Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 5 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 5 bộ bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc bất đẳng thức, hướng khả thi (Feasible Direction), điều kiện Karush-Kuhn-Tucker,...Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 5 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 05: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN Thời lượng: 3 tiết
2 Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc bất đẳng thức Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau: f x Với các điều kiện ràng buộc bất đẳng thức: g j x  0 j  1, 2, ,m x   x1 xn  T Với: x2
3  g j  x   0   g j  x   y 2j  0        j  1, 2, , m   j  1, 2, , m  G j  x, y   g j  x   y 2j  0 j  1, 2, ,m m L  x, y , λ   f  x     j G j  x , y  j 1 x   x1 xn  ; y   y1 ym  ; T T x2 y2 λ   1 2 m  T
4 Giải hệ (n+2m) phương trình sau:  L f m g j   x, y , λ    x     j  x  ; i  1..n 1  xi xi j 1 xi  L   x, y, λ   2 j y j  0; j  1..m  2  y j  L   x , y , λ  j   j   j  0; j  1..m  G x, y  g x  y 2  3   j  x1   1   y1          x2    2    y2  x  ;λ  ;y               xn  m   ym 
5 Tính định thức sau. Tìm nghiệm của phương trình định thức = 0. Nếu tất cả các nghiệm đều mang dấu – hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực đại, nếu tất cả nghiệm mang dấu + hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực tiểu. Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một số còn lại mang dấu + thì đó không phải là cực trị. Ma trận Hessian n+m m L11  z L12 L13 L1 n  m  G11 G21 Gm1 L21 L22  z L23 L2 n  m  G12 G22 Gm 2 n+m n+m L n  m 1 L n  m 2 L n  m 3 L n  m  n  m   z G1 n  m  G2 n  m  Gm n  m   G11 G12 G13 G1 n  m  0 0 0 G21 G22 G23 G2 n  m  0 0 0 m m Gm1 Gm 2 Gm 3 Gm n  m  0 0 0 n+m m
6 Biến đổi: n m m L11  z L12 L13 L1n 0 0 0 g11 g 21 g m1 L21 L22  z L23 L2 n 0 0 0 g12 g 22 gm2 n n Ln1 Ln 2 Ln 3 Lnn  z 0 0 0 g1n g2n g mn 0 0 0 0 21  z 0 0 2 y1 0 0 0 0 0 0 0 22  z 0 0 2 y2 0 m  m 0 0 0 0 0 0 2m  z 0 0 2 ym g11 g12 g13 g1n 2 y1 0 0 0 0 0 g 21 g 22 g 23 g2n 0 2 y2 0 0 0 0 m m g m1 gm2 g m3 g mn 0 0 2 ym 0 0 0 n m m  2 L  x, y , λ  g k  x  Lij  g kl   Định thức này là 1 hàm đa xi x j xl x  x ,y ,λ     thức bậc n có tối đa n nghiệm i, j  1..n k  1..m; l  1..n
7 Cực tiểu hàm số sau:  1 2 3  1    3  40 x1  20 x2  min 2 2 2 f x , x , x x x2 x Với các ràng buộc: x1  50; x1  x2  100; x1  x2  x3  150 n  3 m  3 Biến đổi lại các  g1  x1 , x2 , x3    x1  50  0  ràng buộc:  g 2  x1 , x2 , x3    x1  x2  100  0   g3  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3  150  0 G1  x1 , x2 , x3 , y1    x1  50  y12  0   G2  x1 , x2 , x3 , y2    x1  x2  100  y22  0  Hàm Lagrange:   3 1 2 3 3 G x , x , x , y    x1  x2  x3  150  y3 0 2 L  x, y , λ   f  x1 , x2 , x3     j G j  x1 , x2 , x3 , y j  3 j 1
L  x, y , λ    x  x  x  40 x1  20 x2   1   x1  50  y  8 2 2 2 2 1 2 3 1 2   x1  x2  100  y22   3   x1  x2  x3  150  y32  Hệ PT (1)÷(3) tương đương 9 phương trình: 2 x1  40  1  2  3  0  1  2 x2  20  2  3  0  4 2 x    0  3 3 21 y1  0 Giải hệ   2   22 y2  0 5 PT tìm  2 y  0 9 ẩn  3 3  x1  50  y12  0   3   x1  x2  100  y22  0 6   x   1 2 3 x  x  150  y 3 0 2
Hệ PT (5) sẽ tương đương với 8 tình huống. Mỗi tình huống sẽ 9 kết hợp với hệ phương trình (4) và (6). Ta sẽ được 8 hệ phương trình như sau: 1) Hệ PT 1:   0  1 2  0   0  3 2 x1  40  1  2  3  0 Vô  2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
10 2) Hệ PT 2:   0  1 2  0 y  0  3 2 x1  40  1  2  3  0 Vô  2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
11 3) Hệ PT 3:   0  1  y2  0   0  3 2 x1  40  1  2  3  0 Vô  2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
12 4) Hệ PT 4:   0  1  y2  0 y  0  3 2 x1  40  1  2  3  0 Vô  2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
13 5) Hệ PT 5: y  0  1 2  0   0  3 2 x1  40  1  2  3  0  Vô 2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
14 6) Hệ PT 6: y  0  1 2  0 y  0  3 2 x1  40  1  2  3  0  Vô 2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
15 7) Hệ PT 7: y  0  1  y2  0   0  3 2 x1  40  1  2  3  0  Vô 2 x2  20  2  3  0 nghiệm 2 x    0  3 3  x1  50  y12  0    1 2 x  x  100  y 2 0 2     1 2 3 x x  x  150  y3 0 2
16 8) Hệ PT 8: y  0  y  1 0  1    y2  0  y2  0 y  0  y  0  3  3 Đây là điểm 2 x1  40  1  2  3  0 1  20    dừng, cần 2 x2  20  2  3  0  2  20 kiểm tra điều 2 x    0   kiện đủ để  3 3 3  100 biết về cực  x1  50  y12  0  x  50   1 trị   1 2 x  x  100  y 2 2  0 x   2  50     x1  x2  x3  150  y3  0  x3  50 2
Tính ma trận Δ như slide 6: 17 L  x, y, λ    x12  x22  x32  40 x1  20 x2   1   x1  50  y12  2   x1  x2  100  y22   3   x1  x2  x3  150  y32  g1  x1 , x2 , x3    x1  50 g 2  x1 , x2 , x3    x1  x2  100 g3  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3  150 2 L 2 L 2 L g1 L11  2  2 L12   0 L23  0 g11   1 x1 x1x2 x2 x3 x1 2 L 2 L 2 L g1 L22  2  2 L13   0 L31  0 g12  0 x2 x1x3 x3x1 x2 2 L 2 L 2 L g1 L33  2  2 L21   0 L32  0 g13  0 x3 x2 x1 x3x2 x3
g3  x1  50  18 g 2   g 21   1 g31   1 x   x2   50  x1 x1  y1  0   x3  50      g 2 g3    y   y2    0  g 22   1 g32   1 x2 x2 1   20   y3  0        g 2 g3 λ  2    20   g 23  0 g33   1 3  100  x3 x3   2  z 0 0 0 0 0 1 1 1  0 2  z 0 0 0 0 0 1 1 Tính    0 0 2 z 0 0 0 0 0 1 định   thức  0 0 0 40  z 0 0 0 0 0   0 0 0 0 40  z 0 0 0 0 của    0 0 0 0 0 200  z 0 0 0  ma  1 0 0 0 0 0 0 0 0 trận    1 1 0 0 0 0 0 0 0 này  1 1 1 0 0 0   0 0 0
Tính định thức của ma trận Δ 19  40    0  det       40  z   200  z   0  Z   40     0  Cực tiểu tại 2  200    0  ràng buộc Kết luận: Cực tiểu của hàm f = 10500 với x1*=50, x2*=50, x3*= 50
20 - Phương trình (3) để đảm bảo các điều kiện gj(x) ≤ 0 được thỏa mãn - Phương trình (2) cho ra kết quả hoặc là λj = 0, hoặc là yj = 0 - Nếu λj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc thứ j không cần dùng tới và nó có thể được bỏ qua - Nếu yj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc gj(x)=0 hoạt động tại ngay điểm cực trị  Ta có thể chia các ràng buộc ra 2 tập hợp con:  Tập hợp j ϵ J1 khi yj = 0 (ràng buộc hoạt động ngay điểm cực trị, λj ≠ 0 )  Tập hợp j ϵ J2 khi λj = 0 (ràng buộc được bỏ qua)