Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

395
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1) bao gồm những nội dung về tham số hóa đường cong; định nghĩa tích phân đường loại 1; tính chất tích phân đường loại 1; cách tính tích phân đường loại 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

Chương 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Phần 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
NỘI DUNG 1.Tham số hóa đường cong 2.Định nghĩa tích phân đường loại 1 3.Tính chất tích phân đường loại 1 4.Cách tính tích phân đường loại 1
THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Tổng quát: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t) VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) và B(b1,b2) x = a1 + t (b1 − a1 ) ,0 t 1 y = a2 + t (b2 − a2 ) x =t 2/ Đường cong y = f(x): y = f (t )
THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 3/ Đường tròn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x = a + R cos t � ,0 t 2π y = b + R sin t x2 y 2 4/ Ellipse: 2 + 2 = 1 a b x = a cos t � ,0 t 2π y = b sin t
THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 5/ Đường cong trong tọa độ cực: r = r( ) x = r (ϕ )cos ϕ y = r (ϕ )sin ϕ VD: đường tròn : r = 2sin có dạng tham số x = 2sin ϕ cos ϕ 2 ,0 ϕ π y = 2sin ϕ Lưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ là tham số tăng
THAM SỐ HÓA ĐC TRONG KHÔNG GIAN B1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp B2: Tham số hóa cho đường cong hình chiếu (trong mặt phẳng) B3: Tham số hóa cho biến còn lại
Ví dụ 1/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt trụ x2 + y2 = 4 và mặt phẳng z = 3 Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy là đtròn: x2 + y 2 = 4 Vậy dạng tham số là: x = 2cos t , y = 2sin t , z = 3
2/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mặt phẳng z = 3 – x Hình chiếu gtuyến của 2 mặt lên mp Oxy là : x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x) 2x2 + y2 =9 3 3 x= cos t , y = 3sin t , z = 3 − cos t 2 2
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 Cho AB là đường cong hữu hạn trong mặt phẳng Oxy, f(x,y) xác định trên đường cong. B Phân hoạch cung AB thành những cung Ck, trên mỗi cung A Ck lấy Mk, lk là độ dài cung Ck, tính tổng tích phân n Sn = f (Mk )∆l k k =1
n Sn = f (Mk )∆l k k =1 f ( x , y )dl = lim Sn : tp đường loại 1 của f n AB trên AB Trong R3, tp đường loại 1 cũng định nghĩa tương tự.
TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1 1/ Tp đường loại 1 không phụ thuộc chiều đường đi 2 / L = 1dl = độ dài cung AB AB 3 / �c.fdl = c �fdl AB AB �(f + g )dl = �fdl + �gdl AB AB AB 5 / C = C1 �� C2 fdl = � � fdl + �fdl C C1 C2
CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1 TH1: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t2 � � f ( x , y )dl = f ( x (t ), y (t )) [ x (t ) ] 2 + [ y (t ) ] dt 2 C t1 TH2: (C) viết dạng y = y(x), a x b b f ( x , y )dl = f ( x , y ( x )) 1 + [ y ( x ) ] dx 2 � C � a
CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1 TH3: (C) viết dạng r = r( ), β � � 2 2 f ( x , y )dl = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) r + r dϕ C α
(C) là đường cong trong không gian (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 t t2 t2 f ( x , y , z)dl = f ( x (t ), y (t ), z(t )) [ x (t ) ] + [ y (t ) ] + [ z (t ) ] dt 2 2 2 � C � t1
Lưu ý: nếu C = C1 C2 (trong R2 )đối xứng qua Oy • f lẻ theo x: f ( x , y )dl = 0 C • f chẵn theo x: � C � f ( x , y )dl = 2 f ( x , y )dl C1 * Trên R3, xét tính đối xứng qua các mặt tọa độ.
Ví dụ 1/ Tính I = ( x + y )dl C là biên tam C giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A y 1 + x x = = y 2 O B 1 2 I= � OA ( x + y )dl + � AB ( x + y )dl + � OB ( x + y )dl
A y OA: y = x, 0 x 1 + x x 1 = = 2 2 O y � 1+ y = 1+1 = 2 B 1 2 1 OA �( x + y )dl = ( x + x ) 2dx � 0 2 AB: y = 2 – x , 1 x � 1+ y = 1+1 = 2 2 2 � AB � ( x + y )dl = ( x + 2 − x ) 2dx 1
2 OB: y = 0 , 0 x � 1+ y = 1+ 0 = 1 2 2 � OB � ( x + y )dl = ( x + 0).1dx 0 7 �I = 2+ 2 3
2/ Tính I = xydl với C : x2 + y2 = 2x, y 0 C Hai cách tham số hóa cho C: C1: (x – 1)2 + y2 = 1, y 0 1 2 x = 1 + cos t , y = sint 0 t π π 2 2 I = (1 + cos t )sin t sin t + cos tdt 0 π = (sin t + sin t cos t )dt = 2
C2: x= rcos , y= rsin x2+y2 =2x r = 2cos , cos 0 y r sin 0 2 x = 2cos ϕ sin ϕ , y = 2sin ϕ C viết lại: 0 ϕ π /2 π 2 2 2 2 I= 2cos ϕ 2cos ϕ sin ϕ r + r dϕ 0 π 2 3 2 2 =4 cos ϕ sin ϕ 4cos ϕ + 4sin ϕ dϕ 0