GiỚI HẠN HÀM SỐ
http://e-learning.hcmut.edu.vn/
Khái niệm giới hạn hàm số
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0( có thể
không xác định tại x0). Nếu giá trị của f(x) rất gần với
a khi x đủ gần x0 thì a gọi là giới hạn của f tại x0. Xem 2 VD số sau đây:
0.1000
0.8415
x f(x)
0.01000
0.9588
0.001000
0.9816
0.0001000
0.9896
0.00001000
0.9935
(cid:0) x = (cid:0) (cid:0) f x 1 / ( ) , khi x (cid:0) 0 (cid:0) sin x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x (cid:0) 0 thì f(x) (cid:0) 1 (cid:0)
x
=
f x ( )
,
sin x
Đồ thị của hàm số
không bị đứt tại x (cid:0) 0
Lúc này coi như f(0) (cid:0) 1
(giới hạn của f tại x = 0 là 1)
= x f(x) (cid:0) f x 2 / ( ) khi x (cid:0) 0
p sin , x
0 1
0 0.5
f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x (cid:0) 0 thì f(x) (cid:0) 0 0.1 0
0.0001 0 SAI vì
� � � � � � � 0.000001 0 � � � � � � � � �
p
= p = + p (cid:0) (cid:0) x k � k Z � 2 , f(x) = 1
2 + k x 4 1 2
Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ
= (hữu hạn) a (cid:0)
e
d
x
< x
e a
�
�
0,
0 :
- < f x ( )
0
(
)
f x lim ( ) x x 0 " > $ > d -
0
ι x D x x &
f(x) a
Hạn chế của đn:
Phải chia nhiều trường hợp (cid:0)
(cid:0)
tùy thuộc vào giá trị của xo và a là vô hạn hay hữu hạn
x
X0
ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY
{
}
n
n
0
x
= a x x "� ̹ D x & , (cid:0) f x lim ( ) x 0
n
0
= = f x a nếu thì x x )n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim ( n lim n
Tiện ích của đn:
. 1. Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay xo là (cid:0)
2. Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn
còn đúng cho giới hạn hàm số.
3. Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không
có giới hạn.
VÍ DỤ ÁP DỤNG
]
x
x
x
[ f x lim ( ) x 0
+ = + g x ( ) Chứng minh: (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x 0 g x lim ( ) x 0
x
x
= = ((cid:0) ), a b và Giả sử: (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x 0 g x lim ( ) x 0
=
x
0
Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm trong Df và Dg) sao cho:
x lim n n
(cid:0) (cid:0)
n
n
= = f x a g x b ) ) Từ ((cid:0) ), theo đn: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim ( n & lim ( n
]
n
n
[ lim ( n
+ = + (cid:0) f x a b ) g x ( ) (cid:0) (cid:0)
]
x
x
x
[ f x lim ( ) x 0
+ = + Vậy: g x ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x 0 g x lim ( ) x 0
v x (
)
Giới hạn cho hàm mũ
[
]
= Xét hàm số có dạng: f x ( ) u x ( )
b
x
x
x
(cid:0) = > a 0 (cid:0) (cid:0) = a � (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x 0 = b (cid:0) (cid:0) (cid:0) u x lim ( ) x 0 v x lim ( ) x 0
v x ( )
Chứng minh:
]
u x ( ) ln ( )
a
b
lnb
x
[ u x lim ( ) x 0
0
(cid:0) (cid:0) = = = e a (cid:0) (cid:0) lim v x e x x
Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn
n
n
0
n
n
(cid:0) = = (cid:0) x x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Chọn 2 dãy {xn} và (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x f x lim n ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) {x’n} sao cho: lim n lim ( n lim ( n
= không có gh khi x (cid:0) 0 Ví dụ: 1. Chứng minh f x ( )
1 x
n (cid:0)
n (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
n
= n= 0, + (cid:0) x f x ( Chọn )n
1 n
n (cid:0)
n (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) n 0, x f x ( (cid:0) = - )n (cid:0) = - n
1 n
n
n
(cid:0) (cid:0) f x f x ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim ( n lim ( n
= 2. Chứng minh: x f x ( ) sin Không có gh khi x (cid:0) + (cid:0)
) (xo = + (cid:0)
n (cid:0)
n
(cid:0) = x p n + (cid:0)
Chọn
n (cid:0)
p (cid:0) + + (cid:0) x p n 2 (cid:0) = n
2
n (cid:0)
n
(cid:0) = = np f x ( ) sin( ) 0 0
n (cid:0)
(cid:0) + p n 1 f x ( sin 2 1 (cid:0) = ) n
p � � 2 � � = � �
n
n
(cid:0) (cid:0) f x f x ) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim ( n lim ( n
GiỚI HẠN MỘT PHÍA
{
}
n
0
x
= " a x x � � D x & , - < n (cid:0) •Giới hạn trái tại xo:
f x
a=
nx
0
)n
f x lim ( ) x 0 nếu x= lim thì lim (
a
•Giới hạn phải tại xo: =
x
f x lim ( ) + x 0
(cid:0)
(Xét xn>xo và xn (cid:0) xo)
xo
GiỚI HẠN MỘT PHÍA
= a
x
x
x
(cid:0) = f x lim ( ) + x 0 a (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x 0 = a - (cid:0) f x lim ( ) x 0
(cid:0) (cid:0) VD: (cid:0) x , 1,
= (cid:0) f x 1 / ( ) Xét gh của f(x) tại xo = 1
(cid:0) - (cid:0) 1 x x 2 < x 1 , 1,
1
= = 1= x - = 1) - - (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) + x 1 (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) x lim (2 x 1 1 lim x+ x 1
1
= � (cid:0) f x lim ( ) 1 x
= f x 2 / ( ) , Xét gh của f(x) tại xo = 0 1 x
0
0
= = +(cid:0) = = - (cid:0) , - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x lim ( ) + x f x lim ( ) x lim + x 0 lim x 0 1 x 1 x
(cid:0) f(x) không có gh khi x (cid:0) 0.
(cid:0) 3 / lim x 0 x x
4/ Cho f(x) và g(x) có đồ thị như hình vẽ
y=f(x)
1. Tồn tại hay không các gh
= = A f x B (cid:0) - (cid:0) lim ( ), x 2 g x lim ( ) x 1
y=g(x)
A = 1 B không tồn tại
+
)
)
[
]
a
( f x
( g x 5
2. Tính các gh sau nếu có
/ lim x 2
(
)
4= (cid:0) -
[
]
) ( f x g x
b Không tồn tại (cid:0) / lim x 1
GiỚI HẠN CƠ BẢN
+
=
) 1
x
x
e
1. Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ
( 2 / lim 1 x
0
+
x
)
(cid:0)
1 ) x
3 / lim x 0
ln(1 x
x
= + x = 1e= ln (cid:0) (cid:0) lim ln(1 x 0
x
- e 1 = vì với phép đặt : ex – 1 = u, ta có 1, (cid:0) 4 / lim x 0 x
- e 1 = = = 1 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) + lim x 0 lim u 0 lim u 0 ln( 1) u u x ln( 1)
1 u u
x
x a ln
GiỚI HẠN CƠ BẢN
x
+ ln(1
)
+
- - a 1 e 1 = (cid:0) a ln ln a= (cid:0) (cid:0) 5 / lim x 0 lim x 0 x x a ln
(1
1
- - x ) = = a
a e a
6 / lim x 0
a x ) x
(cid:0) (cid:0) + lim x 0 x ln(1 + 1 ln(1 a x )
x
( 1 / lim 1 x
0
x = + = = BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN ) 1 x e 1, 1, (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim x 0 6 / lim x 0 x tan x
+
x
)
2
=
- x =
1
2 / lim x 0
ln(1 x
(cid:0) lim x 0 sin x 1 cos x 1 2 (cid:0)
x
p
x = = - e 1, 1, 1 (cid:0) = (cid:0) 7 / lim x 0 lim x 0 1, arcsin x x arctan x (cid:0) 3 / lim x 0 x
x
a
+
x - = a " > a 1 0, 0 = 8 / lim (cid:0) +(cid:0) x a ln ln xa (cid:0) 4 / lim x 0 x
=
" > a
(1
1
0,
1
x
=
a
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
-
5 / lim x 0
a x ) x
(cid:0)
LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN
1. Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.
2. Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp.
(cid:0) (cid:0) , (cid:0) (cid:0) (cid:0) , chuyển về 0/0
3. Nếu dạng VĐ là 0(cid:0) /(cid:0) hoặc (cid:0)
4. Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau:
a. lấy lim của lnf(x)
b. [u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x)
c. Dạng 1(cid:0) , dùng gh (1+x)1/x (cid:0) e
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
x
)
=
1
(cid:0) VÍ DỤ
x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
(cid:0) - -
3 / lim x 0
x x
a
1
=
a
ln
Dạng 0/0 (cid:0) - (cid:0) x x 1 cos5 1 cos 2 1 / lim x 0 -
4 / lim x 0
x +
(cid:0)
(1
1
=
a
-
a x ) x
=
x
1,
=
2
- (cid:0) x
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
2
x
=
2
1 2
(cid:0) (cid:0) = (cid:0) - - (cid:0) x lim x 0 x (5 ) x (2 ) (cid:0)
=
=
1,
1,
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
=
1 cos5 2 x (5 ) 1 cos 2 2 x (2 ) (cid:0) (cid:0)
p
x
=
" > a
25 4
= (cid:0)
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
1 / 2 25 4 1 / 2
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
p p
x
ln(1
)
=
1
x
(cid:0) = A Dạng 0/0 - x cos x 2 (cid:0) 2 / lim x (cid:0)
2
2 / lim x 0 e
x 1 =
1,
-
3 / lim x 0
x x
(cid:0) p
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
x +
- = - u x x Đặt: = - x 0 (cid:0) 2
(1
1
=
a
-
a x ) x
(cid:0)
=
x
1,
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
x
=
2
1 2
=
=
1,
1,
cos (cid:0) (cid:0) = A - (cid:0) - lim x 0 p � �+� � u 2 � � u 2 (cid:0)
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
=
(cid:0) (cid:0)
=
1 2
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
(cid:0) lim u 0 u sin u 2
+
=
(
) 1
x
x
e
x
sin
1 / lim 1 x
0
+
x
)
(cid:0) - e 1
=
1
x
Dạng 0/0 (cid:0) (cid:0) 3 / lim x 0 x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
-
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
x
sin
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
- - e x (cid:0) = (cid:0)
x +
(1
1
=
a
(cid:0) - lim x 0 x 1 sin x sin
a x ) x
=
x
1,
=
(cid:0)
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
x
=
2
(cid:0) (cid:0) = (cid:0) = 1 1 1 -
1 2
=
=
1,
1,
(cid:0)
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
(cid:0) (cid:0)
+
=
(
) 1
x
x
e
x
x
2
1 / lim 1 x
0
+
x
)
(cid:0) - e 3
=
1
x
Dạng 0/0 (cid:0) (cid:0) 4 / lim x 0 x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
x
x
1,
2
-
3 / lim x 0
x x
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
x +
(cid:0) - - - e 1) = - (cid:0) lim x 0 1 (3 x (cid:0)
(1
1
x
x
2
=
a
a x ) x
=
x
1,
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
- - - e (cid:0) 1 3 = - = - 2 ln 3 (cid:0) (cid:0) x x 2 (cid:0) � lim 2 � x 0 � � 1 � �
x
=
2
-
1 2
=
=
1,
1,
(cid:0) Có thể biến đổi như sau:
x
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
2
x
x
(cid:0) (cid:0)
2
-
(
x
e - 1 3 e 3 = 3
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
x
ln xa
x
0
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
) x 2 � � e (cid:0) � � 1 ln 3 � �
x a
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
x
)
=
1
3
(cid:0) - x tan sin Dạng 0/0
x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
(cid:0) (cid:0) 5 / lim x 0 x x -
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
- - x = - (cid:0)
x +
(1
1
=
a
(cid:0) (cid:0) � � � -
a x ) x
(cid:0) -
=
x
1,
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
x
=
2
1 2
=
=
1,
1,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = - 1 2 = (cid:0) 1 SAI - (cid:0) x x x tan (1 cos ) 1 tan 1 sin � = lim lim � 3 2 2 x x x x x � x x 0 0 x x 1 cos tan lim 1 1 � � 2 x = x x 0 lim 0 � � 2 2 x x � � x 0 (cid:0)
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
(cid:0) (cid:0)
+
=
(
) 1
x
x
e
+
3
1 / lim 1 x
0
+
x
)
(cid:0)
=
1
x 4 +� x 2 3 � �-� � x 2 1 �
x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
(Dạng 1(cid:0) ) 6 / (cid:0) lim (cid:0) +(cid:0) x -
3 / lim x 0
+
x x
3
(cid:0)
a
1
=
a
ln
-
4 / lim x 0
x +
(cid:0) =
x 4 4 � �- x 1 �
(1
1
=
a
- 2 � +� lim 1 (cid:0) +(cid:0) � x
a x ) x
=
x
1,
=
(cid:0)
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
(cid:0) (cid:0)
x
x +
(4
3)
=
2
1 2
4 1x-
1
=
=
1,
1,
- 0 (cid:0) -
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
(cid:0) (cid:0)
=
x
x 2 � 4 � �
2 � � � � �
- 4 x 2 1
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
16 2
8
a
� � � +� lim 1 � (cid:0) +(cid:0) � � �
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
= = e e
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
x
)
=
- (cid:0) 1 = A Dạng 0/0
1
5 2 x 31
x
(cid:0) - 7 / lim x (cid:0) x 1
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
-
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
x +
Đặt: = - u x x - 1 = - x 0 (cid:0)
(1
1
=
a
2
5
-
a x ) x
=
x
1,
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
(cid:0) + - 1 = A (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) + - lim u u 1 1
x
=
2/5
2
-
1 2
=
=
1,
1,
1/3
(cid:0) u ( 30 + - u ( 1) 1 =
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
2/5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) + - lim u 0 u ( 1) 1
p
x
=
" > a
+ - u ( 1 = (cid:0)
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
u 1/3 (cid:0) + - 1) u lim u 0 u ( 1) 1
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
2
+
(cid:0)
x
)
=
1
x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
x ) Dạng 0/0 (cid:0) (cid:0) - 8 / lim x 0 + ln(1 2 2 x sin
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
a
1
=
a
ln
-
4 / lim x 0
x +
(Biểu thức trong ln tiến về 1) (cid:0)
(1
1
=
a
-
a x ) x
2
2
=
x
1,
(cid:0)
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
2
x
=
2
1 2
=
=
1,
1,
+ (cid:0) x ) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 2 x ln(1 2 2 - (cid:0) lim x 0 x x 2 sin (cid:0)
7 / lim x 0
lim x 0
2
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
2 x � � � � x sin � �
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
(cid:0) (cid:0) + ) = (cid:0) (cid:0) 2 x ln(1 2 2 (cid:0) lim x 0 x 2
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
x
)
+
=
1
x
(cid:0) (cid:0) x x (cid:0) 9 / ln Dạng 0(cid:0) (cid:0) (cid:0) lim x 0
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
-
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
a
1
=
a
ln
4 / lim x 0
x +
- (Biểu thức trong ln tiến về 0) (cid:0)
(1
1
=
a
a x ) x
- - (cid:0) = - (cid:0) x x
)1
(
+
=
x
1,
ln
=
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
(cid:0) (cid:0) lim x 0 (cid:0)
x
=
2
1 2
+
=
=
- ln (cid:0) = -
1,
1,
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
(cid:0) lim x 0 (cid:0) (cid:0)
p
x
=
" > a
u
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
= - 0= lim (cid:0) +(cid:0) 1 � � � � x � � 1 � � � � x u ln � � � � u � �
+
=
(
) 1
x
x
e
1 / lim 1 x
0
+
1 2 x
x
)
100 x
(cid:0)
=
1
x
2 / lim x 0 e
ln(1 x 1 =
1,
e (cid:0) (cid:0) 10 / lim x 0 (cid:0) - Dạng 0(cid:0)
3 / lim x 0
x x
(cid:0)
a
1
=
a
ln
-
4 / lim x 0
1 2 x
(cid:0)
x +
(1
1
=
a
e - =
a x ) x
=
x
1,
=
(cid:0) (cid:0) lim x 0
1,
lim x 0
x tan x
6 / lim x 0
5 / lim x 0 sin x
50 1 � � � � 2 � � x
(cid:0) (cid:0)
x
=
2
-
1 2
u
=
=
1,
1,
(cid:0)
7 / lim x 0
lim x 0
1 cos lim x x 0 x arcsin x
x arctan x
(cid:0) (cid:0) = = +(cid:0)
u
p
x
=
" > a
0,
0
8 / lim (cid:0) +(cid:0) x
ln xa
a
=
" > a
0,
1
x
lim (cid:0) +(cid:0) x
x a
e 50 lim (cid:0) +(cid:0) u
x Không có dạng vô định. 11 /
x
lim (cid:0) +(cid:0) sin x
x - (cid:0) (cid:0) , với mọi x > 0
sin x 1 x 1 x
x (cid:0) + (cid:0)
0 0
x = 0 (cid:0)
x
lim (cid:0) +(cid:0) sin x
![Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 5 - Cao Nghi Thục [Full kiến thức]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2023/20230227/bapnep06/135x160/8041677471259.jpg)
