zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Báo xấu

44
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 3: Hàm khả vi" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm khả vi, định lý giá trị trung bình, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng hàm khả vi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2019)

9/25/2019 Chương 3: Hàm khả vi GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §1. Khái niệm §2. Định lý giá trị trung bình §3. Đạo hàm cấp cao §4. Công thức Taylor LOG §5. Ứng dụng O 2 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số I. Đạo hàm cấp một:  ln(1  x2 ) Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên  khi x  0 f ( x)   x khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của 0  khi x  0 hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được tại x0  0. tính bởi Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) f ( x)  f ( x0 ) f ( x )  f ( x0 ) f ( x0 )  lim f ( x0 )  lim x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được f ( x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim gọi là khả vi tại x0. x  x0 x  x0 3 4 Định lý 1.5: Định lý 1.6: f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0. Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 1  x, x  1, e x ( x 2  x) khi x  0 f ( x)   f ( x)   (1  x)(2  x), x  1 m khi x  0 tại x0  1. có đạo hàm tại x0  0. 5 6 1
9/25/2019 Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn): II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b]. -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x ), ta có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a,b). -Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có (k .u )  k.u đạo hàm trên (a,b) và có đạo hàm phải tại x = a và có (u  v)  u  v đạo hàm trái tại x = b. (u.v)  u.v  u.v  u  u.v  u.v v  v2   2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y( x)  u  ( x). y  u ( x )  7 8 Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau III. Vi phân cấp một: a) y  arctan x Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là b) y  (arcsin x ) 2 df ( x)  f ( x) dx c) y  e x arctan e x  ln 1  e 2 x hay 3 dy  ydx d) y  ( x 2  1) x 2 Ví dụ 1.6. Cho y  e x . Tính dy ( x) và dy (1). Ví dụ 1.5: Nếu F ( x)  f  g ( x)  , trong đó f (2)  8, f (2)  4, f (5)  3, g (5)  2, g (5)  6. Tìm F (5). 9 10 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì Ví dụ 1.8. Tìm vi phân df nếu 1) d (u  v)  du  dv. 2) d (k .u)  k.du. a) y  ln  arctan(sin x)  3) d (u.v)  vdu  udv. x b) y  e 2 x .sin  u  vdu  udv 3 4) d    . v v2 Ví dụ 1.7. Cho u và v là các hàm khả vi theo biến x. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau u a) y  b) y  ln u 2  v 2 v2 11 12 2
9/25/2019 I. Định lý Rolle: Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ( a, b) sao cho f (c)  0 . §2. Định lý giá trị trung bình Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle thì phải có ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành. 13 14 Ví dụ 2.1: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa II. Định lý giá trị trung bình: mãn các điều kiện của định lý Rolle trên một Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) thì tồn tại đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất cả các số c ( a, b) sao cho f (b)  f (a)  f (c).(b  a). c thỏa mãn kết luận của định lý Rolle. f ( x )  x 3  x 2  6 x  2,  0;3 . Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình thì phải có ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng nối hai đầu mút. 15 16 Ví dụ 2.2: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình trên một đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý giá trị trung bình. f ( x )  x ,  0;4  . §3. Đạo hàm cấp cao Ví dụ 2.3: Giả sử f(0) = -3 và f ( x )  5, x  . Tìm giá trị lớn nhất mà f(2) có thể nhận được. 17 18 3
9/25/2019 Ví dụ 3.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng I. Đạo hàm cấp cao: minh xy  2( y  sin x)  xy  0. Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp Ví dụ 3.3. Cho hàm số y  2 x  x 2. Chứng một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) minh là a) y 3 y  1  0. y  f ( x)   f ( x ) b) y 4 y  3 y  0. Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  n (u.v )( n)   Cnk u ( k ) v ( n k ) k 0 Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp kx ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const . Ví dụ 3.4. Tính y (20) của hàm số y  x 2e 2 x . 19 20 Ví dụ 3.5. Tính vi phân cấp 2 của hàm số II. Vi phân cấp cao: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến y  e x trong hai trường hợp: cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là a) x là biến độc lập. b) x là hàm của một biến độc lập nào đó.   d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n trong đó dx n  dx .dx dx . ....  n 21 22 I. Công thức khai triển Taylor: Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor (khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 )  ( x  x0 )2  ...  ( x  x0 )n §4. Công thức Taylor 1! 2! n! f (n 1) (c )  ( x  x0 ) n1 (n  1)! trong đó c là một số nằm giữa x và x0. f ( n 1) (c ) Rn ( x)  ( x  x0 ) n 1 : Phần dư Lagrange bậc n. ( n  1)!  Rn ( x)  o ( x  x0 ) n :  Phần dư Peano bậc n. 23 24 4
9/25/2019 II. Công thức khai triển Maclaurin: III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp: Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 : Xem Bảng 3. f (0) f (0) 2 ( n) f (0) n f ( n 1) (c ) n1 Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n: f ( x)  f (0)  x x  ...  x  x 1! 2! n! (n  1)! Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f (n ) (0) rồi thế vào công thức. hay Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt w  g ( x ) sao cho x  0  w  0. f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x)  f (0)  x x  ...  x  o( x n ) Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 : 1! 2! n! Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f (n ) ( x0 ) rồi thế vào công thức Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi biến. Chú ý: đặt w  x  x0 . 25 26 Ví dụ 4.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số Ví dụ 4.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau đến số hạng chứa x 4 1 f ( x)  2 . a) f ( x)  e2 x x  2x  8 b ) f ( x)  cos2 x Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến 1 c) f ( x)  cấp n. 3 x d ) f ( x)  ln(1  3 x ) Ví dụ 4.3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau a) f ( x)  e x .ln 1  x  đến số hạng chứa x 3 . x b) f ( x )  đến cấp 4. ex 1 27 28 Ví dụ 4.4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau đến cấp 3. a ) f ( x)  e x tại x0  2. 1 b ) f ( x)  tại x0  3. x 2 x  1 tại x  2. c) f ( x)  0 x 1 §5. Ứng dụng 29 30 5
9/25/2019 Chú ý 5.2. I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định:  Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc Định lý 5.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay 0  x x0 x x0 hoặc . 0  lim f ( x)  lim g ( x)   x x0 f ( x) x x0  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital và lim tồn tại x x0 g ( x ) nhiều lần. thì f ( x) f ( x) lim  lim x x0 g ( x) x  x0 g ( x ) 31 32 Ví dụ 5.1. Tính các giới hạn sau II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân: x2  5 x  6 2  4  x2 a)lim b)lim Phép xấp xỉ f ( x )  f (a )  f (a )( x  a ) (*) x 2 x  x 2  x  2 3 x0 x2  9  3 được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến x  sin x x2  x của f tại a. c )lim d ) lim x x 0 x3 x  e  3 Hàm tuyến tính L ( x)  f (a )  f (a )( x  a ) được gọi là tuyến tính hóa của f tại a. ln 2 x e) lim f ) lim  sin x.ln x  x  x 3 x0 1  1 1 g )lim    h) lim (1  sin4x )cot x x 0 t an2x  sin x x  x 0 33 34 Đặt x  x  a . Từ (*), ta có Ví dụ 5.3: Một sợi kim loại mỏng có chiều dài f (a  x)  f (a )  f ( a) x L = 12cm khi nhiệt độ là t = 21o C. Hãy ước f (a  x )  f (a)  f (a)x lượng sự thay đổi chiều dài khi t tăng lên 24o C y  f  ( a ) x Giả sử rằng L là hàm số phụ thuộc vào t thỏa L(t )  k .L , y là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm một lượng là x trong đó k  1,7  10 5 o C 1 là hệ số giãn nở nhiệt. Ví dụ 5.2: Tính gần đúng giá trị của a ) 3,98. b) sin 290. 35 36 6
9/25/2019 III. Phương pháp Newton: Ví dụ 5.4: Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình cos x  x lấy chính xác đến 6 chữ số thập Xét phương trình f ( x)  0. phân, biết đồ thị của hai hàm số y  cos x và Nếu nghiệm xấp xỉ thứ n là xn và f ( xn )  0 thì nghiệm y  x được cho trong hình vẽ sau xấp xỉ tiếp theo được cho bởi công thức f ( xn ) xn1  xn  f ( xn ) Nếu các số xn ngày càng tiến gần đến r khi n lớn dần thì ta có thể nói rằng dãy số hội tụ ở r và ta viết lim xn  r n  37 38 7
BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 (C )  0 (C  const ) 2 ( x )   .x 1 (u )   .u 1.u (  const ) 3  1  1  1  u    2    2  x x u  u 1 u 4 ( x )  ( u )  2 x 2 u 5 ( a x )  a x .ln a, ( a : hằng > 0) ( a u )  a u .(ln a ).u 6 (e x )  e x (eu )  eu .u 1 u 7 (log a x )  , (0  a  1) (log a u )  x.ln a u.ln a 1 u 8 (ln x)  (ln u )  x u 9 (sin x)  cos x (sin u )  (cos u ).u 10 (cos x)   sin x (cos u )  (sin u ).u 1 u 11 (tan x)  2  1  tan 2 x (tan u )  2  (1  tan 2 u ).u cos x cos u 1 u 12 (cot x)  2  (1  cot 2 x) (cot u )  2  (1  cot 2 u).u  sin x sin u 1 u 13 (arcsin x )  (arcsin u )  1  x2 1 u2 1 u  14 (arc cos x )  (arc cos u )  1  x2 1  u2 1 u 15 (arc tan x)  (arc tan u )  1  x2 1  u2 1 u 16 (arc cot x )  (arc cot u )  1  x2 1  u2 8
BẢNG 3. KHAI TRIỂN MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Công thức k 2 3 n x x x xn 1 e    o( x )  1  x    ...   o( x n ) x n k 0 k ! 2! 3! n! n 1 2   (1)k x k  o( x n )  1  x  x 2  x 3  ...  (1) n x n  o( x n ) 1  x k 0 n 1 3   x k  o( x n )  1  x  x 2  x3  ...  x n  o( x n ) 1  x k 0 n k x 2 k 1 2 n 2 x3 x 5 x 7 n x 2 n 1 4 sin x   (1)  o( x )  x     ...  (1)  o( x 2 n  2 ) k 0 (2k  1)! 3! 5! 7! (2n  1)! n 2k 2 4 6 2n x x x x x 5 cos x   (1)k  o( x 2 n 1 )  1     ...  (1)n  o( x 2 n1 ) k 0 (2k )! 2! 4! 6! (2n)! n k 2 3 4 n k 1 x n x x x n 1 x 6 ln(1  x)   (1)  o( x )  x     ...  (1)  o( x n ) k 1 k 2 3 4 n n k 2 3 4 n x x x x x 7 ln(1  x)     o( x n )   x     ...   o( x n ) k 1 k 2 3 4 n 9
Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Các hàm số sau có đạo hàm tại x  x0 không?  sin 2  x  , x 1 a) f ( x)   x  1 , x0  1 . b) f ( x )  x 2  4 , x0  2 . 0, x 1   2 1 2 x  7, x  3, x sin , x  0, c) f ( x)   , x0  3 . d) f ( x )   x , x0  0 . 16  x, x  3 0, x0  e4 mx  cos x  , x  0, Bài 2: Cho hàm số f ( x)   x m2  3, x  0.  a) Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên  . b) Với các giá trị m vừa tìm được ở trên, hàm số f(x) có tồn tại f (0) hay không? a ln( x  1)  cos  x, x  1 Bài 3: Tìm a và b để hàm số f ( x)   có đạo hàm tại x0  1. b cos  x, x 1 Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau arcsin x 2 x2 1) y  . 2) y  ln(arcsin 5 x) . 3) y  arcsin . x 1  x4 sin x 1  sin x x 4) y  2  ln . 5) y  (sin x) x , với sin x  0. 6) y  x  x x , với x  0. cos x cos x x 2 .(2 x  1)2 7) y  xln x  (ln x) x với x  1. 8) y  . x 1 Bài 5: Tìm vi phân dy của các hàm số sau 1) y  arctan e 2 x . 2) y  x 2 sin 2 x. 1 3) y  3x ln x. 4) y  ln(sin x )  sin 2 x. 2 x2 5) y  arcsin x . 6) y  cos 2  x . Bài 6: Tính vi phân cấp 2 của các hàm số sau 1) f ( x )  x.e  x nếu x là biến độc lập.   2) f ( x )  sin x 2 nếu a) x là biến độc lập. b) x là hàm của một biến độc lập nào đó. Bài 7: 1) Cho y  x  ln x . Tính dy( x ) và dy( e ). d  sin x  2) Tính  . d( x 2 )  x  10
Bài tập Giải tích x 3) Nếu f ( x )  e g( x ), trong đó g(4)  8 và g(4)  7. Tìm f (4). g( x ) 4) Cho ba hàm số y  f ( x ) , y  g( x ) và h(x )  . Tính h(2), biết f (2)  3, g(2)  4, 1  f (x) f (2)  2 và g(2)  7. Bài 8: Cho u, v, w là các hàm khả vi theo biến x. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số sau u 1 1) y  u.v.w 2) y  arctan 3) y  v u  v2 2 1 dy ln x Bài 9: Cho x y  e x  y , x  0, x  . Chứng minh rằng  . e dx (1  ln x)2 Bài 10: 1) Chứng minh y  x sin x thỏa mãn đẳng thức y   y  2 cos x. arcsin x 2) Chứng minh y  thỏa mãn đẳng thức (1  x 2 ) y  xy  1. 2 1 x 3) Chứng minh y  sin(ln x )  cos(ln x) thỏa mãn đẳng thức x2 y  xy  y  0. 4) Chứng minh y  x  x 2  1 thỏa mãn đẳng thức 2 1  x 2 y  y và 4(1  x 2 ) y  4 xy  y  0 . Bài 11: Cho F ( x )  f  3 f  4 f ( x )   , trong đó f (0)  0 và f (0)  2. Tìm F (0). Bài 12: Kiểm tra xem các hàm số sau có thỏa mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình trên một đoạn cho trước không. Sau đó, tìm tất cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý giá trị trung bình. a) x3  3x  2 ,  2; 2 . b) x ln x , 1;2 . 1 c) e x ,  0;2 . d) , 1;3 . x e x , 0 x2 Bài 13: Cho hàm số f ( x )    x  m,  1  x  0. a) Tìm m đề hàm số f(x) khả vi trên (-1;2). Tìm f ( x). b) Tìm số c trong định lý giá trị trung bình trên [-1;2]. Bài 14: Nếu f (1)  10 và f ( x)  2, x  [1; 4] thì f (4) nhỏ nhất là bao nhiêu? x 1 Bài 15: a) Cho y  e x sin x. Tính y (2017) (0). b) Cho y  2 . Tính y (2018) (1). x Bài 16: Tìm khai triển Maclaurin của hàm số sau 1) f ( x)  ecos x đến số hạng chứa x4 2) f ( x)  ln(3  2 x) đến số hạng chứa x3 x 3) f ( x )  đến số hạng chứa x4 4) f ( x)  ln(1  sin x) đến cấp 3 1  x3 2 5) f ( x)  e2 x  x đến cấp 3 6) f ( x)  sin(sin x) đến cấp 3 7) f ( x )  sin 4 x  ln(1  2 x) đến cấp 2. 8) f ( x )  tan x đến số hạng chứa x5. 11
Bài tập Giải tích sin x 9) f ( x )  ln đến số hạng chứa x6. 10) f ( x )  cos 3 x . x Bài 17: a) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số f ( x)  ( x 1)e x . Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến cấp n. 1 b) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số f ( x)   ln(1  3 x) . Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của (2 x  3)3 hàm số f(x) đến cấp n. Bài 18: Tính các giới hạn sau x2  4 x 1 1 x 2  1  ln x 1) lim 2 . 2) lim . 3) lim . x 2 x  3x  2 x 0 3  2 x  9 x 1 ex  e e x  e x  2 x x3  x 2  x  1 e3 x  1 4) lim . 5) lim . 6) lim . x 0 x  sin x x 1 x  ln x  1 x  0 tan x x tan x cos 2 x  cos x sin 2 x  x 2 cos 2 x 7) lim . 8) lim . 9) lim . x  0 1  cos x x 0 sin 2 x x 0 x 2 sin 2 x 10) lim   cos x  3 cos x arcsin(3 x)  5  arctan(4 x)  7 . x0 sin x.arcsin(2 x ).arctan(5 x) ln(1  e x ) x2 x3 11) lim . 12) lim . 13) lim . x  1 x x  (ln x )3 x  e x x 2 xe 14) lim . x  x  ex Bài 19: Tính các giới hạn sau  1  1 1  1 1  1) lim  cot x   . 2) lim  2  2  . 3) lim   x . x0  x x 0 x  sin x  x0 x  e 1    1  1 1   1x  4) lim    . 5) xlim e x ln x. 6) lim x  e  1 . x0   2  ln x  x  1 ln  x  1   0 x    1  x 7) lim  ln x tan . 8) lim ( x  1) x . 9) lim (sin x ) tan x x 1  2  x  x 0 x 1 1 tan x 1 x x  x 2 10) lim x . 11) lim( x  e ) . 12) lim  tan  . x 1 x0 x 1  4  Bài 20: Tính gần đúng giá trị của 1 a) f (1, 2)  f (1) nếu f (1)  4 . b) (1,999)4 . c) . 4, 002 d) ln  5 32, 005  1 .  e) arctan(1, 004)  1, 004 . f) cos 310 . 12
Bài tập Giải tích Bài 21: a) Doanh thu phòng vè của một rạp chiếu phim ở Paris là R( p)  3600 p  p3 (euros) trên một suất chiếu khi giá vé là p (euros). Tính R ( p) khi p  9 và sử dụng xấp xỉ tuyến tính để ước tính R khi p tăng hoặc giảm 0,5 euros. b) Bán kính của một quả bóng hình cầu đo được là r  25 cm . Ước tính sai số tối đa của thể tích và diện tích bề mặt khi biết sai số của r là 0,5 cm. Bài 22: Sử dụng phương pháp Newton với một xấp xỉ ban đầu x1 để tìm x3 là nghiệm xấp xỉ của phương trình sau (đáp án lấy 4 chữ số thập phân). a) x 5  x  1  0 , x1  1. b) 1  x sin x  0 , x1  7. Bài 23: Tìm nghiệm xấp xỉ dương nhỏ nhất của phương trình s in3x  cos x lấy chính xác đến 6 chữ số thập phân, biết đồ thị của hàm số f ( x)  s in3x  cos x được cho trong hình vẽ sau. 13

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.