Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến - TS. Lê Xuân Trường

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày các nội dung: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến - TS. Lê Xuân Trường

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ts. Lê Xuân Trường Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 / 36
Các nội dung chính 1 Hàm nhiều biến 2 Đạo hàm riêng 3 Vi phân toàn phần 4 Bài toán tối ưu không ràng buộc 5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2 / 36
PHẦN 1 HÀM NHIỀU BIẾN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3 / 36
Hàm nhiều biến Hàm nhiều biến z = f (x, y ) Ví dụ: z = f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số f (0, 1) = 3, f (−2, 1) = 11. Tập xác định: D = (x, y ) ∈ R2 : f (x, y ) có nghĩa Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 / 36
Hàm nhiều biến Đồ thị của hàm hai biến z = f (x, y ) Gf = {(x, y , f (x, y )) : (x, y ) ∈ D } Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5 / 36
PHẦN 2 ĐẠO HÀM RIÊNG Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 6 / 36
Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên tập mở D và (x0 , y0 ) ∈ D. Đạo hàm riêng theo x ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) zx (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂x ∆x →0 ∆x Đạo hàm riêng theo y ∂f f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) zy (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂y ∆y →0 ∆y (nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 7 / 36
Đạo hàm riêng Nhận xét: Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến. Ta có f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = zx (x0 , y0 ) ∆x + 0 (∆x ) f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) = zy (x0 , y0 ) ∆y + 0 (∆y ) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau x −y f (x, y ) = 2x 2 y 3 + 2x +1 g (x, y , z ) = xy sin (y + 2z ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8 / 36
Đạo hàm riêng Biên tế riêng Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) Biên tế của z theo x ∂f Mzx (x0 , y0 ) := (x0 , y0 ) ≈ f (x0 + 1, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂x Biên tế của z theo y ∂f Mzy (x0 , y0 ) := (x0 , y0 ) ≈ f (x0 , y0 + 1) − f (x0 , y0 ) ∂y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 9 / 36
Đạo hàm riêng Biên tế riêng Ví dụ: - Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng) U = U (x1 , x2 ) . Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi ∂U ∂U MUx1 = và MUx2 = . ∂x1 ∂x2 - Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất Q = Q (K , L) , với Q là sản lượng, K là lượng vốn và L là lượng lao động. Sản lượng biên theo vốn và theo lao động được cho bởi ∂Q ∂Q MPK = và MPL = . ∂K ∂L Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 10 / 36
Đạo hàm riêng Hệ số co dãn riêng Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) Hệ số co dãn riêng theo x x0 ∂z % thay đổi của z Ezx (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ' z (x0 , y0 ) ∂x % thay đổi của x Hệ số co dãn riêng theo y y0 ∂z % thay đổi của z Ezy (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ' z (x0 , y0 ) ∂x % thay đổi của y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 11 / 36
Đạo hàm riêng Hệ số co dãn riêng Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 100 − 2P + PA + 0, 1Y , trong đó P = 10, PA = 12 và Y = 1000.Tìm - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá, P. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá của sản phẩm liên quan, PA . - Hệ số co dãn của lượng cầu theo thu nhập, Y . Nếu thu nhập tăng 5% thì lượng cầu tăng bao nhiêu phần trăm? Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 12 / 36
Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 1: ∂f ∂f zx (x, y ) = ∂x (x, y ) và zy (x, y ) = ∂y (x, y ) Các đạo hàm riêng cấp 2: h i ∂2 f ∂ ∂f zxx (x, y ) = ∂x 2 (x, y ) := ∂x ∂x (x, y ) h i ∂2 f ∂ ∂f zxy (x, y ) = ∂x ∂y (x, y ) := ∂y ∂x (x, y ) h i ∂2 f ∂ ∂f zyx (x, y ) = ∂y ∂x (x, y ) := ∂x ∂y (x, y ) h i ∂2 f ∂ ∂f zyy (x, y ) = ∂y 2 (x, y ) := ∂y ∂y (x, y ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 13 / 36
Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 3: ∂3 f ∂3 f ∂x 3 ∂x 2 ∂y ··· Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số f (x, y ) = x 3 + x 2 y 3 − 2y 2 y g (x, y ) = x arctan x Theorem Giả sử hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục trong một hình tròn tâm (x0 , y0 ) với bán kính ε (bé tùy ý) thì ta có fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 14 / 36
PHẦN 3 VI PHÂN TOÀN PHẦN Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 15 / 36
Vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) Vi phân toàn phần của f tại (x0 , y0 ) df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy Nếu các đạo hàm riêng fx và fy liên tục tại (x0 , y0 ) thì ∆f (x0 , y0 ) = f (x0 + dx, y0 + dy ) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy + 0 (ρ) q trong đó ρ = (dx )2 + (dy )2 . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 16 / 36
Vi phân toàn phần Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến Khi x − x0 và y − y0 bé, ta có f (x, y ) − f (x0 , y0 ) ≈ fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 ) Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = 3K 2/3 L1/3 , trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động. - Viết biểu thức vi phân toàn phần của Q khi K = 1000 và L = 216. - Tính gần đúng mức sản lượng thay đổi khi ta tăng 1, 5 đơn vị vốn và giảm 1 đơn vi lao động. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 17 / 36
Vi phân toàn phần Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến Ví dụ: Xét hàm hai biến p z = f (x, y ) = x 3 + y 3 + 8. - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại (1, 3). - Từ kết quả đó, hãy tính gần đúng giá trị f (1, 8; 2, 6). Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 18 / 36
PHẦN 4 CỰC TRỊ TỰ DO Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 19 / 36
Cực trị tự do Cực trị địa phương và cực trị toàn cục Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 20 / 36