phương của phương trình vi, tích phân mờ nửa tuyến tính đã được thực hiện bởi Park và các cộng sự (2009). Nghiên cứu về tính ổn 1
định và khả năng điều khiển được của phương trình vi phân tập cũng đã được nghiên cứu bởi Phu và công sự (2011). Năm 2018, Najariyan đã đưa ra khái niệm về khả năng điều khiển gần đúng cho bài toán không địa phương đối với các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Trong công trình gần đây, Jeong và các cộng sự đã trình bày một kết về khả năng điều khiển chính xác đối với các phương trình vi phân mờ bằng cách sử dụng các nghiệm cực trị. Tính điều khiển được hoàn toàn của một lớp phương trình tiến hóa phân thứ mờ cũng đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng hầu hết các kết quả này hoặc có một số khó khăn về kỹ thuật hoặc đòi hỏi các giả thiết nghiêm ngặt vì thiếu các công cụ phân tích mờ và có rất ít công việc được thực hiện trong lĩnh vực điều khiển được của các phương trình vi phân mờ như vậy. Bằng cách sử dụng bao hàm vi phân, P. Diamond đã nghiên cứu tính ổn định Lyapunov của phương trình vi phân mờ và tính tuần hoàn của tập nghiệm mờ. Tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng cho phương trình tiến hóa mờ và các tính chất ổn định của nghiệm mờ tầm thường có nhiễu đã được nghiên cứu theo khái niệm đạo hàm Hukuhara. Sử dụng tổng quát hóa của định lý Kharitonov, tính ổn định của hệ động lực học tuyến tính mờ đã được nghiên cứu. Tính ổn định của các phương trình vi phân mờ theo khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát cũng đã được đề cập. Gần đây, Najariyan (2020) đã nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân mờ theo đạo hàm granular. . Không gian các số mờ tương quan tuyến tính là một không gian mới được nghiên cứu. Nó được xây dựng bằng cách cố định một số mờ A bất kì. Sử dụng một ánh xạ phụ thuộc tuyến tính ψA : R2 → RF (A) , ta nhận được các toán tử có dạng qA + r trong đó (q, r) ∈ R2 . Điều thú vị là RF (A) có thể được nhúng vào RF như một không gian con tuyến tính hoàn chỉnh khi A là số mờ không đối xứng. Tuy nhiên, RF (A) không thể trở thành một không gian tuyến tính khi A là một số mờ đối xứng. Điều này có nghĩa là cấu trúc đại số của không gian RF (A) phụ thuộc vào tính đối xứng của số mờ A. Điểm đặc biệt của không gian RF (A) trong trường hợp A là số mờ không đối xứng cũng cho phép ta có thể chuyển đổi một cách tương ứng một phương trình trong không gian các số mờ về một hệ phương trình tương ứng trong không gian các số thực. Khó khăn lớn nhất gặp phải khi làm việc với không gian RF (A) xảy ra trong trường hợp A là số mờ đối xứng. Những phân tích trên đây là lý do để tác giả chọn đề tài luận án là “Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa có chứa đại lượng không chắc chắn”. Chúng tôi nghiên cứu các vấn đề sau (P1) Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo  C Dp x(t) = f (t, x(t)), ˆ ˆ t ∈ I = [0, b] F 0+ ˆ (1) x(0) ˆ = x0 , ˆ (P2) Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo  C Dp x(t) = g (t, x(t)), t ∈ I = [0, b], LC 0+ ˆ ˆ ˆ (2) x(0) ˆ = x0 , ˆ (P3) Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo  C Dp x(t) = Bx(t) ⊕ f (t, x(t)) ⊕ Eu(t), ˆ ˆ t ∈ I = [0, b], F 0+ ˆ ˆ A A (3) x(0) = x0 , ˆ ˆ (P4) Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo  C Dp x(t) = a ⊙ x(t) ⊕ f (t, x(t)), ˆ ˆ t ∈ I = [0, ∞) LC 0+ ˆ A ˆ A (4) x(0) = x0 . ˆ ˆ 2
2. Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung vào bài toán điều khiển cho một số lớp phương trình tiến hóa mờ phân thứ. Mục tiêu chính là thiết lập các hàm điều khiển để nghiệm của bài toán thỏa mãn một số tính chất cho trước thông qua việc nghiên cứu các bài toán (P1), (P2) và (P3), cụ thể như sau: (i) Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo của các hàm nhận giá trị mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa và các tính chất của hai loại đạo hàm này. (ii) Các điều kiện để đảm bảo cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính có một nghiệm và có ít nhất một nghiệm. (iii) Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo trong không gian các số mờ tương quan tuyến tính. (iv) Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo . 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phép toán và tính chất trong giải tích thực, giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động thường (nguyên lý ánh xạ co, định lý điểm bất động Arzela-Ascoli, định lý điểm bất động Karanoselski,...) Sử dụng lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, phép biến đổi Laplace, hàm Mittag-Leffler. Lý thuyết giải tích mờ, giải tích mờ phân thứ. Sử dụng các kiến thức về bài toán điều khiển. 4. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau: Chương 1. Sơ lược về không gian các số mờ tương quan tuyến tính RF (A) . Chương 2.Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ . Chương 3. Bài toán điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet- Caputo. Chương 4. Bài toán ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. 3
Chương 1 SƠ LƯỢC KHÔNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH RF(A) Trong chương này, không gian các số mờ RF được trình bày trong mục 1.1 Các kiến thức này được trích dẫn từ tài liệu của Bede, Lakshmikantham và Mohapatra. Để chuẩn bị cơ sở toán học ở Chương 3 và Chương 4, lý thuyết về không gian các số mờ tương quan tuyến tính bao gồm cách xây dựng, các phép toán của các số mờ tương quan tuyến tính, các metric đã được trình bày trong Mục 1.2. Ngoài ra, các phép tính tích phân, đạo hàm bậc nguyên của các hàm mờ tương quan tuyến tính bao gồm định nghĩa và các tính chất cũng được thể hiện trong Mục 1.3. Đây là nền tảng quan trọng để chúng tôi mở rộng nghiên cứu sang các toán tử và hệ động lực trên không gian này ở các chương tiếp theo. 1.1 Không gian các số mờ RF 1.2 Không gian các số mờ tương quan tuyến tính RF(A) 1.2.1 Không gian Rnsy F(A) 1.2.2 Không gian Rsy F(A) 1.3 Hàm mờ tương quan tuyến tính 1.3.1 Khái niệm và ví dụ 1.3.2 Đạo hàm của các hàm mờ tương quan tuyến tính 1.3.3 Tích phân của hàm mờ tương quan tuyến tính 4
Chương 2 TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA MỜ PHÂN THỨ Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu định nghĩa đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo (Định nghĩa 2.1) và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo (Định nghĩa 2.6, Định nghĩa 2.7). Chúng tôi cũng chứng minh một số tính chất liên quan đến hai loại đạo hàm phân thứ này (Mệnh đề 2.1, Bổ đề 2.1, Bổ đề 2.2). Từ đó, chúng tôi nghiên cứu tính tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho hai phương trình tiến hóa trong không gian mờ tương quan tuyến tính theo đạo hàm Fréchet Caputo và đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo. Định lý điểm bất động được sử dụng thích hợp để chỉ ra tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các lớp phương trình đã đưa ra (Định lý 2.2, Định lý 2.3, Định lý 2.4, Định lý 2.5). Các nội dung này được trình bày dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục công trình khoa học của các giả liên quan đến luận án. 2.1 Đạo hàm phân thứ của các hàm nhận giá trị mờ tương quan tuyến tính 2.1.1 Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo Định nghĩa 2.1. Cho A ∈ Rnsy với f (t) = q(t)A+r(t). Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1] F ˆ ˆ của f (t) được biểu diễn tuyến tính theo tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0, 1] của hàm q(t) và r(t). Cụ thể ta xác định RL p ˆ p p F I0+ f (t) = ψA I0+ q(t), I0+ r(t) , t ∈ J. Định lý 2.1. Cho A1 , A2 ∈ RF với tập mức [A1 ]α = [a− , a+ ], [A2 ]α = [a− , a+ ]. Giả sử rằng tồn tại 1α 1α 2α 2α qi , ri ∈ C(J, R), i = 1, 2, thỏa mãn f (t) = ψA1 (q1 (t), r1 (t)) = ψA2 (q2 (t), r2 (t)) với mọi t ∈ J và q1 , q2 không đổi dấu trên J. Khi đó, ∀t ∈ J, ta có đẳng thức sau p p p p ψA1 (I0+ q1 (t), I0+ r1 (t)) = ψA2 (I0+ q2 (t), I0+ r2 (t)). (2.1) Định nghĩa 2.2. Cho A ∈ Rsy và f : J → Rsy(A) với f (t) = ψA (q(t), r(t)). Nếu tồn tại q(t) không đổi F ˆ F ˆ ˆ dấu trên J thì tích phân Riemann-Liouville phân thứ bậc p ∈ (0, 1] của f (t) được xác định bởi RL p ˆ p p F I0+ f (t) = ψA I0+ q(t), I0+ r(t) , t ∈ J. Định nghĩa 2.3. Cho A ∈ Rnsy và f : J → Rnsy và q, r : J → R sao cho f (t) = ψA (q(t), r(t)) với mỗi F ˆ F (A) ˆ t ∈ J. Với p ∈ (0, 1], đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p của hàm số f được xác định theo công thức C p ˆ p ˆ ′ 1−p ′ 1−p ′ F D0+ f (t) = RL I0+ fF (t) = ψA I0+ q (t), I0+ r (t) , t ∈ J F (2.2) 5
ˆ Trong trường hợp A là số mờ đối xứng, f (t) được biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) và q ′ (·) không đổi ˆ dấu trên J, ta định nghĩa đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p của hàm số f theo công thức (2.2). Mệnh đề 2.1. Cho A ∈ Rnsy và f : J → Rnsy khả vi Fréchet. Khi đó F ˆ F (A) t RL p C p ˆ ˆ′ F I0+ F D0+ f (t) = fF (s)ds. 0 2.1.2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo Định nghĩa 2.4. Cho f : J → Rnsy với f (t) được biểu diễn tuyến tính qua q(t), r(t) với q, r : J → R. ˆ F (A) ˆ ˆ Khi đó tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc p ∈ (0, 1] của f (t) xác định theo công thức RL p ˆ p p LC I0+ f (t) = ψA (I0+ q(t), I0+ r(t)). Định nghĩa 2.5. Cho f : J → Rsy(A) với biểu diễn chuẩn f (t) = ψA ([q(t), r(t)]≡A ) trong đó ψA ([q(t), r(t)]≡A ) ˆ F ˆ ˆ ˆ được định nghĩa trong Định nghĩa ?? thì tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc ˆ p ∈ (0, 1] của f (t) xác định theo công thức RL p ˆ ˆ p p LC I0+ f (t) = ψA ([I0+ q(t), I0+ r(t)]≡A ). Định nghĩa 2.6. Cho f : J → Rnsy với f (t) = q(t)A + r(t), q, r : J → R. Đạo hàm tương quan tuyến ˆ F (A) ˆ ˆ tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] của f (t) xác định theo công thức C p ˆ p p LC D0+ f (t) = ψA (D0+ q(t), D0+ r(t)). Định nghĩa 2.7. Cho f : J → Rsy(A) với biểu diễn chuẩn ψA ([q(t), r(t)]≡A ). Khi đó, đạo hàm tương ˆ F ˆ ˆ quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1] của f (t) được xác định bởi C p ˆ p ˆ ′ LC D0+ f (t) = RL I0+ fLC (t) F p p = ψA (D0+ q(t), D0+ r(t)).  Dp q(t), q ′ (t) ≥ 0 ∀ t ∈ J, p 0+ trong đó |D0+ q(t)| = −Dp+ q(t), q ′ (t) < 0 ∀ t ∈ J,  0 Dp r(t), q ′ (t) ≥ 0 ∀ t ∈ J, p 0+ và D0+ rc (t) = 2Dp+ q(t)x∗ + Dp+ r(t), q ′ (t) < 0 ∀ t ∈ J. 0 0 Bổ đề 2.1. Cho f , g , h : J → Rnsy . Ta có các tính chất sau: ˆˆ ˆ F (A) ˆ ˆ (i) nếu f (t) ⊕A g (t) = h(t) thì ˆ C D p f (t) ˆ p p ˆ ⊕A C D0+ g (t) = C D0+ h(t), ˆ LC 0+ LC LC ˆ ˆ (ii) nếu f (t) ⊟A g (t) = h(t) thì ˆ C D p f (t) ˆ p p ˆ ⊟A C D0+ g (t) = C D0+ h(t). ˆ LC 0+ LC LC Bổ đề 2.2. Cho f , g , h : J → Rsy(A) với biểu diễn chuẩn f (t) = ψA ([qf (t), rf (t)]≡A ), g (t) = ψA ([qg (t), rg (t)]≡A ), h(t) = ˆˆ ˆ F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψA ([qˆ (t), rˆ (t)]≡ ) với q ˆ, r ˆ, qg , rg ˆ ˆ h h A f f qh , rh là hàm thực trên J và hàm qf , qg cùng tính đơn điệu. Khi đó, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (i) nếu f (t)⊕A g (t) = h(t) thì C D p f (t)⊕ C D p g (t) ˆ ˆA p ˆ = C D0+ h(t), LC 0+ LC 0+ ˆ LC ˆ ˆ ˆ ˆ (ii) nếu f (t)⊟A g (t) = h(t) thì C D p f (t)⊟ C D p g (t) ˆ ˆA p ˆ = C D0+ h(t). LC 0+ LC 0+ ˆ LC ˆ Mệnh đề 2.2. Cho A ∈ RF và f : J → RF (A) khả vi tương quan tuyến tính. Khi đó t RL p C p ˆ ˆ′ LC I0+ LC D0+ f (t) = fLC (s)ds. 0 6
2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 2.2.1 Đặt bài toán Xét bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo như sau  C Dp x(t) = f (t, x(t)), ˆ ˆ t ∈ I = [0, b] F 0+ ˆ (2.3) x(0) ˆ = x0 , ˆ p trong đó C D0+ x(·) là đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0, 1] của hàm x(·), x0 ∈ RF (A) với A số F ˆ ˆ ˆ mờ không đối xứng và hàm số f ˆ : I × C I, Rnsy →R nsy là liên tục. F (A) F (A) Bổ đề 2.3. Nếu x ∈ C I, Rnsy ˆ F (A) thỏa mãn hệ (2.3) thì nó thỏa mãn phương trình p ˆ x(t) = x0 ⊕A RL I0+ f (t, x(t)), ˆ ˆ F ˆ t ∈ J. (2.4) Định nghĩa 2.8. Nếu x ∈ C I, Rnsy ˆ F (A) thỏa mãn phương trình tích phân (2.4) thì ta gọi x là nghiệm ˆ tích phân của bài toán (2.3). 2.2.2 Tính giải được của bài toán Tiếp theo, chúng tôi đưa ra các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm tích phân của bài toán Cauchy (2.3). Trước hết, ta xác định metric supremum ρ và metric yếu dm trên C I, Rnsy F (A) như sau: ρ(β, γ(s) = sup dψA (β(s), γ(s)), s∈I dm (β, γ) = sup {sm dψA (β(s), γ(s))} , s∈I trong đó β, γ ∈ C(I, Rnsy ). F (A) Định lý 2.2. Giả sử rằng hàm mờ f ∈ C(I, Rnsy ) và tồn tại L ∈ R+ sao cho ˆ F (A) ˆ ˆ ˆ ˆ dψA (f (t, x(t)), f (t, y (t))) ≤ LdψA (ˆ(t), y (t)) ∀ˆ, y ∈ C I, RF (A) x ˆ x ˆ và t ∈ I. Khi đó, bài toán (2.3) có một nghiệm tích phân trên C I, RF (A) . Ví dụ 2.4. Xét phương trình vi phân phân thứ sau  C Dp x(t) = τ (t) ⊙ x(t) ⊕ η(t), t ∈ [0, 5], F 0+ ˆ A ˆ A (2.5) x(0) ˆ =A F p trong đó C D0+ x kí hiệu cho đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0, 1], A ∈ Rnsy và τ, η : [0, 5] → R ˆ F là khả vi trên [0, 5]. Nhận xét rằng vế phải τ (t)⊙A x(t)+η(t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz L = max τ (t). ˆ [0,5] Vì x(t) ∈ RF (A) nên tồn tại cặp (qx (t), rx (t)) ∈ R2 để x(t) = Aqx (t) + rx (t) với t ∈ [0, 5]. Do đó, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(t, x(t)) có biểu diễn f ˆ ˆ ˆ f (t, x(t)) = τ (t) (Aqx (t) + rx (t)) + η(t) ˆ ˆ 7
= Aτ (t)qx (t) + τ (t)rx (t) + η(t). ˆ ˆ Kí hiệu qf (t) = τ (t)qx (t), ˆ ˆ rf (t) = τ (t)rx (t) + η(t). ˆ ˆ Với t ∈ [0, 5] và u ∈ C [0, 5], Rnsy ,ta có F (A) ˆ ˆ ˆ ˆ dψA f (t, x(t)), f (t, y (t)) = |τ (t)qx (t) − τ (t)qy (t)| + |τ (t)rx (t) − τ (t)ry (t)| ˆ ˆ ˆ ˆ ≤ max τ (t) (|qx (t) − qy (t)| + |rx (t) − ry (t)|) ˆ ˆ ˆ ˆ t∈[0,5] ≤ max τ (t)dψA (ˆ(t), y (t)). x ˆ t∈[0,5] Áp dụng Định lý 2.2, bài toán (2.5) có duy nhất nghiệm tích phân trên [0, 5]. 2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 2.3.1 Đặt bài toán Xét phương trình tiến hóa phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo như sau:  C Dp x(t) = g (t, x(t)), t ∈ I = [0, b], LC 0+ ˆ ˆ ˆ (2.6) x(0) ˆ = x0 , ˆ p ˆ trong đó C D0+ f (t) là đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1], u0 ∈ RF (A) với A là số LC ˆ mờ không đối xứng và f ∈ C(I, RF (A) ). Bổ đề 2.4. Nếu x ∈ C I, Rnsy ˆ F (A) thỏa mãn hệ (2.6) thì x thỏa mãn phương trình tích phân sau: ˆ p x(t) = x0 ⊕A RL I0+ g (t, x(t)), ˆ ˆ LC ˆ ˆ t ∈ I. (2.7) Định nghĩa 2.9. Nếu x ∈ C I, Rnsy ˆ F (A) thỏa mãn phương trình tích phân (2.7) thì ta gọi x là nghiệm ˆ tích phân của bài toán (2.6). 2.3.2 Tính giải được Trong phần này, chúng tôi đưa ra các điều kiện để đảm bảo sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán Cauchy (2.6). Nhắc lại rằng, trong phần này sử dụng đến metric supremum ρ và metric yếu dm . Định lý 2.3. Nếu tồn tại L ∈ R+ sao cho dψA (ˆ(t, x1 (t)), g (t, x2 (t))) ≤ LdψA (ˆ1 (t), x2 (t)), g ˆ ˆ ˆ x ˆ t∈I với mọi x1 , x2 ∈ C I, Rnsy ˆ ˆ F (A) thì bài toán (2.6) có duy nhất một nghiệm tích phân trên C(I, Rnsy ). F (A) 8
Chương 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA MỜ PHÂN THỨ THEO ĐẠO HÀM FRÉCHET CAPUTO Trong chương này, chúng tôi xem xét phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo có dạng  C Dp x(t) = B x(t) ⊕ f (t, x(t)) ⊕ Eu(t), ˆ ˆ F 0+ ˆ ˆ A A t ∈ I = [0, b], (3.1) x(0) = x0 , ˆ ˆ trong đó C D p x(t) là đạo hàm Fréchet Caputo của toán tử x : I → Rnsy , F 0+ ˆ ˆ F (A) toán tử B sinh ra nửa nhóm C0 − { T(t)}t≥0 trên không gian Rnsy , F (A) điều khiển đầu vào u ∈ L1 I, Rnsy , F (A) toán tử tuyến tính E và f : I × Rnsy → Rnsy thỏa mãn một số điều kiện sẽ được liệt kê sau. ˆ F (A) F (A) Chúng tôi đã xây dựng công thức nghiệm cho bài toán (3.1) (Bổ đề 3.1) và nghiên cứu bài toán điều khiển được hoàn toàn với biến điều khiển là duy nhất và không duy nhất (Định lý 3.1, Định lý 3.2). Để làm được điều này, khái niệm cũng như tính chất của phép biến đổi Laplace của một hàm mờ tương quan tuyến tính trong Rnsy (Mục 3.1) và lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh trên Rnsy , F (A) F (A) (Mục 3.2) đã được nghiên cứu. Nội dung chương này được trích từ bài báo số 2 trong danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 3.1 Biến đổi Laplace của các hàm nhận giá trị trong không gian các số mờ tương quan tuyến tính Định nghĩa 3.1. Cho f : [0, +∞) → Rnsy . Giả sử hàm số f (t) được cho bởi f (t) = ψA (q(t), r(t)), t ∈ J, ˆ F (A) ˆ ˆ ˆ trong đó q(.), r(.) ∈ C(I, R). Khi đó, biến đổi Laplace của hàm tương quan tuyến tinh f (t) được xác định bởi là biến đổi Laplace của hàm thực q, r : [0, +∞) → R tương ứng. Mệnh đề 3.1. Cho f : [0, +∞) → Rnsy , f (t) = ψA (q(t), r(t)) với t ∈ [0, +∞), trong đó q, r : ˆ F (A) ˆ ˆ′ ˆ [0, +∞) → R, s ∈ R. Giả sử rằng f (.) là đạo hàm Fréchet của hàm f . Khi đó, ˆ′ ˆ ˆ L[f (t)](s) = sL[f (t)](s) ⊖A f (0). 9
Mệnh đề 3.2. Cho f , g ∈ C([0, +∞), Rnsy ). Giả sử rằng c1 , c2 là các hằng số, khi đó, ˆˆ F (A) ˆ ˆ L[c1 ⊙A f (t) ⊖A c2 ⊙A g (t)](s) = c1 ⊙A L[f (t)](s) ⊕A c2 ⊙A L[ˆ(t)](s), s ∈ R. ˆ g Nhận xét 3.1. Cho f ∈ C([0, +∞), Rnsy ). Khi đó, ˆ F (A) ˆ ˆ L[λ ⊙A f (t)](s) = λ ⊙A L[f (t)](s) với λ ≥ 0, s ∈ R. 3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian các số mờ tương quan tuyến tính Định nghĩa 3.2. Ánh xạ T : Rnsy → Rnsy được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu F (A) F (A) (i) T(ˆ1 ⊕A u2 ) = T(ˆ1 ) ⊕A T(ˆ2 ) và T(λ ⊙A u1 ) = λ ⊙A T(ˆ1 ) với mọi u1 , u2 ∈ Rnsy và λ ∈ R. u ˆ u u ˆ u ˆ ˆ F (A) (ii) Tồn tại K > 0 sao cho dψA ( T(ˆ1 ), ˆ ≤ KdψA (ˆ1 , ˆ với mọi u1 ∈ Rnsy . u 0) u 0) ˆ F (A) Định nghĩa 3.3. Với mỗi toán tử bị chặn T : Rnsy → Rnsy , kí hiệu F (A) F (A) ∥ T∥op := sup{dψA ( T(ˆ), ˆ u ∈ Rnsy , dψA (ˆ, ˆ ≤ 1}. u 0)|ˆ F (A) u 0) Khi đó, ta có (i) dψA ( T(ˆ), ˆ ≤ ∥ T∥op dψA (ˆ, ˆ với mọi u ∈ Rnsy . u 0) u 0) ˆ F (A) (ii) dψA ( T(ˆ1 ), T(ˆ2 )) ≤ ∥ T∥op dψA (ˆ1 , u2 ) với mọi u1 , u2 ∈ Rnsy . u u u ˆ ˆ ˆ F (A) Định nghĩa 3.4. Một họ toán tử tuyến tính bị chặn { T(t)}t≥0 trong không gian Rnsy được gọi là nửa F (A) nhóm liên tục mạnh (hoặc nửa nhóm C0 ) trên Rnsy nếu họ { T(t)}t≥0 thỏa mãn các tính chất sau: F (A) (i) T(0) = IdA , trong đó IdA là ánh xạ đồng nhất Rnsy , F (A) (ii) T(t1 + t2 ) = T(t1 ) T(t2 ) ∀t1 , t2 ≥ 0. (iii) ∀ˆ ∈ Rnsy , ánh xạ quỹ đạo ξx : [0, ∞) → Rnsy , cho bởi ξx (t) = T(t)ˆ liên tục. x F (A) ˆ F (A) ˆ x Định nghĩa 3.5. Một nửa nhóm C0 -{ T(t)}t≥0 trên Rnsy là nửa nhóm co khi F (A) ∥ T(t)∥op ≤ 1, t ≥ 0. Mệnh đề 3.3. Nếu {T (t)}t≥0 là nửa nhóm C0 trên Rnsy thì F (A) lim ∥ T(t) ⊖A IdA ∥op = 0. t→0 Với p ∈ (0, 1) và t ∈ [0, ∞), z ∈ RF (A) , toán tử S (t) và T (t) xác định trên (0, ∞) như sau: p p ∞ ∞ Sp (t)z = ϕp (θ) T(tp θ)zdθ, T (t)z = p p θϕp (θ) T(tp θ)zdθ. 0 0 trong đó, ∞ 1 Γ(np + 1) ψp (θ) = (−1)n−1 θ−pn−1 sin(nπp), θ ∈ [0; +∞), π n! n=1 1 −1− p 1 −1 ϕp (θ) = θ ψp (θ p ), θ ∈ (0; +∞), n ∈ N. p 10
Mệnh đề 3.4. Với mỗi t ≥ 0, hàm S (.) và T (.), các tính chất sau được thỏa mãn . p p (i) S (.) và T (.) là ánh xạ tuyến tính bị chặn trên Rnsy , cụ thể là với mọi x ∈ Rnsy , ta có p p F (A) ˆ F (A) pK1 ∥S (t)ˆ∥A ≤ K1 ∥ˆ∥A và ∥ T (t)ˆ∥A ≤ p x x p x ∥ˆ∥A , x Γ(p + 1) (ii) Họ toán tử S (.)ˆ và T (t)(.)ˆ liên tục trên [0; ∞) với mọi x ∈ Rnsy . p x p x ˆ F (A) Định nghĩa 3.6. Định nghĩa toán tử 1 Bx := lim+ ˆ ⊙A ( T(θ)ˆ ⊖A x), x ˆ x ∈ D( B). ˆ θ→0 θ trên miền D( B) := {ˆ ∈ Rnsy : ξx khả vi Fréchet tại 0+ }. x F (A) ˆ ( B, D( B)) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 . Định nghĩa 3.7. Lấy ( B, D( B)) là phần tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 trên Rnsy . F (A) Với λ ∈ C, x ∈ D( B), ta kí hiệu ˆ Mλ x = λ ⊙A x ⊖A Bx, ˆ ˆ ˆ ρ( B) := {λ ∈ C : Mλ là song ánh và M−1 là ánh xạ tuyến tính liên tục}. λ Khi đó, với mọi λ ∈ ρ( B), toán tử giải R(λ, B) := M−1 là ánh xạ tuyến tính liên tục. λ 3.3 Tính điều khiển được cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 3.3.1 Công thức biểu diễn nghiệm Bổ đề 3.1. Giả sử rằng hàm số x : I × Rnsy → Rnsy là khả vi trên I và thỏa mãn bài toán (3.1). ˆ F (A) F (A) Khi đó, với mỗi t ∈ I, ta có t x(t) = S (t)ˆ0 ⊕A ˆ p x p ˆ ˆ (t − ς)p−1 T (t − ς)(f (ς, x(ς)) ⊕A Eu(ς))dς, 0 ≤ t ≤ b. (3.2) 0 Định nghĩa 3.8. x : I × C I, Rnsy ˆ nsy F (A) → RF (A) thỏa mãn phương trình tích phân (3.2) được gọi là một nghiệm tích phân mờ của bài toán (3.1). 3.3.2 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điểu khiển là duy nhất Ta kí hiệu Θ : I → Rnsy sao cho Θ(t) = ˆ với mọi t ∈ I. Xét các giả thiết (B), (F1), (F2), (C), (P) F (A) 0 như sau (B) Toán tử B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh { T(t)}t≥0 trong không gian Rnsy . Do đó tồn tại K1 F (A) sao cho ∥ T(t)∥op ≤ K1 . (F1) Với mỗi t ∈ I, ánh xạ f (t, ·) : C(I, Rnsy ) → Rnsy là liên tục, f (t, Θ) = ˆ và với mỗi x ∈ Rnsy , ˆ F (A) F (A) ˆ 0 ˆ F (A) ˆ(., x) : I → R nsy ánh xạ f ˆ F (A) là đo được mạnh. 11
(F2) Với x, x ∈ Br := {ˆ ∈ C(I, Rnsy ) : ρ(ˆ, Θ) ≤ r} với r > 0 tồn tại hằng số af > 0 để ˆ x F (A) x ˆ ˆ ˆ ˆ dψA (f (t, x(t)), f (t, x(t))) ≤ af dψA (ˆ, x). ˆ x (C) ∥E∥op ≤ K2 với K2 > 0. (P) Toán tử Π : L1 I, Rnsy nsy F (A) → RF (A) được cho bởi b Π(u) = (b − ς)p−1 ⊙A T (b − ς)Eu(ς)dς, p 0 có ánh xạ ngược và tồn tại K3 sao cho ∥Π−1 ∥op ≤ K3 với mọi u ∈ L1 I, Rnsy . F (A) Định nghĩa 3.9. Bài toán (3.1) điều khiển được hoàn toàn trên I nếu với mỗi trạng thái ban đầu x0 ˆ và trạng thái cuối cùng x1 , tồn tại một điều khiển đầu vào u ∈ L ˆ 1 I, Rnsy F (A) sao cho x(b) = x1 , trong ˆ ˆ đó x(·) là một nghiệm tích phân của (3.1). ˆ Ta định nghĩa toán tử P : C(I, Rnsy ) → C(I, Rnsy ) bởi F (A) F (A) t P[ˆ](t) = Sp (t)ˆ0 ⊕A x x p ˆ ˆ (t − ς)p−1 T (t − ς)f (ς, x(ς))dς 0 t ⊕A (t − ς)p−1 T (t − ς)Eux (ς)dς, p 0 trong đó điều khiển đầu vào ux (.) được cho bởi ˆ b ux (t) = Π−1 x1 ⊖A ˆ ˆ Sp (b)ˆ0 ⊕A x p ˆ ˆ (b − ς)p−1 T (b − ς)f (ς, x(ς))dς (t) . 0 Định lý 3.1. Nếu điều kiện (B), (F1), (F2), (C), (P) được thỏa mãn thì bài toán (3.1) điều khiển được hoàn toàn trên I miễn là K1 bp af ˆ (1 + ξ) ≤ 1 (3.3) Γ(p + 1) K1 K2 K3 bp với ξ = Hơn nữa, điều khiển đầu vào là duy nhất. Γ(p + 1) 3.3.3 Tính điều khiển được hoàn toàn với biến điểu khiển không duy nhất Trong Định lý 3.1, ta sử dụng định lý điểm bất động trong không gian Banach để chứng minh có duy nhất hàm điều khiển u để bài toán ban đầu điều khiển được hoàn toàn. Tuy nhiên, trên thực tế, bài toán không nhất thiết cần hàm điều khiển là duy nhất. Thay điều kiện Lipschitz cả vế phải bằng điều ˆ khiển nửa tuyến tính của f ,ta nhận được phương trình đã cho điều khiển được hoàn toàn. Tuy nhiên, biến điều khiển là không duy nhất. Ta xem xét giả thiết (F3), (F4) như sau: 1 (F3) Tồn tại p ∈ (0, p) và gf (·) ∈ L p (I, R+ ) sao cho ˆ ˆ ˆ ˆ dψA (f (t, x(t)), f (t, x(t))) ≤ gf (t)ρ(ˆ, x), ˆ x với mọi x, x ∈ C(I, Rnsy ) và t ∈ I. ˆ F (A) 12
1 (F4) Với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Rnsy , tồn tại p ∈ (0, p) và X : I×I → R+ sao cho X(t, ·) ∈ L p ([0, t), R+ ) F (A) và p−1 ˆ 1 bη β( T (t − ς)f (ς, Ω)) ≤ X(t, ς)β(Ω), p ∥X(t, ·)∥ 1 < . L p (I,R+ ) 4 η p−p trong đó t ∈ [0, b], ς ∈ [0, t], η = và β(·) là độ đo không compact trên không gian Rnsy . F (A) 1−p nsy nsy Nhắc lại rằng toán tử P : C(I, RF (A) ) → C(I, RF (A) ) xác định theo công thức t P[ˆ](t) = Sp (t)ˆ0 ⊕A x x p ˆ ˆ (t − ς)p−1 ⊙A T (t − ς)f (ς, x(ς))dς 0 t ⊕A (t − ς)p−1 ⊙A T (t − ς)Eux (ς)dς, p ˆ 0 trong đó điều khiển ux (t) được cho bởi công thức ˆ b ux (t) = Π−1 x1 ⊖A ˆ ˆ Sp (b)ˆ0 ⊕A x p ˆ ˆ (b − ς)p−1 ⊙A T (b − ς)f (ς, x(ς))dς (t) , 0 với t ∈ [0, b]. Để chứng minh P có ít nhất một điểm bất động x ∈ C I, Rnsy , ta sẽ phân tách P F (A) thành tổng của hai toán tử như sau t P1 [ˆ](t) = Sp (t)ˆ0 ⊕A x x (t − ς)p−1 ⊙A T (t − ς)Eux (ς)dς, p 0 t P2 [ˆ](t) = x p ˆ ˆ (t − ς)p−1 ⊙A T (t − ς)f (ς, x(ς))dς. (3.4) 0 Với r > 0, Ωr = {ˆ ∈ C I, Rnsy x F (A) : ρ(ˆ, Θ) ≤ r}. Hiển nhiên, ta thấy Ωr là tập con bị chặn, đóng x và lồi trong C I, Rnsy . Để chứng minh P có ít nhất một điểm bất động trên C I, Rnsy F (A) F (A) ta áp dụng Định lý điểm bất động Krasnoselskii’s. Do đó, ta cần chứng minh P : Ωr → Ωr . P1 là ánh xạ co. P2 là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Để chứng minh P2 là ánh xạ hoàn toàn liên tục , ta sẽ chứng minh P2 được xác định bởi (3.4) là liên tục trên Ωr . P2 là toán tử compact. Ta chứng minh P2 là ánh xạ hoàn toàn liên tục qua các Bổ đề sau. Bổ đề 3.2. Nếu các giả thiết (F1),(F3),(F4) và (P) được thỏa mãn thì toán tử P2 được xác định bởi (3.4) liên tục trên Ωr . Bổ đề 3.3. Nếu các giả thiết (F1),(F3),(F4) và (P) được thỏa mãn thì toán tử P2 là compact. Định lý 3.2. Nếu các giả thiết (F1)- (F3)-(F4)- (C) và (P) được thỏa mãn thì bài toán (3.1) là điều khiển được hoàn toàn trên miễn là [(σ − 1)Γ(p + 1) + σK1 K2 K3 bp ] < 0, (3.5) 1−p1 K1 K4 p 1 − p1 trong đó σ = và K4 = bp−p1 ∥gf ∥ ˆ 1 . Γ(p + 1) p − p1 L p (I,R+ ) 13
3.3.4 Ví dụ Ví dụ 3.1. Xem xét bài toán sau t −3   D + x(t) = e x(t) ⊕A 2t + 1 x(t) ⊕A 1 u C 1/3 ˆ ˆ ˆ F 0 3 3 π (3.6)  x(0) = 0 ˆ  trong đó A là số mờ không đối xứng cho trước, t ∈ I = [0, 1], 0 < ς < t. Ta nhận thấy ˆ ˆ 2t + 1 f (t, x(ς)) = x(t). ˆ 3 1 Trước tiên, toán tử B = e−t/3 IdψA sinh ra nửa nhóm {T (t)}t≥0 và ∥T (t)∥op ≤ 1. Do đó, K1 = thỏa 3 mãn giả thiết (F1). Với t ∈ [0, 1], ta có ˆ ˆ 2t + 1 ∥f (t, x(t))∥A ≤ ∥ˆ∥A ≤ ∥ˆ∥A x x 3 và ˆ ˆ ˆ 2t + 1 dψA (f (t, x(t)), f (t, x(t)) = dψA (ˆ(t), x(t)) ≤ dψA (ˆ(t), x(t)), x x 3 1 với mọi x, x ∈ C(I, Rnsy ). Suy ra giả thiết (F2) được thỏa mãn với af = 1. Hơn nữa, ta có E = ˆ F (A) ˆ Id . π ψA Khi đó, ∥E∥op ≤ 1. Vì vậy, giả thiết (C) được thỏa mãn với K2 = 1. Với u ∈ L1 (I, Rnsy (A)), toán tử tuyến tính Π được F cho bởi t 1 2 Πu = (t − ς) 3 Tp (t − ς)u(ς)dς. π 0   1  1  1 K1 af bp ˆ Lấy K3 = ∈ 0, , ta có ∥Πu∥A ≤ ρ(u, ˆ Mặt khác 0). (1 + a) < 1 nên áp dụng Định 4 2  4 Γ(p + 1) Γ( ) 3 lý 3.1, ta nhận được rằng bài toán (3.6) là điều khiển được hoàn toàn trên I = [0, 1]. Ví dụ 3.2. Xét khả năng điều khiển của hệ tiến hóa mờ sau C 1/3 ˆ ˆ F D0+ x(t) ˆ = Bx(t) ⊕A f (t, x(t)) ⊕A Eu(t). (3.7) với       C D 1/3 x (t) −4 2 C 1/3 F 0+ ˆ1 2 F D0+ x(t) = ˆ  , B=  , E =  , C D 1/3 x (t) 1 −3 0 F 0+ ˆ2  −t  e 3 3 ⊙A x1 (t) ⊕A 2t−2 ⊙A x2 (t) ˆ 3 ˆ ˆ ˆ f (t, x(t)) =  . −3t e 3 ⊙A x2 (t) ˆ với điều kiện ban đầu  x (0) = x0 ˆ1 ˆ1 x2 (0) = x0 , ˆ ˆ 2 14
trong đó A là số mờ không đối xứng cho trước, t ∈ I = [0, 1] và các hàm điều khiển đầu vào u1 , u2 : [0, 1] → Rnsy là hàm liên tục nhận giá trị mờ. F (A) Kiểm tra điều kiện (B), ma trận B ∈ Mat2×2 (R) sinh ra nửa nhóm C0 − { T(t)}t≥0 đươc cho bởi   −2t + 2e−5t 2e−2t − 2e−5t 1 e T(t) = etB =  3 e−2t − e−5t 2e−2t + e−5t Do đó ta có ∥ T(t)∥op = e−2t ≤ 1. Suy ra K1 = 1. Ta kí hiệu x1 ˆ ρ(ˆ1 , Θ) x r1 Ωr = x= ˆ ∈ C(I, Rnsy ) × C(I, Rnsy ) : F (A) F (A) ⪯R2 , x2 ˆ ρ(ˆ2 , Θ) x r2 trong đó r1 , r2 > 0, ⪯R2 là mối quan hệ trong R2 , định nghĩa bởi  y ≤ z 1 1 y⪯z⇔ y2 ≤ z2 . Khi đó, với mọi x, x ∈ Ωr và t ∈ I, ta có ˆ      1 3 0 dψA (ˆ1 (t), ˆ x 0) dψA (ˆ1 (t), ˆ x 0) ˆ ˆ dψA (f (t, x(t)), ˆ ≤  0)   = g ˆ , f 0 1 ˆ dψA (ˆ2 (t), 0) x ˆ dψA (ˆ2 (t), 0) x 3 và t e− 3 2t−1    dψA (ˆ1 (t), x1 (t)) 3 x 3 ˆ ˆ ˆ dψA (f (t, x(t)), f (t, x(t)) =    t e− 3 dψA (ˆ2 (t), x2 (t)) x 0 3   dψA (ˆ1 (t), x1 (t)) x = gf (t)  ˆ , dψA (ˆ2 (t), x2 (t)) x 1 1 trong đó gf ∈ Mat2×2 (R+ ) và gf (t) ∈ L p1 (I, R+ ), p1 = ˆ ˆ 4 thỏa mãn giả thiết (F1) và (F3), tương ứng. Hơn nữa, ta có 1 1 1 ∥gf ∥ ˆ 1 =2 1− √ 3 4 +√ . L p1 (I,R+ ) 108 e 162 Với mỗi x ∈ Ωr và t, ς ∈ [0, 1] với ς < t ta có ˆ ∞ 2 2 T (t − ς)f (ς, x(ς)) = 2 ˆ θϕ 2 (θ) T((t − ς) 3 θ)f (ς, x(ς)dθ ˆ 3 3 0 3  ς −3  e 2ς−2 2 ∞ 2 3 ⊙A x1 (ς) ⊕A ˆ 3 ⊙A x2 (ς) ˆ (t−ς) 3 θA = θϕ 2 (θ)e  ς  dθ 3 0 3 e− 3 ⊙A x2 (ς) ˆ 3 2 ς  ∞ 2 2  e− 3 2ς−2 −2(t−ς) 3 θ −5(t−ς) 3 θ 3 ⊙A x1 (ς) ⊕A 3 ⊙A x2 (ς)  ˆ ˆ θϕ 2 (θ) e − 2e dθ 1 3  0 3 =  ∞ 2 2 . 3 2 e− 3 ς  −2(t−ς) 3 θ −5(t−ς) 3 θ  ⊙A x2 (ς) ˆ θϕ 2 (θ) e + 2e dθ 3 3 0 3 Mặt khác, ta có ∞ 2 2 1 θϕ 2 (θ)e−2(t−ς) 3 θ = E 2 , 2 (−2(t − ς) 2 ), 0 3 3 3 3 15
∞ 2 2 1 θϕ 2 (θ)e−5(t−ς) 3 θ = E 2 , 2 (−5(t − ς) 2 ). 0 3 3 3 3 Với mỗi ς ∈ [0, t], tập Ωr là tập bị chặn. Hơn nữa 1 1 1 2E 3 , 2 (−2(t − ς) 2 ) − 2E 2 , 2 (−5(t − ς) 2 ) 2 β( T (t − ς)f (ς, Ωr (ς))) ≤ 2 3 1 3 3 1 β(Ωr (ς)). 3 3 2E 2 , 2 (−2(t − ς) 2 ) + E 2 , 2 (−5(t − ς) 2 ) 3 3 3 3 1 1 1 2E 2 , 3 (−2(t − ς) 2 ) − 2E 2 , 2 (−5(t − ς) 2 ) 2 Với X(t, ς) = 3 1 3 3 1 . 3 2E 2 , 2 (−2(t − ς) 2 ) + E 2 , 2 (−5(t − ς) 2 ) 3 3 3 3 1 bη p−1 Ta có ∥X(t, ς)∥ p ([0,1],R) < 0, 008. Mặt khác 1 = 0, 388. Vì thế điều kiện (F4) được thỏa mãn. L 4 η Kiểm tra điều kiện (P). Với mỗi u ∈ L1 (J, RF (A) ), Π xác định theo công thức 1 Πu = (1 − ς)−2/3 T (1 − ς)Eu(ς)dς. 1 3 0 trong đó T (1 − ς)Eu(ς) được xác định bởi 1 3   1 ∞ 1 2 (1−ς) 3 θ B T (1 − ς)Eu(ς) = 1 θϕ 1 (θ)e   u(ς)dθ 3 3 0 3 0   1 1 ∞ e−2(1−ς) 3 θ + 2e−5(1−ς) 3 θ 2   = θϕ 1 (θ)   u(ς)dς   9 0 3 1 1 e−2(1−ς) 3 θ − e−5(1−ς) 3 θ    1 1  4 E 1 , 1 (−2(1 − ς) ) + 2E 1 , 1 (−5(1 − ς) ) 3 3 3 3 3 3 = u(ς). 9 E 1 1 (−2(1 − ς) 1 ) − E 1 1 (−5(1 − ς) 1 ) 3 3 3 3 , , 3 3 Do đó, ta có toán tử Π(u)  1  −1 1 1 (1 − ς) ⊙A E 1 , 1 (−2(1 − ς) ) + 2E 1 , 1 (−5(1 − ς) ) u(ς) 3 3 3 4 0 3 3 3 3 Π(u) =    9 1  −1 1 1  (1 − ς) 3 ⊙A E 1 , 1 (−2(1 − ς) 3 ) − E 1 , 1 (−5(1 − ς) 3 ) u(ς) 3 3 3 3 0 1   ω1 (ς)u(ς) 4 0 = ,   9 1   ω2 (ς)u(ς) 0 với 1 1 1 ω1 (ς) = (1 − ς)− 3 ⊙A E 1 , 1 (−2(1 − ς) 3 ) − +2E 1 , 1 (−5(1 − ς) 3 ) , 3 3 3 3 −1 1 1 ω2 (ς) = (1 − ς) 3 ⊙A E 1 , 1 (−2(1 − ς) ) − E 1 , 1 (−5(1 − ς) 3 ) . 3 3 3 3 3 Nhận xét rằng Π là đơn ánh. Giả sử tồn tại u1 , u2 sao cho Π(u1 ) = Π(u2 ), khi đó ta có  1   1   ω1 (ς)u1 (ς)  ω1 (ς)u2 (ς)  0   0 = 1 .   1      ω2 (ς)u1 (ς) ω2 (ς)u2 (ς) 0 0 16
Điều này tương đương với 1   ω1 (ς)(u1 (ς) − u2 (ς))   ˆ  0  0 = , ∀ς ∈ [0; 1].  1    ˆ 0 ω2 (ς)(u1 (ς) − u2 (ς)) 0 √ 2 π Do đó, ta có u1 = u2 . Vì vậy, Π có ánh xạ ngược Π−1 . Hơn nữa với K3 ∈ 0, 5Γ( 2 ) , ta có ∥Π−1 ∥op ≤ K3 . 3 Mặt khác [(σ − 1)Γ(p + 1) + σK1 K2 K3 ] ≥ 0, trong đó √ 5 0.88 √ 4 1 1 1 K1 = 1, K2 = π và σ ≈ 3 , K4 = 729 2 108 1 − √ 4 + √162 ≈ 0.44. Áp dụng Định lý 3.2, 3 Γ 2 e ta nhận được phương trình vi phân phân thứ (3.7) là điều khiển được hoàn toàn trên I . 17
Chương 4 BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA MỜ PHÂN THỨ THEO ĐẠO HÀM TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH CAPUTO Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng của phương trình tiến hóa mờ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo trong không gian RF (A) . Chúng tôi đưa ra các điều kiện để đảm bảo bài toán đưa ra có điểm cân bằng hút và ổn định tiệm cận (Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5). Trong trường hợp điểm cân bằng chưa hút hoặc ổn định tiệm cận, chúng tôi thiết kế biến điều khiển u(t) để khi đưa u(t) vào bài toán thì điểm cân bằng của nó hút hoặc ổn định tiệm cận (Định lý 4.6, Định lý 4.7). Nội dung chương này được trích từ bài báo số 3 trong danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 4.1 Đặt bài toán Trong nội dung chương 4, chúng tôi xem xét phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo trong không gian Rnsy và Rsy(A) . F (A) F Cụ thể, trong không gian Rnsy , xét bài toán có dạng F (A)  C Dp x(t) = a ⊙ x(t) ⊕ f (t, x(t)), ˆ ˆ t ∈ I = [0, ∞), LC 0+ ˆ A ˆ A (4.1) x(0) = x0 . ˆ ˆ p trong đó C D0+ x(t) là đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0, 1) của trạng thái x : LC ˆ ˆ nsy ˆ : I × Rnsy → Rnsy thỏa mãn f (t, ˆ = ˆ a là số thực, a < 0. Giả thiết rằng nếu ˆ 0) I → RF(A) , f F(A) F(A) 0, ˆ ˆ(t, x(t)) ∈ RF (A) , tồn tại q, r, h ˆ, g ˆ : I → R sao cho x(t) = ψA (q(t), r(t)). x(t), f ˆ ˆ f f ˆ ˆ ˆ ˆ Định nghĩa 4.1. Hằng số mờ xe là điểm cân bằng của hệ (4.1) nếu a ⊙A x(t) ⊕A f (t, xe ) = ˆ 0. Nhận xét 4.1. Để thuận tiện, chúng tôi phát biểu tất cả các định lý cho trường hợp điểm cân bằng xe = ˆ Với một điểm cân bằng xe ̸= ˆ ta có thể di chuyển đến ˆ bằng phương pháp đổi biến. Giả sử ˆ 0. ˆ 0 0 rằng điểm cân bằng là xe ̸= ˆ Đặt φ(t) = x(t) ⊟A xe , ta nhận được phương trình mới ˆ 0. ˆ ˆ C p p ˆ LC D0+ φ(t) = C D0+ (ˆ(t) ⊟A xe ) = a ⊙A φ(t) ⊕A f (t, φ(t)). LC x ˆ có điểm cân bằng tại ˆ 0. Ta xem xét hệ (4.1) trong không gian Rnsy . F (A) Định nghĩa 4.2. Cho x : I → Rnsy là hàm mờ nhận giá trị tương quan tuyến tính. Ta nói rằng x là ˆ F(A) ˆ nghiệm của hệ (4.1) nếu x khả vi trên I và thỏa mãn hệ (4.1). ˆ 18