Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 6 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát, điều kiện Karush-Kuhn-Tucker, không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính, bài toán tối ưu hóa các hàm lồi, giải hệ phương trình phi tuyến bằng MATLAB,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 6 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 06: TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC TỔNG QUÁT: PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN Thời lượng: 3 tiết
2 Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau: f x Với m điều kiện ràng buộc bất đẳng thức: g j x  0 j  1, 2, ,m Với p điều kiện ràng buộc đẳng thức: hl  x   0 l  1, 2, ,p x   x1 xn  T Với: x2
3 Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker m p L  x, λ , η   f  x     j g j  x   l hl  x  j 1 l 1 x   x1 xn  ; λ   1 2 m  ; η  1 2 T  p  T T x2  g j L f m p hl   x, λ , η    x     j  x    j  x   0; i  1..n 1  xi xi j 1 xi l 1 xi   j g j  x   0; j  1..m  2   g j  x   0; j  1..m  3    j  0  f  x   min    0  f x  max ; j  1..m  4   j   h  x   0; l  1.. p  5  l
4 Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (Tiếp) x       1     1 1 Giải hệ     (1)÷(5) với   x       2    x  2 ;λ  2 ;η  (n+m+p) ẩn,       ta có:        xn  m   p  Kiểm tra J1 véctơ Gradient của hàm bất đẳng thức ràng buộc g tại điểm cực trị và p véc tơ Gradient của hàm đẳng thức ràng buộc h tại điểm cực trị x*, phải là không phụ thuộc tuyến tính với nhau. Nếu vậy thì x*, λ*, η* sẽ là điểm cực trị. g j  x   hl  x  và KHÔNG PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH j  J1   j  0  l  1.. p
5 Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính Cho M = J1+p véc tơ: g1  x  , g 2  x  , , g J1  x  , h1  x  , h2  x  , , h p  x   v1 v2 vJ vJ 1 vJ 2 vJ p 1 1 1 1 x   x1 xn  T Với: x2 Xây dựng ma trận A:  A    v1 v 2 v J1 v J1 1 v J1  2 v J1  p  NxM M  J 1  p; N n Trường hợp 1: Khi M > N  Các véc tơ sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính Trường hợp 2: Khi M = N Ta tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính, ngược lại thì không phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp 3: Khi M < N, Ta tính rank(A). Nếu rank(A)=M tức là bằng số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính. Nếu khác rank(A)≠M thì hệ phụ thuộc tuyến tính.
6 Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính Xác định M véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính  a11   a12   a1M   1  2  M  a2   a2   a2  v1  ; v2  ; ; vM         1  2  M  aN   aN   aN  a 1 1 a 2 1 a  M 1  1 2 M   a a a    A  2 2 2 Đưa về Xác định   dạng bậc hạng N xM  1 M  thang Rank(A)  aN aN  2 a N
7 Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính  a11 a12 a1M   1 2 M   a2 a a2   A   2  N xM  1 M   aN aN  2 a N 1) Nếu Rank(A)=M  Các véc tơ v là độc lập tuyến tính 2) Nếu Rank(A)
8 Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính Xác định 3 véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 2   4 6  6  3  9  v1    ; v 2    ; v 3    ; N  4 2   2  4        M  3    2   0 1  2 4 6 2 4 6  6  9  3 9  Gaussian  0 9  A     Elimination 0 Rank(A)=3=M 2 2 4  0 3      2 0 1 0 0 0  Kết luận: 3 véctơ v là độc lập tuyến tính
9 Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát Tìm cực trị hàm sau: f  x1 , x2 , x3   x12  2 x22  30 x1  16 x3  min/ max n  3 Với 2 ràng buộc bđt: 1 x  6 x 2  3 x3  0; x 3  0  m  2 Với 1 ràng buộc đt: 5 x1  3x2  4 x3  20  0 p 1  L  x, λ , η   x12  2 x22  30 x1  16 x3  1  x1  6 x2  3 x3   2   x3    1  5 x1  3 x2  4 x3  20  x   x1 x3  ; λ   1 2  ; η  1  T T T x2
10  L  x  2 x1  30  1  51  0 1  1  L  x  4 x2  61  31  0  2  2 Giải hệ  L PT tìm  x  16  31  2  41  0  3 6 ẩn  3 1  x1  6 x2  3 x3   0  4  Hệ PT (4) và (5) sẽ 2   x3   0  5  tương đương với 4  x1  6 x2  3 x3  0 6 trường hợp con như  x  0 7 sau:  3 1  0 8  2  0 9  5 x1  3 x2  4 x3  20  0 10 
11 1) Trường hợp 1: 2 x1  30  1  51  0 4 x  6  3  0  2 1 1 16  31  2  41  0  x1  5    1  0  x2  3   0  x  1  3 Đây là điểm dừng  2     x1  6 x2  3 x3  0 1  0  f = - 123  x3  0    0   2 1  0 1  4   0  2 5 x1  3 x2  4 x3  20  0
12 2) Trường hợp 2: 2 x1  30  1  51  0 4 x  6  3  0   335  x1    2 1 1 59 16  31  2  41  0     x2  165 1  0  59   Đây là điểm dừng, có  x  0  x3  0 khả năng là cực đại   3   x1  6 x2  3x3  0 1  0 địa phương  x3  0  64  f = - 7225/59  2    0  1  0  59   0   220  2 1   5 x1  3 x2  4 x3  20  0  59
13 3) Trường hợp 3: 2 x1  30  1  51  0   1695 4 x  6  3  0  x1   947  2 1 1  16  31  2  41  0  x  1641   2 947  x1  6 x2  3 x3  0  Đây là điểm dừng, có   0   3847  x3  khả năng là cực đại  2  947  x1  6 x2  3 x3  0   1280 địa phương  x3  0 1   0  f = - 103681/947   947 1  0 2  0   0   2     4748 5 x1  3 x2  4 x3  20  0  1 947
14 4) Trường hợp 4: 2 x1  30  1  51  0   40 4 x  6  3  0  x1   11  2 1 1  16  31  2  41  0  x   20   2 33  1x  6 x 2  3 x3  0   Đây là điểm dừng, có  x  0  x3  0  khả năng là cực đại   3  2650  x1  6 x2  3x3  0 1   địa phương  x3  0  1089  f = - 103600/1089    7694 1  0 2   1089   0   2     4420 5 x1  3 x2  4 x3  20  0  1 1 08 9
15 Tính Gradient của các hàm ràng buộc gj và hl:  g1   g 2       x1   1   x1   0   g1      g 2     g1  x       6  x ; g 2  x       0  x ;  x2   3   x2   1  g1     g 2         x3   x3   h1    x  1 5  h1    h1  x        3 x  h  2   4   h1       x3 
16 1 0 5         g1  x    6  x ; g 2  x    0  x ; h1  x    3  x   3   1  4  1) Trường hợp 1: Do λ1 = 0 và λ2 = 0 nên 5 Trường hợp này không xét 2   A  h1  x    3  x grandient của g vì các λ của chúng = 0. Grandient của h đứng 1 mình nên không phụ  4  thuộc tuyến tính với ai. 2) Trường hợp 2: Do λ1 = 0 nên Có 2 định thức 0 5 thành phần khác 0   A    g 2  x       h1  x     0 3   nên 2 véctơ này không phụ thuộc  1 4  tuyến tính. Đây là cực trị
17 3) Trường hợp 3: Do λ2 = 0 Cả 3 định thức 1 5 thành phần khác 0   A  g1  x  h1  x     6 3  nên 2 véc tơ này không phụ thuộc  3 4  tuyến tính. Đây là cực trị. 4) Trường hợp 4: 1 0 5   A  g1  x  g 2  x  h1  x     6 0 3   3 1 4   det  A   33  0 3 véctơ trên không phụ thuộc tuyến tính nên trường hợp 4 cũng là cực trị địa phương. Điểm dừng ở trường hợp 1 là điểm cực tiểu với giá trị nhỏ nhất. 3 trường hợp còn lại là cực đại địa phương. Trường hợp 4 là điểm cực đại toàn cục.
18 Bài toán tối ưu hóa các hàm lồi Nếu hàm mục tiêu f(x) cùng các hàm ràng buộc gj(x), hl(x) là những hàm số lồi thì bài toán gọi là các bài toán tối ưu hàm lồi (convex programming problem)  Khi đó nếu các λj ≥ 0 thì các hàm Lagrange L cũng sẽ là những hàm lồi  Khi đó thì tại các điểm dừng x* cũng sẽ chính là điểm cực tiểu tuyệt đối (toàn cục)  Điều kiện KKT sẽ trở thành điều kiện cần và đủ để tìm min toàn cục  Nếu bài toán tối ưu là tìm cực tiểu các hàm lồi, thì sẽ không có điểm dừng cũng như các cực đại địa phương. Tuy nhiên những bài toán kỹ thuật thực tế rất khó xác định được các hàm số là lồi hay không.
19 Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát Tìm cực trị hàm sau:  1 2 3      3  min 2 f x , x , x 6 x1 2 x2 4 x n  3 Với 2 ràng buộc bđt: 2 x1  2 x2  x3  0; x2  0  m  2 Với 1 ràng buộc đt: 2 x1  4 x2  x32  0 p 1  L  x, λ , η   6 x1  2 x2  4 x32  1  2 x1  2 x2  x3   2   x2    1  2 x1  4 x2  x32  x   x1 x3  ; λ   1 2  ; η  1  T T T x2
20  L  x  6  21  21  0 1  1  L  x  2  21  2  41  0  2  2 Giải hệ  L PT tìm  x  8 x3  1  21 x3  0  3 6 ẩn  3 1  2 x1  2 x2  x3   0  4  Hệ PT (4) và (5) sẽ 2   x2   0  5  tương đương với 4 2 x1  2 x2  x3  0 6 trường hợp con như ví  x  0 7 dụ trước.  2 1  0 8  2  0 9   2 x1  4 x2  x3 0 2 10 