intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST
Báo xấu
571
lượt xem 136
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến trình bày các nội dung: Giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm, vi phân, khai triển Taylor-Maclaurin, qui tắc L’Hospital, bài toán tối ưu và ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phép tính vi phân hàm một biến

  1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Ts. Lê Xuân Trường Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 / 55
  2. Các nội dung chính 1 Giới hạn hàm số 2 Hàm số liên tục 3 Đạo hàm 4 Vi phân 5 Khai triển Taylor-Maclaurin 6 Qui tắc L’Hospital 7 Bài toán tối ưu và ứng dụng Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 / 55
  3. PHẦN 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 / 55
  4. 1. Giới hạn hàm số 1.1. Một số giới hạn cơ bản  +∞, khi α > 0  limx →+∞ x α = 1, khi α = 0 0, khi α < 0  limx →a C = C (C là hằng số) sin x limx →0 x =1 ax − 1 ln(x +1) limx →0 x = ln a, limx →0 x =1 1 x = limx →0 (1 + x )1/x = e  limx →±∞ 1 + x (1+x ) α −1 limx →0 x =α Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4 / 55
  5. 1. Giới hạn hàm số 1.2. Điều kiện tồn tại giới hạn   limx →a+ f (x ) , limx →a− f (x ) hữu hạn tồn tại lim f (x ) ⇔ x →a limx →a+ f (x ) = limx →a− f (x )  Ví dụ: Xét sự tồn tại của giới hạn sau |x − 1| lim x →1 x − 1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 / 55
  6. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Nếu f là hàm số sơ cấp, xác định tại a thì limx →a f (x ) = f (a). Ví dụ: limx →2 x 3 − 2x 2 + 4 = 23 − 2.22 + 4 = 4  Tính chất kẹp:  g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) ⇒ lim f (x ) = A limx →a g (x ) = limx →a h (x ) = A x →a Ví dụ:Tính giới hạn limx →0 x sin x1  − |x | ≤ x sin x1 ≤ |x |  1 ⇒ lim x sin =0 x →0 x limx →0 (− |x |) = limx →0 |x | = 0  Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 / 55
  7. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Giả sử limx →a f (x ) và limx →a g (x ) tồn tại hữu hạn. Khi đó ta có (i ) limx →a [f (x ) ± g (x )] = limx →a f (x ) ± limx →a g (x ) (ii ) limx →a [f (x ) .g (x )] = limx →a f (x ) . limx →a g (x ) f (x ) limx →a f (x ) (iii ) limx →a g (x ) = limx →a g (x ) (nếu limx →a g (x ) 6= 0) (iv ) limx →a [f (x )]g (x ) = [limx →a f (x )]limx →a g (x ) (limx →a f (x ) > 0) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7 / 55
  8. 1. Giới hạn hàm số 1.3. Một số tính chất của giới hạn Khi xét giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số ta cũng lưu ý một số điểm như sau     ∞ + một số hữu hạn = ∞, ∞ × một số dương = ∞     ∞ × một số âm = −∞, một số hữu hạn /∞ = 0   ∞/ một số hữu hạn = ∞ Chú thích: Cách viết trên đây là hình thức. Chẳng hạn   ∞ + một số hữu hạn = ∞, được hiểu là nếu lim f (x ) = ∞ và lim g (x ) 6= ∞ thì lim [f (x ) + g (x )] = ∞. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8 / 55
  9. 1. Giới hạn hàm số 1.4. Dạng vô định Các dạng vô định 0 ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 , ∞0 0 ∞ Khử dạng vô định Ví dụ:Tính các giới hạn sau √ 1 − cos x 3+x −2 A = lim và B = lim x →0 x2 x →1 x −1 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 9 / 55
  10. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Định nghĩa: Nếu limx →a α (x ) = 0 thì ta nói α (x ) là một vô cùng bé (vcb) khi x dần đến a. Ví dụ: sin x, ln (1 + x ) , (1 + x )α − 1 là các vcb khi x → 0. Lưu ý: Tổng, hiệu và tích các vcb cũng là một vcb Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10 / 55
  11. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé So sánh các vcb: Giả sử α (x ) , β (x ) là các vcb khi x → a và α (x ) K = lim x →a β (x ) - K = 0: α (x ) là vcb bậc cao hơn β (x ). Ký hiệu α (x ) = 0 ( β (x )) - K 6= 0, ∞: α (x ) và β (x ) cùng bậc. Ký hiệu α (x ) = O ( β (x )) - K = 1: α (x ) và β (x ) tương đương. Ký hiệu α (x ) ∼ β (x ) Ví dụ: So sánh hai vcb sau khi x → 0 p α (x ) = 4 + x 2 − 2 và β (x ) = sin x Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11 / 55
  12. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Một số cặp vcb tương đương: khi x → 0 ta có sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x 1 − cos x ∼ 21 x 2 ex − 1 ∼ x ln (1 + x ) ∼ x (1 + x )α − 1 ∼ αx Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 / 55
  13. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Khử dạng vô định 00 : - Nếu α (x ) và β (x ) là các vcb (khi x → a) và α ∼ α1 , β ∼ β 1 thì α (x ) α1 (x ) lim = lim . x →a β (x ) x →a β 1 (x ) Ví dụ 1: Tính giới hạn √ 5 1 + x3 − 1 lim x →0 ln (1 + 2x 3 ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 / 55
  14. 1. Giới hạn hàm số 1.5. Vô cùng bé Khử dạng vô định 00 : Ví dụ 2: Tính giới hạn e 2x − 1 sin x  lim x →0 x 3 + 1 − cos x - Hai nguyên tắc khi thay vcb tương đương α ∼ α0 và β ∼ β0 ⇒ α.β ∼ α0 .β0 α1 = 0 ( α2 ) ⇒ α1 + α2 ∼ α2 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14 / 55
  15. 1. Giới hạn hàm số 1.6. Bài tập Tính các giới hạn sau đây (e x −1). sin2 x A = limx →0 x 3 +tan4 x 1  B = limx →0 cot x − sin x ln(cos(x −1)) C = limx →1 √ 3 2 x −2x +2−1 1 D = limx →0 (cos x ) x Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15 / 55
  16. PHẦN 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 / 55
  17. 2. Hàm số liên tục 2.1. Định nghĩa Hàm số y = f (x ) liên tục tại a nếu f xác định tại a và lim f (x ) = lim+ f (x ) = f (a) x →a − x →a Liên tục một bên liên tục bên trái: limx →a− f (x ) = f (a) liên tục bên phải: limx →a+ f (x ) = f (a) Liên tục trên đoạn [a, b ] - Liên tục tại mọi điểm c ∈ (a, b ) - Liên tục bên phải tại a và bên trái tại b Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 / 55
  18. 2. Hàm số liên tục 2.2. Ví dụ: √ 3 1+x −cos x   x , x 6= 0, Tìm m để hàm số y = f (x ) = liên tục tại 0.  m, x = 0. Cho hàm số e x +1 − 1    x +1 , x < −1,    f (x ) = ax + b, − 1 ≤ x < 1,     x 2 − 2, x ≥ 1.  Tìm a, b để hàm số liên tục trên R. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18 / 55
  19. 2. Hàm số liên tục 2.3. Một số tính chất Mọi hàm số sơ cấp xác định tại a sẽ liên tục tại a. Tổng, hiệu, tích và thương các hàm số liên tục là một hàm liên tục. Hợp hai hàm số liên tục là một hàm số liên tục. Nếu hàm số f liên tục trên [a, b ] thì ta có   f (x1 ) = m = minx ∈[a,b ] f (x ) (i ) ∃x1 , x2 ∈ [a, b ] : f (x2 ) = M = maxx ∈[a,b ] f (x )  (ii ) ∀c ∈ [m, M ] , ∃xc ∈ [a, b ] : f (xc ) = c (iii ) f (a) f (b ) < 0 ⇒ ∃x0 ∈ (a, b ) : f (x0 ) = 0 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 / 55
  20. PHẦN 3 ĐẠO HÀM Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20 / 55
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2