intTypePromotion=3

Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
43
lượt xem
2
download

Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 3 Hàm khả vi của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Khái niệm, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

01/10/2017<br /> <br /> Chương 3:<br /> <br /> Hàm khả vi<br /> <br /> §1. Khái niệm<br /> <br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Khái niệm<br /> §2. Đạo hàm cấp cao<br /> <br /> §3. Công thức Taylor<br /> LOG<br /> O<br /> <br /> §4. Ứng dụng<br /> <br /> I. Đạo hàm cấp một:<br /> <br /> Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên<br /> khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của<br /> hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được<br /> tính bởi<br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> f ( x)  f ( x0 )<br /> x  x0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Trong định nghĩa trên, nếu đặt<br /> x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.<br /> y  f ( x)  f ( x0 )<br />  f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.<br /> Khi đó<br /> f ( x0 )  lim<br /> <br /> x 0<br /> <br /> nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.<br /> Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được<br /> gọi là khả vi tại x0.<br /> 3<br /> <br /> Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số<br /> <br /> tại x0  0.<br /> <br />  ln(1  x 2 )<br /> khi x  0<br /> <br /> f ( x)  <br /> x<br /> 0<br /> khi x  0<br /> <br /> <br /> Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)<br /> f ( x)  f ( x0 )<br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> x  x0<br /> x  x0<br /> <br /> y<br /> f ( x0  x)  f ( x0 )<br />  lim<br /> x  0<br /> x<br /> x<br /> f ( x0  h)  f ( x0 )<br />  lim<br /> h 0<br /> h<br /> 4<br /> <br /> Định lý 1.5<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L<br /> <br /> Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số<br /> f ( x)  x<br /> tại x0  0.<br /> <br /> Định lý 1.6.<br /> f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.<br /> <br /> Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)<br /> <br /> f ( x0 )  lim<br /> x  x0<br /> <br /> f ( x)  f ( x0 )<br /> x  x0<br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 01/10/2017<br /> <br /> Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số<br /> <br /> e ( x  x ) khi x  0<br /> f ( x)  <br /> khi x  0<br /> m<br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> khả vi tại x0  0.<br /> <br /> II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:<br /> <br /> 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.<br /> 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có<br /> ( k .u )  k .u<br /> (u  v)  u  v<br /> <br /> (u.v)  u.v  u.v<br /> <br /> Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số<br /> <br /> 3x 2  5 khi x  1<br /> f ( x)  <br /> ax  b khi x  1<br /> có đạo hàm tại x0  1.<br /> 7<br /> <br />  u  u.v  u.v<br />   <br /> v2<br /> v<br /> <br /> 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:<br /> Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó<br />  x<br /> y( x)  yu .u<br /> 8<br /> <br /> Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau<br /> a) y  arctan x<br /> <br /> 2<br /> b) y  (arcsin x )<br /> 1 x<br /> c) y <br /> 1 x<br /> <br /> Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là<br /> <br /> d) y  e arctan e  ln 1  e<br /> x<br /> <br /> e) y  ( x 2  1) x<br /> <br /> III. Vi phân cấp một:<br /> <br /> x<br /> <br /> hay<br /> <br /> 2x<br /> <br /> df ( x)  f ( x) dx<br /> <br /> dy  ydx<br /> <br /> Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x .<br /> <br /> 3<br /> <br /> f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3  x3<br /> 9<br /> <br /> Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì<br /> 1) d (u  v)  du  dv.<br /> 2) d (k .u)  k .du.<br /> 3) d (u.v)  vdu  udv.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 10<br /> <br /> IV. Ứng dụng của vi phân:<br /> <br /> Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.<br /> Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là<br /> f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x<br /> <br />  u  vdu  udv<br /> 4) d   <br /> .<br /> v2<br /> v<br /> <br /> Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),<br /> điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.<br /> <br /> Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của<br /> 3<br /> <br /> 11<br /> <br /> 2,0001.<br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 01/10/2017<br /> <br /> §2. Đạo hàm cấp cao<br /> <br /> I. Đạo hàm cấp cao:<br /> Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp<br /> một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)<br /> là<br /> y  f ( x)   f ( x) <br /> Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là<br /> <br /> y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) <br /> <br /> <br /> <br /> 13<br /> <br /> Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng<br /> minh xy  2( y  sin x )  xy  0.<br /> Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng<br /> minh y 3 y  1  0.<br /> Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và<br /> v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó<br /> <br /> Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp<br /> kx<br /> ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.<br /> 14<br /> <br /> II. Vi phân cấp cao:<br /> Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến<br /> cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là<br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> (u.v )( n )   Cn u ( k )v ( nk )<br /> n<br /> <br /> Ví dụ 2.4. Tính y<br /> <br /> <br /> <br /> d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n<br /> <br /> k 0<br /> <br /> (20)<br /> <br /> của hàm số<br /> y  x 2e 2 x .<br /> 15<br /> <br /> 16<br /> <br /> I. Công thức khai triển Taylor:<br /> <br /> §3. Công thức Taylor<br /> <br /> Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1<br /> trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor<br /> (khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là<br /> <br /> f ( x )  f ( x0 ) <br /> <br /> f ( x0 )<br /> f ( x0 )<br /> f ( n ) ( x0 )<br /> ( x  x0 ) <br /> ( x  x0 ) 2  ... <br /> ( x  x0 ) n<br /> 1!<br /> 2!<br /> n!<br /> f ( n 1) (c )<br /> <br /> ( x  x0 ) n 1<br /> ( n  1)!<br /> <br /> trong đó c là một số nằm giữa x và x0.<br /> Rn ( x) <br /> <br /> 17<br /> <br /> f ( n1) (c )<br /> ( x  x0 ) n1 : Phần dư Lagrange bậc n.<br /> (n  1)!<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : Phần dư Peano bậc n.<br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 01/10/2017<br /> <br /> II. Công thức khai triển Maclaurin:<br /> <br /> Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 :<br /> f ( x )  f (0) <br /> <br /> hay<br /> <br /> f (0)<br /> f (0) 2<br /> f (0) n f<br /> (c ) n1<br /> x<br /> x  ... <br /> x <br /> x<br /> 1!<br /> 2!<br /> n!<br /> (n  1)!<br /> <br /> f ( x)  f (0) <br /> <br /> (n)<br /> <br /> ( n1)<br /> <br /> f (0)<br /> f (0) 2<br /> f ( n) (0) n<br /> x<br /> x  ... <br /> x  o( x n )<br /> 1!<br /> 2!<br /> n!<br /> <br /> III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp:<br /> <br /> Xem Bảng 3.<br /> Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:<br /> Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f ( n ) (0) rồi thế vào công thức.<br /> Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi<br /> biến. Chú ý: đặt w  g ( x) sao cho x  0  w  0.<br /> Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 :<br /> Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f ( n ) ( x0 ) rồi thế vào công thức<br /> Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi<br /> biến. Chú ý: đặt w  x  x0 .<br /> <br /> 19<br /> <br /> Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số<br /> 1<br /> f ( x)  2<br /> .<br /> x  2x  8<br /> <br /> Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến<br /> cấp n.<br /> <br /> 20<br /> <br /> Ví dụ 3.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số<br /> sau đến số hạng chứa x 4<br /> a ) f ( x)  e 2 x<br /> <br /> b) f ( x)  cos 2 x<br /> 1<br /> c) f ( x ) <br /> 3 x<br /> d ) f ( x)  ln(1  3 x)<br /> <br /> Ví dụ 3.3. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau<br /> đến cấp 3.<br /> a) f ( x)  e x tại x0  2.<br /> b) f ( x ) <br /> <br /> 1<br /> tại x0  3.<br /> x<br /> <br /> 21<br /> <br /> §4. Ứng dụng<br /> <br /> 22<br /> <br /> I. Quy tắc L’Hospital:<br /> Định lý 4.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong<br /> lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu<br /> i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay<br /> x  x0<br /> <br /> thì<br /> 23<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> lim f ( x)  lim g ( x)  <br /> x  x0<br /> f ( x) x x0<br /> và lim<br /> tồn tại<br /> x  x0 g ( x )<br /> lim<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> f ( x)<br /> f ( x)<br />  lim<br /> g ( x ) x x0 g ( x)<br /> 24<br /> <br /> 4<br /> <br /> 01/10/2017<br /> <br /> Chú ý 4.2.<br />  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc<br /> L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định<br /> <br /> 0<br /> <br /> hoặc .<br /> 0<br /> <br /> <br />  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital<br /> nhiều lần.<br /> <br /> II. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:<br /> <br /> Dạng 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn sau<br /> x2  5x  6<br /> x 2 x  x 2  x  2<br /> sin x<br /> c) lim<br /> x 0<br /> x<br /> a )lim<br /> <br /> e)lim<br /> x 0<br /> <br /> 25<br /> <br /> Dạng <br /> <br /> <br /> <br /> Ví dụ 4.2. Tính các giới hạn sau<br /> 3x 2  2 x<br /> a ) lim<br /> x  x 2  1<br /> <br /> x2  x<br /> b) lim x<br /> x  e  3<br /> <br /> c) lim<br /> <br /> d ) lim<br /> <br /> ln 2 x<br /> x  x 3<br /> <br /> x <br /> <br /> 0<br /> 0<br /> <br /> Dạng 0.<br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> f<br /> 1<br /> g<br /> f .g (0.)  <br /> g<br /> 1<br /> f<br /> <br /> Ví dụ 4.3. Tính các giới hạn sau<br /> <br /> <br /> <br /> b) lim  x   .tan x<br />  <br /> 2<br /> x<br /> <br /> a ) lim x.ln x<br /> x 0<br /> <br /> 27<br /> <br /> Dạng   <br /> <br /> <br /> 0<br /> Ta đưa về dạng<br /> hoặc .<br /> <br /> 0<br /> <br /> Chú ý:<br /> <br />  <br /> f <br />  f 1  <br /> g<br />  <br />   f<br /> <br /> f  g   g   1<br /> g<br />  <br /> <br /> <br />  f .g  1  1 <br /> <br /> <br /> <br /> g f <br /> <br /> 29<br /> <br /> x<br /> <br /> 26<br /> <br /> Ta đưa về dạng hoặc<br /> Chú ý:<br /> <br /> 2  4  x2<br /> <br /> x2  9  3<br /> e 1<br /> d )lim 3<br /> x 0 x<br /> ln(cos x)<br /> f )lim<br /> x 0 arctan 2 x  2 x 2<br /> x 0<br /> <br /> x  sin x<br /> x3<br /> <br /> x<br /> <br /> 1  x2<br /> <br /> b)lim<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 28<br /> <br /> Ví dụ 4.4. Tính các giới hạn sau<br /> 1 <br />  1<br /> a )lim <br /> <br /> <br /> x 1  ln x<br /> x 1<br /> <br /> c )lim<br /> x 0<br /> <br /> b) lim (e x  x 2 )<br /> x <br /> <br /> 1  1<br /> 1<br />  <br /> <br /> t an2x  sin x x <br /> <br /> 30<br /> <br /> 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản