Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - Lý thuyết ước lượng - GV. Lê Văn Minh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

402
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - Lý thuyết ước lượng trình bày các nội dung về ước lượng điểm, ước lượng khoảng, khoảng tin cậy cho kỳ vọng, khoảng tin cậy cho phương sai, khoảng tin cậy cho tỷ lệ. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu để hiểu rõ thêm về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - Lý thuyết ước lượng - GV. Lê Văn Minh

3 Chương 5 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng Giả sử ta biết X~N(,2), nhưng 2 tham số  và 2 chưa biết. Do đó ta không biết chính xác luật phân phối của X. Thường ký hiệu hàm phân phối xác suất có thêm tham số chưa xác định, chẳng hạn: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG F(x). Bài toán tìm cách xác định giá trị của tham số chưa biết này dựa trên mẫu gọi là bài toán ước lượng. Có hai loại bài toán ước lượng là: - Ước lượng điểm - Ước lượng khoảng 1 2 4 NỘI DUNG CHƯƠNG 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.1.1 Ước lượng điểm 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Cho bnn X, có hàm ppxs F(x),  là tham số và 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai mẫu ngẫu nhiên từ X là WX  ( X 1 ,..., X n ) . Người ta gọi ước lượng điểm của tham số  là hàm nhiều biến 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ theo Xi, k/h: ˆ  ˆ( X 1 ,.., X n ) (5.1.1) ˆ Ước lượng không chệch:  được gọi là ước lượng không chệch của  nếu ˆ E ( )   ThS Lê Văn Minh 1
5 7 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.1.1 Ước lượng điểm Giả sử X~N(, 2),  và 2 chưa biết. Dựa vào Ví dụ 5.1.1 Cho bnn X có EX=,  là tham số. mẫu WX=(X1,…,Xn) lấy từ X, cần tìm hai đại lượng Cho WX=(X1,…,Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ X và đặt 1(X1,…,Xn) và 2(X1,…,Xn) sao cho: ˆ  X. CMR X là ước lượng không chệch của . P ( 1     2 )  1   (5.2.1) Giải i) Trường hợp n30, 2 chưa biết ˆ)  EX  E  1 X   1 E  X  n n Ta có: E (   i  i  Xét thông kê: Z  ( X   ) n ~ N (0,1)  n i 1  n  i 1  ˆ s 1 n 1 Dựa vào luật pp đã biết của Z ta tìm được z sao   EX i   ( n )   (dpcm) n i 1 n cho: P(| Z | z )  1   Do Z có pp chuẩn tắc, nên P(| Z | z )  1   ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6 8 5.1 Ước lượng điểm. Ước lượng khoảng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.1.2 Ước lượng khoảng   ( z )   (  z )  1    2 ( z )  1  1   Cho bnn X, có hàm ppxs F(x),  là tham số và   ( z)  1  (5.2.2) WX=(X1,…,Xn). Người ta gọi khoảng tin cậy của 2  tham số  với độ tin cậy 1- là một khoảng có 2 đầu Đặt z  là phân vị mức1  của luật pp chuẩn tắc, 1 2 mút là 2 bnn 1= 1(X1,..,Xn) và 2= 2(X1,..,Xn) sao tức là 2  cho:  ( z  )  1 1 2 P{1     2 }  1   2 (5.1.2) thay vào (5.2.1) ta có khoảng tin cậy cho kỳ vọng : Bài toán tìm khoảng tin cậy của tham số  gọi là ˆ s ˆ s bài toán ước lượng khoảng. Số  gọi là mức ý nghĩa. X z   X z   (5.2.3) 1 2 n 1 2 n ThS Lê Văn Minh 2
9 11 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ii) Trường hợp n30, 2 đã biết Ví dụ 5.2.1. Gọi X(m) là chiều cao của những nam Thay s trong (5.2.3) bởi : ˆ sinh viên tại một trường đại học. Biết rằng X ~ N (  , 2 )   Chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên của trường đo chiều X z   X z   (5.2.3) 1 2 n 1 2 n cao được: iii) Trường hợp n
13 15 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Từ bảng số liệu, ta có Thay số ta được: 3,96    4,039 1 10 X   X i  1,71 (m) 10 i 1 Vậy năng suất trung bình của đia phương này đạt 1 10 s 2   X i2  ( X )2  29,3078  1,712  0,00668 từ 3,96 (tấn/ha) đến 4,039 (tấn/ha) với độ tin cậy 10 i 1 10 95%. 10 s 2  s 2  0,007422  s  0,007422  0,0862 ˆ ˆ 9 Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng Thay số liệu: 2, 262.0, 0862 2, 262.0, 0862 Độ chính xác của ước lượng X cho tham số  EX 1, 71     1, 71  10 10 với độ tin cậy 1- là số >0 sao cho: hay 1, 648 (m)    1, 772(m) Vậy chiều cao trung bình của nam sinh viên trường P (| X   |  )  1   (5.2.5) này từ 1,48 m đến 1,772 m ( độ tin cậy 95%) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 14 16 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng Ví dụ 5.2.2 Điều tra năng suất lúa X trên 144 ha Độ chính xác của ước lượng khi ước lượng kỳ vọng trồng lúa, tính được:X  4 (tấn/ha),s  0,02 (tấn/ha). ˆ + Trường hợp 2 chưa biết: Biết rằng X ~ N (  , 2 ) . Hãy tìm khoảng tin cậy 95% ˆ s z (5.2.6) cho năng suất lúa trung bình? 1  2 n Giải + Trường hợp 2 đã biết Khoảng tin cậy cho nằng suất lúa tb   EX dạng: ˆ s ˆ s  X z 1   n X z   1 n , ( n  144  30) z  (5.2.6) 2 2 1 2 n Đề cho 1    0,95    0,05. z1 / 2  z0,975  1,96 4
17 19 5.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Trường hợp bài toán cho độ chính xác  và độ tin Ví dụ 5.3.1 Gọi X(mm) là đường kính một loại chi cậy 1- tìm cỡ mẫu: tiết máy. Biết rằng X~N(,2). Đo 25 chi tiết máy ta Từ (5.2.6) và (5.2.6)’ ta tính được: có bảng số liệu sau: + Khi 2 chưa biết thì cỡ mẫu n được xác định: X 5 6 7 8 9 10  2 ni 2 5 10 3 4 1 s ˆ n  z   (5.2.7) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai của X. 1   2  Giải + Khi 2 đã biết thì cỡ mẫu n được xác định: Ta có X~N(,2)var(X)=2. Khoảng tin cậy của 2   n  z   (5.2.7) 2 có dạng (5.3.1).  1 2   ThS Lê Văn Minh 18 20 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai Định lý: Cho X ~ N (  , 2 ), (  , 2 chưa biết) và mẫu Từ bảng số liệu, tính được: (n=25) 1 7 1 ngẫu nhiên WX  ( X 1 ,.., X n ) . Khi đó khoảng tin cậy cho X   ni xi  25  180  7, 2 (mm) n i 1 phương sai có dạng: 1 7 1 s 2   ni xi2  ( X )2   1336  (7, 2)2  1,6 (n  1) s 2 ˆ (n  1) s 2 ˆ n i 1 25 2  (5.3.1) c  c n 2 25 1 , n 1 , n 1 s2  ˆ s   1,6  1,667 2 2 n 1 24 Trường hợp  đã biết, thì khoảng tin cậy của 2: Đề cho 1    0,95    0,05 n n (X i  ) 2 (X i  ) 2 c  1 , n 1  c0,975;24  39, 4 ; c , n 1  c0,025;24  12, 4 i 1 2  i 1 (5.3.2) 2 2 c  c 1 , n ,n 2 2 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 5
21 23 5.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Thay số ta được: Tại sao như vậy, có rất nhiều lý do như: tính kịp (25  1).1,667 (25  1).1,667 thời, kinh phí và nhất là phá vở tính tổng thể,.. 2  39, 4 12, 4 Như vậy ta sẽ ước lượng tỷ lệ p như thế nào?  1,02   2  3, 23 Định lý: Cho X~b(n;p), p là tỷ lệ chưa biết. Khi đó Vậy phương sai của X đạt từ 1,02 đến 3,23 (với độ khoảng tin cậy cho p với độ tin cậy1   có dạng: tin cậy 95%). p (1  p ) ˆ ˆ p (1  p ) ˆ ˆ pz ˆ   p pz  ˆ (5.4.1) 1 2 n 1 2 n ˆ trong đó: p là ước lượng điểm của p (tỷ lệ mẫu). z  phân vị mức 1-/2 của luật pp chuẩn 1 2 22 24 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Ví dụ 5.4.1 Trong một lớp học XSTK có 100 sinh Ví dụ 5.4.2 Tiến hành điều tra về việc sử dụng sữa viên. Sau buổi bầu bí thư đoàn, số phiếu bầu cho bột của 100 gia đình được chọn ngẫu nhiên từ một sinh viên A là 40 phiếu. địa phương thì có 50 gia đình sử dụng. Hãy ước m 40 Tỷ lệ bầu cho sinh viên A là: p    0, 4 lượng tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này với N 100 Người ta chọn ngẫu nhiên 80 phiếu và đặt X =“số độ tin cậy 95%. phiếu bầu cho sinh viên A” thì X~b(100; 0,4). Giải Nhận xét: Ở ví dụ trên thì tỷ lệ p trên tổng thể đã Gọi p là tỷ lệ sử dụng sữa bột của đia phương nay. biết, nên sẽ xác định luật pp của bnn X. Nhưng Khi đó khoảng tin cậy cho p có dạng (5.4.1). trong thực tế thì tỷ lệ p trên tổng thể thường không X 50 + Tỷ lệ mẫu: p   ˆ  0,5 ˆ biết mà chỉ biết tỷ lệ p trên mẫu. n 100 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6
25 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Đề cho 1    0,95    0,5  z   z0,975  1,96 1 2 Thay giá trị vào (5.4.1), ta được: 0,5(1  0,5) 0,5(1  0,5) 0,5  1,96.  p  0,5  1,96. 100 100 hay 0, 402  p  0,598 Vậy tỷ lệ sử dụng sữa bột của đại phương này là từ 40,2% đến 59,8% ( độ tin cậy 95%). 26 5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ Độ chính xác  và cỡ mẫu n khi ước lượng tỷ lệ: p (1  p ) ˆ ˆ z  (5.4.2) 1 2 n 2  p (1  p )  ˆ ˆ n  z   (5.4.3)  1 2     ThS Lê Văn Minh 7