Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt)

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt)" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm giới hạn hàm số, định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn cho hàm mũ, phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt)

GiỚI HẠN HÀM SỐ http://e-learning.hcmut.edu.vn/
Khái niệm giới hạn hàm số Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0( có thể không xác định tại x0). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ gần x0 thì a gọi là giới hạn của f tại x0. Xem 2 VD số sau đây: x f(x) sin x 0.1 0.8415 ￹ 1 / f (x) = , khi x 0 0.1 0.958 ￺ x ￺ ￺ ￺ 0.1 0.9816 ￺ ￺ ￺ f(x) không xác định tại 0, 0.1 0.986 ￺ ￺ ￺ nhưng khi x 0 thì f(x) 1 0.1 0.935 ￺ ￻
sin x Đồ thị của hàm số f ( x ) = , x không bị đứt tại x 0 Lúc này coi như f(0) 1 (giới hạn của f tại x = 0 là 1)
π x f(x) 2 / f ( x ) = sin , khi x 0 x � 1 0� f(x) không xác định tại 0, � 0.5 0� � � nhưng khi x 0 thì f(x) 0 � 0.1 0� �0.0001 0 � SAI vì � � 0.000001 0 � � 2 π π x= � = + 2kπ , k �Z f(x) = 1 4k + 1 x 2 Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ lim f ( x ) = a (hữu hạn) x x0 � ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ � f ( x ) − a < ε ( x ι D & x x0 ) f(x) Hạn chế của đn: a Phải chia nhiều trường hợp tùy thuộc vào giá trị của xo và a là vô hạn hay hữu hạn x X0
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY lim f ( x ) = a �∀̹ { xn } D & xn x0 , x x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = a n n Tiện ích của đn: 1. Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay xo là . 2. Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số. 3. Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn.
VÍ DỤ ÁP DỤNG Chứng minh: xlimx [ f ( x ) + g ( x ) ] = xlimx f ( x ) + xlimx g ( x ) 0 0 0 Giả sử: lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b ( ), x x0 x x0 Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm trong Df và Dg) sao cho: lim xn = x0 n Từ ( ), theo đn: lim f ( xn ) = a & lim g ( xn ) = b n n lim [ f ( xn ) + g ( xn ) ] = a + b n Vậy: lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x ) + lim g ( x ) x x0 x x0 x x0
Giới hạn cho hàm mũ Xét hàm số có dạng: f ( x ) = [ u ( x ) ] v (x) lim u ( x ) = a > 0 x x0 � lim f ( x ) = a b x x0 lim v ( x ) = b x x0 Chứng minh: v (x) lim [ u ( x ) ] = lim ev ( x ) ln u ( x ) x x0 = eb ln a = ab x x0
Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn Chọn 2 dãy {xn} và lim xn = lim xn = x0 n n {x’n} sao cho: lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n 1 Ví dụ: 1. Chứng minh f ( x ) = không có gh khi x 0 x 1 n n Chọn xn = 0, f ( xn ) = n + n 1 n xn = − 0, f ( xn ) = −n n n lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n
2. Chứng minh: f ( x ) = sin x Không có gh khi x + (xo = + ) n xn = nπ + Chọn π n xn = + 2nπ + 2 n f ( xn ) = sin(nπ ) = 0 0 π f ( xn ) = sin � + 2nπ � � n �= 1 1 �2 � lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n
GiỚI HẠN MỘT PHÍA •Giới hạn trái lim− f ( x ) = a � ∀{ xn } �D & xn < x0 , tại xo: x x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = a •Giới hạn phải tại xo: lim+ f ( x ) = a x x0 (Xét xn>xo và xn xo ) xo
GiỚI HẠN MỘT PHÍA lim+ f ( x ) = a x x0 lim f ( x ) = a x x0 lim− f ( x ) = a x x0 VD: 1 , x 1, 1 / f (x) = x Xét gh của f(x) tại xo = 1 2 x − 1 , x < 1, lim+ f ( x ) = lim 1 =1 = lim− (2 x − 1) = lim− f ( x ) x 1 x 1+ x x 1 x 1 � lim f ( x ) = 1 x 1
1 2 / f ( x ) = , Xét gh của f(x) tại xo = 0 x 1 1 lim+ f ( x ) = lim+ = + , lim− f ( x ) = lim− = − x 0 x 0 x x 0 x 0 x f(x) không có gh khi x 0. x 3 / lim x 0 x
4/ Cho f(x) và g(x) có đồ thị như hình vẽ 1. Tồn tại hay không các gh y=f(x) A = lim f ( x ), B = lim g ( x ) x −2 x 1 A=1 B không tồn tại y=g(x) 2. Tính các gh sau nếu có a / lim [ f ( x ) + 5g ( x ) ] = 4 x −2 b / lim [ f ( x ) g ( x ) ] Không tồn tại x 1
GiỚI HẠN CƠ BẢN 1. Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ 1 2 / lim ( 1 + x ) = e x x 0 ln(1 + x ) 1 3 / lim = lim ln(1 + x)x = ln e = 1 x 0 x x 0 ex −1 4 / lim = 1, vì với phép đặt : ex – 1 = u, ta có x 0 x ex − 1 u 1 lim = lim = lim =1 x 0 x u 0 ln(u + 1) u 0 ln(u + 1) u
GiỚI HẠN CƠ BẢN ax − 1 e x ln a − 1 5 / lim = lim ln a = ln a x 0 x x 0 x ln a α (1 + x ) − 1 eα ln(1+ x ) − 1 ln(1 + x ) 6 / lim = lim α =α x 0 x x 0 α ln(1 + x ) x
BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN 1 sin x tanx 1 / lim ( 1 + x ) x = e 6 / lim = 1, lim = 1, x 0 x 0 x x 0 x 1 − cos x 1 ln(1 + x ) lim = 2 / lim =1 x 0 x 2 2 x 0 x arcsin x arctanx x e −1 7 / lim = 1, lim = 1, 3 / lim = 1, x 0 x x 0 x x 0 x ln p x ax −1 8 / lim α = 0, ∀α > 0 4 / lim = ln a x + x x 0 x xα (1 + x )α − 1 lim x = 0, ∀a > 1 5 / lim =α x + a x 0 x
LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN 1. Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn. 2. Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp. 3. Nếu dạng VĐ là 0 , , chuyển về 0/0 hoặc / 4. Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau: a. lấy lim của lnf(x) b. [u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x) c. Dạng 1 , dùng gh (1+x)1/x e
1 1 / lim ( 1 + x ) = e x VÍ DỤ x 0 ln(1 + x ) 2 / lim =1 x 0 x 1 − cos5 x 3 / lim ex −1 = 1, 1 / lim Dạng 0/0 x 0 x x 0 1 − cos 2 x ax −1 4 / lim = ln a x 0 x (1 + x )α − 1 5 / lim x 0 x =α 1 − cos5 x tanx sin x 2 = 1, x 0 x = 1, (5 x ) 2 lim 6 / lim (5 x ) x 0 x = lim 1 − cos x 1 lim = x 0 1 − cos 2 x (2 x ) 2 2 x 2 (2 x ) 2 x 0 arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x 0 x x 0 x 1 / 2 25 25 = = 8 / lim ln p x = 0, ∀α > 0 1/ 2 4 4 x + xα xα lim = 0, ∀a > 1 x + ax
1 cos x 1 / lim ( 1 + x ) x 0 x =e 2 / lim =A Dạng 0/0 ln(1 + x ) =1 π π − 2x 2 / lim x 0 x x ex −1 2 3 / lim = 1, x 0 x π x a −1 Đặt: u = x − x0 = x − 4 / lim x 0 x = ln a 2 (1 + x )α − 1 5 / lim =α π x cos � + u � � x 0 sin x tanx = 1, x 0 x = 1, lim � 6 / lim x 0 x A = lim �2 � 1 − cos x 1 lim = x 0 −2u x 0 x2 2 arcsin x arctanx 7 / lim x = 1, lim x = 1, sin u 1 = x 0 x 0 = lim u 0 2u 2 ln p x 8 / lim = 0, ∀α > 0 x + xα xα lim = 0, ∀a > 1 x + ax