intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Chia sẻ: Agatha25 Agatha25 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:102

Thêm vào BST
Báo xấu
50
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide cung cấp cho người học các kiến thức: Dạng song tuyến tính trong không gian vectơ thực; Dạng toàn phương; Không gian Euclide; Phép biến đổi trực giao; Toán tử đối xứng;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 5 - TS. Nguyễn Hải Sơn

  1. CHƯƠNG V 13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN 1
  2.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC
  3. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  1.1 Định nghĩa. Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV R gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t/c sau: (i) ( x1  x2 ; y )  ( x1; y )  ( x2 ; y ) (ii) (x; y )  ( x; y ) (iii) ( x; y1  y2 )  ( x; y1 )  ( x; y2 ) (iv) ( x; y )  ( x; y ) với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 V ,   
  4. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại. VD1. Ánh xạ φ: RxR⟶ R xác định bởi φ(x,y)=x.y là một dạng song tuyến tính. VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính.
  5. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V ⟶ R với V là một R-kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V. VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính trên V thì ánh xạ φ : VxV ⟶ R xác định bởi φ(u,v)=f(u)g(v) là một dạng song tuyến tính.
  6. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 ⟶ R xác định bởi 1 3   y1  ( x, y )   x1 x2   y   2 4  2 là một dạng song tuyến tính. Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V ⟶ R gọi là đối xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V. VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các dạng song tuyến tính đối xứng.
  7. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính. a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính trên V. Gọi B={e1, e2,…, en} là một cơ sở của V. Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận A=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 ⟶ R xđ bởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 . Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)}
  8. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  b. Biểu thức tọa độ. Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen và y=y1e1+y2e2+…+ynen. Khi đó. n n t ( x, y )   xi y j (ei , e j )   aij xi y j  [x] A[ y ]B B i , j 1 i , j 1 t ( x, y)  [x] A[ y]BB
  9. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  c. Công thức đổi tọa độ G/s B’={v1, v2,…, vn} là cơ sở khác của V và T là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’. Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’. Ta có [x]B  T [x]B ' , [y]B  T [y]B ' t ( x, y )  [x]B ' A '[y]B ' t t Suy ra ( x, y )  [x] A[y]B  T [x]B '  A T [y]B '  B t t  [x] (T AT )[y]B ' B'
  10. §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH  t t t Do đó [x] (T AT )[y] B '  [x] A '[y] B ' B' B' t  A '  T AT ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn. Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối với một cơ sở bất kì.
  11.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
  12. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2.1 Định nghĩa a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R- kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho. - Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó theo một cơ sở đó. Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng.
  13. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm. Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x). + φ(x,x) gọi là xác định dương nếu ( x; x)  0, x   + φ(x,x) gọi là xác định âm nếu ( x; x)  0, x   - Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm thì nó gọi là không xác định dấu. - Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.
  14. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương. Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận A đối với cơ sở B của V. n t Ta có ( x, x)   x B A x B   aij xi x j i , j 1 Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 ( x, x)  a x  a x  ...  a x 11 1 22 2 nn n
  15. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2 2 2 ( x, x)  a x  a x  ...  a x 11 1 22 2 nn n NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi aii  0, i φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi aii  0, i
  16. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  → Bài toán: “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc” hay “Tìm một cơ sở của V để ma trận của dạng toàn phương có dạng chéo”
  17. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2.2. Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) Phương pháp Jacobi Phương pháp chéo hóa trực giao
  18. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 a) ( x)  2 x  x  x  3 x1 x2  4 x1 x3 1 2 3 b) ( x)  x1 x2  x2 x3  x3 x1
  19. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  2.2.2 Phương pháp Jacobi Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[aij ] đối với một cơ sở {e1, e2,…, en } nào đó của V.  a11 a12  a1n  a a22  a2 n  A 21        a  ann   n1 an 2
  20. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  Nếu A có các định thức con chính  k  0, k  1, n a11 a12  a1k a21 a22  a2 k k      ak1 ak 2  akk thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở đó dạng toàn phương có dạng chính tắc. 1 2 1 2  n1 2 ( x)  y1  y2  ...  yn 1 2 n
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2