Bài giảng phương trình vi phân - ĐH Đà Lạt

Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:115

1
454
lượt xem
153
download

Bài giảng phương trình vi phân - ĐH Đà Lạt

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chẳng hạn, trong cì học cổ điển (định luật Newton), trong thiên van học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong điện tử... Trong hầu hết các linh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các ph÷ìng trình này (cả về định tính...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng phương trình vi phân - ĐH Đà Lạt

  1. TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC TRÒNH ÑÖÙC TAØI PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008
  2. Mục lục 1 Phương trình vi phân thường cấp I 2 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Vài mô hình đơn giản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 11 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Phương trình với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 Phương trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.7 Phương trình Riccati ....................... 22 1.4 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm . . . . . . . . 23 1.4.1 Tích phân một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 23 1.5 Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.3 Tham số hoá tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
  3. ii MỤC LỤC 1.6.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Phương trình vi phân cấp cao 35 2.1 Phương trình vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương 37 2.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp . . . . . . . 39 2.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. . . . 43 2.2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . . . . . . . . . 44 2.2.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 50 2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . 53 2.3.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: . . . . . 56 3 Hệ phương trình vi phân 60 3.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao. 61 3.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 63 3.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Hệ tuyến tính không thuần nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Sự ổn định nghiệm của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
  4. 1 MỤC LỤC 3.5.1 Sơ lược về bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.2 Ổn định hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.5.3 Ổn định theo xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.4 Ổn định theo phương pháp Liapunov thứ hai . . . . . . . . . . . 83 4 Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức. 86 4.1 Các khái niệm cơ bản. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . 86 4.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.3 Phương trình vi phân phức biến thực . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa. . . 88 4.1.5 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Hàm đặc biệt - Một số phương trình vi phân tuyến tính cấp II. . . . . . 96 4.2.1 Phương trình siêu hình học (hypergeometric) . . . . . . . . . . . 96 4.2.2 Phương trình Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.3 Phương trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3 Sơ lược về khai triển tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân. . . . . 98 4.3.1 Sơ lược về khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính qui. 100 4.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.4 Sơ lược về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 103 A Biến đổi Laplace và phương trình vi phân. 106 A.1 Biến đổi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace. . . . . . . . . . 108 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
  5. Chương 1 Phương trình vi phân thường cấp I 1.1 Mở đầu Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển động của một hệ được mô hình hoá bởi các phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các đạo hàm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong điện tử... Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về định tính lẫn về định lượng). 1.1.1 Vài mô hình đơn giản. Sự rơi tự do. Xét một vật có khối lượng m được thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt đất. Theo định luật II Newton, chuyển động của vật đó có thể mô tả bởi phương trình (1.1) F = ma trong đó F là hợp lực tác động lên vật và a là gia tốc chuyển động. Hợp lực F có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển động và hướng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển dv động a = nên (1.1) có thể viết dưới dạng dt dv (1.2) m = mg − γv dt trong đó g ≈ 9, 8m/s2 là gia tốc trọng trường, còn γ là hệ số cản. Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.2) với sự xuất hiện của đạo hàm của v . Những phương trình như vậy ta sẽ gọi là phương trình vi phân. Dung dịch hóa học. Giả sử tại thời điểm ban đầu t = t0 một thùng chứa x0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng độ
  6. 3 1.1 Mở đầu a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) và khấy đều. Đồng thời, cho hỗn hợp đó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc độ như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay đổi lượng muối trong thùng dx bằng hiệu của tỉ lệ muối dt chảy vào ar (kg/phút) trừ đi tỉ lệ muối chảy ra tại thời điểm đang xét 1000 (kg/phút). rx Vậy ta có phương trình vi phân dx rx (1.3) = ar − dt 1000 với dữ kiện ban đầu x(t0 ) = x0 1.1.2 Các khái niệm. Phương trình vi phân là phương trình có dạng (1.4) F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 trong đó y = y (x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm (đến cấp nào đó) của ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình đạo hàm riêng. Để phân biệt, người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương trình vi phân thường và là đối tượng chính của giáo trình này. Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y (x) xác định trên khoảng mở I ⊂ R; khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác định trong một tập mở G của R × Rn+1 . Trong truờng hợp ẩn hàm cần tìm là vector-hàm (hàm với giá trị vector) y (x) = (y1 (x), . . . , ym (x))T ∈ Rm , F là một ánh xạ nhận giá trị trong Rm và (1.4) được hiểu là hệ phương trình vi phân. Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của đạo hàm của ẩn xuất hiện trong phương trình. Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát (1.5) F (x, y, y ) = 0 trong đó F (x, y, z ) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên miền G ⊂ R3 . Với một số giả thiết thích hợp (xem định lý hàm ẩn), phương trình vi phân cấp I có thể viết được dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm) (1.6) y = f (x, y ) với f liên tục trong một miền D ⊂ R2 . Ví dụ: Các phương trình ey + y 2 cos x = 1 (y )2 − 2xy = ln x ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y 2
  7. 4 1.1 Mở đầu lần lượt là phương trình vi phân thường cấp I, cấp III và phương trình đạo hàm riêng cấp II. Xét phương trình (1.4), hàm giá trị vector φ : I → Rn (với I = (a, b) là khoảng nào đó của R) là nghiệm của phương trình (1.4) nếu nó có các đạo hàm liên tục đến cấp n trên I và thoả mãn với mọi x ∈ I (1.7) F (x, φ(x), φ (x), φ (x), . . . , φ(n) )(x) = 0, Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm là một hàm thực một biến y = φ(x) mà khi thay vào (1.5) hoặc (1.6), ta được một đẳng thức đúng. Ví dụ: Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý) y = C1 cos x + C2 sin x là nghiệm của phương trình vi phân y +y =0 X z 3 2 1 1 2 3 4 y Hình 1.1: Nghiệm của phương trình Volterra-Lotka. Ví dụ: (Săn mồi và mồi) Sự phát triển của hai quần thể sinh vật (chẳng hạn, x = x(t) là số con mèo và y = y (t) là số con chuột) theo thời gian được mô tả bởi (hệ) phương trình Volterra−Lotka sau đây (1.8) y = y (α − βx), x = x(γy − δ ) với α, β, γ và δ là những hằng số đặc trưng cho sự tăng trưởng của các quần thể. Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể xem y như là hàm theo x, phương trình có thể viết dưới dạng dy y (α − βx) (γy − δ ) (α − βx) hay = dy = dx dx x(γy − δ ) y x Nghiệm của phương trình này cho bởi γy − δ ln y = α ln x − βx + C trong đó C là hằng số tuỳ ý. Hình 1.1 mô tả nghiệm của phương trình khi α = β = γ = 1, δ = 2.
  8. 5 1.1 Mở đầu 1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: Xét phương trình vi phân (1.6), với f (x, y ) liên tục trên miền mở trong R2 . Tại mỗi điểm M (x, y ) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là dy (1.9) k= = f (x, y ) dx Khi đó ta thu được một trường các hướng xác định bởi (1.9), và dĩ nhiên hướng của tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm trùng với hướng của trường tại điểm đó. Giải phương trình vi phân dạng (1.6) về mặt hình học là tìm tất cả các đường cong sao cho tại mỗi điểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường. Hình 1.2 cho y ta trường hướng của phương trình y = − . x 2 y(x) 1 0 –2 –1 1 2 x –1 –2 y Hình 1.2: Trường hướng của phương trình y = − x Ngược lại, cho trước họ đường cong (1.10) ϕ(x, y, C ) = 0 phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi điểm chỉ có duy nhất một đường cong của họ đi qua. Ta sẽ lập phương trình vi phân nhận họ đường cong này làm nghiệm tổng quát như sau. Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta được ∂ϕ ∂ϕ (x, y, C ) + y (x, y, C ) = 0 ∂x ∂y Từ phương trình (1.10), với mỗi (x, y ) ta luôn tìm được duy nhất giá trị C = C (x, y ). Thay C vào đẳng thức trên ta nhận được ∂ϕ ∂ϕ (x, y, C (x, y )) + y (x, y, C (x, y )) = 0 ∂x ∂y
  9. 6 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm và đây là phương trình vi phân cần tìm. Ví dụ: Tìm phương trình vi phân của họ đường cong sau: y = Cx2 Đạo hàm hai vế theo x ta được y = 2Cx. Khử C ta thu được phương trình vi phân: y y =2 x 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.1 Bài toán Cauchy Ta nhận xét rằng nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện nào đó về nghiệm (tuỳ theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn, y = x3 + C là nghiệm (tổng quát) của phương trình y = x2 . Dễ thấy y = x3 + 1 là 3 3 nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y (0) = 1. Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban đầu): y = f (x, y ) (1.11) Bài toán: Tìm nghiệm y (x) thỏa: y (x0 ) = y0 trong đó (x0 , y0 ) ∈ D được gọi là điều kiện ban đầu. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là bài toán (1.11) có hay không và có bao nhiêu lời giải. Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Chẳng hạn, phương trình y = x2 , y (0) = 0 có duy nhất một nghiệm là y = x3 /3. Phương trình xy = y , y (0) = 1 không có nghiệm nào; còn phương trình y = y 1/3 , y (0) = 0 có ít nhất 2 nghiệm là là y ≡ 0 và y 2 = 27 x3 . 8 Trong mục sau ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I. 1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm (1.11), trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R2 . Giả sử y (x) là nghiệm của bài toán (1.11), tích phân hai vế của phương trình trong (1.11) ta được phương trình tích phân đối với y (x) là x (1.12) y (x) = y0 + f (t, y (t))dt x0
  10. 7 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Rõ ràng mỗi nghiệm của (1.11) cũng là nghiệm của (1.12) và ngược lại, mỗi nghiệm của (1.12) đều khả vi liên tục (tức là thuộc lớp C 1 ) trên một khoảng I nào đó và thoả phương trình (1.11). Phép lặp Picard-Lindel¨f. o Về mặt toán tử, nghiệm của phương trình tích phân (1.12) chính là lời giải của bài toán điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (ở đây ta xét không gian các hàm khả vi liên tục trên I ) mà lời giải có thể cho bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard-Lindel¨f sau đây. o Xét dãy các hàm xác định một cách đệ qui bởi (hay một hàm nào đó) y0 (x) = y0 x (1.13) f (t, yk (t))dt, với k ∈ N yk+1(x) = y0 + x0 Bổ đề 1.1. Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật D = (x, y ) ∈ R2 /|x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b b Đặt M := max |f (x, y )| và h := min a, . Khi đó với mọi x ∈ I := [x0 − h, x0 + h] M (x,y )∈D ta có với mọi k |yk (x) − y0 | ≤ b, Nói cách khác, trong phép lặp (1.13) các hàm yk không đi ra khỏi phần hình chữ nhật D , ứng với x ∈ I . Chứng minh : Ta có, với x0 − h ≤ x ≤ x0 + h: x x |yk − y0 | = f (t, yk−1(t))dt ≤ |f (t, yk−1(t))| dt ≤ M |x − x0 | ≤ Mh ≤ b x0 x0 Ví dụ: Xét phương trình y = −y 2 , với y (0) = 1. Nghiệm chính xác của nó là y = x+1 . 1 Vài xấp xỉ đầu tiên trong phép lặp Picard-Lindel¨f là y0 = 1, y1 = 1 − x, y2 = o x3 1 − x + x2 − ,...(xem Hình 1.3). Ta nhận thấy các xấp xỉ yk hội tụ nhanh khi x bé, 3 với các giá trị x lớn phép lặp là phân kỳ. 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Trong phần này ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân, khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
  11. 8 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Y0(x) Y2(x) Y4(x) Y1(x) Y3(x) 1 2 3 4 Hình 1.3: Phép lặp Picard-Lindel¨f cho phương trình y = −y 2 , với y (0) = 1 o Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f (x, y ) xác định trên miền D ⊂ R2 . Ta nói f thoả điều kiện Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho: với mọi (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | , Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội của đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f trên D . Thật vậy, giả sử liên tục và ≤ L. Khi đó, áp dụng định lý Lagrange ∂y ∂y ∂y cho hàm f (x, y ) theo biến y ta được ∂f f (x, y1) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 ) [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y Từ đó suy ra điều kiện Lipschitz. Ví dụ: Hàm f (x, y ) = y 1/3 liên tục nhưng không thỏa điều kiện Lipschitz theo biến y trong lân cận bất kỳ của (0, 0). Định lý 1.2 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử hàm số f (x, y ) trong (1.11) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật D = (x, y ) ∈ R2 / |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.11) là tồn tại và duy nhất trong đoạn I := b [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, M ) và M := max |f (x, y )|. (x,y )∈D Chứng minh : Chứng minh chia làm hai bước: Sự tồn tại: Ta chứng minh rằng phép lặp Picard hội tụ đều trên I đến một nghiệm của bài toán Cauchy. Trước tiên ta chứng minh bằng qui nạp rằng − x0 |k+1 k |x với mọi x ∈ I |yk+1(x) − yk (x)| ≤ ML , (k + 1)!
  12. 9 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Với k = 0, bất đẳng thức trên chính là f (t, y0 (t))dt ≤ M |x − x0 |; bất đẳng thức x x0 này đúng. Giả sử ta có điều đó với k − 1, khi đó với x0 ≤ x ≤ x0 + h ta có x |yk+1 (x) − yk (x)| = [f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))] dt x0 x x ≤ |f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))| dt ≤ L |yk (t) − yk−1(t)| dt x0 x0 x ≤L |yk (t) − yk−1(t)| dt x0 |x − x0 |k k +1 x k |x − x0 | k ≤ ML dt = ML k! (k + 1)! x0 (với x0 − h ≤ x ≤ x0 ta đánh giá tương tự). Xét dãy hàm {yk (x)} trên I , ta có |yk+p(x) − yk (x)| ≤ |yk+p (x) − yk+p−1(x)| + |yk+p−1(x) − yk+p−2(x)| + · · · + |yk+1 (x) − yk (x)| (L |x − x0 |)k+p (L |x − x0 |)k+1 M ≤ +···+ L (k + p)! (k + 1)! j M (Lh) ≤ L j! j ≥k +1 (Lh)j Chuổi số là hội tụ, nên phần dư của nó (xuất hiện trong biểu thức cuối ∞ j =0 j! cùng) có thể làm cho bé tuỳ ý khi k đủ lớn. Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {yk (x)} hội tụ đều trên I đến hàm y (x). Để chứng minh y (x) là nghiệm ta chỉ cần qua giới hạn trong đẳng thức x yk+1 (x) = y0 + f (t, yk (t))dt x0 Vì dãy hàm {yk (x)} hội tụ đều, f liên tục đều trên hình chữ nhật D nên dãy hàm {f (t, yk (t))} hội tụ đều trên I đến hàm f (t, y (t)). Do đó có thể chuyển giới hạn qua dấu tích phân để được đẳng thức (1.12). Vậy y (x) chính là nghiệm của bài toán Cauchy (1.11). Tính duy nhất: Giả sử bài toán Cauchy (1.11) còn có nghiệm z (x), khi đó ta có x y (x) − z (x) = [f (t, y (t)) − f (t, z (t))] dt x0 Suy ra x |y (x) − z (x)| = [f (t, y (t)) − f (t, z (t))] dt ≤ 2M |x − x0 | . x0
  13. 10 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Từ đó x x |x − x0 |2 |y (x) − z (x)| = [f (t, y (t)) − f (t, z (t))] dt ≤ L |y (t) − z (t)|dt ≤ 2ML 2 x0 x0 Lặp lại quá trình trên, ta dễ dàng chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên k : |x − x0 |k+1 với mọi x ∈ I |y (x) − z (x)| ≤ 2MLk , (k + 1)! Cho k −→ +∞ ta có |y (x) − z (x)| = 0 trên I . Như vậy, một cách địa phương, nghiệm y (x) là duy nhất. Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là quan trọng, ngay cả khi f (x, y ) liên tục trên R2 . Chẳng hạn xét phương trình y = 2 |y |, y (0) = 0 Ta thấy ngay y ≡ 0 là một nghiệm. Ngoài ra còn có vô số nghiệm khác (xem hình 1.4) là (x − C )2 nếu x ≥ C 0 nếu x ≥ C và y (x) = y (x) = 0 nếu x ≤ C −(x − C )2 nếu x ≤ C trong đó C là hằng số tùy ý. Nói cách khác, tính duy nhất nghiệm bị vi phạm. 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 Hình 1.4: Nghiệm của bài toán Cauchy y = 2 |y |, y (0) = 0 Nhận xét: Thực chất chứng minh là dùng nguyên lý ánh xạ co trong các không gian metric đủ. Giả sử E là không gian metric với metric d. Ta nói E là không gian metric đủ nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ đến một phần tử của E . Ánh xạ T : E → E được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ (0, 1) sao cho với mọi cặp phần tử x, y ∈ E ta đều có d(T x, T y ) ≤ αd(x, y ) Định lý 1.3 (Nguyên lý ánh xạ co). 1 Mọi ánh xạ co T trong không gian metric đủ đều có duy nhất một điểm bất động. Tức là điểm x∗ ∈ E sao cho T (x∗ ) = x∗ Ý chứng minh: Lấy x0 ∈ E tùy ý, đặt xn = T (xn−1 ). Vì T là ánh xạ co nên {xn } là dãy Cauchy. 1 E đầy đủ nên dãy đó hội tụ đến x∗ . Vì T liên tục nên x∗ chính là điểm bất động.
  14. 11 1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I có thể hiểu là tìm nghiệm y (x) của (1.6) mà đồ thị của hàm số y = y (x) (còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua điểm (x0 , y0 ). Nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm đường cong tích phân của phương trình (1.6) đi qua điểm (x0 , y0 ) ∈ D cho trước. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử D ⊂ R2 sao cho vế phải của phương trình (1.6) xác định và liên tục trên D . Hàm số y = y (x, C ) phụ thuộc liên tục vào hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát của (1.6) nếu: a) Với mỗi điều kiện ban đầu (x0 , y0) ∈ D ta luôn giải được C dưới dạng C = ϕ(x0 , y0 ) (∗ ) trong đó ϕ là hàm liên tục. b) Hàm y = y (x, C ) thoả mãn phương trình (1.6) với mỗi giá trị của C cho bởi (∗) khi (x0 , y0) chạy khắp D . Khi đó hệ thức ϕ(x, y ) = C (hoặc chính hàm ϕ(x, y )) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.6). Ví dụ: Phương trình y + y = 0 có nghiệm tổng quát là y (x) = Ce−x với C là hằng số tuỳ ý. Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm của phương trình (1.6) mà tại mỗi điểm (x0 , y0 ) của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.11) được thoả mãn được gọi là nghiệm riêng. Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.6) mà tại mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kỳ dị. Nhận xét: Từ định nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ D , ta luôn tìm được C0 = ϕ(x0 , y0) sao cho y = y (x, C0) là nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằng số, ta có thể thu được các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các nghiệm kỳ dị. Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu cho trước. Ví dụ: Tìm nghiệm riêng y (x) của phương trình y = 3y + x thoả điều kiện y (0) = 1. x1 Ta dễ kiểm tra rằng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = − − + Ce3x . 39 Để tìm nghiệm riêng thoả điều kiện như trên ta chỉ cần thay các giá trị ban đầu và tính C . 1 1 = y (0) = − + Ce0 9 10 x 1 10 Suy ra C = , nghiệm cần tìm là y = − − + e3x . 9 39 9
  15. 12 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I Trong bài này ta sẽ giới thiệu một số dạng phương trình vi phân cấp I mà có thể tích phân được theo nghĩa có thể viết biểu thức của nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh hoặc phụ thuộc tham số. Ta nói một phương trình vi phân là cầu phương được nếu có thể biễu diễn nghiệm của nó dưới dạng tổ hợp hữu hạn các phép toán trên các hàm sơ cấp và tích phân của chúng. Lưu ý rằng ta không có phương pháp giải tổng quát cho phương trình vi phân, thậm chí với những phương trình vi phân cấp I. 1.3.1 Phương trình với biến số phân ly Phương trình vi phân cấp I dạng (1.14) M (x)dx + N (y )dy = 0 được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi phương trình tách biến). Cách giải: Các hàm M (x), N (y ) được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó. Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của (1.14) ta thu được tích phân tổng quát của nó là M (x)dx + N (y )dy = C Ví dụ: Giải phương trình y 2 y = x(1 + x2 ). Phương trình này có dạng tách biến y 2 dy − x(1 + x2 )dx = 0 Tích phân hai vế ta thu được nghiệm tổng quát là: y 3 x2 x4 − − =C 3 2 4 Nhận xét: Phương trình dạng (1.15) M1 (x)N1 (y )dx + M2 (x)N2 (y )dy = 0 cũng đưa được về dạng (1.14) với biến số phân ly, bằng cách chia hai vế cho M2 (x)N1 (y ) (với giả thiết biểu thức này khác 0) M1 (x) N2 (y ) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y ) Do đó tích phân tổng quát là M1 (x) N2 (y ) dx + dy = C M2 (x) N1 (y )
  16. 13 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I Ví dụ: Giải phương trình x(1 + y 2 )dx + y (1 + x2 )dy = 0 Chia hai vế cho (1 + x2 )(1 + y 2) ta được xdx ydy + =0 2 1 + y2 1+x Tích phân hai vế ta được xdx y dy + =C 1 + x2 1 + y2 tức là 1 1 1 ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1 2 2 2 Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là (1 + x2 )(1 + y 2) = C1 trong đó C1 là hằng số dương tuỳ ý. 1.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất Hàm số f (x, y ) được gọi là thuần nhất bậc d nếu với mọi t > 0 ta có f (tx, ty ) = td f (x, y ) Phương trình vi phân y = f (x, y ) được gọi là thuần nhất (hay còn gọi đẳng cấp) nếu hàm số ở vế phải là hàm thuần nhất bậc 0, tức là f (tx, ty ) = f (x, y ) với mọi t > 0. y y Nhận xét: Nếu đặt u := ta có f (x, y ) = f (± |x| , |x| ) = f (±1, ±u) =: g (u). x |x| Cách giải: dy du Đặt y = xu, ta có = x + u. Từ đó dx dx du x + u = g (u ) dx hoặc dưới dạng tách biến du dx = g (u ) − u x Tích phân hai vế ta được du x = ln g (u ) − u C hay du với C = 0 x = C exp g (u ) − u
  17. 14 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I y Thay u = vào biểu thức trên ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình x thuần nhất. Ví dụ: Giải phương trình (x2 + y 2 )dx + xydy = 0 Ta có thể viết phương trình đã cho dưới dạng dy yx =− − dx xy Vế phải của phương trình này là hàm thuần nhất. du 1 Đặt y = xu ta có x + u + u + = 0, hay tương đương với dx u dx udu =− 1 + 2u 2 x Tích phân phương trình này ta được x 1 = − ln(1 + 2u2) ln C 4 y Thay u = vào đẳng thức này ta được nghiệm x C 4 x2 x4 = x2 + 2y 2 với C = 0. Phương trình đưa về thuần nhất: Các phương trình dạng dy ax + by + c =f dx a1 x + b1 y + c1 có thể đưa về dạng thuần nhất bằng phép biến đổi x = ξ + x0 y = η + y0 trong đó x0 và y0 được chọn sao cho: ax0 + by0 + c = 0 a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 Khi đó dη aξ + bη =f dξ a1 ξ + b1 η a + bη η ξ =f =g b1 η a1 + ξ ξ
  18. 15 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I và đây chính là phương trình dạng thuần nhất. Ví dụ: Giải phương trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Trước hết ta xét hệ phương trình sau 2x0 − 4y0 + 6 = 0 x0 + y0 − 3 = 0 Hệ này có nghiệm là x0 = 1, y0 = 2. Tiếp đến ta thực hiện ph?p đổi biến x=ξ+1 y =η+2 Khi đó phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình thuần nhất: (2ξ − 4η )dξ + (ξ + η )dη = 0 Để giải phương trình này ta đặt η = uξ thì thu được (2 − 3u + u2 )dξ + ξ (1 + u)du = 0 Phương trình này chấp nhận nghiệm u = 1 và u = 2. Để tìm nghiệm tổng quát ta chia 2 vế cho 2 − 3u + u2 : dξ (1 + u)du + =0 2 − 3u + u 2 ξ dξ 3 2 ⇔ + − du = 0 ξ u−2 u−1 Tích phân 2 vế ta được | u − 2| 3 ln |ξ | + ln = ln C1 (u − 1)2 (u − 2)3 hay ξ =C (u − 1)2 Trở lại biến x, y ban đầu ta có nghiệm tổng quát (y − 2x)3 = C (y − x − 1)2 cùng với hai nghiệm y = x + 1 và y = 2x tương ứng với u = 1 và u = 2. 1.3.3 Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân dạng (1.16) P (x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
  19. 16 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn phần của hàm nào đó, tức là tồn tại hàm U (x, y ) sao cho dU (x, y ) = P (x, y )dx + Q(x, y )dy Khi đó tích phân tổng quát của (1.16) cho bởi U (x, y ) = C Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.16) là phương trình vi phân toàn phân là ∂P ∂Q = ∂y ∂x Và khi đó hàm U (x, y ) có thể tìm dưới dạng: x y U (x, y ) = P (x, y )dx + Q(x0 , y )dy (1.17) x0 y0 x y hay U (x, y ) = P (x, y0 )dx + Q(x, y )dy x0 y0 trong đó (x0 , y0 ) là một điểm nào đó sao cho các tích phân trên tồn tại. Ví dụ: Giải phương trình (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0. Ta có P (x, y ) = x3 + xy 2 và Q(x, y ) = x2 y + y 3 nên ∂P ∂Q = 2xy = ∂y ∂x Hệ thức này chứng tỏ rằng phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần với hàm U (x, y ) có thể chọn là x y 3 2 (0.y + y 3 )dy U (x, y ) = (x + xy )dx + 0 0 4 22 4 x xy y hay U (x, y ) = + + 4 2 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x2 + y 2 )2 = 4C1 := C 2 hay với C ≥ 0 x2 + y 2 = C
  20. 17 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I Thừa số tích phân: Có những trường hợp phương trình (1.16) chua phải là phương trình vi phân toàn phần, nhưng có thể tìm được hàm số µ(x, y ) sao cho phương trình sau trở thành phương trình vi phân toàn phần: µ(x, y ){P (x, y )dx + Q(x, y )dy } = 0 Hàm µ(x, y ) như thế được gọi là thừa số tích phân của phương trình (1.16). Điều kiện để µ là thừa số tích phân là µ phải thoả mãn phương trình: ∂ ∂ (µP ) = (µQ) ∂y ∂x Hay tương đương ∂µ ∂µ ∂P ∂Q (1.18) Q −P =µ − ∂x ∂y ∂y ∂x Không có phương pháp tổng quát để giải phương trình đạo hàm riêng này. Tuy nhiên trong một vài trường hợp đặc biệt ta có thể tìm được µ. Trường hợp I: µ chỉ phụ thuộc vào x. Giả sử µ > 0, khi đó chia hai vế của (1.18) cho µ, ta được ∂Q ∂P − d ln µ ∂y ∂x = =: ϕ dx Q Vậy trường hợp này chỉ thoả mãn khi vế phải của đẳng thức trên không phụ thuộc vào y . Với điều kiện này, thừa số tích phân cho bởi: µ(x) = exp ϕ(x)dx Trường hợp II: µ chỉ phụ thuộc vào y . Làm tương tự như trên, thừa số tích phân cho bởi: µ(y ) = exp ψ (y )dy ∂Q ∂P − trong đó ψ (y ) := được giả thiết không phụ thuộc vào x. ∂x ∂y P Ví dụ: Tìm thừa số tích phân rồi giải phương trình (2xy + x2 y + y 3/3)dx+(x2 + y 2)dy = 0. Ta có P (x, y ) = 2xy + x2 y + y 3/3 và Q(x, y ) = x2 + y 2 nên ∂Q ∂P − 2x + x2 + y 2 − 2x ∂y ∂x = =1 x2 + y 2 Q

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản