Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

414
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số" cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số thực, các cách cho dãy số, dãy bị chặn, Tính chất dãy hội tụ, sự hội tụ và dãy con, 7 dạng vô định, tiêu chuẩn Weirstrass,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số

GIỚI HẠN DÃY SỐ http://e-learning.hcmut.edu.vn/
DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. VD: 1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, … 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, … 3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, …
Các cách cho dãy số 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 2 VD: xn = n , xn = 1 / n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: dãy x1 = 1, xn +1 = xn2 − xn + 1 xn −1 − xn dãy x1 = 1, x2 = 1, xn +1 = 2
Dãy đơn điệu {xn} là dãy tăng xn xn+1, với mọi n đủ lớn {xn} là dãy giảm xn xn+1, với mọi n đủ lớn Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: 1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”) 2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) 3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn
Ví dụ 1 1 a / xn = 1 + + K + : 2 n 1 xn +1 − xn = >0 tăng n +1 � 1� � 1� b / xn = � 1− � K�1 − �: � 2� � n� xn +1 1 = 1− giảm xn n +1
2n − 3 c / xn = : 3n − 4 Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm 2x − 3 1 f (x) = ,� f (x) = 2 >0 3x − 4 (3x − 4) f(x) tăng {xn} tăng.
Dãy bị chặn {xn} là dãy bị chặn trên M : xn M, n N0 {xn} là dãy bị chặn dưới m : xn m, n N0 {xn} bị chặn {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới VD: Xeùt tính bò chaën { } 1 a/ 2 n { } b/ 3n cuûa caùc daõy { c / ( −1) n n }
DÃY CON Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này 1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta được 1 dãy con của {xn}. VD: { xn } = { x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,L, xn ,L} {x–2n1}} {x2n {x2n-1} = {x1, x3, x5, …} {x2n} = {x2, x4, x6, …} •Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra
GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn là a khi n ra tức là xn a khi n đủ lớn Định nghĩa chặt chẽ: Dãy hội tụ ∃a h�� n : lim x n = a u ha� n � ∀ ε > 0, ∃ N0 �N : xn − a < ε , ∀ n �N0 � ∀ ε > 0, ∃ N0 : a − ε < xn < a + ε ∀ n �N0 a x3 x 2a − ε xN0 a+ε x1 x n ( n > N0 )
Ví dụ n Chứng minh lim =1 n n +1 n 1 xn − a = −1 = n +1 n +1 1 1 xn − 1 < ε � < ε � n +1 > n +1 ε Chọn N0 1/ , với > 0 (đủ bé) 1 1 n >−N� 0 < +n� � n 1 xn 1 ε ε ε * Với = 10-3, tìm N0?
Tính chất dãy hội tụ •Dãy hội tụ thì bị chận. •an 0 và an a thì a 0 •an a và a < c thì an < c với n N0 a an, n N0 0 a- a+ an, n N0 a c a- a+
Các phép toán trên dãy hội tụ lim tổng (hiệu, tích, thương, căn,…) = tổng (hiệu…) lim ∃ lim xn , lim y n (hữu hạn) n n lim ( xn y n ) = lim xn lim y n n n n n n n ( � lim xn y n = lim xn lim y n �K : lim y n �0 n ) n n ( lim xn = lim xn �K : x n 0 & lim xn n 0 )
SÖÏ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY CON lim xn = a Mọi dãy con của xn đều a ∃ 1da� y con pha� n ky� Dãy xn phân kỳ ∃ 2 da� y con co� lim nhau VD: dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ x2n = 1 1 V� 2 da� y con x2n −1 = −1 −1 x2n a Hệ quả: xn a x2n −1 a
GIÔÙI HAÏN KEÏP Cho 3 dãy xn , yn , zn xn yn zn ∀n N0 � lim y n = a lim xn = lim zn = a n n n xn yn zn a Hệ quả: 0 �xn �y n ∀ n & lim y n = 0 � lim xn = 0 n n
Dãy phân kỳ ra vô cùng Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ: Không có giới Phân kỳ ra vô hạn cùng Giới hạn = : không thể xét | xn – a | !
lim xn = +�� ∀ M >0, ∃ N0 �N : xn > M , ∀ n �N0 n lim xn = −�� ∀ M >0 , ∃ N0 �N : xn < −M , ∀ n �N0 n
Ví dụ n Chứng minh lim 2 = + n Với M > 0 (lớn) tùy ý, n 2 > M � n > log 2 M Chọn N0 > log2M + 1, ta có : n �N0 � n > log 2 M � 2n > M
Các phép toán trên dãy phân kỳ ra 1 1/ Nếu lim an = thì lim = 0 n n an lim an = 0 2/ Nếu n thì lim an = + an > 0(< 0), ∀n N0 n ( ) 3/ lim (an + bn ) = n lim an = , lim bn = c n n lim an bn = , neu c � 0 n lim an = + , lim bn = + � lim (an + bn ) = +� n n n lim an = + , lim bn = + � lim an bn = � n n n
GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN α > 0 � lim nα = � ln p n 1/. Luõy n 5 / lim α = 0, ∀α > 0 α < 0 � lim nα = 0 n n thöøa: n nα lim n = 0, ∀a > 1 a > 1 � lim a n = � n a 2/. Haøm n muõ: −1 < a < 1 � lim a n = 0 an n lim = 0, ∀a > 0 n n! 3 / lim n nα = 1, ∀α n ln p n = nα = a n 4 / lim n a = 1, ∀a > 0 n