Bài giảng Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chia sẻ: Lâm Quang Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

208
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Bài 1. Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa. Sô TH 2 · (n − 2)! có thể: 312 Số TH thuận lợi cho A: 2 · 1 · (n − 2)! + (n − 2) · 4 5 a) A = {I: 4, II: 5}. Số TH thuận lợi cho A: C12 C8 . 2 · (n − 2)! = 2 (n − 1)!. P (A) = 2 (n − 1)! = 2 4 5 n! n C C P (A) = 12 8 = 0, 05216 Bài 4. Gọi l là độ dài của thanh; x, y là độ dài 2 312

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Bài 1. Phép thử: 12 hành khách lên 3 toa. Sô TH 2 · (n − 2)! có thể: 312 Số TH thuận lợi cho A: 2 · 1 · (n − 2)! + (n − 2) · a) A = {I: 4, II: 5}. Số TH thuận lợi cho A: C12 C8 . 2 · (n − 2)! = 2 (n − 1)!. P (A) = 2 (n − 1)! = 2 4 5 n! n 4 5 CC P (A) = 12 8 = 0, 05216 Bài 4. Gọi l là độ dài của thanh; x, y là độ dài 2 312 b) B = {mỗi toa có 4 người lên}. Số TH thuận lợi đoạn nào đó; đoạn còn lại là l − x − y . Ta có C4 C3 cho B : C12 C8 . P (B ) = 12 8 = 0, 0652 4 4 Ω = {(x, y ) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x + y ≤ l} 312 c) C = {2 người A, B cùng lên 1 toa}. Số TH Gọi A = {(x, y ) ∈ R2 : x, y, l − x − y lập thành tam 3 · 1 · 310 1 10 thuận lợi cho C : 3 · 1 · 3 . P (C ) = = giác}. Ta có 312 3 Chú ý: Trong Mathematica, để tính Cn , dùng lệnh k x < y + l − x − y; y < x + l − x − y; l − x − y < x + y Binomial[n, k] hay Bài 2. Phép thử: lấy 5 bi. Số TH có thể: C13 5 l l l A = {(x, y ) ∈ R2 : x < , y < , x + y > } A = {≥ 2T}. A = {≤ 1T}. Xét 2 TH 2 2 2 y 5 *TH1: 0T. Số TH: C7 4 *TH2: 1T. Số TH: 6 · C7 l 5 4 Số TH thuận lợi cho A: C7 + 6 · C7 . P A = 5 4 C7 + 6 · C7 7 = 0, 1795. P (A) = 1 − P A = = l 5 C13 39 2 1 − 0, 1795 = 0, 8205 A Bài 3. Phép thử: n người ngỗi ngẫu nhiên vào bàn x (n chỗ). Số TH có thể: n! O l l a) A = {2 người xác định ngồi cạnh nhau}. 2 Số TH thuận lợi cho A: n · 2 · (n − 2)!. P (A) = SA 1 Dễ thấy P (A) = = n · 2 · (n − 2)! 2 SΩ 4 = n! n−1 Bài 5. Ai = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3, 4. b) TH bàn dài. Xét 2 TH: P (A1 ) = 0, 6, P (A2 ) = 0, 7, P (A3 ) = *TH1: người thứ 1 ngồi đầu bàn. Số TH: 2 · 1 · 0, 8, P (A4 ) = 0, 9 (n − 2)! A = {trên bia có 3 vết đạn}. B = {người 1, 2, 3 *TH2: người thứ 1 ngồi giữa bàn. Số TH: (n − 2) · bắn trúng, người 4 trượt}. Cần tìm P (B |A)
B ⊂ A ⇒ AB = B = A1 A2 A3 A4 . P (AB ) = Bài 8. (sửa “có ≥ 1 người lấy đúng mũ”: tương tự 177 bài 7, đáp án: = 0, 6321) 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 = 0, 0336 280 C 4 + 5C 3 A = A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + Bài 9. tương tự bài 2, đáp án: 1 − 23 4 23 = C28 A1 A2 A3 A4 79 = 0, 135 P (A) = 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 + 0, 6 · 0, 7 · 0, 2 · 0, 9 + 585 Bài 10. áp dụng 2 kết quả: 0, 6 · 0, 3 · 0, 8 · 0, 9 + 0, 4 · 0, 7 · 0, 8 · 0, 9 = 0, 4404 P (AB ) 0, 0336 * A, B độc lập ⇔ P (AB ) = P (A) P (B ) P (B |A) = = = 0, 07629 P (A) 0, 4404 * P (A) = 1 − P A Bài 6. A = {người i bắn trúng}, i = 1, 2, 3. i Bài 11. Ai = {máy i hỏng}, i = 1, 2, 3. P (A1 ) = P (A1 ) = 0, 6, P (A2 ) = 0, 7, P (A3 ) = 0, 8 a) A = {chỉ người 2 bắn trúng} = A1 A2 A3 . 0, 3, P (A2 ) = 0, 2, P (A3 ) = 0, 1 A = {≥ 2 máy không hỏng} = A1 A2 A3 +A1 A2 A3 + P (A) = 0, 4 · 0, 7 · 0, 2 = 0, 056 b) B = {có đúng 1 người bắn trúng} = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 P (A) = 0, 7 · 0, 8 · 0, 1 + 0, 7 · 0, 2 · 0, 9 + 0, 3 · 0, 8 · P (B ) = 0, 6·0, 3·0, 2+0, 4·0, 7·0, 2+0, 4·0, 3·0, 8 = 0, 9 + 0, 7 · 0, 8 · 0, 9 = 0, 902 Bài 12. *H1 = {lần 1: Đ}, H2 = {lần 1: T} 0, 188 4 5 c) C = {cả 3 đều bắn trúng} = A1 A2 A3 . P (C ) = P (H 1 ) = , P (H 2 ) = 9 9 0, 6 · 0, 7 · 0, 8 = 0, 336 * A = {lần 2: Đ, lần 3: T} d) D = {≥ 1 người bắn trúng} 1 3·5 15 4·4 2 = , P (A|H2 ) = P (A|H1 ) = = 8·7 56 8·7 7 D = {cả 3 bắn trượt} = A1 A2 A3 ⇒ P (D ) = 4 P (A) = P (H1 ) P (A|H1 ) + P (H2 ) P (A|H2 ) = · 1 − P D = 1 − 0, 4 · 0, 3 · 0, 2 = 0, 976 9 15 5 2 5 Bài 7. (xem vd3 tr18)Ai = {sv i lấy đúng áo}, i = 56 + 9 · 7 = 18 = 0, 2778 1, 2, 3, 4 Bài 13. * A1 = {bi 1 và 2: Đ}, A2 = {bi 1 và 2: T}, A = {bi 1 và 2 cùng màu} = A1 + A2 A = {≥ 1 sv lấy đúng áo} = A1 + A2 + A3 + A4 5·4 6·5 5 1 · 3! 1 P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) = + = P (Ai ) = = 11 · 10 11 · 10 11 4! 4 * B = {bi 3: Đ}. 1 · 1 · 2! 1 = ,i
2 C4 2 1 − p2 P (H 3 ) = 2 = C10 15 Máy bay 4 động cơ an toàn hơn 2 động cơ ⇔ * A = {2 bi lấy ở hộp II cùng màu} 1 P (A4 ) > P (A2 ) ⇔ 1 − 4p3 + 3p4 > 1 − p2 ⇔ p < 3 2 2 C9 + C3 13 , P (A|H2 ) P (A|H1 ) = = = Bài 17. Đặt A = {sinh con trai}, p = P (A) 2 C1222 2 2 C2 + C2 C8 + C4 17 31 = , P (A|H3 ) = 7 2 5 = * Trong các gia đình 2 con: B = {sinh có trai, có 2 C12 33 C12 66 gái}, C = {sinh con 1 bề} P (A) = P (H1 ) P (A|H1 ) + P (H2 ) P (A|H2 ) + 1 13 8 17 2 31 1 P (B ) = C2 p (1 − p) = 2p (1 − p), P (C ) = P (H3 ) P (A|H3 ) = · + · + · = 3 22 15 33 15 66 C2 (1 − p)2 + C2 p2 = p2 + (1 − p)2 529 0 2 = 0, 5343 990 Dễ thấy P (B ) ≤ P (C ) (đpcm) b) B = {2 bi lấy ở hộp II: 2Đ}. Tương tự a) * Trong các gia đình 3 con: tương tự P (B ) = 6 223 P (B | H 1 ) = , P (B ) = 11 495 C3 p (1 − p)2 + C3 p2 (1 − p) = 3p (1 1 2 − p) , P ( C ) = P (H 1 ) P (B | H 1 ) C3 (1 − p)3 + C3 p3 = 1 − 3p (1 − p) 0 3 Cần tính P (H1 |B ) = = P (B ) 1 3 1 16 Với p = thì P (B ) = , P (C ) = nên khẳng · 2 4 4 3 11 = 90 = 0, 4036 định không còn đúng 223 223 495 Bài 18. Ai = {lần i xh mặt sấp}, i = 1, . . . , 10. 8 1 c) Cần tính P (H2 A) = P (H2 ) P (A|H2 ) = · P (Ai ) = 15 2 17 136 A = {có 2 chữ giống nhau liền kề nhau} = = 0, 2747 33 495 Bài 15. * H1 = {sp thuộc nm I}, H2 = {sp thuộc A = A1 A2 A3 A4 . . . A9 A10 + A1 A2 A3 A4 . . . A9 A10 1 1 nm II}, H3 = {sp thuộc nm III} P A = 9 , P (A) = 1 − 9 = 0, 998 2 2 P (H 1 ) = 0 , 4 , P (H 2 ) = 0 , 3 , P (H 3 ) = 0 , 3 Bài 19. Phép thử: n con thỏ vào n lồng. Số TH có * A = {sp là phế phẩm} thể: n! a) A = {k thỏ nâu vào k lồng màu nâu, n − k thỏ P (A|H1 ) = 0, 1, P (A|H2 ) = 0, 2, P (A|H3 ) = trắng vào n − k lồng trắng} 0, 15 Số TH thuận lợi cho A: k ! (n − k )! P (A) = P (H1 ) P (A|H1 ) + P (H2 ) P (A|H2 ) + P (H3 ) P (A|H3 ) = 0, 4 · 0, 1 + 0, 3 · 0, 2 + 0, 3 · 0, 15 = k ! (n − k )! 1 P (A) = =k n! Cn 0, 145 b) Ai = {con thỏ thứ i vào đúng lồng}, i = P (H3 ) P (A|H3 ) * Cần tính P (H3 |A) = = P (A) 1, . . . , n 0, 3 · 0, 15 = 0, 3103 A = {≥ 1 con vào đúng lồng} = A1 + A2 + . . . + An 0, 145 Bài 16. A4 = {máy bay có 4 động cơ bay được} = (xem vd3 tr18) (−1)n−1 {≥ 2 động cơ không hỏng} = {≤ 2 động cơ hỏng} 1 1 đáp án: P (A) = 1 − + − ...+ 2! 3! n! C4 (1 − p)4 + C4 p (1 − p)3 0 1 P (A4 ) = + Bài 20. Phép thử: chọn 5 người. Số TH có thể: C26 5 C4 p2 (1 − p)2 = 1 − 4p3 + 3p4 2 a) A = {≥ 1 bác sĩ} Tương tự P (A2 ) = C2 (1 − p)2 + C2 p (1 − p) = 0 1 A = {không có bác sĩ}. Số TH thuận lợi cho A:
18 C5 P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC ) = 5 P (A)+ P (B )+ P (C ) − P (A) P (B ) − P (A) P (C ) − C18 , P (A) = 1 − P A = 0, 8697 PA= 5 C26 P (B ) P (C )+ P (A) P (B ) P (C ) = 0, 4+0, 5+0, 6 − b) B = {1 bác sĩ, 1 hộ lí, 3 y tá}. Số TH thuận lợi 0, 4 · 0, 4 − 0, 4 · 0, 6 − 0, 5 · 0, 6 + 0, 4 · 0, 5 · 0, 6 = 0, 88 3 cho B : 8 · 6 · C12 Chú ý. Có thể dùng CT P (A + B + C ) = 1 − 3 8·6· C12 48 P A+B+C = 1−P AB C P (B ) = = = 0, 1605 5 C26 299 Bài 24. * H1 = {xe lấy được là xe ca}, H2 = {xe Bài 21. a) * H1 = {sp thuộc px 1}, H2 = {sp thuộc lấy được là xe con} px 2}, H3 = {sp thuộc px 3} 4 3 7 5 4 P (H 1 ) = , P (H 2 ) = P (H 1 ) = , P (H 2 ) = , P (H 3 ) = 7 7 16 16 16 * A = {xe lấy được hoạt động tốt} * A = {sp là chính phẩm} P (A|H1 ) = 0, 8, P (A|H2 ) = 0, 75 P (A|H1 ) = 0, 95, P (A|H2 ) = 0, 91, P (A|H3 ) = 4 0, 85 P (A) = P (H1 ) P (A|H1 ) + P (H2 ) P (A|H2 ) = · 7 3 P (A) = P (H1 ) P (A|H1 ) + P (H2 ) P (A|H2 ) + 0, 8 + · 0, 75 = 0, 7786 7 7 5 4 P (H3 ) P (A|H3 ) = · 0, 95 + · 0, 91 + · 0, 85 = P (H1 ) P (A|H1 ) 16 16 16 * Cần tính P (H1 |A) = = 0, 9125 P (A) 4/7 · 0, 8 P (H1 ) P (A|H1 ) = 0, 7786 = 0, 5871 b) Cần tính P (H1 |A) = P (A) 7/16 · 0, 95 Bài 25. A = {một người ủng hộ dự luật}, p = = 0, 455479 0, 9125 P (A) = 0.75 Bài 22. A = {lấy được bi đỏ trong kho}, p = B = {đa số trong 11 người ủng hộ dự luật} = {A P (A) = 0, 5 xảy ra ≥ 6 lần} Số lần thử n = 12 n Cn pk (1 − p)n−k k P (B ) = = Hi = {lấy được i bi đỏ} = {A xảy ra i lần}, i = k =6 11 0, 12 C11 · 0, 75k · 0, 2511−k = 0, 9657 k P (Hi ) = Cn pi (1 − p)n−i = C12 0, 512 i i k =6 Chú ý: Trong Math, để tính tổng trên, dùng lệnh B = {7 lần lấy được 7 bi đỏ} (trong 12 bi, có hoàn 11 Binomial[11, k] ∗ 0.75k ∗ 0.2511−k lại) k=6 7 i P (B | H i ) = Bài 26. * H1 = {lấy được hộp I}, H2 = {lấy được 12 hộp II}, H3 = {lấy được hộp III} 12 1 P (B ) = P (H i ) P (B | H i ) = P (H 1 ) = P (H 2 ) = P (H 3 ) = 3 i=0 12 7 i * Phép thử: lấy 1 bi trong hộp chọn được, n = 4 C12 0, 512 i = 0, 0272636 12 lần thử, A = {lấy được bi đen} i=0 C12 0, 512 12 P (H12 ) P (B |H12 ) ·1 3 2 P (H12 |B ) = = = P (A|H1 ) = = 0, 5, P (A|H2 ) = = P (B ) 0, 0272636 6 4 2 0, 00895481 0, 5, P (A|H3 ) = = 0, 4 5 Bài 23. P (A + B + C ) = P (A) + P (B ) + * B = {≥ 2Đ}
P (B | H 1 ) = C 4 · 0 , 5 2 · 0 , 5 2 + C 4 · 0 , 5 3 · 0 , 5 + C 4 · 2 3 4 0, 54 = 0, 6875 P (B | H 2 ) = C 4 · 0 , 5 2 · 0 , 5 2 + C 4 · 0 , 5 3 · 0 , 5 + C 4 · 2 3 4 0, 54 = 0, 6875 P (B | H 3 ) = C 4 · 0 , 4 2 · 0 , 6 2 + C 4 · 0 , 4 3 · 0 , 6 + C 4 · 2 3 4 0, 44 = 0, 5248 * P (B ) = P (H 1 ) P (B | H 1 ) + P (H 2 ) P (B | H 2 ) + 1 1 1 P (H 3 ) P (B | H 3 ) = · 0, 6875 + · 0, 6875 + · 3 3 3 0, 5248 = 0, 6333 Bài 27. Phép thử: lấy 1 điểm trong hình tròn (O ), n = 5 lần thử, A = {điểm nằm trong ∆ABC } √ √ 3 3R2 S∆ABC 33 4 p = P (A) = = = = 0, 4134 πR2 S(O) 4π * B = {≥ 1 điểm nằm trong ∆ABC } = {A xảy ra ≥ 1 lần} = (1 − p)5 = B = {A không xảy ra}. P B 0, 0694 P (B ) = 1 − P B = 0, 9306 Bài 28. Đặt Ai = {quả cầu lấy từ hộp i là đỏ}, i = 1, 2, . . . m k P (A1 ) = , P A1 = m+k m+k m+1 m P (A2 |A1 ) = , P A2 |A1 = m+k+1 m+k+1 P (A2 ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) + P A1 P A2 |A1 = m m+1 k m m · + · = m+k m+k+1 m+k m+k+1 m+k k P A2 = 1 − P (A2 ) = m+k Tương tự, ta dễ dàng quy nạp và kết luận P (Ai ) = m ∀i m+k
Chương 2 ĐLNN và phân bố xs Bài 1. a) Phép thử: gieo đồng tiền A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 Ai Bi ⇒ P (X = i) = P A1 P B1 |A1 . . . P Ai |A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 + Số lần thử: n = 3. A = {x/h mặt sấp}, p = 1 P A1 P B1 |A1 . . . P Bi |A1 B1 . . . Ai−1 Bi−1 Ai = P (A) = . 2 (1 − p1 )i−1 (1 − p2 )i−1 p1 + (1 − p1 )i (1 − p2 )i−1 p2 = X = số lần x/h mặt sấp = số lần A xảy ra ⇒ X ∼ (1 − p )i−1 (1 − p )i−1 (p + p − p p ) p:=(1−p1 )(1−p2 ) = 1 2 1 2 12 B (n, p) i− 1 p (1 − p) P (X = i) = Cn pi (1 − p)n−i , i = 0, n i Vậy P (X = i) = pi−1 (1 − p) , i = 1, 2, . . . 0 1 2 3 X ∞ 1 i · pi−1 (1 − p) = b) EX = xi pi = 1 3 3 1 1−p P i i=1 8 8 8 8 (EX )2 x2 pi DX = − = b) F (x) = P (X < x) = pi = i i i:xi
y {X = 0} = A1 A2 A3 ⇒ P (X = 0) = 0, 8 · 0, 7 · y = F (x) 0, 75 = 0, 42 1 {X = 2} = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ⇒ P (X = 2) = 0, 2 · 0, 3 · 0, 75 + 0, 2 · 0, 7 · 0, 25 + 0, 8 · 0, 3 · 0, 25 = 0, 14 {X = 3} = A1 A2 A3 ⇒ P (X = 3) = 0, 2 · 0, 3 · 0, 25 = 0, 015 ⇒ P (X = 1) = 1 − 0, 42 − 0, 14 − 0, 015 = 0, 425 x O 0 1 2 3 X 0,42 0,425 0,14 0,015 P a a a a 1 b) P − < X < =F −F − =+ b) Tương tự bài 1 2 2 2 2 2 1π 1 1 −π 1  ·− +· = 0 x≤0  π6 2π6 3     0, 42 0 4}; π π 4 A = {0 ≤ X ≤ }; p = P (A) = p (x) dx = p = P (A) = P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − 4 0 1 4 λi √ e−λ = 0, 559507 22 i! i=0 π Số lần X ∈ 0, có khả năng nhất = số lần A B = {có 3 ngày mà số tai nạn > 4} = {A xảy ra 4 xảy ra với khả năng cao nhất = k0 3 lần} 1 1 3 np + p − 1 = 5 · √ + √ − 1 = √ − 1 = 33 P (B ) = C4 p (1 − p) = 0, 308614 22 22 2 1, 12132 ∈ Z ⇒ k0 = 1 + 1 = 2 / Bài 7. a) NX: F (x) liên tục tại ∀x = a, −a XS cần tìm p0 = C5 p2 (1 − p)3 = 0, 337682 2 * ĐK liên tục tại a: lim+ F (x) = lim F (x) = π2 − 8 x→ a x→a− π c) EX = 0, DX = = 0, 467401; σ (X ) = F (a) ⇒ 1 = A + B 4 2 0, 683667 π 1 1 * Tương tự tại −a: 0 = A − B ⇒ A = , B = π Bài 9. X = chiều cao của 1 người; X ∼ N (160, 36) 2 2
Dãy thử Bernoulli: đo chiều cao của từng người; Bài 12. a) Dãy thử Bernoulli: lấy điểm trong hình số lần thử n = 4 tròn; số lần thử n = 6 A = {chiều cao trong khoảng (168, 162)} = A = {điểm thuộc lục giác đều ABCDEF } √ √ {158 < X < 162} 6 · 1 R2 23 SABCDEF 33 2 p = P (A) = = = = πR2 S(O) 2π p = P (A) = P (158 < X < 162) = 0, 826993 162 − 160 158 − 160 1 Φ −Φ =Φ − 6 6 3 B = {≥ 2 lần lấy được điểm trong lục giác} = {A 1 xảy ra ≥ 2 lần} Φ− = 0, 261117 3 6 B = {có ≥ 1 người có chiều cao trong khoảng C6 pi (1 − p)6−i = 0, 999204 i P (B ) = (158, 162)} = {A xảy ra ≥ 1 lần} ⇒ B = {A không i=2 b) X = số lần lấy được điểm trong lục giác = {số xảy ra} lần A xảy ra} ⇒ X ∼ B (n, p) = (1 − p)4 = 0, 298059 ⇒ P (B ) = PB Cần tính EX = np = 4, 96196 0, 701941 ∞ √ f (x) dx = 1 ⇒ ae4 π = 1 ⇒ a = Bài 13. a) Bài 10. X ∼ Pλ , EX = λ = 3 −∞ 1 a) (tương tự bài 9) Dãy thử Bernoulli: quan sát √ = 0, 0103335 4π e X ; số lần thử n = 6 1 b) EX = 2, DX = (tương tự bài 7) A = {X ≥ 1}; p = P (A) = P (X ≥ 1) = 1 − 2 3,5 −λ P (X = 0) = 1 − e = 0, 950213 c) P (1 < X < 3, 5) = f (x) dx = 0, 904403 1 B = {có ≥ 1 lần thấy X ≥ 1} = {A xảy ra ≥ 1 Bài 14. X = khối lượng tấm bê tông; X ∼ lần} ⇒ B = {A không xảy ra} N (a, σ 2 ) , a = 75 kg, σ = 2 kg 6 P (B ) = 1 − P B = 1 − (1 − p) ≈ 1 Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khối lượng các tấm; b) Dãy thử Bernoulli: quan sát X ; số lần thử n = số lần thử n = 300 100 A = {khối lượng tấm bê tông > 73 kg} = {X > A = {X > 3}; p = P (A) = P (X > 3) = 1 − 73} 3 λi e−λ = 0, 352768 P (X ≤ 3) = 1 − p = P (A) = P (X > 73) = 1 − P (X ≤ 73) = i! i=0 73 − 75 1−Φ = 1 − Φ (−1) = Φ (1) = 0, 841345 Y = số lần thấy X > 3 = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ 2 B (n, p) Y = số tấm có khối lượng > 73 kg = số lần A xảy ra ⇒ Y ∼ B (n, p) Cần tính EY = np = 35, 2768 Cần tính EY = np = 252, 4034 Bài 11. X = số sv giỏi, ImX = {0, 1, 2, 3} C3 C17 i i 6− Bài 15. X = số viên đạn chưa dùng đến; ImX = P (X = i) = , i = 0, 3 6 C20 {0 , 1 , 2 , 3 , 4 } 0 12 3 X Ai = {viên thứ i trúng}; P (Ai ) = 0, 6 91 917 1 P 285 190 38 57 {X = 4} = A1 A2 ⇒ P (X = 4) = P (A1 A2 ) = 9 P (A1 ) P (A2 ) = 0, 6 · 0, 6 = 0, 36 Cần tính EX = 10
{X = 3} = A1 A2 A3 ⇒ P (X = 3) = 0, 4 · 0, 62 = < 200 phút} = {A xảy ra ≥ 3 lần} 0, 144 12 C12 pi (1 − p)12−i = 0, 999486 i P (B ) = 2 {X = 2} = A2 A3 A4 ⇒ P (X = 3) = 0, 4 · 0, 6 = i=3 ∞ 0, 144 (viên 1 có thể trúng hoặc trượt) 1 Bài 18. EX = , EY = xf1 (x) dx = 2 ln 3 −∞ {X = 1} = A1 A2 A3 A4 A5 ∞ 1 yf2 (y ) dy = 5 P A1 A2 = 1 − P (A1 A2 ) = 1 − 0, 62 = 0, 64 −∞ E (X + Y ) = EX + EY = 0, 65512 P (X = 1) = P A1 A2 P A3 P (A4 ) P (A5 ) = (3 − 0)2 3 Bài 19. X ∼ U (0, 3) ⇒ DX = 0, 64 · 0, 4 · 0, 62 = 0, 09216 =. 12 4 2 P (X = 0) = 1 − 0, 36 − 0, 144 − 0, 144 − 0, 09216 = Tương tự DY = (4 − 1) = 3 12 4 0, 25984 3 X, Y độc lập ⇒ D (X + Y ) = DX + DY = ⇒ 0 1 2 3 4 X 2 √ 6 P 0,25984 0,09216 0,108 0,108 0,36 σ (X + Y ) = D (X + Y ) = 2 Số viên đạn trung bình chưa dùng đến: EY = Bài 20. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra khả năng bị tai 2, 25216 nạn của một khách hàng; số lần thử n = 400 Bài 16. H1 = {lấy bi từ hộp I} = {số chấm của xúc A = {khách hàng bị tai nạn}, p = P (A) = 0, 1 xắc > 1}; H2 = {lấy bi từ hộp II} X = số khách hàng bị tai nạn = số lần A xảy ra; 5 1 P (H 1 ) = , P (H 2 ) = X ∼ B (n, p) 6 6 X = số bi đen lấy ra; ImX = {0, 1, 2} B = {hãng bị lỗ} = {400 · 100.000 < X · 800.000} P (H1 ) P (X = i|H1 ) + = {X > 50} P (X = i) = 5 C i C5 −i 1 C i C 2−i 2 400 P (H2 ) P (X = i|H2 ) = · 4 2 + · 4 27 C400 pi (1 − p)400−i = i P (B ) = P (X > 50) = 6 C9 6 C11 i=51 0 1 2 0, 0436444 X 0,295118 0,547811 0,157071 P Bài 21. a) X = tổng số quả cầu lấy ra; ImX = Cần tính EX = 0, 861953 {M, M + 1, . . .} Bài 17. X = thời gian xe chạy từ A đến B ; X ∼ Ai = {quả thứ i đỏ}; P (Ai ) = p 2 N (a, σ ) Dễ thấy {X = i} = BAi với B = {có M − 1 quả EX = a = 180 phút, σ (X ) = 10 phút đỏ trong i − 1 quả} Dãy thử Bernoulli: kiểm tra các chuyến xe chạy Xét dãy thử Bernoulli: lấy 1 quả cầu; số lần thử: từ A đến B ; số lần thử n = 12 i−1 A = {thời gian xe chạy > 175 phút và < 200 phút} A = {lấy được quả đỏ}; P (A) = p = {175 < X < 200} Khi đó: B = {A xảy ra M − 1 lần} = ⇒ P (B ) = CiM 1 1 pM −1 (1 − p)i−1−(M −1) − p = P (A) = P (175 < X < 200) = − 200 − 180 175 − 180 (1 − p)i−M M −1 M −1 = Φ (2) − Ci−1 p Φ −Φ 10 10 Φ (−0, 5) = 0, 668712 P (X = i) = P (BAi ) = P (B ) P (A1 ) = i− M CiM 1 1 pM − (1 − p) B = {có ≥ 3 chuyến có thời gian > 175 phút và −
∞ P (Y = i, X = j ) = i · CiM 1 1 pM (1 − p)i−M = − b) EX = xi pi = − j ≥i i i= M P (X = j ) P (Y = i|X = j ) = M j ≥i p (pλ)i λj Math · Cj pi (1 − p)j −i e−λ i e−pλ Bài 22. X = số nhỏ nhất trên n tấm thẻ; ImX = = = j! Γ (i + 1) j ≥i {1 , 2 , . . . N − n + 1 } (pλ)i e−pλ Dãy thử Bernoulli: lấy n thẻ trong N thẻ; số TH i! Vậy Y ∼ Ppλ ⇒ trung bình có EY = pλ người n có thể: CN mua sp {X = i} {số nhỏ nhất là i} = {chọn được số i và 1 (x−a)2 Bài 26. f (x) = √ e− 2σ2 , ∀x n − 1 số > i} σ 2π CN−1 n P X3 < y −i G (y ) = P √Y < y ) ( = = Số TH thuận lợi: CN−1 ⇒ P (X = i) = n −i n CN 3 y √ P (X < y) = f (x) dx 3 N −n+1 C n −1 −∞ Math i · Nn i − b) EX = xi pi = = √ CN 3 y ∂ i i=1 g (y ) = G (y ) = f (x) dx + Γ (N + 2) ∂y = −∞ √ n √ ∂√ 1 1 ( 3 y −a ) CN Γ (N − n + 1) Γ (n + 2) √ e− 2σ2 f ( y) y= · = 3 3 (N + 1)! N ∂y σ 2π 3 y2 3 1 = N! √ 1 n+1 ( 3 y −a) (N − n)! (n + 1)! √ 3 e− 2σ2 n!(N −N )! 3σ 2π y 2 Bài 23. Dãy thử Bernoulli: kiểm tra 1 sp; số lần thử n = 100 A = {sp là phế phẩm}; p = P (A) = 0, 02 a) X = số phế phẩm = số lần A xảy ra ⇒ X ∼ B (n, p) b) Trung bình có EX = np = 2 (phế phẩm) c) B = {số phế phẩm < 3} = {X < 3} ⇒ P (B ) = 2 C100 pi (1 − p)100−i = 0, 676686 i P (X < 3) = i=0 Bài 24. (tương tự bài 19) DX = DY = 25 25 , D (Z ) = D (X − Y ) = DX + DY = ⇒ 12 6 5 σ (Z ) = √ 6 Bài 25. X = số khách đến siêu thị trong 1 ngày; X ∼ Pλ Y = số người mua sp; ImY = {0, 1, . . .} ∞ P (Y = i ) = P (Y = i, X = j ) = j =0 ∞ xα−1 e−x dx, (α > 0) có t/c Γ (α + 1) = 1 Γ (α) = 0 αΓ (α) , Γ (1) = 1 ⇒ Γ (n + 1) = n!
Chương 3 Véctơ ngẫu nhiên P (X = 3, Y = 2) 0, 05 Bài 1.1 P (X = 3|Y = 2) = = = P (Y = 2) 0, 3 H X HH 1 1 2 3 4 HH Y HH 6 H 1 0,1 0,15 0,06 0,09 0,4 P (X = 4, Y = 2) 0, 05 P (X = 4|Y = 2) = = = P (Y = 2) 0, 3 2 0,1 0,1 0,05 0,05 0,3 1 3 0,05 0,125 0,05 0,075 0,3 6 0,25 0,375 0,16 0,215 1234 X |Y = 2 a) 1111 P 3366 1 2 3 4 X d) Im (X + Y ) = {2, 3, 4, 5, 6, 7} 0,25 0,375 0,16 0,215 P P (X + Y = 2) = P (X = 1, Y = 1) = 0, 1 1 2 3 Y {X + Y = 3 } = {X = 1 , Y = 2 } + {X = 0,4 0,3 0,3 P 2, Y = 1} ⇒ P (X + Y = 3) = P (X = 1, Y = 2) + P (Y < 2, X < 3) b) P (Y < 2|X < 3) = P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 + 0, 15 = 0, 25 P (X < 3) Tương tự P (X + Y = 4) = 0, 05 + 0, 1 + 0, 06 = P (Y < 2, X < 3) = P (X = 1, Y = 1) + 0, 21; P (X + Y = 5) = 0, 125 + 0, 05 + 0, 09 = P (X = 2, Y = 1) = 0, 1 + 0, 15 = 0, 25 0, 265; P (X + Y = 6) = 0, 05 + 0, 05 = 0, 1; P (X < 3) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 25 + P (X + Y = 7) = 0, 075 0, 375 = 0, 625 2 3 4 5 6 7 X +Y 0, 25 P (Y < 2|X < 3) = = 0, 4 0, 625 0,1 0,25 0,21 0,265 0,1 0,075 P P (X = 1, Y = 2) e) 0, 1; P (X = 1, Y = 2) = P (X = 1) · c) P (X = 1|Y = 2) = = P (Y = 2) P (Y = 2) = 0, 3 · 0, 25 = 0, 075 0, 1 1 = 0, 3 3 P (X = 1, Y = 2) = P (X = 1) · P (Y = 2) ⇒ P (X = 2, Y = 2) 0, 1 = X, Y không độc lập P (X = 2|Y = 2) = = P (Y = 2) 0, 3 1 Bài 2. 3 1 = 1  , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d  f (x, y ) = SA ( b − a ) ( d − c) tìm hệ số tương quan ρXY : E (XY ) = 4, 49; EX = 1 còn lại 0,  2 2, 34; EY = 1, 9; cov (X, Y ) = 0, 044; E X = 6, 63; E Y 2 = 4, 3; DX = 1, 1544; DY = 0, 69; ρXY = 0, 0493
y ∞ ∞ 5A ⇒ dx f (x, y ) dy = 1 ⇒ =1⇒A= 4 −∞ −∞ d 4 5 A b) c  2(12x +3x+2)  2 0 b, y > d P (X < 0, 5; Y > 0, 5) = f (x, y ) dxdy   x − a   x0,5 b− a, a < x ≤ b, y > d    0,5 ∞ y − c  , x > b, c < y ≤ d = dx f (x, y ) dy = 0, 1875 d − c 0,5 −∞  (x − a) (y − c)   (b − a) (d − c) , a < x ≤ b, c < y ≤ d   2(6y +3y+4)   2  0 0 0,5 f1 (x) = 0, 1875  0, x≤0 P (X < 0, 5|Y > 0, 5) = = 0, 288462 0, 65  2e−2y , y > 0  2 2 c, x + y ≤ 1 f2 (y ) =  Bài 5. a) f (x, y ) = 25 16  0, y≤0 0, ngược lại  X, Y độc lập ⇒ f (x, y ) = f1 (x) f2 (y ) ∀x, y ∞ f (x, y ) dxdy = 1 ⇒ g (z ) = f (x, z − x) dx = R2 ∞ ∞ −∞ dx f (x, y ) dy = 1 ⇒ 20πc = 1 ⇒  6 (e−2z − e−3z ) , z > 0 ∞ −∞ −∞ f1 (x) f2 (z − x) dx = 1 z≤0 c= = 0, 0159155 0, −∞ 20π ∞ b) X, Y độc lập ⇒ P (X < 0, 5|Y < 0, 5) = f2 (y ) = f (x, y ) dx = 0,5 −∞ P (X < 0, 5) = f1 (x) dx = 0, 77687  16 − y 2 −∞  , −4 < y < 4  8π c) X, Y độc lập ⇒ P (X < 3, Y < 2) =  ngược lại 0, 3 P (X < 3) · P (Y < 2) = f1 (x) dx · f (x, y ) −∞ ϕ (x|y ) = = 2 f2 (y ) f2 (y ) dy = 1 − e−9 1 − e−4 = 0, 981563  400 − 25y 2 2 −∞  , |x| ≤   4 16 − y 2 5 Bài 4. a) f (x, y ) dxdy = 1 R2  ngược lại 0, 
∞  x2 + y 2 ≤ R2 c) c, f1 (x) = f (x, y ) dy = Bài 9. a) f (x, y ) = √ −∞ 0, ngược lại  2 25 − x2 , −5 < x < 5  25π f (x, y ) dxdy = 1 ⇒ ngược lại  0,  R2 ∞ ∞ 1 f (x, y ) dy = 1 ⇒ cπR2 = 1 ⇒ c = f1 (x) = ϕ (x|y ) ⇒ X, Y không độc lập2 dx πR2 −∞ −∞ Bài 6. a) Tương tự 4a), 5a): ∞ f (x, y ) dxdy = f1 (x) = f (x, y ) dy = R2 104A 3 √ −∞ =1⇒A= = 0, 0288462  2 R2 − x2 3 104 , |x| < R  πR2 ∞ b) Tương tự 5c): f1 (x) = f (x, y ) dy = 0, |x| ≥ R  −∞   6x2 + 3x + 2 x 0 , 0≤x≤2  F1 (x) = f1 (u) du = f1 (x + u) du = 26 −∞ −∞ 0, ngược lại   1, x≥R √  ∞  18 2 x πR + 2x R2 − x2 + 2R2 arctg √R2 −x2  EX = xf1 (x) dx = , |x| < R 13 −∞ 2πR2   ∞   0, x ≤ −R c) f2 (y ) = f (x, y ) dx = −∞ Tương tự với f2 (y ) , F2 (y )   3y 2 + 6y + 16 , 0≤y≤2  52 f (x, y ) b) Với |x| < R thì ψ (y |x) = = 0, ngược lại f1 (x)  √ 1  R2 − x2 6x2 + 3x + 2  2√R2 − x2 , |y |  Với 0 ≤ x, y ≤ 2 thì f1 (x) f2 (y ) = · 26 ngược lại 0,  3y 2 + 6y + 16 3 (4x2 + 2xy + y 2 ) = = f (x, y ) ⇒ 52 104 1 Bài 10. a) c = X, Y không độc lập 2  cos x + sin x , 0 ≤ x ≤ π Bài 7. a) f (x, y ) dxdy = 1 ⇒ a > 0 và  R2 2 2 b) f1 (x) = ∞ ∞ 1 dx f (x, y ) dy = 1 ⇒ 2 = 1 ⇒ a = 1 ngược lại 0, a −∞ −∞ π  π 1 4 ze−z , z > 0 ∞ P X< = f1 (x) dx = b) g (z ) = f (x, z − x) dx = 4 2 −∞ 0, z≤0 −∞ f (x, y ) c) ψ (y |x) = = f1 (x) Bài 8. a) f (x, y ) dxdy = 1 ⇒ sin (x + y ) π R2 , 0≤y≤  ∞ ∞ A  cos x + sin x 2 dx f (x, y ) dy = 1 ⇒ = 1 ⇒ A = 20 20 ngược lại 0,  −∞ −∞ b) π 2 + 8π − 32 F (x, y ) = f (u, v) dudv = π d) EX = , DX = = 4 16 u
x z −u 0 1 1 2 3 X −1 Y du f (u, v) dv = , 0,2 0,4 0,4 0,5 0,25 0,25 P P −∞ −∞ x 0 du f (u, z − u + v ) dv = P (Y = 1, X = 0) c) P (Y = 1|X = 0) = = −∞ −∞ 0 0 P (X = 0) du f (x + u, z − x − u + v) dv = 0, 2 0, 1 = 0, 5. Tương tự P (Y = 2|X = 0) = = −∞ −∞ 0, 4 0, 4 0 0 = 0, 25; P (Y = 3|X = 0) = 0, 25 du f1 (x + u) f2 (z − x − u + v ) dv −∞ −∞ 1 2 3  Y |X = 0 1 − e−2x − 2xe−2z , 0 x 1
 λ1 e−λ1 x , x > 0 d) P (X + Y < 3) = f (x, y ) dxdy = Bài 15. a) f1 (x) = x+y 0 −∞ −∞ 0 ∞ f2 (y ) = 1 dx f (x, 3 − x + y ) dy = 0, y≤0 48 −∞ −∞ ∞ 55 g (z ) = f (x, z − x) dx = E (X + Y ) = EX + EY = 9 −∞ ∞ e) có hàm mật Z = X +Y f1 (x) f2 (z − x) dx ∞ −∞ độ g (z ) = f (x, z − x) dx = Nếu λ1 = λ2 thì −∞ 3  −z + 123z − 378 , 5 < z < 9  λ1 λ2 e−λ2 z − e−λ1 z   576  , z>0   3 z − 3x + 2 λ1 − λ2 g (z ) = , 1 0 Bài 14. a) f (x, y ) = g (z ) = 0, (x, y ) ∈ D /  0, z≤0 1 1 f (x, y ) dxdy = 1 ⇒ EZ = EX + EY = + R2 λ1 λ2 ∞ ∞ c dx f (x, y ) dy = 1 ⇒ =1⇒c=2 λi λi 2 1 , P (Y = i) = e−λ2 2 , i = b) P (X = i) = e−λ1 −∞ −∞ i! i! ∞ = 0, 1, . . . f1 (x) = f (x, y ) dy −∞ Z = X + Y ⇒ ImZ = {0, 1, . . .}  2 (1 − x) , 0 ≤ x < 1 i ngược lại  0, {Z = i} = {X + Y = i} = {X = j, Y = i − j } j =0  2 (1 − y ) , 0 ≤ y < 1 i f2 (y ) = ⇒ P (Z = i) = P (X = j, Y = i − j ) = ngược lại  0, j =0 i b) E (XY ) = xyf (x, y ) dxdy = P (X = j ) P (Y = i − j ) = R2 ∞ ∞ j =0 1 dx xyf (x, y ) dy = i + λ2 )i j λ2−j i −λ1 λ1 −λ1 −λ2 (λ1 12 −λ2 e ·e =e = −∞ −∞ j! (i − j )! Γ (i + 1) 1 1 j =0 EX = , EY = (λ1 + λ2 )i 3 3 e−λ1 −λ2 1 i! cov (X, Y ) = E (XY ) − EX · EY = − 36 ⇒ Z ∼ Pλ1 +λ2 ⇒ EZ = λ1 + λ2 ∞ 1 1 2 2 x2 f1 (x) dx − Bài DX = E X − (EX ) = 16. a) P X< ,Y > = 2 2 −∞ 1 1 (EX )2 = ∞ 1 2 18 f (x, y ) dxdy = dx f (x, y ) dy = 4 1 1 −∞ 2 DY = 1 1 x< , y> 18 2 2 cov (X, Y ) 1 ρXY = √ √ =− 2 DX · DY
1   3x2 + 1 = 1, 1 ≤ x ≤ 2 , 0
√ Z = X1 + . . . + X144 + Y ∼ X2 + Y 2 EU = E = N (144 · 8 + 200, 144 · 52 + 102 ) = N (1352, 3700) x2 + y 2 f (x, y ) dxdy = R2 P (Z > 1400) = 1 − P (Z ≤ 1400) = 1 − ∞ ∞ 2R 3 x2 + y 2f (x, y ) dy = dx 1400 − 1352 3 √ Φ = 1 − 0, 784978 = 0, 215022 −∞ −∞ 3700 √ b) FU (u) = P (U < u) = P X2 + Y 2 < u = Bài 26. X = khối lượng 1 người; X ∼ N (58, 52) P X 2 + Y 2 < u2 = f (x, y ) dxdy X1 , . . . , X9 là khối lượng 9 người; (X1 , . . . , X9 độc x2 +y 2 = 550} ⇒ P (A) = P (Z > 550) = 1 − P (Z ≤ 550) = FU (u) = g (x, y ) dxdy 550 − 522 1−Φ = 1 − 0, 969026 = 0, 030974 R2 15 ∞ ∞ u2 dx g (x, y ) dy = 2 Bài 27. a) X, Y là thời gian 2 người đến; X, Y ∼ R −∞ −∞ FU (0) = 0 ⇒ FU (0) = U (0, 1) và độc lập Xét u < 0: 0 FU (u) 0. Tương tự FU (u) = 1 ∀u > R Z = min{X, Y }   0, uR  z P (X < z ) P (Y < z ) = f1 (x) dx +  2u , 0 < u < R  −∞ z z z fU (u) = FU (u) = R2 f2 (y ) dy − f1 (x) dx · f2 (y ) dy = ngược lại  0, −∞ −∞ −∞ 0 0  2v , 0 < v < R f1 (z + x) dx + f2 (z + y ) dy −  Tương tự fV (v ) = R2 −∞ −∞ 0 0 ngược lại 0, f1 (z + x) dx · f2 (z + y ) dy = −∞ −∞ ∞  0, x≤0 fZ (z ) = fU (u) fV (z − u) du =  −∞  2z − z 2 , 0 < z ≤ 1 3  2z , 01 3 2 3  2 (−z + 6R z − 4R ) , R < z < 2R 3R 4 ∞ ∞ 1   EZ = zfZ (z ) dz = zFZ (z ) dz =  còn lại   0, 3 −∞ −∞ Bài 25. X = khối lượng 1 s/p; X ∼ N (8, 52 ) Y = khối lượng hộp rỗng; Y ∼ N (200, 102) X1 , . . . , X144 là khối lượng các s/p; (X1 , . . . , X144 độc lập, cùng phân bố với X ) các tích phân 2 lớp trong bài có thể tính dễ dàng bằng 3 phép đổi biến x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
Chương 4 Luật số lớn Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm P (B ) = 1 − P B = 1 − (1 − p)n ≈ 1 Bài 1. Phép thử: gieo x/x; số lần thử n = 12000 1 b) C = {60 đến 100 s/p có khối lượng > 11 g} = A = {x/h mặt 1 chấm}; p = P (A) = 6 {60 ≤ Y ≤ 100} X = số lần x/h mặt 1 chấm = số lần A xảy ra 100 − np 2150 − np P (C ) = P (60 ≤ Y ≤ 100) ≈ Φ − √ P (1900 ≤ X ≤ 2150) ≈ Φ − √ npq npq 60 − np 1900 − np Φ√ = Φ (13, 21277) − Φ (5, 471173) = Φ = Φ (3, 674235) − Φ (−2, 44949) = √ npq npq 2, 23533 · 10−8 0, 999881 − 0, 007153 = 0, 992728   −λx Bài 2. Phép thử: trả lời 1 câu hỏi; số lần thử n = 100 Bài 4. f (x) = λe , x > 0 1 0, x≤0 A = {trả lời đúng}; p = P (A) = 5 1 1 EX = = 2 ⇒ λ = X = số câu trả lời đúng = số lần A xảy ra λ 2 30 − np Phép thử: quan sát X ; số lần thử n = 1000 P (20 ≤ X ≤ 30) ≈ Φ − √ npq 1 1 }, p = P (A) = P 20 − np A = {X < X< = Φ√ = Φ (2, 5) − Φ (0) = 0, 99379 − 0, 5 = 2 2 npq 1 1 0, 49379 2 f (x) dx = 1 − √ = 0, 221199 e 4 −∞ Bài 3. X = khối lượng 1 s/p; X ∼ N (10, 12) 1 Y = số lần X < = số lần A xảy ra Phép thử: quan sát X ; số lần thử n = 200 2 240 − np P (210 ≤ Y ≤ 240) ≈ Φ − A = {khối lượng s/p > 11 g} = {X > 11}; √ npq p = P (A) = P (X > 11) = 1 − P (X ≤ 11) = 210 − np Φ = Φ (1, 432439) − Φ (−0, 85325) = √ 11 − 10 npq 1−Φ = 1 − Φ (1) = 0, 158655 1 0, 923991 − 0, 196761 = 0, 72723 Y = số s/p có khối lượng > 11 g = số lần A xảy Bài 5. Phép thử: kiểm tra 1 máy; số lần thử n = 185 ra A = {máy hỏng}, p = P (A) = 0, 05 a) B = {≥ 1 s/p có khối lượng > 11 g} = {≥ 1 a) B = {6 máy hỏng} = {A xảy ra 6 lần} lần A xảy ra} P (B ) = Cn p6 (1 − p)n−6 = 0, 0825042 6 B = {A không xảy ra} b) Y = số máy hỏng = {số lần A xảy ra}
20 − np 5 − np P (5 ≤ Y ≤ 20) ≈ Φ −Φ √ = √ npq npq Φ (3, 626401) − Φ (−1, 43369) = 0, 999856 − 0, 07583 = 0, 924026 Bài 6. Nhắc lại: X = số khách hàng bị tai nạn; X ∼ B (n, p) với n = 400, p = 0, 1 Cần tính P (X > 50) = P (51 ≤ X ≤ 400) ≈ 400 − np 51 − np Φ −Φ √ = Φ (60) − √ npq npq Φ (1, 833333) = 1 − 0, 966623 = 0, 033377 (kết quả đúng 0,0436444)
Chương 5 Mẫu và phân bố mẫu Bài 1. a) Bài 3. a) y y 0,333333 0,5 0.266667 0,3 0,2 0,133333 0,0666667 0,0666667 ,0666667 0 0,0666667 x 1,55 1,65 1,75 1,85 x 2 b) x = 1, 71; s2 = 0, 0049; s = 0, 07; s = 2 3 4 6 8 9 O 0, 005069; s = 0, 071197 2 b) x = 5, s2 = 8, 133333, s = 2, 8519, s = 8, 714286, s = 2, 951997 Bài 2. a) y 0,233333 0,133333 0,1 0,0666667 x 3 4 5 6 7 8 9 10 b) Điểm trung bình x = 6, 9 2 s = 4, 3 Độ phân tán tiêu chuẩn s = 2, 073644