zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Báo xấu

4
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như Ánh xạ tuyến tính và các ví dụ; biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 4: Ánh xạ tuyến tính TS. Đặng Văn Vinh Bộ môn Toán Ứng Dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Tp.HCM Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG tp HCM, 2019 Ngày 10 tháng 3 năm 2020 TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 1 / 10
Vấn đề 1. Ánh xạ tuyến tính và các ví dụ. Vấn đề 2. Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 2 / 10
Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V, W là hai K − kgv. Ánh xạ f : V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến tính, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1/ ∀X, Y ∈ V, f (X + Y) = f (X) + f (Y), 2/ ∀α ∈ K, ∀X ∈ V, f (αX) = αf (X). Ví dụ Xét ánh xạ f là phép đối xứng qua đường thẳng (∆) : y = 2x trong không gian R2 . Kiểm tra trực tiếp hai tính chất của ánh xạ tuyến tính đều thỏa. Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 3 / 10
Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V, W là hai K − kgv. Ánh xạ f : V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến tính, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1/ ∀X, Y ∈ V, f (X + Y) = f (X) + f (Y), 2/ ∀α ∈ K, ∀X ∈ V, f (αX) = αf (X). Ví dụ Xét ánh xạ f là phép đối xứng qua đường thẳng (∆) : y = 2x trong không gian R2 . Kiểm tra trực tiếp hai tính chất của ánh xạ tuyến tính đều thỏa. Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 3 / 10
Ví dụ Cho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ một góc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ − Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα a f (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α b Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. Ví dụ Cho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó với p(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b. f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10
Ví dụ Cho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ một góc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ − Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα a f (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α b Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. Ví dụ Cho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó với p(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b. f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10
Ví dụ Cho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ một góc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ − Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα a f (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α b Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. Ví dụ Cho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó với p(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b. f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10
Ví dụ Cho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ một góc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ − Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα a f (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α b Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. Ví dụ Cho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó với p(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b. f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ), f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3). Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5). Mặt khác ta có f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )    x1  3 −2 1   = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ) = ·  x2  = MX     2 4 −1     x3      2  3 −2 1   7 Suy ra f (2; 1; 3) = · 1 = .     2 4 −1     5 3   Có nghĩa là ta có thể tìm ảnh sử dụng ma trận. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 5 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ), f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3). Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5). Mặt khác ta có f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )    x1  3 −2 1   = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ) = ·  x2  = MX     2 4 −1     x3      2  3 −2 1   7 Suy ra f (2; 1; 3) = · 1 = .     2 4 −1     5 3   Có nghĩa là ta có thể tìm ảnh sử dụng ma trận. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 5 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ), f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3). Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5). Mặt khác ta có f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )    x1  3 −2 1   = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ) = ·  x2  = MX     2 4 −1     x3      2  3 −2 1   7 Suy ra f (2; 1; 3) = · 1 = .     2 4 −1     5 3   Có nghĩa là ta có thể tìm ảnh sử dụng ma trận. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 5 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ), f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3). Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5). Mặt khác ta có f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )    x1  3 −2 1   = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ) = ·  x2  = MX     2 4 −1     x3      2  3 −2 1   7 Suy ra f (2; 1; 3) = · 1 = .     2 4 −1     5 3   Có nghĩa là ta có thể tìm ảnh sử dụng ma trận. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 5 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ), f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3). Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5). Mặt khác ta có f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )    x1  3 −2 1   = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ) = ·  x2  = MX     2 4 −1     x3      2  3 −2 1   7 Suy ra f (2; 1; 3) = · 1 = .     2 4 −1     5 3   Có nghĩa là ta có thể tìm ảnh sử dụng ma trận. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 5 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→ W. Gọi E = {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở của V và F = {w1 , w2 , ..., wn } là một cơ sở của W. Ma trận A cỡ m × n có cột thứ i là tọa độ của f (ei ) trong cơ sở F được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F. Tức là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . Công thức dùng để tìm ảnh của một véctơ: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A · [x]E TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 6 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10
Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính Trong chương 2, ta đã biết tọa độ của véctơ x trong cơ sở E là E−1 · x. Với ánh xạ tuyến tính f : V −→ W, ta có ma trận của f trong cặp cơ sở E, F là A = [f (e1 )]F | [f (e2 )]F | · · · | [f (en )]F ] . ⇔A= F−1 · f (e1 ) | F−1 · f (e2 ) | · · · | F−1 · f (en ) . = F−1 f (e1 ) | f (e2 ) | · · · | f (en ) . Nếu ∀x ∈ V, f (x) = M · x, thì: A = F−1 M · e1 | M · e2 | · · · | M · en . A = F−1 · M · e1 | e2 | · · · | en . Suy ra: A = F−1 · M · E (1) Công thức dùng để tính ảnh của véctơ khi biết ma trận: ∀x ∈ V, [f (x)]F = A[x]E ⇔ F−1 · f (x) = A · E−1 · x. Vậy: f (x) = F · A · E−1 · x (2) TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 7 / 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.