Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 3 Hàm khả vi của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Khái niệm, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

01/10/2017 Chương 3: Hàm khả vi §1. Khái niệm GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Đạo hàm cấp cao §3. Công thức Taylor LOG O §4. Ứng dụng I. Đạo hàm cấp một: Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được tính bởi f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 2 Trong định nghĩa trên, nếu đặt x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0. y  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0. Khi đó f ( x0 )  lim x 0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 3 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số tại x0  0.  ln(1  x 2 ) khi x  0  f ( x)   x 0 khi x  0  Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )  lim x  x0 x  x0 y f ( x0  x)  f ( x0 )  lim x  0 x x f ( x0  h)  f ( x0 )  lim h 0 h 4 Định lý 1.5   f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số f ( x)  x tại x0  0. Định lý 1.6. f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0. Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)  f ( x0 )  lim x  x0 f ( x)  f ( x0 ) x  x0 5 6 1 01/10/2017 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số e ( x  x ) khi x  0 f ( x)   khi x  0 m x 2 khả vi tại x0  0. II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có ( k .u )  k .u (u  v)  u  v (u.v)  u.v  u.v Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số 3x 2  5 khi x  1 f ( x)   ax  b khi x  1 có đạo hàm tại x0  1. 7  u  u.v  u.v    v2 v 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó  x y( x)  yu .u 8 Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) y  arctan x 2 b) y  (arcsin x ) 1 x c) y  1 x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là d) y  e arctan e  ln 1  e x e) y  ( x 2  1) x III. Vi phân cấp một: x hay 2x df ( x)  f ( x) dx dy  ydx Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x . 3 f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3  x3 9 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì 1) d (u  v)  du  dv. 2) d (k .u)  k .du. 3) d (u.v)  vdu  udv. 2 10 IV. Ứng dụng của vi phân: Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số. Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x  u  vdu  udv 4) d    . v2 v Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x), điểm x0 và số gia x đủ nhỏ. Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của 3 11 2,0001. 12 2 01/10/2017 §2. Đạo hàm cấp cao I. Đạo hàm cấp cao: Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) là y  f ( x)   f ( x)  Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x)    13 Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng minh xy  2( y  sin x )  xy  0. Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 y  1  0. Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const. 14 II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là  k (u.v )( n )   Cn u ( k )v ( nk ) n Ví dụ 2.4. Tính y  d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n k 0 (20) của hàm số y  x 2e 2 x . 15 16 I. Công thức khai triển Taylor: §3. Công thức Taylor Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor (khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 ) 2  ...  ( x  x0 ) n 1! 2! n! f ( n 1) (c )  ( x  x0 ) n 1 ( n  1)! trong đó c là một số nằm giữa x và x0. Rn ( x)  17 f ( n1) (c ) ( x  x0 ) n1 : Phần dư Lagrange bậc n. (n  1)!   Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : Phần dư Peano bậc n. 18 3 01/10/2017 II. Công thức khai triển Maclaurin: Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 : f ( x )  f (0)  hay f (0) f (0) 2 f (0) n f (c ) n1 x x  ...  x  x 1! 2! n! (n  1)! f ( x)  f (0)  (n) ( n1) f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n x x  ...  x  o( x n ) 1! 2! n! III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp: Xem Bảng 3. Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n: Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f ( n ) (0) rồi thế vào công thức. Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt w  g ( x) sao cho x  0  w  0. Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 : Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f ( n ) ( x0 ) rồi thế vào công thức Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt w  x  x0 . 19 Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 1 f ( x)  2 . x  2x  8 Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến cấp n. 20 Ví dụ 3.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau đến số hạng chứa x 4 a ) f ( x)  e 2 x b) f ( x)  cos 2 x 1 c) f ( x )  3 x d ) f ( x)  ln(1  3 x) Ví dụ 3.3. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau đến cấp 3. a) f ( x)  e x tại x0  2. b) f ( x )  1 tại x0  3. x 21 §4. Ứng dụng 22 I. Quy tắc L’Hospital: Định lý 4.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay x  x0 thì 23 x  x0 lim f ( x)  lim g ( x)   x  x0 f ( x) x x0 và lim tồn tại x  x0 g ( x ) lim x  x0 f ( x) f ( x)  lim g ( x ) x x0 g ( x) 24 4 01/10/2017 Chú ý 4.2.  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định 0  hoặc . 0   Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. II. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: Dạng 0 0 Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn sau x2  5x  6 x 2 x  x 2  x  2 sin x c) lim x 0 x a )lim e)lim x 0 25 Dạng   Ví dụ 4.2. Tính các giới hạn sau 3x 2  2 x a ) lim x  x 2  1 x2  x b) lim x x  e  3 c) lim d ) lim ln 2 x x  x 3 x  0 0 Dạng 0.  .  f 1 g f .g (0.)   g 1 f Ví dụ 4.3. Tính các giới hạn sau   b) lim  x   .tan x   2 x a ) lim x.ln x x 0 27 Dạng     0 Ta đưa về dạng hoặc .  0 Chú ý:   f   f 1   g     f  f  g   g   1 g      f .g  1  1     g f   29 x 26 Ta đưa về dạng hoặc Chú ý: 2  4  x2 x2  9  3 e 1 d )lim 3 x 0 x ln(cos x) f )lim x 0 arctan 2 x  2 x 2 x 0 x  sin x x3 x 1  x2 b)lim 3 2 28 Ví dụ 4.4. Tính các giới hạn sau 1   1 a )lim    x 1  ln x x 1 c )lim x 0 b) lim (e x  x 2 ) x  1  1 1    t an2x  sin x x  30 5