intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 8

Chia sẻ: Afasg Agq | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
370
lượt xem 151
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về toán cao cấp Tập 1 part 8

  1. 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 195 1+ Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 lˆp th`nh co. so. cua R2 . ` ’’ u a a a . 2+ T` toa dˆ vecto. x trong co. so. E1 , E2 . ’ ım . o . . x trong co. so. E2, E1 . + ım . o ’ ’ 3 T` toa dˆ cua vecto . + ’ a a . o’ Giai. 1 Ta lˆp ma trˆn c´c toa dˆ cua E1 v` E2 : a a . . . 1 −2 A= ⇒ detA = 5 = 0. 21 Do d´ hˆ hai vecto. E1 , E2 l` dltt trong khˆng gian 2-chiˆu R2 nˆn n´ ` oe a o e eo . . so.. lˆp th`nh co ’ a a . 2 Trong co. so. d˜ cho vecto. x c´ toa dˆ l` (3, −4). Gia su. trong + ’a ’’ o. oa . co. so. E1 , E2 vecto. x c´ toa dˆ (x1, x2 ). Ta lˆp ma trˆn chuyˆn t`. co. ’ ’ o. o a a eu . . . so. E1 , E2 dˆn co. so. E1 , E2 : ´ ’ ’ e 12 112 ⇒ T −1 = T= 5 −2 1 −2 1 Khi d´ o   11 x1 3 x1 1 1 −2 3 1 11  =  5 . = T −1 ⇒ = = 2 52 1 52 x2 −4 x2 −4 5 11 +2 Vˆy x1 = a , x2 = . . 5 5 3+ V` E1 , E2 l` co. so. cua R2 nˆn E2 , E1 c˜ng l` co. so. cua R2 . Ma ’’ ’’ ı a e u a . co. so. E1 , E2 dˆn co. so. E2 , E1 c´ dang ’ ´ ’ ’ trˆn chuyˆn t` a eu e o. .  2 21 1 −2 −1 3 1 −2  =5 , A∗−1 = − A∗ = =− 11 5 −1 2 5 −11 1 −2 −4 5 2 11 trong co. so. E2 , E1. ’ Do d´ x1 = , x2 = o 5 5 V´ du 8. Trong khˆng gian R3 cho co. so. E1 , E2 , E3 n`o d´ v` trong ’ ı. o a oa . so. d´ c´c vecto. E1 , E2 , E3 v` x c´ toa dˆ l` E1 = (1, 1, 1); E2 = co ’ o a a o . oa . (1, 2, 2), E3 = (1, 1, 3) v` x = (6, 9, 14). a
  2. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 196 o 1+ Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 , E3 c˜ng lˆp th`nh co. so. trong R3 . ` ’ u a u a a . 2+ T` toa dˆ cua x trong co. so. E1, E2 , E3 . ım . o ’ ’ . .o.ng tu. nhu. trong v´ du 7, hang cua hˆ ba vecto. + ’ ’ Giai. 1 tu ı. e . . . `ng 3 nˆn hˆ vecto. d´ dˆc lˆp tuyˆn t´nh trong khˆng ´ı E1 , E2 , E3 b˘ a e e ooa e o . .. . so. cua R3. ` e oa gian 3-chiˆu nˆn n´ lˆp th`nh co ’ ’ e a . 2+ Dˆ t`m toa dˆ cua x trong co. so. E1 , E2 , E3 ta c´ thˆ tiˆn h`nh ’ ’´ . o’ ’ eı oee a . theo hai phu.o.ng ph´p sau. a (I) V` E1 , E2, E3 lˆp th`nh co. so. cua R3 nˆn ’’ ı a a e . x = x1 E1 + x2E2 + x3E3 ⇒ (6, 9, 14) = x1 (1, 1, 1) + x2(1, 2, 2) + x3(1, 1, 3) ’e v` do d´ x1, x2, x3 l` nghiˆm cua hˆ a o a e . .  x1 + x2 + x3 = 6,   1 5 ⇒ x1 = , x2 = 3, x3 = · x1 + 2x + x3 = 9,  2 2  x1 + 2x2 + 3x3 = 14. (II) Lˆp ma trˆn chuyˆn t`. co. so. E1 , E2 , E3 sang co. so. E1 , E2, E3 : ’ ’ ’ a a eu . .     111 4 −1 −1 1    −1 TE E = 1 2 1 ⇒ TE E = −2 0 . 2 2 123 0 −1 1 Do d´ o     1 x1 6 1 2 1     −1   x2  = TE E  9  = 6 =  3  5 2 x3 14 5 2 v` thu du.o.c kˆt qua nhu. tronng (I). ´ ’ a .e ` ˆ BAI TAP .
  3. 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 197 1. Ch´.ng minh r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy l` nh˜.ng co. so. trong khˆng ` ’ u a ae aau o . 4 gian R : 1) e1 = (1, 0, 0, 0); e2 = (0, 1, 0, 0); e3 = (0, 0, 1, 0); e4 = (0, 0, 0, 1). 2) E1 = (1, 1, 1, 1); E2 = (0, 1, 1, 1); E3 = (0, 0, 1, 1); E4 = (0, 0, 0, 1). 2. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. do.n vi: ` u a e . . e1 = (1, 0, . . . , 0); e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) n −1 n −1 lˆp th`nh co. so. trong Rn . Co. so. n`y du.o.c goi l` co. so. ch´ t˘c. ’ ınh ´ ’ ’a a a .a a . . 3. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. ` u a e . E1 = (1, 0, . . . , 0), E2 = (1, 1, . . . , 0), ... ... ... En = (1, 1, . . . , 1) l` mˆt co. so. trong Rn . ’ ao . 4. Ch´.ng minh r˘ng hˆ vecto. ` u a e. E1 = (1, 2, 3, . . . , n − 1, n), E2 = (1, 2, 3, . . . , n − 1, 0), ... ... ... ... ... En = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) lˆp th`nh co. so. trong khˆng gian Rn . ’ a a o . 5. H˜y kiˆm tra xem mˆ i hˆ vecto. sau dˆy c´ lˆp th`nh co. so. trong ’ ˜. ’ a e oe a oa a . khˆng gian R4 khˆng v` t`m c´c toa dˆ cua vecto. x = (1, 2, 3, 4) trong a . o’ o o aı . . so. d´. ˜ mˆ i co ’ o o 1) a1 = (0, 1, 0, 1); a2 = (0, 1, 0, −1); a3 = (1, 0, 1, 0); a4 = (1, 0, −1, 0). (DS. 3, −1, 2, −1) 2) a1 = (1, 2, 3, 0); a2 = (1, 2, 0, 3); a3 = (1, 0, 2, 3);
  4. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 198 o 2 11 a4 = (0, 1, 2, 3). (DS. , − , , 1) 3 62 3) a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (1, −1, 1, −1); a3 = (1, −1, 1, 1); 3 1 a4 = (1, −1, −1, −1). (DS. , − , 1, −1) 2 2 4) a1 = (1, −2, 3, −4); a2 = (−4, 1, −2, 3); a3 = (3, −4, 1, −2); 13 7 13 17 a4 = (−2, 3, −4, 1). (DS. − , − , − , − ) 10 10 10 10 Nhˆn x´t. Ta nh˘c lai r˘ng c´c k´ hiˆu e1, e2 , . . . , en du.o.c d`ng dˆ ’ a.` ´ ae a aye .u e . . chı c´c vecto. do.n vi cua truc xi (i = 1, 2, . . . , n): ’a .’ . ei = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) n −1 n −1 6. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. e2 , e3, e1. ’ ´ ’ ’ ım  a  e u e . 001   (DS. 1 0 0) 010 7. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3, e4 dˆn co. so. e3 , e4, e2, e1. ’ ´ ’ ’ ım a eu e .   0001 0 0 1 0   (DS.  ) 1 0 0 0 0100 −1 1 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2 dˆn co. so. ’ ´ ’ ’ 8. Cho ma trˆn a a a eu e . . 20 E1 , E2 . T` toa dˆ cua vecto. E1 , E2 . ım . o ’ . (DS. E1 = (−1, 2); E2 = (1, 0)) 9. Gia su. ’’   1 2 −1   3 1 0  20 1
  5. 5.2. Co. so.. Dˆi co. so. ’ -o ’ ’ 199 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T` toa dˆ ’ ´ ’ ’ a a eu e ım . o . . . E2 trong co. so. e1, e2, e3. (DS. E2 = (2, 1, 0)) ’ ’ cua vecto 10. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. ’ ´ ’ ’ ım a eu e . E1 = 2e1 − e3 + e2 ; E2 = 3e1 − e2 + e3; E3 = e3.   2 30   (DS.  1 −1 0) −1 1 1 11. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 dˆn co. so. ’ ´ ’ ’ ım a eu e . E1 = e2 + e3; E2 = −e1 + 2e3; E3 = e1 + e2.   0 −1 1   (DS. 1 0 1) 120 12. T` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2, e3 , e4 dˆn co. so. ’ ´ ’ ’ ım a eu e . E1 = 2e2 + 3e3 + e4; E2 = e1 − 2e2 + 3e3 − e4 ; E3 = e1 + e4 ; E4 = 2e1 + e2 − e3 + e4.   0112 2 −2 0 1    (DS.  ) 3 3 0 −1 1 −1 1 1 13. Cho 21 −1 2 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1, e2 dˆn co. so. E1 , E2 . T` toa dˆ cua c´c ’ ´ ’ ’ ım . o ’ a a a eu e . . . e1 , e2 trong co. so. E1 , E2 . ’ vecto 21 12 (DS. e1 = , . e2 = − , ) 55 55 ˜ n. T`. ma trˆn d˜ cho t` khai triˆn E1 , E2 theo co. so. e1, e2. ’ ’a ’ Chı dˆ u aa ım e . . d´ t` khai triˆn e1, e2 theo co. so. E1 , E2. ’ ’ T` o ım u e
  6. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 200 o 14. Cho ma trˆn a .   1 −1 3   5 1 2 1 4 −1 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2, e3 dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T` toa dˆ ’ ´ ’ ’ a a eu e ım . o . . . e2 trong co. so. E1 , E2, E3 . ’ vecto 11 4 5 (DS. e2 = ,− ,− ) 41 41 41 15. Cho ma trˆn a .   10 1   0 0 2 −1 3 1 l` ma trˆn chuyˆn t`. co. so. e1 , e2, e3 dˆn co. so. E1 , E2 , E3 . T` toa dˆ ’ ´ ’ ’ a a eu e ım . o . . . e1 , e2, e3 trong co. so. E1 , E2 , E3 . ’ c´c vecto a 1 1 11 1 (DS. e1 = 1, , 0 , e2 = − , − , , e3 = 0, , 0 ) 3 2 32 3 . so. e1 , e2 vecto. x c´ toa dˆ l` (1; 2). T` toa dˆ cua 16. Trong co ’ ım . o ’ o. oa . . . d´ trong co. so. E1 = e1 + 2e2 ; E2 = −e1 + e2 . ’ vecto o 1 4 (DS. x = − , − ) 3 3 . so. e1, e2 vecto. x c´ toa dˆ l` (−3; 1). T` toa dˆ cua 17. Trong co ’ ım . o ’ o . oa . . vecto. d´ trong co. so. E1 = −2e1 + e2 ; E2 = e2. ’ o 3 1 (DS. x = ,− ) 2 2 . so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (−1; 2; 0). T` toa dˆ 18. Trong co ’ o. oa ım . o . . . d´ trong co. so. E1 = 2e1 − e2 + 3e3, E2 = −3e1 + e2 − 2e3 ; ’ ’ cua vecto o E3 = 4e2 + 5e3. (DS. (−0, 68; −0, 12; 0, 36)) 19. Trong co. so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (1, −1, 0). T` toa dˆ ’ o. oa ım . o . . . d´ trong co. so.: E1 = 3e1 + e2 + 6e3 , E2 = 5e1 − 3e2 + 7e3 , ’ ’ cua vecto o E3 = −2e1 + 2e2 − 3e3 .
  7. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 201 (DS. x = (−0, 6; 1, 2; 1, 6)) 20. Trong co. so. e1, e2, e3 vecto. x c´ toa dˆ l` (4, 0, −12). T`m toa ’ o. oa ı . . . d´ trong co. so. E1 = e1 + 2e2 + e3, E2 = 2e1 + 3e2 + 4e3, o’ ’ dˆ cua vecto o . E3 = 3e1 + 4e2 + 3e3. (DS. x = (−4, −8, 8)) 21. Trong khˆng gian v´.i mˆt co. so. l` e1, e2, e3 cho c´c vecto. E1 = ’a o o o a . e1 + e2, E2 = 2e1 − e2 + e3, E3 = e2 − e3. 1) Ch´.ng minh r˘ng E1 , E2 , E3 lˆp th`nh co. so.. ` ’ u a a a . 2) T`m toa dˆ cua vecto. x = e1 + 8e2 − 5e3 trong co. so. E1 , E2 , E3 . . o’ ’ ı . (DS. x = (3, −1, 4)) 22. Trong co. so. e1, e2, e3 cho c´c vecto. a = (1, 2, 3), b = (0, 3, 1), ’ a .ng minh r˘ng c´c vecto. a, b, c lˆp th`nh ` c = (0, 0, 2), d = (4, 3, 1). Ch´ u a a a a . . so. v` t`m toa dˆ cua vecto. d trong co. so. d´. co ’ a ı . o’ ’o . 5 14 (DS. d 4, − , − ) 3 3 Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c ’ 5.3 o . ’ chuˆn a Khˆng gian tuyˆn t´ thu.c V du.o.c goi l` khˆng gian Euclid nˆu trong ´ ´ o e ınh . . .a o e V du.o.c trang bi mˆt t´ vˆ hu.´.ng, t´.c l` nˆu v´.i mˆ i c˘p phˆn tu. ˜. ´ ` a’ . o ıch o o u ae o oa . . .o.ng u.ng v´.i mˆt sˆ thu.c (k´ hiˆu l` x, y ) sao cho x, y ∈ V d` u tu .´ ˆ e ´ o oo. yea . .o.ng u.ng d´ thoa m˜n c´c tiˆn d` sau ´ o’ ∀ x, y, z ∈ V v` sˆ α ∈ R ph´p tu ao e ´ aaeˆ e dˆy a (I) x, y = y , x ; (II) x + y, z = x, z + y , z ; (III) αx, y = α x, y ; ´ (IV) x, x > 0 nˆu x = θ. e Trong khˆng gian vecto. Rn dˆi v´.i c˘p vecto. a = (a1, a2, . . . , an ), ´ o ooa .
  8. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 202 o b = (b1, b2, . . . , bn ) th` quy t˘c tu.o.ng u.ng ´ ı a ´ n a, b = ai bi = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn (5.12) i=1 s˜ x´c dinh mˆt t´ch vˆ hu.´.ng cua hai vecto. a v` b. ’ ea . oı oo a . . vˆy khˆng gian Rn v´.i t´ch vˆ hu.´.ng x´c dinh theo cˆng Nhu a o oı o o a. o . th´.c (5.12) tro. th`nh khˆng gian Euclid. Do d´ khi n´i vˆ khˆng gian o` o ’a u o o e ’u l` t´ vˆ hu.´.ng trong d´ x´c dinh theo n Euclid R ta luˆn luˆn hiˆ a ıch o o o e o oa . (5.12). Gia su. x ∈ Rn . Khi d´ sˆ x, x du.o.c goi l` dˆ d`i (hay chuˆn) ’ ´ ’’ oo .aoa a . . cua vecto. x v` du.o.c k´ hiˆu l` x . Nhu. vˆy ’ a .yea a . . def x= x, x (5.13) Vecto. x v´.i dˆ d`i = 1 du.o.c goi l` du.o.c chuˆn h´a hay vecto. do.n ’ o oa .a ao . . . vi. Dˆ chuˆn h´a mˆt vecto. kh´c θ bˆt k` ta chı cˆn nhˆn n´ v´.i sˆ ’ ’ ’` ´ ´ e ao o a ay a a ooo . . 1 λ= . x ´ Dˆ d`i c´ c´c t´ chˆt o a o a ınh a . 1+ x = 0 ⇔ x = θ. 2+ λx = |λ| x , ∀ λ ∈ R. x y (bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski) ´’ 3+ | x, y | aa u x + y (bˆt d˘ng th´.c tam gi´c hay bˆt d˘ng ´’ ´’ 4+ x + y aa u a aa th´.c Minkovski). u T`. bˆt d˘ng th´.c 3+ suy r˘ng v´.i hai vecto. kh´c θ bˆt k` x, y ∈ Rn ´’ ` ´ uaa u a o a ay ta d` u c´ ˆo e | x, y | x, y 1 ⇔ −1 1. x cos y xy x, y c´ thˆ xem nhu. cosin cua g´c ϕ n`o d´. G´c ϕ m` ’ ´ ’o Sˆ o oe aoo a xy x, y cos ϕ = , 0 ϕ π (5.14) xy
  9. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 203 du.o.c goi l` g´c gi˜.a hai vecto. x v` y . .ao u a . . x, y ∈ Rn du.o.c goi l` vuˆng g´c hay tru.c giao nˆu t´ ´ Hai vecto .a o o e ıch . . .´.ng cua ch´ng b˘ng 0: x, y = 0. ` ’ vˆ hu o o u a Hˆ vecto. a1, a2 , . . . , am ∈ Rn du.o.c goi l` hˆ tru.c giao nˆu ch´ng ´ e .ae . e u . . . .c giao t`.ng dˆi mˆt, t´.c l` nˆu ai , aj = 0 ∀i = j . ´ tru u o o uae . . Hˆ vecto. a1, a2 , . . . , am ∈ Rn du.o.c goi l` hˆ tru.c giao v` chuˆn ’ e .ae . a a . . . h´a (hay hˆ tru.c chuˆn) nˆu’ ´ o e. a e .  0 ´ nˆu i = j e ai , ai = δij = 1 ´ nˆu i = j e Dinh l´ 5.3.1. Moi hˆ tru.c giao c´c vecto. kh´c khˆng d` u l` hˆ dˆc -. y .e. a a o ˆaeo e . .. ´ lˆp tuyˆn t´ a e ınh. . Hˆ gˆm n vecto. E1 , E2 , . . . , En ∈ Rn du.o.c goi l` co. so. tru.c giao e` ’. .o .a . . so. gˆm c´c vecto. tru.c giao t`.ng dˆi mˆt. ´ nˆu n´ l` mˆt co ’ ` e oa o o a u oo . . . .ng co. so. d˘c biˆt tiˆn lo.i du.o.c n` ’a Trong khˆng gian R tˆn tai nh˜ o o. u ee. . . . . .ng co. so. tru.c chuˆn (vai tr` nhu. co. so. Dˆc´c vuˆng g´c ’ ’. ’ ea goi l` nh˜ .a u a o o o ’ ıch). trong h` hoc giai t´ ınh . Hˆ gˆm n vecto. E1 , E2 , . . . , En ∈ Rn du.o.c goi l` mˆt co. so. tru.c e` ’. .o .ao . . . n`y t`.ng dˆi mˆt tru.c giao v` dˆ d`i cua ’ n´ a’ aoa ’ chuˆn cua R nˆu c´c vecto a u ea oo . . . ˜ i vecto. cua hˆ d` u b˘ng 1, t´.c l` ` ’ eˆ a mˆo .e ua  0 nˆu i = k, ´ e (Ei , Ek ) = 1 nˆu i = k. ´ e Dinh l´ 5.3.2. Trong moi khˆng gian Euclid n-chiˆu d` u tˆn tai co. -. ` ˆ` . y o eeo . . tru.c chuˆn. ’ ’ so . a Dˆ c´ diˆu d´ ta c´ thˆ su. dung ph´p tru.c giao h´a Gram-Smidth ’ ’ eo ` o o e’ . e e o . .a mˆt co. so. vˆ co. so. tru.c chuˆn. Nˆi dung cua thuˆt to´n d´ nhu. ’ ’` ’. ’ du o e a o a ao . . . sau Gia su. E1 = a1. Tiˆp d´ ph´p du.ng du.o.c tiˆn h`nh theo quy nap. ´ ´ ’’ eoe ea . . .
  10. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 204 o Nˆu E1 , E2 , . . . , Ei d˜ du.o.c du.ng th` Ei+1 c´ thˆ lˆy ’´ ´ e a ı o ea . . i Ei+1 = ai+1 + αj aj , j =1 trong d´ o ai+1 , Ej αj = − , j = 1, i Ej , Ej du.o.c t`m t`. diˆu kiˆn Ei+1 tru.c giao v´.i moi vecto. E1 , E2 , . . . , Ei . u` .ı e e o . . . CAC V´ DU ´ I . 1. Trong c´c ph´p to´n du.´.i dˆy ph´p to´n n`o l` t´ch vˆ hu.´.ng cua ’ a e a oa e a a aı oo . x = (x1, x2 , x3), y = (y1, y2 , y3) ∈ R3 : hai vecto 1) x, y = x2y1 + x2 y2 + x2 y3 ; 2 2 2 1 2 3 2) x, y = x1y1 + 2x2y2 + 3x3 y3; 3) x, y = x1y1 + x2y2 − x3 y3. Giai. 1) Ph´p to´n n`y khˆng l` t´ vˆ hu.´.ng v` n´ khˆng thoa ’ ’ e aa o a ıch o o ıo o .´.ng: m˜n tiˆn d` III cua t´ch vˆ hu o ’ı a eˆ e o αx, y = α2 x2y1 + α2 x2y2 + α2 x2 y3 = α(x2y1 + x2y2 + x2y3 ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2) Ph´p to´n n`y l` t´ vˆ hu.´.ng. Thˆt vˆy, hiˆn nhiˆn c´c tiˆn ’ e a a a ıch o o aa e eae .. ’ d` I v` II thoa m˜n. Ta kiˆm tra c´c tiˆn d` III v` IV. ’ ˆ e a a e aeˆ e a . x = (x , x , x ), x = (x , x , x ) ∈ R3 . Khi d´ ’’ Gia su o 1 2 3 1 2 3 x + x , y = (x1 + x1 )y1 + 2(x2 + x2 )y2 + 3(x3 + x3 )y3 = (x1y1 + 2x2y2 + 3x3 y3) + (x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 ) = x ,y + x ,y . ´ Tiˆp theo ta x´t e e x, x = x2 + 2x2 + 3x2 0 v` a 1 2 3 x, x = 0 ⇔ x2 + 2x2 + 3x2 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 ⇔ x = θ. 1 2 3
  11. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 205 V´ du 2. T` dˆ d`i c´c canh v` g´c trong tai A cua tam gi´c v´.i ’ ı. ım o a a . ao ao . . d’nh A(2, 1, −2, −3), B (2, −1, 2, 1) v` C (6, 5, −2, −1). ı a −→ −→ −→ Giai. Ta t` toa dˆ cua c´c vecto. AB , AC v` BC . Ta c´ ’ o’ ım . a a o . −→ −→ −→ AB (0, −2, 4, 4), AC (4, 4, 0, 2), BC (4, 6, −4, −2). Ap dung dinh ngh˜ dˆ d`i vecto. trong co. so. tru.c chuˆn ta c´ ´ ’ ’. ıa o a a o . . . √ −→ AB = 02 + (−2)2 + 42 + 42 = 36 = 6 √ −→ −→ v` tu.o.ng tu. AC = 6, BC = 6 2. Theo cˆng th´.c (5.14) ta c´ a o u o . −→ −→ AB, AC 0 · 4 + (−2) · 4 + 4 · 0 + 4 · 2 cos A = = = 0. AB · AC 6·6 π Do d´ A = . o 2 V´ du 3. Ch´.ng minh r˘ng trong bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski ´’ ` ı. u a aa u a · b dˆu b˘ng “=” dat du.o.c khi v` chı khi a v` b phu ´` a’ | a, b | aa a . . . ´ thuˆc tuyˆn t´ o e ınh. . ´ ’ Giai. 1) Nˆu a = λb th` e ı 2 | a, b | = | λb, b = |λ| b = λb · b = a b. Ngu.o.c lai, nˆu | a, b | = a b th` ´ e ı .. a, b 2 a, b a, b a, b b = a 2−2 b 2= a− b, a − a, b + b2 b2 b2 b4 a2b2 a2b2b2 2 = a −2 + = 0. b2 b4 Nhu.ng t´ vˆ hu.´.ng x, x = 0 ⇔ x = θ. T`. d´ suy ra r˘ng a = ` ıch o o uo a a, b b, t´.c l` a, b phu thuˆc tuyˆn t´ ´ ua o e ınh. . . b2 V´ du 4. Hˆ c´c vecto. do.n vi trong Rn v´.i t´ vˆ hu.´.ng (5.12) ı. ea o ıch o o . . e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) ... ... ... ... en = (0, 0, 0, . . . , 1)
  12. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 206 o l` mˆt v´ du vˆ co. so. tru.c chuˆn trong Rn . Co. so. n`y goi l` co. so. ’ a o ı.` ’. ’a .a ’ e a . ch´ t˘c trong Rn . ınh ´ a Giai. Hiˆn nhiˆn ei , ej = 0 ∀ i = j , ej = 1 ∀ j = 1, n. T`. d´ ’ ’ e e uo thu du.o.c diˆu cˆn ch´.ng minh. `` ea u . V´ du 5. Toa dˆ cua vecto. a ∈ Rn bˆt k` dˆi v´.i co. so. tru.c chuˆn ’ ´ ´ . o’ ’. ı. a yo o a . b˘ng t´ vˆ hu.´.ng cua vecto. d´ v´.i vecto. co. so. tu.o.ng u.ng. ` ’ ’ a ıch o o oo ´ . a ∈ Rn v` E1 , E2 , . . . , En l` mˆt co. so. tru.c chuˆn cua ’ ’ ’’ ’. a’ Giai. Gia su a ao . n R . Khi d´ o n a= λi Ei . i=1 Nhˆn vˆ hu.´.ng d˘ng th´.c n`y v´.i Ek , k = 1, 2, . . . , n ta thu du.o.c ’ aoo a uao . a, Ek = λk , k = 1, 2, . . . , n. Do d´ o n ∀ a ∈ Rn . a= a, Ei Ei i=1 Sˆ λk = a, Ek k = 1, 2, . . . , n ch´ l` toa dˆ cua vecto. a ∈ Rn theo ´ ınh a . o ’ o . . so. tru.c chuˆn d˜ cho. ’ co ’ . aa V´ du 6. 1) Trong khˆng gian R3 v´.i t´ch vˆ hu.´.ng (5.12) cho co. ı. o oı o o . E1 = (1, 2, 1); E2 = (1, 1, 0); E3 = (2, 0, 0). H˜y d`ng phu.o.ng ph´p ’ so au a tru.c giao h´a dˆ t` co. so. tru.c giao trong R3 t`. co. so. d˜ cho. ’ ’. ’a o e ım u . .i t´ vˆ hu.´.ng (5.12) cho co. so. E1 = 3 ’ 2) Trong khˆng gian R v´ ıch o o o o (1, −1, 1), E2 = (2, −3, 4), E3 = (2, 2, 6). H˜y du.ng co. so. tru.c chuˆn ’ ’. a a . trong R3 theo co. so. d˜ cho. ’a .´.c hˆt ta chon E1 = E1 = (1, 2, 1). Tiˆp theo d˘t ´ ´ ’ Giai. 1) Tru o e e a . . .c l` E2 = E2 + λE1 sao cho E2 , E1 = 0, t´ a u E2 , E1 = E1 , E2 + λ E1 , E1 = 0.
  13. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 207 Nhu.ng E1 , E1 = 0 (cu thˆ l` > 0) v` E1 = E1 = θ. Do d´ ’ . ea ı o E1 , E2 (1, 2, 1), (1, 1, 0) 1 λ=− =− =− · 2 + 22 + 12 E1 , E1 1 2 Do d´ o 1 1 1 E2 = (1, 1, 0) − (1, 2, 1) = , 0, − . 2 2 2 ´ Tiˆp theo d˘t e a . E3 = E3 + αE1 + βE2 sao cho E3 , E1 = E3 , E2 = 0. Tu.o.ng tu. nhu. trˆn, t`. diˆu kiˆn u` e e e . . 1 . diˆu kiˆn E3 , E2 = 0 ta c´ β = −2. E3 , E1 = 0 ta c´ α = − v` t` ` o au e e o . 3 Do d´ o 1 2 22 E3 = E3 − E1 − 2E2 = ,− , 3 3 33 v` thu du.o.c co. so. tru.c giao ’. a . 1 1 2 22 E1 = (1, 2, 1), E2 = , 0, − , E3 = ,− , . 2 2 3 33 2) Tu.o.ng tu. nhu. phˆn 1), dˆu tiˆn ta d˘t ` ` a a e a . . E1 = E1 = (1, −1, 1) E2 = E2 + λE1 sao cho E2 , E1 = 0. T`. d´ thu du.o.c uo . E1 , E2 2+3+4 λ=− =− = −3, E1 , E1 3 v` do d´ a o E2 = (−1, 0, 1).
  14. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 208 o ´ Tiˆp theo ta t`m e ı E3 = E3 + αE1 + βE2 sao cho E3 , E1 = 0, E3 , E2 = 0 v` t`. d´ thu du.o.c auo . E1 , E3 E2 , E3 α=− = −2; β=− = −2. E1 , E1 E2, E2 Nhu. vˆy a . E3 = (2, 4, 2). Sau c`ng ta chuˆn h´a c´c vecto. E1, E2 , E3 v` thu du.o.c co. so. tru.c ’ ’. u aoa a . ’ chuˆn a 1 1 1 1 1 e1 = √ , − √ , √ , e2 = − √ , 0, √ , 3 3 3 2 2 1 2 1 e3 = √ , √ , √ . 6 6 6 V´ du 7. H˜y bˆ sung cho hˆ tru.c giao gˆm ba vecto. trong R4 : ’ ` ı. ao e. o . 11 77 b1 = (1, 1, 1, 1), b2 = (2, 2, −2, −2), b3 = − , , − , 22 22 dˆ thu du.o.c co. so. tru.c giao trong khˆng gian d´. ’ ’. e o o . ’’ ` ’ Giai. Ta c´ thˆ bˆ sung b˘ng hai c´ch o eo a a 1+ V` sˆ vecto. cua hˆ d˜ cho nho ho.n 4 (l` sˆ chiˆu cua khˆng ´` ´ ’ ’ ’ ıo ea ao e o . . a4 sao cho hˆ ’ 4 4 gian R ) nˆn trong khˆng gian R ta c´ thˆ chon vecto e o oe. e . . b1, b2 , b3, a4 dˆc lˆp tuyˆn t´nh v` sau d´ ´p dung ph´p tru.c giao ´ vecto oa eı a oa e .. . . h´a Gram-Smidth. o 2+ Ta c´ thˆ chon vecto. x = (x1, x2, x3, x4 ) d` ng th`.i tru.c giao v´.i ’ oe. o ˆ o o . . b1 , b2, b3, t´.c l` thu du.o.c hˆ phu.o.ng tr` c´c vecto a ua .e ınh . x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 2x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0, 1 1 7 7 − x1 + x2 − x3 + x4 = 0. 2 2 2 2
  15. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 209 Ch˘ng han, t`. hˆ d´ ta c´ x = (7, −7, −1, 1). ’ a ueo o . . V´ du 8. 1+ Ch´.ng to r˘ng c´c vecto. x1 = (1, 1, 1, 2) v` x2 = ` ’a ı. u a a (1, 2, 3, −3) l` tru.c giao v´.i nhau. a. o 2+ H˜y bˆ sung cho hˆ hai vecto. d´ dˆ thu du.o.c co. so. tru.c giao ’ ’ ’. ao e oe . . 4 ’ cua R . Giai. 1+ Ta c´ ’ o x1 , x2 = 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 − 2 · 3 = 0. Do d´ ch´ng tru.c giao. ou . . x3 = (α, β, γ, 0), trong d´ α, β, γ du.o.c x´c dinh t`. c´c + ’’ 2 Gia su o .a. ua .c l` ` diˆu kiˆn x3 , x1 = 0, x3 , x2 = 0 t´ a e e u . α+β+γ =0 α + 2β + 3γ = 0. T`. d´ x3 = (1, −2, 1, 0). uo Bˆy gi`. ta s˜ bˆ sung thˆm cho hˆ vecto. x1, x2 , x3 mˆt vecto. n˜.a. ’ a o eo e e o u . . Gia su. x4 = (α, β, γ, δ ), trong d´ c´c toa dˆ α, β , γ , δ du.o.c x´c dinh ’’ oa . o .a. . . c´c d˘ng th´.c: ’ t` a a u u x4 , x1 = 0, x4 , x2 = 0, x4 , x2 = 0. T`. d´ uo α + β + γ + 2δ = 0, α + β + 3γ − 3δ = 0, α − 2β + γ = 0. T`. d´ thu du.o.c x4 = (−25, −4, 17, 6). Nhu. vˆy ta d˜ bˆ sung thˆm ’ uo a ao e . . . x3, x4 v` thu du.o.c hˆ vecto. tru.c giao x1, x2, x3 , x4 trong hai vecto a e . . . ` u. D´ l` co. so. tru.c giao. ’. khˆng gian 4-chiˆ o e oa ` ˆ BAI TAP .
  16. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 210 o 1. Gia su. a = (a1, a2), b = (b1 , b2) l` nh˜.ng vecto. t`y y cua R2 . Trong ’’ u´’ au c´c quy t˘c sau dˆy, quy t˘c n`o x´c dinh t´ vˆ hu.´.ng trˆn R2 : ´ ´ a a a aaa. ıch o o e 1) a, b = a1b1 + a2b2. 2) a, b = ka1b1 + a2b2 , k, = 0. 3) a, b = a1b1 + a1b2 + a2 b1. 4) a, b = 2a1b1 + a1b2 + a2b1 + a2b2. 5) a, b = 3a1b1 + a1b2 + a2b1 − a2 b2. (DS. 1), 2) v` 4) x´c dinh t´ vˆ hu.´.ng a a. ıch o o 3) v` 5) khˆng x´c d.nh t´ vˆ hu.´.ng). a o ai ıch o o 2. Trong khˆng gian Euclide R4, x´c dinh g´c gi˜.a c´c vecto.: o a. o ua 5 1) a = (1, 1, 1, 1), b = (3, 5, 1, 1). (DS. arccos ) 6 π 2) a = (1, 1, 1, 1), b = (3, −5, 1, 1). (DS. ) 2 3) a = (1, 1, 1, 1), b = (−3, −3, −3, −3). (DS. π ) 3. Trong khˆng gian Euclid R4 , t`m dˆ d`i cua c´c canh v` c´c g´c oa ’ a . o ı aa o . .i c´c vecto. a, b, a + b nˆu ´ ’ ’ cua tam gi´c lˆp bo a aa e . 1) a v` b nhu. trong 2.1) a 2) a v` b nhu. trong 2.2) a 3) a = (2, −1, 2, 4), b = (2, −1, 2, −4). √ 5 (DS. 1) a = 2, b = 6, a + b = 2 15, cos(a, b) = , 6 7 13 cos(a, a + b) = √ ; cos(b, a + b) = √ ; 2) a = 2, b = 6, 2 15 6 15 √ 1 a + b = 2 10, cos(a, b) = 0, cos(a, a + b) = √ , cos(b, a + b) = 10 3 7 √ ; 3) a = 5, b = 5, a + b = 6, cos(a, b) = − , 25 10 4 4 cos(a, a + b) = , cos(b, a + b) = ) 5 15 .ng minh r˘ng trong khˆng gian Euclide ` 4. Ch´ u a o 1) a ⊥ a ⇔ a = θ. 2) Nˆu vecto. a ⊥ bi ∀ i = 1, s th` a tru.c giao v´.i moi tˆ ho.p tuyˆn ’ ´ ´ e ı o .o. e . ınh ’ t´ cua b1, . . . , bs.
  17. 5.3. Khˆng gian vecto. Euclid. Co. so. tru.c chuˆn ’ ’. o a 211 3) Hˆ c´c vecto. kh´c khˆng v` tru.c giao v´.i nhau t`.ng dˆi mˆt l` ea a o a. o u o oa . . ´ hˆ dˆc lˆp tuyˆn t´ eo a e ınh. ... 5. Gia su. mˆt tam gi´c trong khˆng gian Euclide du.o.c lˆp nˆn bo.i ’’ o ’ a o .ae . . . a, b, a + b. Ch´.ng minh: c´c vecto a u 1) dinh l´ Pithago: Nˆu a ⊥ b ⇒ a + b 2 = a 2 + b 2. ´ y e . 2) dinh l´ dao cua dinh l´ Pithago: Nˆu a + b 2 = a 2 + b 2 ´ y’ ’. y e ⇒ . a ⊥ b. 3) dinh l´ h`m cosin: ya . 2 2 2 a+b =a +b +2 a b cos(a, b). 4) bˆt d˘ng th´.c tam gi´c ´’ aa u a a−b a+b ≤ a + b . Chı dˆ n. Su. dung bˆt d˘ng th´.c Cauchy-Bunhiakovski. ´’ ’˜ ’. a aa u 6. Ch´.ng minh r˘ng trong h` b`nh h`nh du.ng trˆn hai vecto. a v` b ` u a ınh ı a e a . .o.ng dˆ d`i cua c´c du.`.ng ch´o b˘ng tˆng c´c b`nh ’ ’ e` oa ’ a tˆng c´c b`nh phu o aı o a o aı . phu.o.ng dˆ d`i c´c canh oaa . . 2 2 2 + 2 b 2. a+b + a−b =2 a 7. Ch´.ng minh r˘ng nˆu c´c vecto. a1, a2, . . . , am cua khˆng gian ` ´ ’ u a ea o Euclide l` t`.ng dˆi mˆt tru.c giao th` au oo ı . . 2 2 2 + · · · + am 2 . a1 + a2 + · · · + am = a1 + a2 Chı dˆ n. X´t t´ vˆ hu.´.ng ’˜ a e ıch o o a1 + a2 + · · · + am , a1 + a2 + · · · + am 8. Ap dung qu´ tr`nh tru.c giao h´a dˆi v´.i c´c hˆ vecto. sau dˆy cua ´ ´ a’ aı oooae . . . Rn : 1) a1 = (1, −2, 2), a2 = (−1, 0, −1), a3 = (5, −3, −7).
  18. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 212 o 2 2 1 (DS. E1 = a1 = (1, −2, 2); E2 = − , − , − ; E3 = (6, −3, −6)) 3 3 3 2) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (3, 3, −1, −1), a3 = (−2, 0, 6, 8). (DS. E1 = a1 = (1, 1, 1, 1); E2 = (2, 2, −2, −2), E3 = (−1, 1, −1, 1)) 3) a1 = (1, 1, 1, 1); a2 = (3, 3, −1, −1); a3 = (−1, 0, 3, 4). (DS. E1 = a1 = (1, 1, 1, 1), E2 = (2, 2, −2, −2), E3 = − 11 77 , ,− , ) 22 22 9. Tru.c chuˆn h´a c´c hˆ vecto. sau dˆy cua khˆng gian R4 : ’ a’ aoae o . . 1) a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1, −3, −3), a3 = (4, 3, 0, −1). 1111 11 1 1 (DS. E1 = , , , , E2 = , , − , − , E3 = 2222 22 2 2 1 11 1 ,− , ,− ) 2 22 2 2) a1 = (1, 2, 2, 0), a2 = (1, 1, 3, 5), a3 = (1, 0, 1, 0). 122 1 1 5 , , , 0 , E2 = 0, − √ , √ , √ , (DS. E1 = 333 3 33 33 3 6 17 8 5 E3 = √ , − √ , √ , − √ ) 78 3 78 3 78 3 78 10. Ch´.ng to r˘ng c´c hˆ vecto. sau dˆy trong R4 l` tru.c giao v` bˆ ’ ` ’a u ae a a. ao . . th`nh co. so. tru.c giao: ’ a eoe ’ ’. sung cho c´c hˆ d´ dˆ tro a . 1) a1 = (1, −2, 1, 3), a2 = (2, 1, −3, 1) (DS. Ch˘ng han, c´c vecto. a3 = (1, 1, 1, 0), a4 = (−1, 1, 0, 1)) ’ a a . 2) a1 = (1, −1, 1, −3), a2 = (−4, 1, 5, 0). (DS. Ch˘ng han, c´c vecto. a3 = (2, 3, 1, 0) v` a4 = (1, −1, 1, 1)) ’ a a a . 11. Ch´.ng to r˘ng c´c vecto. sau dˆy trong R4 l` tru.c giao v` bˆ sung ’ ` ’a u a a a. ao cho c´c hˆ d´ dˆ tro. th`nh co. so. tru.c giao v` chuˆn h´a c´c co. so. d´ ’ ’ a eoe ’ a ’. ’o a aoa . 1) a1 = (1, −1, 1, −1), a2 = (1, 1, 1, 1). 1 11 1 1111 (DS. E1 = , − , , − , E2 = , , , , E3 = − 2 22 2 2222 1 1 √ , 0, √ , 0 , 2 2
  19. ’ ´o ´ 5.4. Ph´p biˆn d ˆi tuyˆn t´ e e e ınh 213 1 1 E4 = 0, − √ , 0, √ ) 2 2 2) a1 = (1, −1, −1, 3), a2 = (1, 1, −3, −1) √ 1 1 1 3 √ ,− √ ,− √ , (DS. E1 = , E2 = 23 23 232 √ 1 1 3 1 √ , √ ,− ,− √ , 2 2 32 3 23 211 12 1 E3 = √ , √ , √ , 0 , E4 = − √ , √ , 0, √ ) 666 66 6 ’ ´o ´ 5.4 Ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ e e e ınh -. 5.4.1 Dinh ngh˜ ıa Anh xa L : Rn → Rn biˆn khˆng gian Rn th`nh ch´nh n´ du.o.c goi l` ´ ´ e o a ı o .a . . ’ n ´ ´ ´ ’ eo’ mˆt ph´p biˆn dˆi tuyˆn t´ (bdtt) cua khˆng gian R nˆu n´ thoa o e eo e ınh o . ` m˜n hai diˆu kiˆn sau dˆy a e e a . .i hai vecto. a v` b ∈ Rn bˆt k` ´ (i) V´ o a ay L(a + b) = L(a) + L(b). (5.15) (ii) V´.i vecto. a ∈ Rn bˆt k` v` ∀ λ ∈ R ta c´ ´ o a ya o L(λa) = λL(a). (5.16) Hai diˆu kiˆn (5.15) v` (5.16) tu.o.ng du.o.ng v´.i diˆu kiˆn: ` o` e e a e e . . L(λ1 a + λ2 b) = λ1 L(a) + λ2 L(b). T`. dinh ngh˜ suy ra: nˆu hˆ vecto. a1, a2, . . . , am ∈ Rn l` pttt th` ´. u. ıa ee a ı . anh f (a1 ), . . . , f (am ) c˜ng l` pttt. hˆ c´c vecto ’ ea u a . ’ 5.4.2 Ma trˆn cua ph´p bdtt a e . Gia su. trong khˆng gian Rn ta cˆ dinh mˆt co. so. (E ) n`o d´: ´ ’’ ’ o o. o ao . E = {E1 , E2 , . . . , En }. (5.17)
  20. Rn Chu.o.ng 5. Khˆng gian Euclide 214 o ’ Khi d´ ∀ x ∈ Rn ta c´ khai triˆn o o e x = x1 E1 + x2 + · · · + xn En . 2 Moi ma trˆn vuˆng A = aij n×n d` u a o ˆ e x´c dinh ph´p bdtt L theo a. e . . .c cˆng th´ o u    a11 a12 . . . a 1n x1 y1     y   a21 a22 . . . a 2n   x 2   2  .  .   = . (5.18) . .. .  .  · · ·   . . . . . .  .  yn an1 an2 . . . ann xn N´i c´ch kh´c: dˆ thu du.o.c toa dˆ anh y = L(x) ta cˆn nhˆn ma trˆn ’ ` . . o’ oa a e a a a . . .i cˆt toa dˆ cua x. Viˆt ra chi tiˆt ta c´ ´ ´ A v´ o . o ’ o. e e o . y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn , ... ... ... ... ... ... (5.19) yn = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn . Ngu.o.c lai, trong co. so. d˜ chon (5.17) mˆ i ph´p bdtt L d` u tu.o.ng ˜ ’a . o e ˆ e .. u.ng v´.i mˆt ma trˆn A = aij cˆp n v` su. t´c dˆng cua ph´p bdtt ´ ’ ´ o o a a a.a o e . . . .o.c thu.c hiˆn theo cˆng th´.c (5.18) hay (5.19). du . e o u . . Viˆc t` ma trˆn cua ph´p bdtt du.o.c tiˆn h`nh nhu. sau ´ a’ e ım e ea . . . 1+ T´c dˆng L lˆn c´c vecto. co. so. cua (5.17) v` thu du.o.c anh ’’ .’ ao ea a . L(Ei ), i = 1, n. 2+ Khai triˆn c´c anh L(Ei ) theo co. so. (5.17): ’ e a’ ’  L(E1 ) = a11E1 + a21E2 + · · · + an1 En ,   L(E2 ) = a12E1 + a22E2 + · · · + an2 En ,  (5.20)  ... ... ... ... ...    L(E\ ) = a1n E1 + a2nE2 + · · · + ann En . T`. c´c toa dˆ trong (5.20) ta lˆp ma trˆn A sao cho toa dˆ cua vecto. . o’ ua . o a a . . . .
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2