Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán THPT - Nguyễn Minh Tiên

Chia sẻ: Phạm Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

362
lượt xem 93
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình đại số phổ thông. Đặc biệt đây cũng là một bộ phận hữu cơ trong cấu trúc đè thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng môn Toán. Để giải Hệ phương trình chúng ta có khá nhiều phương pháp. Trong những phương pháp ấy phương pháp sử dụng tính chấy đơn điệu của hàm số là một phương pháp mới, tích hợp nhiều kiến thức, kĩ năng, thực tế đã xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh Đại học những năm gần đây. Có thể nói đây là một kĩ thuật đột phá, nhạy bén mặc dù kiến thức sử dụng hết sức cơ bản, thuần tuý. Bài viết này nhằm chia sẻ với các bạn một số ý tưởng và kinh nghiệm xử lí lớp bài toán thú vị này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán THPT - Nguyễn Minh Tiên

Maths287 SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M NG D NG TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S VÀO GI I TOÁN THPT Giáo viên : Nguy n Minh Ti n KI N TH C CƠ B N I. Tính đơn đi u c a hàm s Hàm s y = f (x) g i là đ ng bi n ( tăng ) trong kho ng (a; b) n u v i m i x1 ; x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ). Hàm s y = f (x) g i là ngh ch bi n ( gi m ) trong kho ng (a; b) n u v i m i x1 ; x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ). 2. Đi u ki n đ hàm s đơn đi u trên m t kho ng Gi s hàm s y = f (x) có đ o hàm trong kho ng (a; b) N u f (x) < 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) liên t c trên đo n [a; b] thì hàm s y = f (x) ngh ch bi n trên [a; b] II. Các tính ch t và đ nh lý 1. Đ nh lý N u hàm s y = f (x) đơn đi u và liên t c trên kho ng D thì ta có v i m i x, y ∈ D : f (x) = f (y) ⇔ x = y N 2. Các b đ và tính ch t N u hàm s y = f (x) đơn đi u và liên t c trên kho ng D thì phương trình f (x) = 0 có nhi u nh t m t nghi m thu c D N u hai hàm s y = f (x) và y = g (x) liên tucj và đơn đi u ngư c chi u trên kho ng D thì phương trình f (x) = g (x) có nhi u nh t m t nghi m trên kho ng D N u hàm s y = f (x) liên t c và đ ng bi n ( ngh ch bi n ) trên kho ng (a; b) thì v i m i x; y ∈ (a; b) ta có f (x) < f (y) ⇔ x < y (x > y) gu y n M in N u f (x) > 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) liên t c trên đo n [a; b] thì hàm s y = f (x) đ ng bi n trên [a; b] h Hàm s y = f (x) ngh ch bi n trong kho ng (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) = 0 ch x y ra t i m t s h u h n đi m trong kho ng (a; b) T i Hàm s y = f (x) đ ng bi n trong kho ng (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (a; b) và f (x) = 0 ch x y ra t i m t s h u h n đi m trong kho ng (a; b) n - m Hàm s y = f (x) đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng (a; b), ta nói hàm s y = f (x) đơn đi u trên kho ng (a; b). at hs 28 7 1. Đ nh nghĩa Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226 1 Maths287 SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M NG D NG TÍNH ĐƠN ĐI U VÀO GI I TOÁN 1. ng d ng tính đơn đi u vào gi i phương trình và b t phương trình M t s d ng phương trình bi n đ i thư ng g p √ D ng 1 : x3 − b = a. 3 ax + b v i a > 0 √ Phương trình ⇔ x3 + ax = (ax + b) + a. 3 ax + b √ D ng 2 : ax3 + bx2 + cx + d = m. 3 ex + f √ Phương trình ⇔ m (px + u)3 + n (px + u) = m (ex + f ) + n 3 ex + f Xét hàm đ c trưng f (t) = mt3 + nt √ D ng 3 : ax2 + bx + c = α ex + d √ Phương trình ⇔ m (px + u)2 + n (px + u) = m (ex + d) + n ex + d x3 + 3x2 + 4x + 2 = (3x + 2) n T i in h 1 3 √ 3x + 1 ⇔ x + 1 = √ = (−3x) 2 + √ t2 + 3 v i t ∈ R Ví d 1 : Gi i phương trình √ 3x + 1 ( HSG - Qu ng Bình - 2010) √ 3x + 1 ⇔ x=0 x=1 √ 9x2 + 3 = 0 (−3x)2 + 3 (*) Xét hàm đ c trưng f (t) = mt2 + nt v i t ≥ 0 L i gi i : Đi u ki n xác đ nh : x ≥ − Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t v i t ≥ 0 Ta có f (t) = 3t2 + 1 > 0 v i m i t ≥ 0 suy ra hàm s đ ng bi n trên [0; +∞) Ví d N K t h p v i đi u ki n ta có phương trình có hai nghi m phân bi t x = 0; x = 1 2 : Gi i phương trình (2x + 1) 2 + L i gi i : Ta có pt ⇔ (2x + 1) 2 + (2x + 1)2 + 3 4x2 + 4x + 4 + 3x 2 + Xét hàm đ c trưng f (t) = t 2 + gu Mà phương trình có d ng f (x + 1) = f y n M √ Ta có pt ⇔ (x + 1)3 + (x + 1) = [(3x + 1) + 1] 3x + 1 √ √ 3 ⇔ (x + 1)3 + (x + 1) = 3x + 1 + 3x + 1 m at hs 28 7 2 Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + at Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226 Maths287 √ SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M t2 > 0 v i m i t ∈ R suy ra f (t) đ ng bi n trên R t2 + 3 1 5 Ta có f (x) = 2 + t2 + 3 + √ Phương trình có d ng f (2x + 1) = f (−3x) ⇔ 2x + 1 = −3x ⇔ x = − V y phương trình có nghi m duy nh t x = − Ví d 3 : Gi i phương trình 1 5 √ 3 Nh n xét : Ta đưa hai v c a phương trình v d ng f [g (x)] = f [h (x)] trong đó f (t) là hàm đ c trưng có d ng f (t) = mt3 + nt. Ta c n đ ng nh t sao cho bi u th c v ph i c a phương trình có d ng √ √ 3 m 3 3x − 5 + n 3 3x − 5 và so v i v ph i ta có th ch n luôn n = 1 √ √ 3 Công vi c còn l i là tìm các h s sao cho m (px + u)3 + (px + u) = m 3 3x − 5 + 3 3x − 5 Đ ng nh t hai v ta đư c u = −3. K t qu ra ch n nên chúng ta không c n xét trư ng h p còn l i in L i gi i tham kh o : h Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t trên t p R Ta có f (t) = 3t2 + 1 > 0 v i m i t ∈ R suy ra hàm đ ng bi n trên R √ √ Nên ta có phương trình tr thành f (2x − 3) = f 3 3x − 5 ⇔ 2x − 3 = 3 3x − 5 √ 3 − 36x2 + 51x − 22 = 0 ⇔ x = 2; x = 5 ± 3 ⇔ 8x 4 Ví d N gu 4 : Gi i phương trình x3 − 6x2 + 12x + 7 = √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ( Đ đ ngh Olympic 30/4/2009 ) Ý tư ng : Cũng gi ng như ví d trên chúng ta đưa phương trình v d ng √ m (px + u)3 + n (px + u) = m −x3 + 9x2 − 19x + 11 + n 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ mp3 + m x3 + 3mup2 − 9m x2 + 3mpu2 + p + 19m x + mu3 + u − 11m = Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226 √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 3 y n M Phương trình ⇔ (2x − 3)3 + (2x − 3) = √ 3 T 3 N u m = 1; p = 2 thì f (t) = t3 + t do đó phương trình c n vi t v d ng √ √ 3 m (px + u)3 + (px + u) = m 3 3x − 5 + 3 3x − 5 √ √ 3 ⇔ (2x + u)3 + (2x + u) = 3 3x − 5 + 3 3x − 5 √ ⇔ 8x3 + 12ux2 + 6u2 − 1 x + u3 + u + 5 = 3 3x − 5 3x − 5 i + √ 3 n 3x − 5 - m D th y (2x)3 = 8 nên ta có mp3 = 8 vì m, p thư ng là các s nguyên nên ta có th ch n m = 1; p = 2 ho c m = 8; p = 1 at hs 28 7 8x3 − 36x2 + 53x − 25 = 3x − 5 Maths287 SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M    mp3 + m = 1    p=1    3mp2 u − 9m = −6  1 Đ ng nh t hai v theo phương trình ta đư c ⇔ m=  3mpu2 + p + 19m = 12  2      u = −1  mu3 + u − 11m = −7 L i gi i tham kh o : Phương trình ⇔ √ 1 1 (x − 1)3 + (x − 1) = −x3 + 9x2 − 19x + 11 + 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 2 2 3 Ta có f (t) = t2 + 1 > 0 v i m i t suy ra hàm đ ng bi n trên R 2 √ Phương trình có d ng f (x − 1) = f 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔x−1= √ 3 −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ x = 1; x = 2; x = 3 K t lu n phương trình có ba nghi m phân bi t x = 1; x = 2; x = 3 Ví d 5 : Gi i phương trình √ L i gi i tham kh o : √ √ 3x3 + 3x2 + 6x + 16 = 2 3 + 4 − x y Ví d 6 : Gi i b t phương trình n 1 > 0 v i m i x ∈ (−2; 4) + √ 3x3 + 3x2 + 6x + 16 2 4 − x √ Nên hàm s đ ng bi n trên (−2; 4) ⇒ phương trình f (x) = 2 3 có nghi m duy nh t trên (−2; 4) √ Mà f (1) = 2 3. V y phương trình có nghi m duy nh t x = 1 gu √ (x + 2) (2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − 1 2 M Hàm s liên t c và có f (x) = √ in Đi u ki n xác đ nh : x ∈ [−2; 4] √ √ √ Khi đó phương trình ⇔ 3x3 + 3x2 + 6x + 16 − 4 − x = 2 3 √ √ Xét hàm s f (x) = 3x3 + 3x2 + 6x + 16 − 4 − x trên đo n [−2; 4] 3 x2 + x2 + 1 h T √ √ √ √ Khi đó bpt ⇔ x+2+ x+6 2x − 1 − 3 ≤ 4 √ V i 2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 bpt luôn đúng V ix>5 Xét hàm s f (x) = f (x) = √ √ x+2+ √ x+6 2x − 1 − 3 liên t c trên kho ng (5; +∞) √ √ √ x+2+ x+6 √ 2x − 1 − 3 + >0v im ix>5 2x − 1 4 N L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ 1 1 + √ 2 x+2 2 x+6 Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226 i n √ (x + 6) (2x − 1) + 3 x + 2 - m at hs 28 7 1 Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t trên t p R 2 Maths287 SÁNG KI N VÀ KINH NGHI M ⇒ hàm s f (x) đ ng bi n trên (5; +∞) và ta có f (2) = 4 ⇒ bpt ⇔ f (x) ≤ f (7) ⇔ x ≤ 7 K t h p v i đi u ki n ta có t p nghi m c a b t phương trình là S = Ví d 7 : Gi i b t phương trình √ 5 − 2x ≤ 6 3 3 − 2x + √ 2x − 1 L i gi i tham kh o : Đi u ki n √ bpt ⇔ 3 3 − 2x + 1 3 g (x) bpt vô nghi m Ví d 8 : Gi i b t phương trình in h K t h p v i đi u ki n ta có t p nghi m c a b t phương trình là S = 1; T M 8x3 + 2x < (x + 2) i L i gi i tham kh o : Đi u ki n x ≥ −1 √ √ 3 bpt ⇔ (2x)3 + 2x < x+1 + x+1 Xét hàm đ c trưng f (t) = t3 + t v i t ≥ 0 Ta có f (t) liên t c và f (t) = 3t2 + 1 > 0 v i m i t ≥ 0 ⇒ hàm s đ ng bi n v i t ≥ 0 bpt có d ng f (2x) < f √ x + 1 ⇔ 2x < √ x + 1 ⇔ −1 ≤ x < 1+ N gu y n n √ 1 3 ; là hàm đ ng bi n và f (1) = g (1) = 8 2 2 x+1 - K t h p v i đi u ki n ta có t p nghi m c a b t phương trình là S = −1; at hs 28 7 1 3 ; 2 2 1+ √ 8 17 5 Giáo viên : Nguy n Minh Ti n - 0916.625.226