intTypePromotion=3

Ứng dụng hàm số trong giải toán

Chia sẻ: Nguyễn Văn Hiếu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:13

1
167
lượt xem
56
download

Ứng dụng hàm số trong giải toán

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tìm m để bất phương trình: (x +1)(x + 3)(x2 + 4x + 6) ³ m thoả mãn với mọi xÎ R Hướng dẫn: Đặt t = x2 + 4x + 3 Þt'= 2x + 4 = 0Û x = -2

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng hàm số trong giải toán

  1. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Ứng dụng hàm số trong giải toán Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình: ( x + 1)( x + 3)( x 2 + 4 x + 6) ≥ m thoả mãn với mọi x∈R Hướng dẫn: Đặt t = x 2 + 4 x + 3 ⇒ t ' = 2 x + 4 = 0 ⇔ x = −2 Ta có BBT: -∞ +∞ x -2 t’ - 0 + +∞ +∞ t -1 Vậy t ≥ −1 với mọi x ∈ R . Khi đó ta có: t + 3t ≥ m (*) 2 Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t ≥ −1 . Xét hàm số: y = t + 3t với t ≥ −1 2 3 Có y ' = 2t + 3 = 0 ⇔ t = − 2 BBT: 3 -∞ +∞ − t 1 2 y’ - 0 0 + +∞ +∞ y -1 -2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi t ≥ −1 ⇔ m < −2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R ⇔ m < −2 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 1
  2. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để : − 4 (4 − x)(2 + x) ≤ x 2 − 2 x + a − 18 nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2,4] Hướng dẫn: * TXĐ: x ∈ [−2,4] . Đặt u = − x 2 + 2 x + 8 với x ∈ [−2,4] − x +1 Có u ' = = 0 ⇔ x =1 − x 2 + 2x + 8 BBT: -∞ +∞ x -2 -1 4 u’ + 0 - 3 u 0 0 Vậy: 0 ≤ u ≤ 3 Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: u − 4u + 10 ≤ a 2 với 0 ≤ u ≤ 3 y = u 2 − 4u +10 Xét hàm số: y ' = 2u − 4 = 0 ⇔ u = 2 Có : BBT -∞ +∞ x 0 2 3 u’ - 0 + 10 7 u 6 Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ [−2,4] ⇔ Maxy ≤ a u∈[ 0 , 3] ⇔ 10 ≤ a ⇔ a ≥ 10 Bài toán 3: Tìm m để phương trình: x + 1 + x − 1 − 5 − x − 18 − 3x = 2m + 1 có nghiệm. có nghiệm? Hướng dẫn : Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 2
  3. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT * TXĐ: ∀x ∈ [1,5] Đây là một dạng phương trình “không mẫu mực”, tức là ta không th ể lu ỹ thừa 2 vế của phương trình để giải. Đối với các loại phương trình này người ta thường giải bằng cách đánh giá giá trị của 2 vế của phương trình đó. ở bài toán này ta sẽ khảo sát hàm số y = x + 1 + x − 1 − 5 − x − 18 − 3x trên tập xác định của nó là đoạn [1,5] . Khi đó việc tìm m để phương trình có nghiệm hoàn toàn có thể thực hiện được. 1 1 1 1 Ta có y ' = + + + > 0, ∀x ∈ [1,5] 2 x +1 2 x −1 2 5− x 2 18 − 3 x Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và: y (1) = 2 − 2 − 15 ; y (5) = 2 + 6 − 3 Ta có BBT sau: -∞ +∞ x 1 5 y’ + 2+ 6 − 3 y 2 − 2 − 15 Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm khi : 2 − 2 − 15 ≤ 2m + 1 ≤ 2 + 6 − 3 ; 2 − 2 − 15 2+ 6 − 2 ⇔ ≤m≤ 2 2 Bài toán 4: Tìm điểu kiện để phương trình: 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m Hướng dẫn : * TXĐ: ∀x ∈ [ − 3,6] Đây là một bài toán thường gặp trong các bài thi Đai h ọc. Đối với bài toán này ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: Phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp chuyển hệ phương trình và sử dụng điều kiện đường tròn... Đặt: t = 3 + x + 6 − x , ∀x ∈ [ − 3,6] Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 3
  4. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 6− x − 3+ x 1 1 3 Ta có: t ' = − = =0⇔ x= 2 3+ x 2 6− x 2 (3 + x)(6 − x) 2 -∞ +∞ -3 3/2 6 x t’ + 0 - 32 t 3 3 Vậy t ∈ [3,3 2 ] t2 −9 t 2 = 9 + 2 (3 + x )(6 − x) ⇔ (3 + x )(6 − x) = Khi đó ta có: 2 Vậy phương trình đã cho trở thành: − t + 2t + 9 = 2m 2 Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn t có nghiệm t ∈ [3,3 2 ] . Xét hàm số: y = −t + 2t − 9 , t ∈ [3,3 2 ] . 2 có: y ' = −2t + 2 = 0 ⇔ t = 1 BBT: -∞ +∞ 1 3 t 32 y’ 0 - 6 y 6 2 −9 6 2 −9 Vậy phương trình có nghiệm khi: 6 2 − 9 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ ≤m≤3 2 Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x −2 x 1 = m 2 + m + 1 . (1)   3 Hướng dẫn: Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 4
  5. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vì m 2 + m + 1 > 0 ∀m nên ta có: 1 ⇔ x 2 − 2 x . log 1 = log 1 (m 2 + m + 1) (1) 3 3 3 ⇔ x 2 − 2 x = log 1 (m 2 + m + 1) 3 Đặt: M = log 1 (m + m + 1) 2 3 ⇔ x 2 − 2x = M y = x 2 − 2x Xét Ta có bảng biến thiên sau: x 0 1 2 y = x − 2x 2 -( x − 2 x ) 2 x − 2x x 2 − 2x 2 y’ 2x-2 2-2x 2x-2 y’ - + 0 - + 1 y = x 2 − 2x 0 0 Từ BBT ta thấy: Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân bi ệt khi và ch ỉ khi: ⇔ 0 < log 1 (m + m + 1) < 1 2 0 < m
  6. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0. x2 +1 +1 Với x ≠ 0 ta có: m = x x2 +1 +1 ; ( x ≠ 0) Xét hàm số: y = x x 2 − ( x 2 + 1) −1 ⇒ y' = = > 0, ∀x ≠ 0 x2 x2 +1 x2 x2 +1 Vậy hàm số nghịch biến với mọi x ≠ 0 . x2 +1 +1 x2 +1 +1 Và: lim y = lim = −1; lim y = lim = +1 x x x → −∞ x →+ ∞ x → −∞ x→ + ∞ x2 +1 +1 x2 +1 +1 lim y = lim− = −∞ ; lim y = lim+ =+∞ x x x →0 x →0 x →0 − x →0 + Ta có BBT sau: -∞ +∞ x 0 y’ - - +∞ y -1 +1 -∞ Với m ≤ −1 ∨ m ≥ 1 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Kết luận: Với − 1 < m < 1 Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=0 2 x 2 + xy − y 2 =1 Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình :  2  x + xy + y =m 2 (I) có nghiệm? Hướng dẫn: 2 x 2 = 1 1 . Hệ có nghiệm khi m = . * Với y=0 , hệ trở thành:  2 x = m 2 2 1 2t + t − 1 =2 x * Với y ≠ 0 , ta đặt y = t . Khi đó hệ trở thành (II)  y  t 2 + t + 1 = m(2t 2 + t − 1)  Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và ch ỉ khi h ệ ph ương trình (II) có nghiệm (t,y). Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 6
  7. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT t < −1 1 2t 2 + t − 1 = ta có: 2t + t − 1 > 0 ⇔  t > 1 2 Từ hệ (II) xét phương trình : y2   2 t 2 + t +1 Do đó hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y) ⇔ m = có nghiệm 2t 2 + t − 1 1 t ∈ (−∞ ,−1) ∪ ( ,+ ∞ . ) 2 t2 + t +1 1 trên (−∞ ,−1) ∪ ( ,+ ∞) Xét hàm số: f (t ) = 2t + t − 1 2 2 t = −3 − 7 t 2 + 6t + 2 Ta có: f ' (t ) = − f ' (t ) = 0 ⇔  2; ( 2t + t − 1) 2 t = −3 + 7 Lập bảng biến thiên: 1 -∞ +∞ t -1 −3− 7 −3+ 7 2 f’(t) - 0 + + 0 - - +∞ 1 +∞ f(t) 14 + 5 7 2 1 28 + 11 7 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghi ệm khi và ch ỉ 14 + 5 7 khi: m ≥ 28 + 11 7 x 2 y + a = y 2 (1) Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình  2 có y x + a = x 2 ( 2) nghiệm duy nhất? Hướng dẫn: Trừ vế của phương hai hai trình cho nhau ta có: y=x  ( x − y )( xy + x + y ) = 0 ⇒   xy + x + y = 0 TH1: Nếu y=x thay vào phương trình (1) ta có: a = − x 3 + x 2 . Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình: a = −x + x2 3 Xét hàm số f ( x) = − x 3 + x 2 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 7
  8. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT x = 0 Ta có: f ' ( x) = −3x + 2 x = 0 ⇔  x = 2 2   3 BBT: 2 -∞ +∞ x 0 3 f’(x) - 0 + 0 - +∞ 4 27 f(x) -∞ 0 4 Vậy: - Với a ∈ (−∞ ,0) ∪ ( ,+ ∞ Hệ có một cặp nghiệm. ) 27  a=0 - Vớ i  a = 4 Hệ đã cho có 2 cặp nghiệm phân biệt.  27 4 - Với a ∈ (0, Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm phân biệt. ) 27 −x TH2: Nếu xy + x + y = 0 ⇔ y = vì x ≠ −1 x +1 x 4 + x3 + x 2 Thay vào phương trình (1) ta có: a = ( x + 1) 2 x 4 + x3 + x 2 Xét hàm số g ( x) = với x ≠ −1 ( x + 1) 2 x( x + 1)( x + 2)(2 x 2 + x + 1) Ta có: g ' ( x) = ( x + 1) 4  x=0  Vậy g ' ( x) = 0 ⇔  x = −2  x ≠ −1  BBT: -∞ +∞ x -2 -1 0 g’(x) - 0 + - 0 + g(x) +∞ +∞ +∞ +∞ 12 0 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 8
  9. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vậy: - Với a
  10. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Từ câu 1/. ta thấy phương trình có nghiệm khi và ch ỉ khi: cos 2 4 x 1 1 0≤ ≤ ⇔ m2 ≥ 3 + cos 4 x 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu: m ≥ 2 Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình: cos 2 x = m. cos 2 x. 1 + tgx có π   nghiệm x ∈ 0;   3 Giải: Với x ∈ 0;  ta có tgx ∈ [0; 3 ] π    3 1 + tgx 1 − tg 2 x = m. Phương trình đã cho tương đương với: 1 + tg x 1 + tg 2 x 2 ⇔ (1 − tgx )(1 + tgx ) = m. 1 + tgx π  π  1 + tgx = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − 4 + kπ ∉ 0; 3  ⇔   (1 − tgx ) 1 + tgx = m(*)   π Vậy để phương trình đã cho có nghiệm x ∈ 0;  khi và chỉ khi (*) có  3 π   nghiệm x ∈ 0;   3 Xét phương trình: (1 − tgx) 1 + tgx = m t ∈ 1; 1 + 3   Đặt t = 1 + tgx ⇒     tgx = t 2 − 1  Khi đó ta có: m=(2-t2).t=-t3+2t Xét hàm số y=-t3+2t trên đoạn 1; 1 + 3      6 Ta có: y ' = −3t 2 + 2 = 0 ⇔ t = ± 3 Và có: y (1) = 1; y ( 1 + 3 ) = − 2 ( 3 − 1) Vậy ta có BBT như sau: −6 −6 t -∞ 1 +∞ 1+ 3 3 3 y' 0 0 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 10
  11. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 1 y − 2 ( 3 − 1) Vậy phương trình có nghiệm khi m ∈ (1;− 2 ( 3 − 1) ) Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A ≥ B ≥ C Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = sin2B +sin2C + sin A Giải: Ta có: P = sin2B +sin2C + sin A 4 = 2 sin( B + C ). cos( B − C ) + sin A 4 ≤ 2 sin( B + C ) + ; (cos( B − C ) ≤ 1) sin A 4 ≤ 2 sin A + sin A Đặt x=sinA. Theo bài ra có A ≥ B ≥ C và A+B+C=1800 vậy A ≥ 60 0 3 Vậy x ∈  ;1 2  4 Khi đó ta có: P ≤ 2 x + x 3 4 với x ∈  ;1 Xét hàm số: y = 2 x + 2  x 4 2x 2 − 4 Ta có: y ' = 2 − = x2 x2 x = 2 Vây y'=0 ⇔ 2 x − 4 = 0 ⇔  2 x = − 2  Ta có bảng biến thiên như sau: x −2 2 3 1 2 y' 0 - 0 y 11 3 6 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 11
  12. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 3 11 Vậy y ≤ ; ∀x ∈  ;1 2  3 11 ⇒P≤ y≤ 3 B = C  cos( B − C ) = 1  A = π  11 ⇔  MaxP = Kết luận: khi và chỉ khi:  3 3  sin A = 3 2π   A = 2  3 C:/ Kết luận : Hàm số và ứng dụng của nó có một vai trò quan trọng trong ch ương trình THPT, nó có tác dụng rất lớn trong các bài toán biện luận số nghi ệm c ủa phương trình, hệ phương trình, bất phương trình... Mặt khác các bài toán này thường được đề cập rất nhiều trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi thuyển sinh vào các trường Đại học - Cao đẳng - THCN. Với chuyên đề này tôi đã áp dụng đối với một số lớp 12 và học sinh khá giỏi và nhận thấy là hiệu quả tương đôi khả quan trong các bài toán biện luận phương trình và hệ phương trình Đại số. Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụng BBT của hàm số trong việc giải toán phổ thông. Tuy nhiên trong bài vi ết này có nhiều vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng không tránh kh ỏi những thi ếu sót. Mong bạn đọc thông cảm và bổ sung ý kiến để đề tai hoàn thi ện và có tác d ụng tốt hơn nữa. Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 12
  13. Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT D/. Một số bài toán tương tự: 1/. Tìm điều kiện của m để phương trình: 4 x + 1 + 4 3 − x + x + 1 + 3 − x = m có nghiệm duy nhất. 2/. Tuỳ thuộc vào m biện luận số nghiệm của hệ phương trình: 2  y − ( x + y ) = 2m 2  x − ( y + x ) = 2m  3/. Biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m x 2 + 1 theo m thuộc biện luận số nghiệm phương 4/. Tuỳ vào a trình: 2a + x + 2a − x = a điều kiện để phương 5/. Tìm trình: 8 − 2 x + 4 + 2 x − 5 (8 − 2 x)(4 + 2 x) − 3 = m có nghiệm π   6/. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ 0;   2 2 cos 2 x + sin 2 x. cos x + sin x. cos 2 x = m(sin x + cos x) 7/. Tìm điều kiện của m để phương trình: 1 1 1 m(sin x + cos x) + 1 +  tgx + cot gx + + =0 2 sin x cos x  π có nghiệm x ∈ (0; ) 2 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 13

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản