Bài giảng Chương 2: Định thức

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 2: Định thức cung cấp cho các bạn những kiến thức về định nghĩa định thức cấp n, các tính chất cơ bản của định thức, định thức tích của hai ma trận, điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch, các phương pháp tính định thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 2: Định thức

Bài gi ng tóm t t: CHƯƠNG 2: ð NH TH C 1. ð nh nghĩa ñ nh th c c p n: ð nh nghĩa 1: Cho A ∈ Mn, ñ nh th c c a A là m t s th c b ng n ∑ ( −1) 1+ j (1) a1 j M 1 j j =1 Ký hi u ñ nh th c ∆ = det A = aij . ð nh th Ví d : 1 A = 4  7  c con M1j là ñ nh th c c a ma tr n có ñư c t A b ng cách xóa ñi hàng 1 và c t j. 2 3 4 5 5 6 thì M 13 = .  7 8 8 9  ð nh nghĩa: ph n ph ñ i s c a các ph n t hàng 1, ký hi u là A1j, qua các ñ nh th c con M1j b ng công th c: 1+ j A1 j = ( −1) M 1 j . (2) Khi ñó ñ nh th c c a ma tr n vuông c p n c a A là: n ∆ = ∑ a1 j A1 j (3) j =1 Công th c (3) g i là công th c khai tri n ñ nh th c theo các ph n t dòng 1. ð nh lý 1 (ð nh lý Laplace): Cho A ∈ Mn. ð nh th c c p n c a A b ng t ng các tích c a các ph n t m t hàng ho c m t c t b t kỳ v i ph n ph ñ i s tương ng: a) Hàng i: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (4) j =1 b) C t j: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (5) i =1 trong ñó Aij là ph n ph ñ i s ñư c tính tương t như (2): Aij = ( −1) 2. Các tính ch t cơ b n c a ñ nh th c: Tính ch t 1: N u A ∈ Mn thì det(A) = det(AT). Tính ch t 2: N u A ∈ Mn có ít nh t m t dòng là dòng 0 thì det(A)=0. 1 i+ j M ij . Tính ch t 3: Cho A ∈ Mn. N u A’ nh n ñư c t A b ng cách hoán ñ i 2 dòng i ≠ j thì det(A’) = –det(A). Tính ch t 4 (H qu c a tính ch t 3): N u hai dòng c a A ∈ Mn có các h s tương ng b ng nhau thì det(A) = 0. Tính ch t 5: N u nhân m t dòng c a A ∈ Mn v i m t s α thì det(A) tăng lên α l n. Tính ch t 6: (H qu c a tính ch t 4 và 5) N u hai dòng c a A ∈ Mn có các h s tương ng t l nhau thì det(A) = 0. Tính ch t 7: Cho A=(a)ij ∈ Mn. N u các ph n t dòng i c a A có d ng aij=bj+cj , j = 1, n , thì det ( A) = det ( B ) + det ( C ) v i B và C là hai ma tr n có ñư c t A b ng cách thay dòng i c a A b i các giá tr bj và cj tương ng. Tính ch t 8: (H qu c a tính ch t 6 và 7) N u ñ nh th c có 1 hàng là t h p tuy n tính c a 2 hàng khác thì ñ nh th c b ng 0. Tính ch t 9: Cho A ∈ Mn. N u A’ có ñư c t A qua phép bi n ñ i sơ c p trên dòng lo i (III) (thay 1 dòng b ng cách l y dòng ñó c ng v i α l n dòng khác) thì det(A’) = det(A). Tính ch t 10: (H qu c a tính ch t 9) N u A’ có ñư c t A qua m t s h u h n phép bi n ñ i sơ c p trên dòng lo i (III) thì det(A’) = det(A). Nh n xét: Vì det(A) = det(AT) nên các tính ch t t (2) ñ n (9) v n ñúng khi ta thay ch “dòng” b ng ch “c t”. 3. ð nh th c tích c a hai ma tr n. ði u ki n c n và ñ ngh ch. ñ ma tr n vuông kh ð nh lý: N u A, B ∈ Mn thì AB = A B . H qu : N u A, A1 , A2 ,..., Ak ∈ M n thì i) A1 A2 ... Ak = A1 A2 ... Ak ; m ii) Am = A , ∀m ∈ N iii) N u A kh ngh ch thì A−1 = A −1 ð nh lý: (ði u ki n c n và ñ ñ ma tr n A kh ngh ch) ð ma tr n A kh ngh ch, ñi u ki n c n và ñ là ñ nh th c c a A khác không. 2 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch ñ o b ng ma tr n liên h p: Gi s r ng det(A) ≠ 0 (A kh ngh ch). L p ma tr n liên hi p c a ma tr n A ký hi AV . Trư c tiên ta thay các ph n t c a ma tr n A b ng các ph n ph ñ i s tương sau ñó ta chuy n v ma tr n:  A11 A21 ⋯ An1  A  V  12 A22 ⋯ An 2  A =  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮     A1n A2 n ⋯ Ann  Ma tr n kh ngh ch c a A là: 1 A−1 = AV ∆ u là ng, (6) (7) 4. Các phương pháp tính ñ nh th c a) S d ng các phép bi n ñ i sơ c p trên dòng (c t) lo i (III) ñ tri t tiêu t t c các ph n t trên 1 dòng (c t) tr m t ph n t c a dòng (c t) ñó. b) D n v ñ nh th c ma tr n tam giác: khi ñó ñ nh th c ñư c tính theo công th c: A là ma tr n tam giác (trên ho c dư i) c p n, có các ph n t trên ñư ng chéo chính là các aii, thì n det(A) = ∏a ii = a11a22 … ann (8) i =1 5. Quy t c Cramer gi i h phương trình ñ i s tuy n tính n n và n phương trình (ð c thêm) 6. H ng ma tr n A ∈ M m× n L y t A k dòng và k c t b t kỳ: các ph n t giao c a k hàng và k c t này s t o thành 1 ma tr n vuông c p k. ð nh th c c a ma tr n này g i là ñ nh th c con c p k c a A. Ma tr n A có ñ nh th c con t c p 1 ñ n c p min(m,n). Gi a các ñ nh th c con khác không c a A có ít nh t m t ñ nh th c con c p l n nh t. ð nh nghĩa (h ng ma tr n): C p l n nh t c a ñ nh th c con khác không c a ma tr n ñã cho g i là h ng c a ma tr n. * Tính ch t: các phép bi n ñ i sơ c p trên dòng không làm thay ñ i h ng c a ma tr n. * Phương pháp tìm h ng c a ma tr n: - Dùng phương pháp Gauss ñưa ma tr n c n tìm v d ng b c thang. - S dòng khác không c a ma tr n sau bi n ñ i chính là h ng c a ma tr n. ð nh nghĩa (ma tr n b c thang): N u m t ma tr n có các dòng khác 0 n m trên các dòng 0, ñ ng th i trên 2 dòng khác 0 ta có ph n t khác 0 ñ u tiên c a dòng dư i n m bên ph i ph n t khác 0 ñ u tiên c a dòng trên thì ma tr n ñó g i là ma tr n b c thang. 3 7. Quy t c t ng quát gi i h phương trình ñ i s tuy n tính: Xét h : AX = B (*): A ∈ M m×n , B, X ∈ M n×1 ð nh lý (Kronecker - Capelli): ɶ H phương trình (*) tương thích khi và ch khi r A = r ( A ) . ( ) * Bi n lu n s nghi m c a h phương trình tương thích: ɶ ɶ ɶ ð nh lý: H AX = B , A = [ A | B ] thì r A = r ( A ) ho c r A = r ( A ) + 1 , hơn n a: ( ) ( ) ( ) ɶ ii) n u r ( A ) = r ( A ) = n : h có nghi m duy nh t ɶ iii) n u r ( A ) = r ( A ) < n : h có vô s nghi m. ɶ i) n u r A = r ( A ) + 1 : h vô nghi m ð nh lý: A ∈ M n : các ñi u sau tương ñương: i) r ( A) = n ii) H AX = B có nghi m duy nh t iii) H AX = 0 có nghi m t m thư ng. 4