Chương 1: Phép dời hình phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11

Chia sẻ: Bui Thi Minh Phung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 "Phép dời hình phép đồng dạng trong mặt phẳng" môn Hình học 11 cung cấp cho các bạn những kiến thức phép dời hình phép đồng dạng trong mặt phẳng như: Phép dời hình, tìm quỹ tích của một điểm, quỹ tích điểm, phép vị tự. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt thông tin chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Phép dời hình phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11

Chương I: PHÉP DỜI HÌNH PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG A) PHÉP DỜI HÌNH (là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ) 1) Phép tịnh tiến * Chú ý: Tvr ( M ) = M ' + Đường chéo hình vuông cạnh a có độ dài: a 2 uuuuur r � MM ' = v qua M 0 ( x0 ; y0 ) + Phương trình đường thẳng d : r Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua VTPT n (a; b) r phép tịnh tiến theo v( a; b) d : a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 x' = x + a + Phương trình đường tròn (C ) Khi đó: y' = y +b Dạng 1: tâm I (a; b) , bán kính R 2) Phép quay tâm O, góc α ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 Q( O ,α ) ( M ) = M ' Dạng 2: tâm I (a; b) , bán kính R = ( a) 2 + ( b) − ( c) 2 OM ' = OM x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (OM ' ; OM ) = α B) PHÉP ĐỒNG DẠNG 3) Phép vị tự tâm O (tỉ số k) 4) Phép vị tự tâm H ( xH , yH ) bất kỳ (tỉ số k) V(O , k ) ( M ) = M ' V( H , k ) ( M ) = M ' uuuuur uuuur uuuuur uuuur � OM ' = k .OM � HM ' = k .HM Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép vị tự tâm phép vị tự tâm O H ( xH , y H ) x ' = k .x Khi đó: x ' = k .( x − xH ) − xH y ' = k. y Khi đó: y ' = k .( y − yH ) − xH 5) Phép đồng dạng (tỉ số k > 0 ) * Chú ý: Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1 Hai hình bằng nhau khi có phép dời hình biến hình này Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số thành hình kia. k Hai hình đồng dạng với nhau khi có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. 1
C) VÍ DỤ DẠNG BÀI TẬP 1) Dạng: tìm ảnh của 1 điểm M ( x ; y ) qua các phép 1,3,4 r Ví dụ: Cho điểm M (−1; −2) . Tìm ảnh của M qua phép tịnh tiến theo t (−3; −4) r Giải: Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép tịnh tiến theo t (−3; −4) �x ' = x + a �x ' = −1 + (−3) �x ' = −4 Khi đó: � �� Vậy M '(−4; −6) �y ' = y + b �y ' = −2 + (−4) �y ' = −6 2) Dạng: tìm ảnh của 1 đường thằng d : ax + by + c = 0 qua các phép 1,3,4 r Ví dụ: Cho đường thẳng d : 3 x + 4 y − 1 = 0 . Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo u (−1; 2) Giải: r *Cách 1: Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo u (−1; 2) �x ' = x + a �x '− a = x �x '+ 1 = x Khi đó: � �� y ' = y + b �y '− b = y �y '− 2 = y Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được: 3( x '+ 1) + 4( y '− 2) − 1 = 0 � 3 x '+ 4 y '+ 3 − 8 − 1 =0 Vậy d ' : 3 x + 4 y − 6 = 0 � 3 x '+ 4 y '− 6 =0 r *Cách 2: Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo u (−1; 2) � 1� Lấy điểm A � 0; � d A '( x ' ; y ') d ' � 4� �x ' = 0 + (−1) �x ' = −1 x' = x+ a � � � 9� Khi đó: � �� 1 � � 9 Suy ra A ' � −1; � y' = y+b �y ' = + 2 �y ' = � 4� � 4 � 4 �1 � Lấy điểm B � ;0 � d B '( x ' ; y ') d ' �3 � � 1 � −2 x' = x + a �x ' = + (−1) �x ' = �−2 � Khi đó: � �� 3 �� 3 Suy ra B ' � ; 2 � y' = y +b � � �3 � �y ' = 0 + 2 �y ' = 2 uuuuur�−2 9 � uuuuur �1 −1 � Ta có A ' B ' � − ( −1) ; 2 − � A ' B ' � ; � là vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ �3 4� �3 4 � r �1 1 � Suy ra n � ; �là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d’ �4 3 � Phương trình đường thẳng d’ có dạng a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 1 1 9� � ( x + 1) + � �y − �= 0 4 3� 4� 1 1 1 � x+ y− =0 4 3 2 � 3x + 4 y − 6 = 0 Vậy d ' : 3 x + 4 y − 6 = 0 3) Dạng: tìm ảnh của 1 đường tròn (C ) qua các phép tịnh tiến 2
r Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): ( x − 3) 2 + ( y + 5) 2 = 13 . Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) Giải: * Ta có phương trình đường tròn (C): ( x − 3) 2 + ( y + 5) 2 = 7 Suy ra tâm I (3; −5) , bán kính R = 13 r * Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) Suy ra tâm I '( x '; y ') , bán kính R ' = R = 13 r * Ta có I '( x '; y ') là ảnh của I (3; −5) qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) �x ' = x + a �x ' = 3 + 1 �x ' = 4 Khi đó: � �� Suy ra I '(4; −7) �y ' = y + b �y ' = −5 + (−2) �y ' = −7 * Vậy phương trình của (C’) là: ( ) 2 ( x − 4) 2 + ( y + 7) 2 = 13 � ( x − 4) 2 + ( y + 7) 2 = 13 r Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 8 x + 4 y − 1 = 0 . Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) Giải: * Ta có phương trình đường tròn (C): x 2 + y 2 − 8 x + 4 y − 1 = 0 Suy ra tâm I (4; −2) , bán kính R = 42 + (−2) 2 − (−1) = 21 r * Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) Suy ra tâm I '( x '; y ') , bán kính R ' = R = 21 r * Ta có I '( x '; y ') là ảnh của I (4; −2) qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) �x ' = x + a �x ' = 4 + 1 �x ' = 5 Khi đó: � �� Suy ra I '(5; −4) �y ' = y + b �y ' = −2 + (−2) �y ' = −4 * Vậy phương trình của (C’) là: ( ) 2 ( x − 5) 2 + ( y + 4) 2 = 21 � ( x − 5) 2 + ( y + 4) 2 = 21 4) Dạng: tìm ảnh của 1 đường tròn (C ) qua các phép vị tự (chú ý: R ' = k .R ) Ví dụ: Cho đường tròn (C): ( x − 3) 2 + ( y + 5) 2 = 13 . Tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = −2 Giải: * Ta có phương trình đường tròn (C): ( x − 3) 2 + ( y + 5) 2 = 7 Suy ra tâm I (3; −5) , bán kính R = 13 r * Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo v(1; −2) Suy ra tâm I '( x '; y ') , bán kính R ' = k .R = 2 13 * Ta có I '( x '; y ') là ảnh của I (3; −5) qua phép tịnh tiến theo 3
Q(O ,900 ) ( M ) = M ' OM ' = OM r v(1; −2) (OM ' ; OM ) = 90 0 � M '(2; − 1) �x ' = x + a �x ' = 3 + 1 �x ' = 4 Khi đó: � �� Suy ra I '(4; −7) �y ' = y + b �y ' = −5 + (−2) �y ' = −7 * Vậy phương trình của (C’) là: ( ) 2 ( x − 4) 2 + ( y + 7) 2 = 2 13 � ( x − 4) 2 + ( y + 7) 2 = 52 5) Dạng: tìm ảnh của 1 điểm M ( x ; y ) qua các phép quay Ví dụ : Cho điểm M (−1; −2) . Tìm ảnh của M qua phép quay Q( O ,900 ) Giải: Gọi M '( x ' ; y ') là ảnh của M ( x ; y ) qua phép quay tâm O, góc 900 (vẽ hệ trục tọa độ để xác định M’) Vậy M '(2; −1) 6) Dạng: tìm ảnh của 1 đường thằng d : ax + by + c = 0 qua các phép quay Sẽ áp dụng cách 2 để giải. Tức là, lấy 2 điểm bất kỳ thuộc d. Rồi tìm ảnh của 2 điểm đó. Sau đó viết phương trình đường thẳng đí qua 2 điểm ảnh vừa tìm được. 7) Dạng: tìm ảnh của 1 đường tròn (C) qua các phép quay Ta xác định tâm I và bán kính R của (C). Sau đó, ta xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C’). Cuối cùng là viết phương trình đường tròn (C’). TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ). Cách giải : Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích . Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C uuur uuuur là một véc tơ cố định � AH = B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . 4
Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến r uuuur dọc theo v = B ' C Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : uuuur uuuur OO ' = B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : uuur uuur uuur Theo tính chất hình bình hành : BA=DC � AB = CD . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên AB uuur cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo AB , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O uuuur uuur Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO ' = AB . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm uuuuur uuur M’ trên (O’R’) sao cho MM ' = AB . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ uuur AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? Giải Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại uuuur uuur uuur trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : MH = 2OA = BA . Vậy phép tịnh tiến uuur theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh uuur của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA . Tương tự đối với tam giác NPQ . Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . QUỸ TÍCH ĐIỂM (Phép vị tự) Để giải một bài toán quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn . Trước hết ta cần phải làm một số việc sau 1. Trong hình H đã cho , ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho sẵn nào đó ( có thể là đường tròn , có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó 2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng , từ đó tìm ra một tỉ số không đối k uuur uur 3. Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự là k . 4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k . Nêu cách dựng (C’) . Ví dụ 1. ( Bài toán 6tr39HH11CB). Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R , các đỉnh B,C cố định còn A thay đổi trên (O). Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC khi A chạy trên một đường tròn . Giải Vẽ hình , Gọi I là trung điểm của BC , thì I cố định khi B,C cố định . Theo tính chất trọng tâm : 5
1 uur 1 uur 1 IG = �IA= IG IA VI 3 : A G . Nhưng A chạy trên (O) do đó G chạy trên (O’) là ảnh của (O) qua 3 3 phép vị tự tâm I tỉ số 1/3. uuur 1 uur IO ' = IO 3 � 1 � Xác định (o’;R’) bằng hệ : �O '; R � 1 � 3 � R' = R 3 Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;3R) tiếp xúc trong với nhau tại A. Nếu O biến thành O’ trong phép vị tự tâm A thì tỉ số vị tự bằng bao nhiêu ? Giải Vẽ hình . Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy ra AO’=3AO . uuuur uuur Hay : AO ' = 3OA VA3 : O O ' . Do đó tỉ số vị tự là k=3. Ví dụ 3. Cho đường tròn O và một điểm P cố định ở ngoài (O) .Từ P kẻ một tiếp tuyến thay đổi PBC . Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC ? Giải Vẽ hình . Gọi I là trung điểm của BC thì theo tính chất của đường kính đi qua điểm giữa của dây cung : OI vuông góc với BC . Như vậy I nằm trên đường tròn đường kính OP. Mặt khác theo tính chất trọng uuur 2 uur 2 tâm , thì G nằm trên AI và cách A một khoảng bằng 2/3 AI , hay : AG = AI VA3 : I G . Nhưng I 3 chạy trên đường tròn đường kính OP cho nên G chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3. uuuur 2 uuur AO ' = AH 3 Cách xác định O’ bằng hệ : . ( Với H là trung điểm của OP ) 2 OP OP R' = = 3 2 3 Ví dụ 4. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định với OI=2R . M là một điểm di động trên O , phân giác góc IOM cắt IM tại M’ . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên đường tròn O. Giải Vẽ hình . Theo tính chất của đường phân giác trong : M 'I OI 2R IM ' 2 2 IM ' 2 2 uuuur 2 uuur = = =2� = = � = � IM ' = IM � IM ' = IM MM ' OM R IM '+ M ' M 2 + 1 3 IM 3 3 3 Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên M’ chạy trên (O’;R’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I . uuur 2 uur I O ' = IO 3 Để xác định (O’;R’) : . 2 R' = R 3 THAM KHẢO: Câu 1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A ( 3; −2 ) và B( −1; 2 ) . Phép tính tiến Tvur biến điểm A thành ur B. Xác định tọa độ vectơ v . Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ( ∆ ) : x + 2y − 5 = 0 . Tìm đường thẳng ( d ) , biết rằng ur qua phép tịnh tiến theo vectơ u ( 3; −1) thì ( d ) biến thành ( ∆ ) . Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( I; 2 ) với I ( 3; −2 ) . Tìm ảnh của ( I; 2 ) qua việc thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay +900 và phép vị tự tâm O, tỉ số k = 3 . Bài 4: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) có tâm là O. Điểm A di động trên (O). Tìm quỹ tích 6
trực tâm H của tam giác ABC (giải bằng 3 phép biến hình khác nhau) Bài 5: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định và đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác MNQ (giải bằng 2 phép biến hình khác nhau) Bài 6: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M' sao cho MM ' MA MB Bài 7: Cho hai điểm A, B và đường tròn (O) không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định. Bài 8: Cho đường thẳng a và điểm G cố định, không nằm trên a. Điểm A chạy trên a, ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai đỉểm B và C. Bài 9: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên (O). Với mỗi điểm A thay đổi trên (O), ta dựng hình vuông ABCD có tâm I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D Bài 10: Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB cố định, điểm C chạy trên nữa đường tròn đó. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM=BC. Tìm quỹ tích điểm M. Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và đỉểm M thay đổi trên (O). Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B, M3 là điểm đối xứng với M2 qua C. a) Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành điểm M3 là một phép đối xứng tâm b) Tìm quỹ tích điểm M3 Bài 12: Cho đường tròn (O) và hai điểm cố định A,B thuộc (O). Một điểm M chạy trên (O). Xác định hình bình hành AMBN. Tìm quỹ tích điểm N. r Bài 13: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và một vectơ a cố định. Với mỗi điểm M thay đổi trên r mặt phẳng, ta lấy điểm M1 là điểm đối xứng với M qua d và M' là điểm sao cho M 1 M ' a . Tìm quỹ tích trung điểm I của MM'. 7