intTypePromotion=1

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 6

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

0
405
lượt xem
164
download

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 6

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 6

  1. 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ d.nh th´.c kh´c 0 ’ e ınh o a oi u a 139 . Giai. 1) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi: ´’ ’ ’o a a a. ea e eo . . . .     1 0 −2 −3 1 0 −2 −3     A = −2 1 6 11  h2 + 2h1 → h2 −→ 0 1 2 5 −1 5 −4 −4 h3 + h1 → h3 0 5 −6 −7   1 0 −2 −3   0 1 2 5 . −→ h3 − 5h2 → h3 0 0 −16 −32 T`. d´ suy ra uo  − 2x3 = −3  x1  ⇒ x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2. x2 + 2x3 = 5   −16x3 = −32 2) Lˆp ma trˆn mo. rˆng v` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp: ´’ ´ ’o a a a. ea e eo a . . . .     2 −1 3 −1 9 h1 → h2 1 1 −2 4 −1 1 1 −2 4 h → h 2 −1 3 −1 9 −1 2    1   −→   3 2 −1 3 0 3 2 −1 3 0 5 −2 1 −2 9 5 −2 1 −2 9   −→ 1 1 −2 4 −1 0 −3 7 −9 11  h2 → h3 h2 − 2h1 → h2     −→ h3 − 3h1 → h3 0 −1 5 −9 3  h3 → h2 h4 − 5h1 → h4 0 −7 11 −22 14
  2. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 140 e ı e ınh .   1 1 −2 4 −1 0 3 −1 5 −9   −→   0 11  h3 − 3h2 → h3 −3 7 −9 0 −7 11 −22 14 h4 − 7h2 → h4   1 1 −2 4 −1 0 3 −1 5 −9   −→   0 2 0 −8 18 0 0 −24 41 −7   1 1 −2 4 −1 0 3 −1 5 −9     −→ 0 2 0 −8 18 h4 − 3h3 → h4 0 0 0 −13 −13 T`. d´ suy ra r˘ng x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = 1. ` uo a ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ sau ´ ’ae ı e ınh .  x1 − x2 + 2x3 = 11,  1. x1 + 2x2 − x3 = 11, . (DS. x1 = 9, x2 = 2, x3 = 2)   4x1 − 3x2 − 3x3 = 24.  x1 − 3x2 − 4x3 = 4,   2. 2x1 + x2 − 3x3 = −1, . (DS. x1 = 2, x2 = −2, x3 = 1)   3x1 − 2x2 + x3 = 11.  2x1 + 3x2 − x3 = 4,  3. x1 + 2x2 + 2x3 = 5, . (DS. x1 = x2 = x3 = 1)   3x1 + 4x2 − 5x3 = 2.
  3. 4.1. Hˆ n phu.o.ng tr` v´.i n ˆn c´ d.nh th´.c kh´c 0 ’ e ınh o a oi u a 141 .  x1 + 2x2 + x3 = 8,  4. −2x1 + 3x2 − 3x3 = −5, . (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)   3x1 − 4x2 + 5x3 = 10.  2x1 + x2 − x3 = 0,   5. 3x2 + 4x3 = −6, . (DS. x1 = 1, x2 = −2, x3 = 0)   x1 + x3 = 1.  2x1 − 3x2 − x3 + 6 = 0,  6. 3x1 + 4x2 + 3x3 + 5 = 0, . (DS. x1 = −2, x2 = 1, x3 = −1)   x1 + x2 + x3 + 2 = 0.  x2 + 3x3 + 6 = 0,   7. x1 − 2x2 − x3 = 5, . (DS. x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2)   3x1 + 4x2 − 2x = 13.  2x1 − x2 + x3 + 2x4 = 5,    x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 4,  8. . 5x1 + 4x2 + 3x3 = 2,    3x1 − 3x2 − x3 − 6x4 = −6. 1 2 4 (DS. x1 = , x2 = − , x3 = 1, x4 = ) 3 3 3  x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −8,  2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 19,  9. . 4x1 − x2 + x3 + x4 = −1,    3x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −2. 1 3 1 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = − , x4 = 3) 2 2 2  x1 − x3 + x4 = 3,    2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 2,  10. . − 3x4 = −6 5x1    x1 + x2 + x3 + x4 = 2. (DS. x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2)
  4. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 142 e ı e ınh .  2x1 + 3x2 + 8x4 = 0,   = 0,  x2 − x3 + 3x4 11. . = 1,  x3 + 2x4    x1 + x4 = −24 (DS. x1 = −19, x2 = 26, x3 = 11, x4 = −5)  = 0, 3x1 + x2 − x3 + x4   = 0, 2x1 + 3x2 − x4 12. . = 7, x1 + 5x2 − 3x3    3x2 + 2x3 + x4 = 2, (DS. x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 1)  = 13,  x1 − 2x2 + x3 − 4x4 − x5    = 15,   x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4  13. = −7, . x2 − 2x3 + x4 + 3x5   = −30,  x1 − 7x3 + 8x4 − x5   = 4.  3x1 − x2 − 5x5 (DS. x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0)  = 2,  x1 + x2 + 4x3 + x4 − x5    = 0,   x1 − 2x2 − 2x3 + 3x5  14. . 4x2 + 3x3 − 2x4 + 2x5 = 2,   = −2,  2x1 − x3 + 3x4 − 2x5   = 3.  3x1 + 2x2 − 5x4 + 3x5 2 3 4 (DS. x1 = , x2 = − , x3 = , x4 = 0, x5 = 0) 5 5 5
  5. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 143 . Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ 4.2 eu´a ınh e ınh . Ta x´t hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´nh gˆm m phu.o.ng tr` v´.i ´ ` e eu´a ınh eı o ınh o . ’ n ˆn a  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1 ,    a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 ,  (4.9)  ... ... ... ... ...    am1x1 + am2x2 + · · · + amn xn = bm , v´.i ma trˆn co. ban ’ o a .   a11 a12 . . . a1n   A = . . . . . . . . . . . .  am1 am2 . . . amn v` ma trˆn mo. rˆng ’o a a . .   a11 a12 . . . a1n b1   A = . . . . . . . . . . . . ... am1 am2 . . . amn bm Hiˆn nhiˆn r˘ng r(A) r(A) v` mˆ i dinh th´.c con cua A d` u l` dinh ’ ˜ ` ’ e ea ıo. u ˆ a. e .c con cua A nhu.ng khˆng c´ diˆu ngu.o.c lai. Ta luˆn luˆn gia thiˆt ´ o` ’ ’ th´u o e o o e .. r˘ng c´c phˆn tu. cua ma trˆn A khˆng d` ng th`.i b˘ng 0 tˆt ca. ` ` ` ´ a ’’ a’ a a a o o ˆ oa . Ngu.`.i ta quy u.´.c goi dinh th´.c con kh´c 0 cua mˆt ma trˆn m` ’ o o.. u a o a a . . .c con co. so. cua n´. ` ´ a ’ oa ’ ’’ o cˆp cua n´ b˘ng hang cua ma trˆn d´ l` d. nh th´ a oa i u . . Gia su. dˆi v´.i ma trˆn d˜ cho ta d˜ chon mˆt d.nh th´.c con co. so.. ´ ’’oo ’ aa a. oi u . . Khi d´ c´c h`ng v` c´c cˆt m` giao cua ch´ng lˆp th`nh dinh th´.c ’ oa a aa o a u a a u . . . . so. d´ du.o.c goi l` h`ng, cˆt co. so.. con co ’ o ’ .aa o . . Dinh ngh˜ 1+ Bˆ c´ th´. tu. n sˆ (α1 , α2 , . . . , αn ) du.o.c goi l` nghiˆm -. ´ ıa. oo u. o . .a e . . .o.ng ´ ’e cua hˆ (4.9) nˆu khi thay x = α1 , x = α2 , . . . , x = αn v`o c´c phu e aa . .o.ng tr`nh cua (4.9) tro. th`nh ˜ ´ ınh ’ e’ ’ ’a tr` cua (4.9) th` hai vˆ cua mˆ i phu ı o ı d` ng nhˆt. ´ o ˆ a
  6. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 144 e ı e ınh . 2+ Hˆ (4.9) du.o.c goi l` tu.o.ng th´ch nˆu c´ ´ nhˆt mˆt nghiˆm v` ´ ´o e . .a ı e o ıt a e a . . . .o.ng th´ch nˆu n´ vˆ nghiˆm. ´ goi l` khˆng tu .ao ı e oo e . .o.ng th´ du.o.c goi l` hˆ x´c dinh nˆu n´ c´ nghiˆm duy + ´ 3 Hˆ tu e ıch .aea . e oo e . . . . .n mˆt nghiˆm. ´ ` ´ nhˆt v` goi l` hˆ vˆ d. nh nˆu n´ c´ nhiˆu ho a a.aeoi e oo e o e . . . Dinh l´ Kronecker-Capelli.2 Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh (4.9) -. ´ y e ı eı . tu.o.ng th´ch khi v` chı khi hang cua ma trˆn co. ban b˘ng hang cua ` a’ ’ ’ ’ ı a a . . . . rˆng cua hˆ, t´.c l` r(A) = r(A). ’. ’ eua ma trˆn mo o a . . .i hˆ tu.o.ng th´ ngu.`.i ta goi c´c ˆn m` hˆ sˆ cua ch´ng lˆp ’ ´ .´ aeo ’ Dˆi v´ e oo. ıch o . aa u a . .c con co. so. cua ma trˆn co. ban l` ˆn co. so., c´c ˆn c`n ’ ’ ’’ ’ aa ’ aa o nˆn dinh th´ e. u a. .o.c goi l` ˆn tu. do. ’. lai du . . aa . .o.ng ph´p chu yˆu dˆ giai hˆ tˆng qu´t l`: ´’ .’ ’ e e ’ eo Phu a aa ´ ´ 1. Ap dung quy t˘c Kronecker-Capelli. a . .o.ng ph´p khu. dˆn c´c ˆn (phu.o.ng ph´p Gauss). ’ ’` aa 2. Phu a a a Quy t˘c Kronecker-Capelli gˆm c´c bu.´.c sau. ´ ` a o a o 1+ Khao s´t t´ tu.o.ng th´ cua hˆ. T´ hang r(A) v` r(A) ’ a ınh ıch ’ e ınh . a . a) Nˆu r(A) > r(A) th` hˆ khˆng tu.o.ng th´ch. ´ e ıe o ı . .o.ng th´ ıch. T`m dinh th´.c con ´ b) Nˆu r(A) = r(A) = r th` hˆ tu e ıe ı u . . . so. cˆp r n`o d´ (v` do vˆy r ˆn co. so. tu.o.ng u.ng xem nhu. du.o.c ’ ´ co ’ a ’ aoa a a ´ . . .o.c hˆ phu.o.ng tr` tu.o.ng du.o.ng gˆm r phu.o.ng tr` ` chon) v` thu du . e a ınh o ınh . . .i n ˆn m` (r × n)-ma trˆn hˆ sˆ cua n´ ch´.a c´c phˆn tu. cua dinh ’ ` .´ a eo ’ o u a a ’’. v´ o a a . .c con co. so. d˜ chon. C´c phu.o.ng tr` c`n lai c´ thˆ bo qua. ’ ’a . ınh o . o e ’ th´ u a 2+ T` nghiˆm cua hˆ tu.o.ng du.o.ng thu du.o.c ’ ım e e . . . a) Nˆu r = n, ngh˜ l` sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ th` hˆ c´ ´’ ´’ ´ ` ’a oa ’ e ıa a o a e ıeo . . ´t v` c´ thˆ t`m theo cˆng th´.c Cramer. ’ı nghiˆm duy nhˆ a o e e a o u . . so. b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ th` ta ´’ ´’ ’ ´ b) Nˆu r < n, ngh˜ l` sˆ ˆn co ’ e e ıa a o a oa eı . ’n n − r sˆ hang c´ ch´.a ˆn tu. do cua c´c phu.o.ng tr`nh sang ’. ´. ’a chuyˆ e o o ua ı ’ thu du.o.c hˆ Cramer dˆi v´.i c´c ˆn co. so.. Giai hˆ n`y ta ’ ´’e ´ ’ ’ ea vˆ phai dˆ e e o o aa . . . .o.c c´c biˆu th´.c cua c´c ˆn co. so. biˆu diˆn qua c´c ˆn tu. do. ’ ’ ’ ˜ ’ u ’ aa ’e thu du . a e e aa . L. Kronecker (1823-1891) l` nh` to´n hoc Du.c, 2 aaa ´ . A. Capelli (1855-1910) l` nh` to´n hoc Italia. aaa .
  7. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 145 . D´ l` nghiˆm tˆng qu´t cua hˆ. Cho n − r ˆn tu. do nh˜.ng gi´ tri cu ’ ’ a’e oa e o a. u a.. . . .o.c c´c gi´ tri tu.o.ng u.ng cua ˆn co. so.. T`. d´ thu ’ ’ ’a ’ thˆ t`y y ta t` du . a eu ´ ım a. ´ uo du.o.c nghiˆm riˆng cua hˆ. ’e e e . . . Tiˆp theo ta tr` b`y nˆi dung cua phu.o.ng ph´p Gauss. ´ ’ e ınh a o a . ’ ’ ` ’ ’ Khˆng giam tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a11 = 0. Nˆi dung cua o o a oe a o . phu.o.ng ph´p Gauss l` nhu. sau. a a .c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua ´’ + ´ ınh ’ 1 Thu ea e eo a ea . . hˆ dˆ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr` th´. hai .’ ´a aa` u ee .e ınh u . .o.ng tr`nh d` u khˆng ch´.a ˆn x1. K´ hiˆu hˆ n`y l` S (1). ’ moi phu ı ˆ e o ua y e ea a . . . 2 C˜ng khˆng mˆt tˆng qu´t, c´ thˆ cho r˘ng a22 = 0. Lai thu.c ´’ ’ + ` u o ao aoe a . . ´n dˆi so. cˆp trˆn c´c phu.o.ng tr` cua hˆ S (1) (tr`. ’ ´ ınh ’ e hiˆn c´c ph´p biˆ o ea e e a ea u . . .o.ng tr` th´. nhˆt du.o.c gi˜. nguyˆn!) nhu. d˜ l`m trong bu.´.c ´ ra phu ınh u a u e aa o . .o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng m` b˘t dˆu t`. phu.o.ng tr`nh th´. ba + ´a aa` u 1 ta thu du . e ı u . moi phu.o.ng tr`nh d` u khˆng ch´.a ˆn x2 ,... ’ ı ˆ e o ua . 3+ Sau mˆt sˆ bu.´.c ta c´ thˆ g˘p mˆt trong c´c tru.`.ng ho.p sau ’. .´o oo o ea o a o . . dˆy. a a) Thˆy ngay du.o.c hˆ khˆng tu.o.ng th´ch. ´ a .eo ı . .o.c mˆt hˆ “tam gi´c”. Hˆ n`y c´ nghiˆm duy nhˆt. ´ b) Thu du . oe a ea o e a .. . . c) Thu du.o.c mˆt “hˆ h`nh thang” dang o eı . . . .  = h1 ,  a11x1 + a12x2 + ... + a1n xn    = h2 ,  b22x2 + ... + b2n xn    ...   ... ... ...  brr xr + · · · + brn xn = hr ,   = hr+1 ,  0   ...   ...    =h .  0 m ´ao ´ ´ Nˆu c´c sˆ hr+1 , . . . , hm e kh´c 0 th` hˆ vˆ nghiˆm. Nˆu hr+1 = a ıeo e e . . · · · = hm = 0 th` hˆ c´ ıeo nghiˆm. Cho xr+1 = α, . . . , xm = β th` e ı . . .o.c hˆ Cramer v´.i ˆn l` x1, . . . , xr . Giai hˆ d´ ta thu du.o.c ’ ’ eo thu du . e o aa . . .
  8. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 146 e ı e ınh . ’ nghiˆm x1 = x1 ; x2 = x2, . . . , xr = xr v` nghiˆm cua hˆ d˜ cho l` e a e ea a . . . (x1 , x2 , . . . , xr , α, . . . , β ). Lu.u y r˘ng viˆc giai hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´nh b˘ng phu.o.ng ´` ´ ` ’e a e ı eı a . . .c chˆt l` thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c ´’ ´ ´ ph´p Gauss thu a aa . ea e eo a ea . . h`ng cua ma trˆn mo. rˆng cua hˆ du.a n´ vˆ dang tam gi´c hay dang o` . ’ ’o ’e a a e a . . . . h`nh thang. ı CAC V´ DU ´ I . V´ du 1. Giai hˆ phu.o.ng tr` ’e ı. ınh .  = 6,  3x1 − x2 + x3    = 12,   x1 − 5x2 + x3  2x1 + 4x2 = −6,   = 3,  2x1 + x2 + 3x3    5x1 + 4x3 = 9. ’ ’a Giai. 1. T` hang cua c´c ma trˆn ım . a .     3 −1 1 3 −1 1 6     1 −5 1 1 −5 12  1     2 4 0 , A = 2 4 −6 A= 0        2 1 3 2 1 3 3  504 50 4 9 Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 3. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch. oe ı . . Ta chon dinh th´.c con co. so. l` ’a u .. 1 −5 1 ∆= 2 4 0 213 v` ∆ = 36 = 0 v` r(A) = 3 v` c´c ˆn co. so. l` x1, x2, x3 . ’ ’a ı a aaa
  9. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 147 . 2. Hˆ phu.o.ng tr` d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ e ınh a oe . .  x1 − 5x2 + x3 = 12,   2x1 + 4x2 = −6,   2x1 + x2 + 3x3 = 3. Sˆ ˆn co. so. b˘ng sˆ ˆn cua hˆ nˆn hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt l` x1 = 1, ´’ ´’ ` ´ ’a oa ’ e e e o oa e aa . . . x2 = −2, x4 = 1. V´ du 2. Giai hˆ phu.o.ng tr` ’e ı. ınh .  x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,   2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,   5x1 + 10x2 + 7x3 + 2x4 = 11. ’ ’a Giai. T` ım hang cua c´c ma trˆn a . .     1 2 −3 4 1 2 −3 4 7     A = 2 4 5 −1 , A = 2 2 4 5 −1 5 10 7 2 5 10 7 2 11 Ta thu du.o.c r(A) = r(A) = 2. Do d´ hˆ tu.o.ng th´ch. oe ı . . .c con co. so. l` ’´ ’a Ta c´ thˆ lˆy dinh th´ o ea . u 2 −3 ∆= 45 v` ∆ = 22 = 0 v` cˆp cua dinh th´.c = r(A) = 2. Khi chon ∆ l`m ´’. ı aa u a . .c con, ta c´ x2 v` x3 l` ˆn co. so.. ’ ’ dinh th´ u o a aa . .o.ng du.o.ng v´.i hˆ Hˆ d˜ cho tu ea oe . . x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7, 2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2 hay 2x2 − 3x3 = 7 − x1 − 4x4 , 4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4.
  10. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 148 e ı e ınh . ’ ´ oe’e 2. Ta c´ thˆ giai hˆ theo quy t˘c Cramer. D˘t x1 = α, x4 = β ta a a . . c´ o 2x2 − 3x3 = 7 − α − 4β, 4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β. Theo cˆng th´.c Cramer ta t`m du.o.c o u ı . 7 − α − 4β −3 2 − 2α + β 5 41 − 11α − 17β x2 = = , 22 22 2 7 − α − 4β 4 2 − 2α + β −24 + 18β x3 = = · 22 22 Do d´ tˆp ho.p c´c nghiˆm cua hˆ c´ dang ’ eo. oa a e . . . . 41 − 11α − 17β 9β − 12 ; β ∀ α, β ∈ R α; ; 22 11 V´ du 3. B˘ng phu.o.ng ph´p Gauss h˜y giai hˆ phu.o.ng tr` ` ’e ı. a a a ınh .  4x1 + 2x2 + x3 = 7,   = −2, x1 − x2 + x3 = 11,  2x1 + 3x2 − 3x3    4x1 + x2 − x3 = 7. ’ ’˜ ’ Giai. Trong hˆ d˜ cho ta c´ a11 = 4 = 0 nˆn dˆ cho tiˆn ta dˆi chˆ ea o ee e o o . . .o.ng tr` dˆu v` thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng ınh ` hai phu aa .e .  x1 − x2 + x3 = −2,  = 7,  4x1 + 2x2 + x3 = 11,  2x1 + 3x2 − 3x3    4x1 + x2 − x3 = 7.
  11. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 149 . Tiˆp theo ta biˆn dˆi ma trˆn mo. rˆng ´’ ´ ’o e eo a . .   1 −1 1 −2 4 2 7  h2 − 4h1 → h2 1   A=  2 3 −3 11  h3 − 2h1 → h3 4 1 −1 7 h4 − 4h1 → h4   1 −1 1 −2 0 6 −3 15    −→   → 0 5 −5 15  0 5 −5 15 h4 − h3 → h4   1 −1 1 −2 0 6 −3 15  h2 × 5 → h2   −→   −→ 0 5 −5 15  h3 × 6 → h3 00 0 0     1 −1 1 −2 h3 − h2 → h3 1 −1 1 −2 0 30 −15 75  0 30 −15 75      −→   −→  . 0 30 −30 90  0 0 −15 15  00 0 0 00 0 0 T`. d´ thu du.o.c hˆ tu.o.ng du.o.ng uo .e .  x1 − x2 + x3 = −2  30x2 − 15x3 = 75   −15x3 = 15 v` do d´ thu du.o.c nghiˆm x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1. a o e . . V´ du 4. Giai hˆ phu.o.ng tr` ’e ı. ınh .  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,    2x1 + 2x2 + 3x4 + x5 = 1,    2x3 + 2x4 − x5 = 1,   −2x3 + 4x4 − 3x5 = 7,     6x3 + 3x4 − x5 = −1.
  12. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 150 e ı e ınh . Giai. 1) B˘ng c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp (chı thu.c hiˆn trˆn c´c ’ ` ´ ´ ’ ’. a a e eo a e ea . . rˆng A du.o.c du.a vˆ ma trˆn bˆc thang ` ’. h`ng !) ma trˆn mo o a a e aa . . . .   11 1 1 1 −1   0 0 −2 1 −1 3   A −→ 0 0 0 3 −2 4 .     0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2) Ma trˆn n`y tu.o.ng u.ng v´.i hˆ phu.o.ng tr` aa ´ oe ınh . .  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1,  −2x3 + x4 − x5 = 3,   3x4 − 2x5 = 4. hˆ n`y tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ d˜ cho v` c´ x1, x3, x4 l` ˆn co. so., c`n ’ ’o ea o ea ao aa . . x2 , x5 l` ˆn tu. do. ’ aa . 3) Chuyˆn c´c sˆ hang ch´.a ˆn tu. do sang vˆ phai ta c´ ’ ’ ´ ´ e’ e ao. ua . o  x1 + x3 + x4 = −1 − x2 − x5 ,  −2x3 + x4 = 3 + x5,   3x4 = 4 + 2x5. 4) Giai hˆ n`y (t`. du.´.i lˆn) ta thu du.o.c nghiˆm tˆng qu´t ’ ’ ea u oe e o a . . . −3 − 3x2 − x5 x1 = , 2 −5 − x5 4 + 2x5 x3 = , x4 = · 6 3 V´ du 5. Giai hˆ phu.o.ng tr` ’e ı. ınh .  x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 1, x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 5x5 = 2,   2x1 + 11x2 + 12x3 + 25x4 + 22x5 = 4.
  13. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 151 . Giai. Ta thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c h`ng cua ma ´’ ´ ’ ’ ea e eo a eaa . . . rˆng: ’. trˆn mo o a .   13579 1   A = 1 −2 3 −4 5 2 h2 − h1 → h2 −→ 2 11 12 25 22 4 h3 − 2h1 → h3   13 5 7 9 1   −→ 0 −5 −2 −11 −4 1 −→ 05 2 11 4 2 h3 + h2 → h3   13 5 7 9 1   −→ 0 −5 −2 −11 −4 1 00 0 0 0 3 T`. d´ suy r˘ng r(A) = 3; r(A) = 2 v` do vˆy r(A) > r(A) v` hˆ ` uo a a a ae . . .o.ng th´ d˜ cho khˆng tu a o ıch. . V´ du 6. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ λ: ´ ’ae ı. ae ınh o . . .  λx1 + x2 + x3 = 1,  x1 + λx2 + x3 = 1,   z1 + x2 + λx3 = 1. ’ Giai. Ta c´ o   λ11   A =  1 λ 1  ⇒ detA = (λ + 2)(λ − 1)2 = D, 11λ tiˆp theo dˆ d`ng thu du.o.c ˜a ´ e e . Dx1 = Dx2 = Dx3 = (λ − 1)2 . 1+ Nˆu D = 0, t´.c l` nˆu (λ + 2)(λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = −2 v` λ = 1 ´ ´ e u ae a th` hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt v` theo c´c cˆng th´.c Cramer ta c´ ´ ıea o e aa ao u o . . 1 x1 = x2 = x3 = · λ+2
  14. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 152 e ı e ınh . 2+ Nˆu λ = −2 th` D = 0 v` ta c´ ´ e ı a o   −2 1 1 −2 1   A =  1 −2 1  ⇒ r(A) = 2 =0 , 1 −2 1 1 −2   −2 1 1 1   A =  1 −2 1 1 . 1 1 −2 1 B˘ng c´ch thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn dˆi so. cˆp trˆn c´c ma trˆn A ta ´’ ` ´ a a ea e eo a ea a . . . .o.c r(A) = 3. thu du . Do d´ v´.i λ = −2 th` r(A) > r(A) v` hˆ vˆ nghiˆm. oo ı aeo e . . a˜ a ` + ´ e´a 3 Nˆu λ = 1 th` detA = 0 v` dˆ thˆy r˘ng r(A) = r(A) = 1 < 3 e ı (sˆ ˆn cua hˆ l` 3). T`. d´ suy ra hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai ´’ ´ oa ’ ea uo eooo e o . . . . . ´ tham sˆ: x1 + x2 + x3 = 1. o V´ du 7. Giai v` biˆn luˆn hˆ phu.o.ng tr` theo tham sˆ ´ ’ae ı. ae ınh o . . .  λx1 + x2 + x3 = 1,   x1 + λx2 + x3 = λ,   x1 + x2 + λx3 = λ2 . Giai. Dinh th´.c cua hˆ b˘ng .` ’ u ’ ea . λ11 D = 1 λ 1 = (λ − 1)2 (λ + 2). 11λ ´ ´ Nˆu D = 0 ⇔ λ1 = 1, λ2 = −2 th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt. Ta t´nh e ıeo e a ı . .
  15. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 153 . Dx1 , Dx2 , Dx3 : 111 = λ λ 1 = −(λ − 1)2 (λ + 1), Dx1 λ2 1 λ λ11 = 1 λ 1 = (λ − 1)2 , Dx 2 1 λ2 λ λ11 Dx3 = 1 λ λ = (λ − 1)2 (λ + 1)2 . 1 1 λ2 T`. d´ theo cˆng th´.c Cramer ta thu du.o.c uo o u . (λ + 1)2 λ+1 1 x1 = − , x2 = , x3 = · λ+2 λ+2 λ+2 Ta c`n x´t gi´ tri λ = 1 v` λ = −2. oe a. a Khi λ = 1 hˆ d˜ cho tro. th`nh ’a ea .  x1 + x2 + x3 = 1,  x1 + x2 + x3 = 1,   x1 + x2 + x3 = 1. ´. ´ ´ Hˆ n`y c´ vˆ sˆ nghiˆm phu thuˆc hai tham sˆ. Nˆu d˘t x2 = α, ea ooo e o o ea . . . . x3 = β th` ı x1 =1 − α − β, α, β ∈ R, v` nhu. vˆy tˆp ho.p nghiˆm c´ thˆ viˆt du.´.i dang (1 − α − ’´ a a a e o ee o . . . . . β ; α; β ; ∀ α, β ∈ R). Khi λ = −2 th` hˆ d˜ cho tro. th`nh ’a ıea.  −2x1 + x2 + x2 = 2,   x1 − 2x2 + x3 = −2,   x1 + x2 − 2x3 = 4.
  16. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 154 e ı e ınh . B˘ng c´ch cˆng ba phu.o.ng tr` lai v´.i nhau ta thˆy ngay hˆ d˜ cho ` ´ a a o ınh . o a ea . . vˆ nghiˆm. o e . V´ du 8. X´t hˆ phu.o.ng tr`nh ı. ee ı .  x1 + 2x2 + λx3 = 3,   3x1 − x2 − λx3 = 2,   2x1 + x2 + 3x3 = µ. V´.i gi´ tri n`o cua c´c tham sˆ λ v` µ th` ´ o a.a ’ a o a ı ´ 1) hˆ c´ nghiˆm duy nhˆt ? eo e a . . 2) hˆ vˆ nghiˆm ? eo e . . ´ 3) hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm ? eooo e . . ´ ’ Giai. Ta viˆt c´c ma trˆn ea a .     12 λ 12 λ 3     A = 3 −1 −λ ; A = 3 −1 −λ 2 21 3 21 3 µ Ta c´ o 12 λ D = detA = 3 −1 −λ = 2λ − 21. 21 3 T`. d´ uo 1+ Hˆ d˜ cho c´ nghiˆm duy nhˆt khi v` chı khi ´ a’ ea o e a . . 21 detA = 0 ⇔ λ = , µ t`y y. u´ 2 ’. 2+ Dˆ hˆ vˆ nghiˆm dˆu tiˆn n´ phai thoa m˜n e` ’ ’ eeo a eo a . 21 detA = 0 ⇔ λ = · 2 21 Khi λ = th` detA = 0 v` do vˆy ı a a . 2 r(A) < 3.
  17. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 155 . 12 V` dinh th´.c ı. u = −7 = 0 nˆn: e 3 −1 21 r(A) = 2 khi λ = · 2 a’ Theo dinh l´ Kronecker-Capelli hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm khi v` chı khi y ea o e . . . r(A) > r(A) = 2. Ta t`m diˆu kiˆn dˆ hˆ th´.c n`y thoa m˜n. Cu thˆ l` t` r(A) khi ’. ’ ` ’ ı e e ee u a a . e a ım . 21 λ = . Ta c´ o 2   21 12 3 h1 × 2 → h   2 1   21 A = 3 −1 − 2  h2 × 2 → h2 −→   2 21 3 µ   24 21 6   −→ 6 −2 −21 4  h2 − 3h1 → h2 −→ 21 3 µ h3 − h1 → h3   24 21 6   −1 −→ 0 −14 −84 −14  h2 × → h2 −→ 14 0 −3 −18 µ−6     24 21 6 2 4 21 6     −→ 0 1 −→ 0 1 6 1 1 6 0 −3 −18 µ − 6 h3 + 3h1 → h3 000 µ−3 T`. kˆt qua biˆn dˆi ta thu du.o.c ´’ ´ ’eo ue .  2 nˆu µ = 3, ´ e r(A) = 3 nˆu µ = 3, ´ e
  18. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 156 e ı e ınh . ´ V` r(A) = 2 nˆn hˆ d˜ cho vˆ nghiˆm nˆu ı e ea o e e . . 21 λ= v` µ = 3. a 2 3+ Hˆ d˜ cho c´ vˆ sˆ nghiˆm khi v` chı khi ´ a’ ea ooo e . . r(A) = r(A) = r < 3 t´.c l` khi hang cua A v` A b˘ng nhau nhu.ng b´ ho.n sˆ ˆn cua hˆ l` ´’ ` ’ oa ’ e a ua a a e . . . lˆp luˆn trˆn suy r˘ng hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm nˆu ` ´ ´ 3. T` a u. a e a eooo e e . . .  λ = 21 , 2 r(A) = r(A) = 2 ⇔ µ = 3. Khi d´ hˆ d˜ cho tu.o.ng du.o.ng v´.i hˆ oea oe . . 2x1 + 4x2 = 6 − 21α, α = x3, 6x1 − 2x2 = 4 + 21α. 3 ’ oa v` nghiˆm cua n´ l` 1 + α, 1 − 6α, α ∀ α ∈ R . a e . 2 ` ˆ BAI TAP . Giai c´c hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ ’ae ı e ınh . 6x1 + 3x2 + 4x3 = 3; 1. 3x1 − x2 + 2x3 = 5. 7 18 − 15x1 (DS. x2 = − , x3 = , x1 t`y y) u´ 5 10 x1 − x2 + x3 = −1, 2. 2x1 + x2 − x3 = 5. 4 + 2x3 7 − x3 (DS. x1 = , x2 = , x3 t`y y) u´ 3 3
  19. 4.2. Hˆ t`y y c´c phu.o.ng tr` tuyˆn t´ ´ eu´a ınh e ınh 157 . x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1, 3. x1 − 2x2 − x4 = −2. 1 (DS. x3 = (−2x1 + x2 − 1), x4 = x1 − 2x2 + 2, 2 x1 , x2 t`y y) u´  x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1, 4. 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0,   5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1. 14 2 1 6 7 2 (DS. x1 = − x3 + x4 + , x2 = − x3 − x4 + , 11 11 11 11 11 11 x3 , x4 t`y y) u´  3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 3, 5. 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1,   5x1 + 9x2 − 2x3 + 2x4 = 9. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) eo e . .  = 14, x1 + 2x2 + 3x3    = 10,  3x1 + 2x2 + x3  6. x1 + x2 + x3 = 6,   = 5,   2x1 + 3x2 − x3   = 3.  x1 + x2 (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3)  x1 + 3x2 − 2x3 + x4 + x5 = 1,  7. x1 + 3x2 − x3 + 3x4 + 2x5 = 3,   x1 + 3x2 − 3x3 − x4 = 2. (DS. Hˆ vˆ nghiˆm) eo e . .  = −6, 5x1 + x2 − 3x3   = 9,  2x1 − 5x2 + 7x3 8. = −7, 4x1 + 2x2 − 4x3    5x1 − 2x2 + 2x3 = 1. 1 1 3 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = ) 3 6 2
  20. Chu.o.ng 4. Hˆ phu.o.ng tr`nh tuyˆn t´ ´ 158 e ı e ınh .  x1 + x2 + x3 + x4 = 1,  = 0, x1 + x2 − 2x3 − x4 9. = 2, x1 + x2 − 4x3 + 3x4    x1 + x2 + 7x3 + 5x4 = 3. 2 − 3x2 − 2x4 1 − 2x4 (DS. x1 = , x3 = , x2 , x4 t`y y) u´ 3 3  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5,   x2 + 2x3 + 3x4 = 1, 10. = 2, x1 + 3x3 + 4x4    x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 1. 15 3 13 (DS. x1 = , x2 = , x3 = − , x4 = 2) 4 2 4  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 30,   −x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 10, 11. x2 − x3 + x4 = 3,    x1 + x2 + x3 + x4 = 10. (DS. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4)  = −6, 5x1 + x2 − 3x3   = 9,  2x1 − 5x2 + 7x3 12. = −7, 4x1 + 2x2 − 4x3    5x1 − 2x2 + 2x3 = 1. 1 1 3 (DS. x1 = − , x2 = , x3 = ) 3 6 2  = 4,  x1 − x2 + x3 − x4   = 8,  x1 + x2 + 2x3 + 3x4 13. = 20, 2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4    2x1 − 4x2 + x3 − 6x4 = 4. 3 1 (DS. x1 = 6 − x3 − x4, x2 = 2 − x3 − 2x4 , x3 v` x4 t`y y) a u´ 2 2
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2