Chương 4: Ước lượng tham số

Chia sẻ: Tu Oanh04 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 4: ước lượng tham số', kinh tế - quản lý, kinh tế học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Ước lượng tham số

Chuong 4 ’’ ´ ´’ ˆ ’ D. U’OC LU’ONG THAM SO CUA ¯ AI LU’ONG .’ .’ ˜ ˆ ˆ NGAU NHIEN Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ tham sˆ θ chua biˆt. U’oc luong tham sˆ θ l` dua ´ ´ ´ ’ .’ ´ ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ a e o o e o a .’ ’ ’ eˆ ˆ ´ ˜ ˜ v`o mˆu ngˆu nhiˆn Wx = (X1 , X2 , . . . , Xn ) ta dua ra thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) a a a e ¯’ o dˆ’ uoc luong (du do´n) θ. ¯e ’ ´ ’ .’ .’ ¯ a ’ a ’ ´ ’ .’ C´ 2 phuong ph´p uoc luong: o ’’ ’ i) U’oc luong diˆ’m: chi’ ra θ = θ0 n`o do dˆ’ uoc luong θ. ´ ’ .’ ¯ e a ¯´ ¯e ’ ´ ’ .’ ’ ’ ii) U’oc luong khoang: chi’ ra mˆt khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho P (θ1 < θ < θ2 ) = ´ ’ .’ ´ ’ ’ o ’ ’ . ´ (1 − α goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong). ´ ’ .’ a ’ ’’ 1 − α cho truoc . a ¯o ’’ . . ’ ´’ CAC PHU’ONG PHAP U’OC LU’ONG ¯ IEM .’ ´ ´ Dˆ ’ 1. ’´ ’. 1.1 Phuong ph´p h`m uoc luong a a ’’ ’ ’ o’ • Mˆ ta phuong ph´p a ’’ ’ ’’ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ ¯ . ’ .’ ˜ ˜ ˜ `’ ` Gia su cˆn uoc luong tham sˆ θ cua dai luong ngˆu nhiˆn X. Tu X ta lˆp mˆu ngˆu o a e a a a ’ . nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). e eˆ ˆ . ˆ a a ’ ´ ’.’ ´ ’ Chon thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). Ta goi θ l` h`m uoc luong cua X . o ’ . Thuc hiˆn ph´p thu ta duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi d´ uoc luong ¯o ’ ´ ’ .’ ’’ ˜.e e e ¯ ’ .’ a ’ .’ . ’m cua θ l` gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ). ˆ ’ diˆ ¯e aa. ’´ ’ ’ a) Uoc luong khˆng chˆch o e ’ . . eˆ ˆ ´ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ ˜ 2 ¯ inh nghia 1 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong khˆng chˆch D. o o e ’ . ˆ) = θ. ´ ´ ’ cua tham sˆ θ nˆu E (θ o e ´ ˜ Y nghia ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ’ Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Ta c´ o e o o ’ . ˆ ˆ E (θ − θ) = E (θ) − E (θ) = θ − θ = 0 69
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 70 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ ` a ’ ´ ’ .’ a ’ ´ ’ .’ ´ ınh ˘ Vˆu uoc luong khˆng chˆch l` uoc luong c´ sai sˆ trung b` bang 0. o e o o ’ ’ . . ⊕ Nhˆn x´t a e . a ’ ´ ’ .’ ˜ ˜ ınh ’ ’ ınh ’ i) Trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn X l` uoc luong khˆng chˆch cua trung b` cua a a e o e ’ . ’ng thˆ’ θ = E (X ) = m v` E (X ) = m. tˆ o e ı a ’ ´ ’ .’ ˜ ˜ ¯ e` ii) Phuong sai diˆu chinh cua mˆu ngˆu nhiˆn S 2 l` uoc luong khˆng chˆch cua ’ ’ ’ a a e o e ’’ ’ . ’ng thˆ’ σ 2 v` E (S 2 ) = σ 2 . ’o phuong sai cua tˆ e ı ’’ e` ’’ ’ • V´ du 1 Chiˆu cao cua 50 cˆy lim duoc cho boi ı. a ¯ ’.’ ´ e` x0 ni u2 ’ Khoang chiˆu cao (m´t) sˆ cˆy lim e oa ui ni ui i i [6, 25 − 6, 75) 1 6,5 -4 -4 16 [6, 75 − 7, 25) 2 7,0 -3 -6 18 [7, 25 − 7, 75) 5 7,5 -2 -10 20 [7, 75 − 8, 25) 11 8 -1 -11 11 [8, 25 − 8, 75) 18 8,5 0 0 0 [8, 75 − 9, 25) 9 9 1 9 9 [9, 25 − 9, 75) 3 9,5 2 6 12 [9, 75 − 10, 2) 1 10 3 3 9 50 -13 95 e` ’a Goi X l` chiˆu cao cua cˆy lim a . a) H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho chiˆu cao trung b` cua c´c cˆy lim. ’ ´ ’ .’ ¯ e e` ınh ’ a a a ’ ’ ra uoc luong diˆ’m cho do tan m´t cua c´c chiˆu cao cˆy lim so voi chiˆu ´ ’ .’ ¯ e ´ e` e` ’ ’a b) H˜y chi a ¯ˆ a a ’’ ’ . cao trung b`ınh. c) Goi p = P (7, 75 ≤ X ≤ 8, 75). H˜y chi’ ra uoc luong diˆ’m cho p. ’ ´ ’ .’ ¯ e a ’ . ’ Giai Ta lˆp bang t´ cho x v` s2 . ’ a ınh a . x0 − 8, 5 ’ ´ i Thuc hiˆn ph´p dˆi biˆn ui = e e ¯o e (x0 = 8, 5; h = 0, 5) .’ . 0, 5 Ta c´ u = − 13 = −0, 26. Suy ra o 50 x = 8, 5 + 0, 5.(−0, 26) = 8, 37 95 s2 = (0, 5)2 . − (−0, 26)2 = 0, 4581 ∼ (0, 68)2 . 50 ınh ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ e` a) Chiˆu cao trung b` duoc uoc luong l` 8,37 m´t. a e ’ a ¯ ’ .’ ’ ´ ’ .’ 50 Do ’ b) ¯ ˆ tan m´t duoc uoc luong l` s = 0, 68 m´t ho˘c s = a e aˆ 0, 4581 ∼ 0, 684 ’ . . 50−1 e` ’ c) Trong 50 quan s´t da cho c´ 11+18 = 29 quan s´t cho chiˆu cao lim thuˆc khoang a ¯˜ o a o . [7, 5 − 8, 5) Vˆy uoc luong diˆ’m cho p l` p∗ = a ’ ´ ’ .’ ¯ e 29 a = 0, 58. ’ . 50
’ a ’´ ’ ’ 71 1. C´c phuong ph´p uoc luong diˆm a ¯e ’’ ’ ’´ ’ ’ ’ b) Uoc luong hiˆu qua e ’ . . ´’ ’ ’’ ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ´ ’ a ¯˘ ⊕ Nhˆn x´t Gia su θ l` uoc luong khˆng chˆch cua tham sˆ θ. Theo bˆt dang thuc a e o e o ’ ’ . . Tchebychev ta c´ o ˆ V ar(θ) ˆ ˆ P (|θ − E (θ)| < ε) > 1 − ε2 ˆ V ar(θ) ˆ ˆ V` E (θ) = θ nˆn P (|θ − θ| < ε) > 1 − ı e . ε2 ˆa ˆ e .ˆ´ ´´ ` ’ı Ta thˆy nˆu V ar(θ) c`ng nho th` P (|θ − θ| < ε) c`ng gˆn 1. Do do ta s˜ chon θ voi ae a a ¯´ ’ ˆ) nho nhˆt. ´ ’a V ar(θ e ˆ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ 2 ¯ inh nghia 2 U’oc luong khˆng chˆch θ duoc goi l` uoc luong c´ hiˆu qua cua tham ´ ’.’ ˜ ’’ D. o oe ’ ’ . . ˆ) nho nhˆt trong c´c uoc luong cua θ. ´ ´ ´ a ’ ´ ’.’ ’a ’ sˆ θ nˆu V ar(θ o e ’ e ˆ a ’ ´ ’ .’ ` ´ ´ ’` ’’ ¯ ’ .’ ˘ Ch´ y Nguoi ta chung minh duoc rang nˆu θ l` uoc luong hiˆu qua cua θ th` phuong u´ e ı ’ ’ ’’ ’ . ’ sai cua n´ l` oa 1 ˆ V ar(θ) = (4.1) ∂lnf (x,θ ) 2 n.E ( ∂θ ) ´ ´ . ’´ ˜ a ’ ¯ . ’ .’ trong d´ f (x, θ) l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn gˆc. Moi uoc ¯o aa a ¯o a a eo ’ . . ˆ) trong (4.1). Ta goi (4.1) l` gioi ´ a´ luong khˆng chˆch θ luˆn c´ phuong sai lon hon V ar(θ o e oo ’ .’ ’’ ’ ’ ’ . . han Crame-Rao. . 2 ´ ´ ˜ ˜ ⊕ Nhˆn x´t Nˆu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X ∈ N (µ, σ ) th` trung b` mˆu X l` a e e ¯ . ’ .’ a eo ı ınh a a . n ’ ´ ’ .’ ’’ y. uoc luong hiˆu qua cua k` vong E (X ) = µ. e ’ . n σ2 ´ X=1 Thˆt vˆy, ta biˆt aa e Xi ∈ N (µ, ) .. n i=1 n ’ ´ ´ a ¯o ’ M˘t kh´c do X c´ phˆn phˆi chuˆn nˆn nˆu f (x, µ) l` h`m mˆt dˆ cua Xi th` a a oa o aee aa ı . .. 1 2 2 f (x, µ) = √ e−(x−µ) /2σ σ 2π ∂ x−µ Ta c´ o lnf (x, µ) = . σ2 ∂µ 2 2 ∂ lnf (x, µ) x−µ n ` ınh ˘ Suy ra nE = nE = . Do d´ V ar(X ) ch´ bang nghich ¯o . σ2 σ2 ∂µ dao σ 2 /n. ¯’ a ’ ´ ’ .’ ’’ Vˆy X l` uoc luong hiˆu qua cua µ. a e ’ . . ’´ ’ ’ ˜ c) Uoc luong vung ’ ’ . eˆ ˆ ´ ¯ ’.’ . a ’ ´ ’.’ ˜ ˜ ’ 2 ¯ inh nghia 3 Thˆng kˆ θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) duoc goi l` uoc luong vung cua tham D. o ’ ’ ´ θ nˆu ∀ε > 0 ta c´ ´ sˆ o e o ˆ lim P (|θ − θ| < ε) = 1 n→∞
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 72 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ e ¯ ’ ’ ’ ´ ’ .’ ` ˜ ¯ iˆu kiˆn du cua uoc luong vung De ’ ’ . e ˆ a ’ ´ ’ .’ ˆ ı ˆ a ’ ´ ’ .’ ´ ˜ ’ Nˆu θ l` uoc luong khˆng chˆch cua θ v` nlim V ar(θ) = 0 th` θ l` uoc luong vung o e a →∞ ’ ’ ’ . ’ cua θ. a ’´ ’. ´ 1.2 Phuong ph´p uoc luong hop l´ tˆi da . yo¯ ’’ ’ ’ ’ ’ ’’ ˜ ˜ ˜ e ¯ ’ .’ . e ` ¯ . ’ .’ Gia su WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l` mˆu ngˆu nhiˆn duoc tao nˆn tu dai luong ngˆu aa a a ’ ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ) v` θ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ). ˆˆ ˜ nhiˆn X c´ mˆu cu thˆ e oa.e a ´ ´ a ¯i ’ ¯o o X´t h`m h`m hop l´ L(x1 , . . . , xn , θ) cua dˆi sˆ θ x´c d.nh nhu sau: ea a .’ y ’ ´ `. • Nˆu X roi rac: e ’ L(x1 , . . . , xn , θ) = P (X1 = x1 /θ, . . . , Xn = xn /θ) (4.2) n = P (Xi = xi /θ) (4.3) i=1 L(x1 , . . . , xn , θ) l` x´c suˆt dˆ’ ta nhˆn duoc mˆu cu thˆ’ Wx = (x1 , . . . , xn ) ´ ˜ aa a ¯e a ¯ ’ .’ a.e . ´ ´ • Nˆu X liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x, θ) e e . oa a ¯o a a .. L(x1 , . . . , xn , θ) = f (x1 , θ)f (x2 , θ) . . . f (xn , θ) L(x1 , x2 , . . . , xn , θ) l` mˆt dˆ cua x´c suˆt tai diˆ’m wx (x1 , x2 , . . . , xn ) ´ a a ¯o ’ a a . ¯e .. ˆ ¯ ’ .’ . a ’ ´ ’ .’ .’ y o ¯ e ´ ´ ´’ ´a Gi´ tri θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) duoc goi l` uoc luong hop l´ tˆi da nˆu ung voi gi´ a. ’ ’ .a ’ tri n`y cua θ h`m hop l´ dat cuc dai. a .’ y ¯ . .’ ¯ . Phuong ph´p t` a ım ’’ V` h`m L v` lnL dat cuc dai tai c`ng mˆt gi´ tri θ nˆn ta x´t lnL thay v` x´t L. ıa a ¯ . .’ ¯ . . u o a. e e ıe . ∂lnL ’´ Buoc 1: T` ım ’ ∂θ ∂lnL ’´ ’ Buoc 2: Giai phuong tr` ınh (Phuong tr` hop l´) ınh .’ y ’ ’’ ’’ ∂θ ˆ ’ ’’ Gia su phuong tr` c´ nghiˆm l` θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) ınh o ea ’’ . 2 ´ 3: T` dao h`m cˆp hai ∂ lnL ´ Buoc ım ¯ . a a ’’ ∂θ ∂ 2 lnL ˆ ´ a ’´ Nˆu tai θ0 m` e. a < 0 th` lnL dat cuc dai. Khi do θ0 = θ(x1 , x2 , . . . , xn ) l` uoc ı ¯ . .’ ¯ . ¯´ ’ ∂θ luong diˆ’m hop l´ tˆi da cua θ. ´ .’ y o ¯ ’ ’ .’ ¯ e
’ 73 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ PHU’ONG PHAP KHOANG TIN CAY ’ ´ ˆ ’ 2. . o’ 2.1 Mˆ ta phuong ph´p a ’’ Gia su tˆng thˆ’ c´ tham sˆ θ chua biˆt. Ta t` khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao cho ’ ´ ´ ´ ’ ’’ o ’ eo o e ım ’ ’ ’´ P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α cho truoc. ’ ´ ˜ ˜ ˜ ` ¯ . ’ .’ Tu dai luong ngˆu nhiˆn gˆc X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Chon a eo a a a e ’ . . ˆ = θ(X1 , X2 , . . . , Xn ) c´ phˆn phˆi x´c suˆt x´c d.nh d` chua biˆt θ. ˆ ´ ´ ´ ´ thˆng kˆ θ o e oa oa a a ¯i u e ’ ’ˆ ´a ˆ ´ Voi α1 kh´ b´ (α1 < α) ta t` duoc phˆn vi θα1 cua θ (tuc l` P (θ < θα1 ) = α1 ). ae ım ¯ ’ .’ a. ’ ’ ´ ´ ’` ’ Voi α2 m` α1 + α2 = α kh´ b´ (thuong lˆy α ≤ 0, 05) ta t` duoc phˆn vi θ1−α2 cua a ae a ım ¯ ’ .’ a. ’ ’ ˆ (tuc l` P (θ < θ1−α ) = 1 − α2 ). ˆ ´a θ ’ 2 Khi d´ ¯o ˆ ˆ ˆ P (θα1 ≤ θ ≤ θ1−α2 ) = P (θ < θ1−α2 ) − P (θ < θα1 ) = 1 − α2 − α1 = 1 − α (∗) ˆ ˆ ` ¯ ’ .’ ¯ ’ e` . ’ Tu (*) ta giai ra duoc θ. Khi d´ (*) duoc dua vˆ dang P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ¯ ’ .’ ¯o ’ e oˆ ˆ `` ´ ´´ ` ’’ a˘ V` x´c suˆt 1 − α gˆn bang 1, nˆn biˆn cˆ (θ1 < θ < θ2 ) hˆu nhu xay ra. Thuc hiˆn ıa a e a e .’ . mˆt ph´p thu dˆi voi mˆu ngˆu nhiˆn WX ta thu duoc mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ). ’’ ¯o ´ a ´’˜ ˜ ˜ o e a e ¯ ’ .’ a . e . Tu mˆu cu thˆ’ n`y ta t´ duoc gi´ tri θ1 = θ1 (x1 , x2 , . . . , xn ), θ2 = θ2 (x1 , x2 , . . . , xn ). ˆ ˆ ’˜ ` a . ea ınh ¯ ’ .’ a . Vˆy voi 1 − α cho truoc, qua mˆu cu thˆ’ wx ta t` duoc khoang (θ1 , θ2 ) chua θ sao a´ ’´ ´ ˜ ’ a.e ım ¯ ’ .’ ’ ’ ’ . cho P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 − α. ’ ’ • Khoang (θ1 , θ2 ) duoc goi l` khoang tin cˆy. ¯ ’ .’ . a a . a ’ ’ ´ ’ .’ • 1 − α duoc goi l` dˆ tin cˆy cua uoc luong. ¯ ’ .’ . a ¯o ’ . . ’ • |θ2 − θ1 | duoc goi l` dˆ d`i khoang tin cˆy. ¯ ’ .’ . a ¯o a a . . ’´ ’. 2.2 Uoc luong trung b` ınh ’ ’ Gia su trung b` cua tˆng thˆ’ E (X ) = m chua biˆt. Ta t` khoang (m1 , m2 ) chua ’ ´ ´ ’ ’’ ınh ’ o ’ e e ım ’ ’ ´ 1 − α l` do tin cˆy cho truoc. ´ m sao cho P (m1 < m < m2 ) = 1 − α, voi a ¯ˆ a ’ ’’ . . ’` i) Truong hop 1 ’ .’ ´ Biˆt V ar(X ) = σ 2 e ’ ´ n ≥ 30 ho˘c (n < 30 nhung X c´ phˆn phˆi chuˆn) a oa o a ’ . ´ Chon thˆng kˆ o e . √ (X − m) n U= (4.4) σ ´ Ta thˆy U ∈ N (0, 1). a
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 74 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ Chon c˘p α1 v` α2 sao cho α1 + α2 = α v` t` c´c phˆn vi .a a a ım a a. . P (U < uα1 ) = α1 , P (U < uα2 ) = 1 − α2 ’ ´ Do phˆn vi chuˆn c´ t´ chˆt uα1 = −u1−α1 nˆn a. a o ınh a e P (−u1−α1 < U < u1−α2 ) = 1 − α (4.5) .´ a ’ ea Dua v`o (4.4) v` giai hˆ bˆt phuong tr` trong (4.5) ta duoc .’ a ınh ¯ ’ .’ ’’ σ σ X − √ u1−α2 < m < X + √ u1−α1 n n De’ ¯ ’ .’ a ¯o ´ ´’ α α ’ a ¯˘ ¯ ˆ duoc khoang tin cˆy dˆi xung ta chon α1 = α2 = 2 v` dat γ = 1 − th` ı . . . 2 σ σ X − √ uγ < m < X + √ uγ n n ’ T´m lai, ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε), trong do o ım ¯ ’ .’ a ¯´ . . ˜ ˜ ınh ’ * x l` trung b` cua mˆu ngˆu nhiˆn. a a a e σ ’ ´ ´ α * ε = uγ √ (¯o ch´ x´c) voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − dˆ ınh a aa. a ’ ’ . 2 n ’ ’ ´ ´ a ´ ¯o ˜ ’ • V´ du 2 Khˆi luong san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi dˆ ı. o ’.’ a a ¯. ’.’ a e oa o ’. ’n σ = 1. Cˆn thu 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau ’ ´ ’’ ’ ’ lˆch tiˆu chuˆ e e a a a ¯ ’.’ e . ´ X (khˆi luong) 18 19 20 21 o ’.’ ´ ni (sˆ luong o ’.’ 3 5 15 2 ’ a ’ ´ ’.’ ´ ´ ¯o ’ ’ H˜y uoc luong trung b`nh khˆi luong cua san phˆm voi dˆ tin cˆy 95 %. ı o ’.’ a a ’ ’. . ’ Giai xi ni xi ni 18 3 54 19 5 95 20 15 300 21 2 42 25 491 491 Ta c´ x = o = 19, 64kg . 25 α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 Do a =⇒ γ = 1− = 0, 975 Ta t` ım . . 2 ’ duoc phˆn vi chuˆn uγ = u0,975 = 1, 96. Do d´ ¯ ’ .’ a. a ¯o 1 1 ε = u0,975 √ = 1, 96. = 0.39 5 25 x1 = x − ε = 19, 6 − 0, 39 = 19, 25 x2 = x + ε = 19, 6 + 0, 39 = 20, 03 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (19, 25; 20, 03). a aa . .
’ 75 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ ’` ii) Truong hop 2 ’ .’ ´ σ 2 chua biˆt e ’ n ≥ 30 Truong hop n`y k´ thuoc mˆu lon (n ≥ 30) c´ thˆ’ d`ng uoc luong cua S 2 thay ’´ a´ ’ ´ ’ .’ ˜’ ’` ’ .’ a ıch o eu ’ ’ ’ ´ 2 2 2 ’ cho σ chua biˆt (E (S ) = σ ), ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do e ım ¯ ’ .’ a ¯´ ’ . * x l` trung b` cua mˆu cu thˆ’. ˜ ınh ’ a a.e s ’ ’ ´ ´ α * ε = uγ √ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc γ = 1 − aa. a v` s l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn a a ¯o e e a ’ ’ .. 2 n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. ˜ ¯ e` ’ ’ a.e ´ e ´ ’’ o ’` ’` ¯. . • V´ du 3 Nguoi ta tiˆn h`nh nghiˆn cuu o mˆt truong dai hoc xem trong mˆt th´ng ı. ea oa ’ ’ ’ . . ´ ´oa ˜ ˜ e e` . ¯ e trung b`nh mˆt sinh viˆn tiˆu hˆt bao nhiˆu tiˆn goi diˆn thoai. Lˆy mˆt mˆu ngˆu nhiˆn ı o eee a a e . . . . ´ ` 59 sinh viˆn thu duoc kˆt qua sau: ’ gˆm o e ¯ ’.’ e 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 31 57 40 18 85 28 32 22 36 60 41 35 26 20 58 33 23 35 a ’ ´ ’.’ ´` ’ H˜y uoc luong khoang tin cˆy 95% cho sˆ tiˆn goi diˆn thoai trung b` h`ng th´ng a o e . ¯e ınh a a ’ . . . ’ cua mˆt sinh viˆn. o e . ’ Giai ´. ` a o e ¯˜ Tu c´c sˆ liˆu da cho, ta c´ o ’ n = 59; x = 41, 05; s = 27, 99 ’ α ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 Do a =⇒ 1 − = 0, 975. Tra bang phˆn vi chuˆn ta c´ a. a o . . 2 u0,975 = 1, 96. Do d´ ε = 1, 96. 27,59 = 7, 13. √ 99 ¯o x − 7, 13 = 33, 92; x + 7, 13 = 48, 18 a ’ ’ ´ ’ .’ ’ Vˆy khoang tin cˆy cua uoc luong l` (33,92; 48,18). a a ’ . . ’` iii) Truong hop 3 ’ .’ ´ σ 2 chua biˆt e ’ ’ ´ n < 30 v` X c´ phˆn phˆi chuˆn a oa o a √ (X − m) n ´ Chon thˆng kˆ T = o e ∈ T (n − 1). . S
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 76 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ S ’ Ta t` duoc khoang tin cˆy (x − ε, x + ε) trong do ε = tγ √ ım ¯ ’ .’ a ¯´ . n ´ ´ ´ α voi tγ l` phˆn vi Student muc γ = 1 − aa. voi n − 1 bˆc tu do v` s l` do lˆch tiˆu a .’ a a ¯ˆ e e ’ ’ ’ . .. 2 ’n diˆu chinh cua mˆu cu thˆ’. ˜.e ` ’ ’ chuˆ ¯ e a a ´ a `o • V´ du 4 Dioxide Sulfur v` Oxide Nitrogen l` c´c h´a chˆt duoc khai th´c tu l`ng ı. a aa o a ¯ ’.’ ’ ´t. C´c chˆt n`y duoc gi´ mang di rˆt xa, kˆt hop th`nh acid v` roi tro lai m˘t dˆt tao ´ a ¯ ’.’ o ´ ´ .’ .´ a ’ ’’ . dˆ ¯a a a ¯a e a a ¯a . ` th`nh mua acid. Nguoi ta do dˆ dˆm dac cua Dioxide Sulfur (µg/m3 ) trong khu rung ’` ¯ ¯o ¯a ¯˘ ’ a ’ ’ ’ .. . ’ ´ D´ ´. ’ ´ ¯a ’’ ’ ’ Bavarian cua nuoc ¯ uc. Sˆ liˆu cho boi bang duoi dˆy: oe ’ ’ ’ 52,7 43,9 41,7 71,5 47,6 55,1 62,2 56,5 33,4 61,8 54,3 50,0 45,3 63,4 53,9 65,5 66,6 70,0 52,4 38,6 46,1 44,4 60,7 56,4 a ’ ´ ’.’ ¯o ¯a ¯˘ ´ ¯o ’ H˜y uoc luong dˆ dˆm dac trung b`nh cua Dioxide Sulsfur voi dˆ tin cˆy 95%. ı a ’ ’. .. . . ’ Giai Ta t´ duoc x = 53, 92µg/m3 , s = 10, 07µg/m3 . ınh ¯ ’ .’ α ’ ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 95 =⇒ α = 0, 025 =⇒ 1 − 2 = 0, 975. Tra bang phˆn Do a a . . ´ 0,975 bˆc n − 1 = 23 ta duoc t23;0,975 = 2, 069. vi student muc a ¯ ’ .’ ’ . . Do d´ ε = 2, 069 10,24 = 4, 25. √ 07 ¯o x − ε = 53, 92 − 4, 25 = 49, 67, x + ε = 53, 92 + 4, 25 = 58, 17 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (49,67; 58,17). a aa . . ´ ´.. .’ ´ ’` e ¯ ’ .’ e ¯ˆ ¯ˆ ¯˘ ’ Nguoi ta biˆt duoc nˆu do dam dac cua Dioxide Sulfur trong mˆt khu vuc lon hon o ’ ’ ’ . . ’’ 3 ’` 20µg/m th` mˆi truong trong khu vuc bi ph´ hoai boi mua acid. Qua v´ du n`y c´c ıo ’.a ı.aa ’ ’ . . a` ` nh` khoa hoc da t` ra duoc nguyˆn nhˆn rung Bavarian bi ph´ hoai trˆm trong n˘m a . ¯˜ ım ¯ ’ .’ e .a.a a ’ . 1983 l` do mua acid . a ’ ’´ a ’~ Ch´ y (X´c d.nh k´ch thuoc m^u) u´ a ¯i ı ´ ´. ¯ . ’’ ´ ’´ ` Nˆu muˆn do tin cˆy 1 − α v` do ch´ x´c ε dat o muc cho truoc th` ta cˆn x´c e o ¯ˆ a a ¯ˆ ınh a ı aa ’ ’ . . ´ n cua mˆu.˜ ’ d.nh k´ thuoc ¯i ıch a ’’ ´ i) Truong hop biˆt V ar(X ) = σ 2 : ’` e ’ .’ ´ `o σ Tu cˆng thuc ε = u2 √n ta suy ra ’ ’ γ σ2 n = u2 γ ε2 ´ ii) Truong hop chua biˆt σ 2 : ’` e ’ .’ ’
’ 77 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ Dua v` mˆu cu thˆ’ da cho (nˆu chua c´ mˆu th` ta c´ thˆ’ tiˆn h`nh lˆy mˆu lˆn ´ ´ ´ ˜ ˜ ˜` .’ a a . e ¯˜ e ’oa ı oee a a aa ’ t´ s 2 . Tu d´ x´c d.nh duoc ¯a ´ ıch ’´ `’ ` ¯o a ¯i ¯ ’ .’ dˆu voi k´ thuoc n1 ≥ 30) dˆ ınh ¯e ’ ’ 2 2s n= uγ 2 ε ’´ ´ ´ ´ e ¯ ’ .’ ˜ ’ ao K´ thuoc mˆu n phai l` sˆ nguyˆn. Nˆu khi t´ n theo c´c cˆng thuc trˆn duoc ıch a e e ınh ao ’ ’ ´ ´ ` e’ gi´ tri khˆng nguyˆn th` ta lˆy phˆn nguyˆn cua n´ cˆng thˆm voi 1. a.o e ı a a oo e ’ . 2 2 ´ l` n = u2 σ + 1 ho˘c n = u2 s + 1. Tuc a a ’ . γ2 γ2 ε ε ’´ ’. ’e 2.3 Uoc luong ty lˆ ’ ’ . Gia su tˆng thˆ’ duoc chia ra l`m hai loai phˆn tu. Ty lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A l` p ’ ´ ’ ’’ o a ’’ ’ e a ’’ o ınh a ` ` e ¯ ’ .’ a a . . chua biˆt. U’oc luong ty lˆ l` chi’ ra khoang (f1 , f2 ) chua p sao cho P (f1 < p < f2 ) = 1 − α. ´ ´ ’ .’ ´ ’ea ’ e ’ ’ ’ . De’ a ´ ıch ’´ a´ ˜ ’ a a ¯ ’ .’ ¯ ’ ’ ¯ ˆ cho viˆc giai b`i to´n duoc don gian, ta chon mˆu voi k´ thuoc n kh´ lon. e ’ ’ ’ . . Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A khi lˆy ngˆu nhiˆn mˆt phˆn tu tu tˆng thˆ’ th` ’’ ´` ´ ´ a o a ’’ o ınh a a ’’ ` o ˜ ` a a e o eı . . ´a ´ ˜u nhiˆn c´ phˆn phˆi x´c suˆt X l` dai luong ngˆ a ¯ . ’ .’ a eoa o a X 0 1 P 1-p p ´` ´ `´ ´ a o a ’’ o ınh a Goi Xi (i = 1, n) l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A trong lˆn lˆy thu i. aa ’ . 1n Xi ch´ l` tˆn suˆt uoc luong diˆ’m cua p = E (X ). M˘t kh´c, theo ` a ’ ´ ’ .’ ¯ e ´’ ’ Ta c´ X = o ınh a a a a . n i=1 p(1 − p) ´ .´ ` ¯o chuong 2, nX c´ phˆn phˆi nhi thuc B (n, p). Tu d´ E (X ) = p v` V ar(X ) = oa o a . ’’ ’ ’ n √ ´ng kˆ U = (f − p) n , trong do f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ a ’’ ’ ˜ ` a’ea Chon thˆ o e ¯´ a o ınh . . p(1 − p) ´ chˆt A. a a´ ´ ’ ’’ ’ ´ ’ .’ ’ Khi n kh´ lon th` U ∈ N (0, 1). Giai quyˆt b`i to´n tuong tu nhu o uoc luong trung ı e a a ’’ ’ ’ .’ ’’ ’’ 2 b` ınh, thay X boi f , σ boi f (1 − f )... ta duoc ¯ ’ .’ f (1 − f ) f (1 − f ) f − uγ < p < f + uγ n n ’ T´m lai, ta x´c d.nh duoc khoang tin cˆy (f1 , f2 ) = (f − ε, f + ε), trong do o a ¯i ¯ ’ .’ a ¯´ . . ´ a ’’ ’ ˜ ` a’ea f l` ty lˆ c´c phˆn tu cua mˆu c´ t´ chˆt A a o ınh a . f (1 − f ) ε = uγ (¯o ch´ x´c) dˆ ınh a (4.6) . n
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 78 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ ’ ´ ´ voi uγ l` phˆn vi chuˆn muc 1 − α . aa. a ’ ’ 2 ` Tu (4.6) ta c´ o ’ √ εn uγ = f (1 − f ) f (1 − f ) n = u2− α 1 ε2 2 Ch´ y Ta c´ thˆ’ t` khoang tin cˆy cua p bang c´ch kh´c nhu sau: ` ’ a’ ˘ u´ o e ım a a ’ . ` ’ a’ Tu khoang tin cˆy cua p: ’ .     p(1 − p) p(1 − p)  p(1 − p)  f |f − uγ < p < f + uγ hay − p| < uγ n n n ´ ’a Giai bˆt phuong tr` ınhn`y ta t` duoc a ım ¯ ’ .’ ’’ nf + 0, 5u2 − nf + 0, 5u2 + 0, 25u2 − nf (1 − f ) 0, 25u2 − nf (1 − f ) γ γ γ γ p1 = , p2 = n + u2 n + u2 γ γ ´ ¯o ’ a’ Khi d´ (p1 , p2 ) l` khoang tin cˆy cua p voi dˆ tin cˆy 1 − α. ¯o a a ’. . . • V´ du 5 Kiˆ’m tra 100 san phˆm trong lˆ h`ng thˆy c´ 20 phˆ phˆm. ’ ´’ ´ ’ ı. e a oa ao ea ´’ a ’ ´ ’.’ ’e e a i) H˜y uoc luong ty lˆ phˆ phˆm c´ dˆ tin cˆy 99 %. o ¯o a ’ . . . ´. a ’ ’ ´ ’.’ ii) Nˆu dˆ ch´nh x´c ε = 0, 04 th` dˆ tin cˆy cua uoc luong l` bao nhiˆu? e ¯o ı a ı ¯o a e ’ . . iii) Nˆu muˆn c´ dˆ tin cˆy 99% v` dˆ ch´ x´c 0,04 th` phai kiˆ’m tra bao nhiˆu ´ ´ ’e e o o ¯o a a ¯o ınh a ı e . . . ’ ’ san phˆm? a ’ Giai 20 i) n = 100, f= = 0.2 100 √ (f −p) 100 X´t e U= ∈ N (0, 1). √ pq Ta c´ o α 1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ 1 − = 1 − 0, 005 = 0, 995 2 √ 0, 2.0, 8 0, 4 ε = u0,995 √ = 2, 58. = 0, 1 10 100 f1 = f − ε = 0, 2 − 0, 1 = 0, 1 f2 = f + ε = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3
’ 79 2. Phuong ph´p khoang tin cˆy a a ’’ ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 1; 0, 3). a aa . . √ 0, 04. 100 ii) u1− α = √ =1 0, 2.0, 8 2 T` duoc ım ¯ ’ .’ α 1− = 0, 84 =⇒ 1 − α = 0, 68 2 Vˆy dˆ tin cˆy l` 68%. a ¯o aa . . . 1 − α = 0, 995. T` duoc u0,995 = 2, 576. iii)1 − α = 0, 99 =⇒ α = 0, 01 =⇒ ım ¯ ’ .’ 2 Do d´ ¯o (2, 576)2 .0, 2.0, 8 n≈ = 6, 635.100 = 663, 5 (0, 04)2 Vˆy n = 664 a . ’´ ’. 2.4 Uoc luong phuong sai ’ ’ ’’ ’´ ´ ’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜ Gia su dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi chuˆn voi phuong sai V ar(X ) = σ 2 a e oa o a ’ ’’ ´ Cho 0 < α < 0.05. U’oc luong phuong sai V ar(X ) l` chi’ ra khoang (σ1 , σ2 ) ´ ’ .’ 2 2 ’ chua biˆt. e a ’ ’’ ’ ´ 2 2 2 2 chua σ sao cho P (σ1 < σ < σ2 ) = 1 − α. ’ ˜ ˜ ` ’` Tu X lˆp mˆu ngˆu nhiˆn WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) v` x´t c´c truong hop a a a e ae a ’ .’ ’ . ´ a) Biˆt E (X ) = µ. e n (Xi − µ)2 ´ Chon thˆng kˆ χ2 = o e . σ2 i=1 ´ ´ ´ Ta thˆy χ2 c´ phˆn phˆi ”khi-b` phuong” voi n bˆc tu do. a oa o ınh a .’ ’’ ’ . Chon α1 v` α2 kh´ b´ sao cho α1 + α2 = α. Ta t` duoc c´c phˆn vi χ2 1 v` χ2−α2 a ae ım ¯ ’ .’ a a .α a1 . ’ m˜n thoa a P (χ2 1 < χ2 < χ2−α2 ) = 1 − α (4.7) α 1 Thay biˆ’u thuc cua χ2 v`o (4.7) v` giai ra ta duoc ´’ a’ e a ¯ ’ .’ ’ (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < χ2−α2 χ2 1 1 α α Chon α1 = α2 = th` ı . 2 (Xi − µ)2 (Xi − µ)2 < σ2 < (4.8) χ2− α χ2α 1 2 2 Voi mˆu cu thˆ’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ), t´ c´c tˆng ’ ´a.e ˜ (xi − µ)2 v` dua v`o (4.8) ta ınh a o a .’ a ’ 2 2 ’ t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ), trong do ım ¯ ’ .’ a ¯´ .
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 80 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ (xi − µ)2 ni 2 σ1 = χ2 1− α n, 2 (xi − µ)2 ni 2 σ2 = χ2 α n, 2 ´ voi ’ ´ ´ α χ2 1− α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc 1 − aa. ınh voi n bˆc tu do. a .’ ’’ ’ ’ . n, 2 2 ´ ´ α χ2 α l` phˆn vi ”khi−b` phuong” muc n, 2 a a. ınh voi n bˆc tu do. a .’ ’’ ’ ’ . 2 ´ b) Chua biˆt E (X ). e ’ (n − 1)S 2 ´ Chon thˆng kˆ χ2 = o e . σ2 ´ ´ ´ Thˆng kˆ n`y c´ phˆn phˆi ”khi−b` phuong voi n − 1 bˆc tu do. Tuong tu nhu o ea o a o ınh a .’ ’’ ’ ’’ .’ ’ . ´ 2 2 ’ trˆn ta t` duoc khoang tin cˆy (σ1 , σ2 ) voi e ım ¯ ’ .’ a ’ . (n − 1)s2 (n − 1)s2 2 2 σ1 = ; σ2 = χ2 −1,1− α χ2 −1, α n n 2 2 ’ ´ ˜ o ¯’ . ’ • V´ du 6 Muc hao ph´ nhiˆn liˆu cho mˆt don vi san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn ı. ı ee a a ¯. ’.’ a e ’ . . ’ ’ ´ ´ ’ ’ c´ phˆn phˆi chuˆn. X´t trˆn 25 san phˆm ta thu duoc kˆt qua sau: oa o a ee a ¯ ’.’ e X 19,5 20 20,5 ni 5 18 2 a ’ ´ ’.’ ´ ¯o ’` H˜y uoc luong phuong sai voi dˆ tin cˆy 90 % trong c´c truong hop sau: a a ’ ’’ ’. ’ .’ . ´ i) Biˆt k` vong µ = 20g . e y. ´ ii) Chua biˆt k` vong. e y. ’ ’ Giai ´ i) Biˆt µ = 20g . e xi − 20 (xi − 20)2 (xi − 20)2 ni xi ni 19,5 5 -0,5 0,25 1,25 20 18 0 0 0 20,5 2 0,5 0,25 0,5 n=25 1,75 α α ¯ ˆ tin cˆy 1 − α = 0, 9 Do a =⇒ α = 0, 1 =⇒ = 0, 05 =⇒ 1− = 0.95 . . 2 2 ´ Tra bang phˆn vi χ2 voi n = 25 bˆc tu do ta duoc ’ a. a .’ ¯ ’ .’ ’ . χ2 ,05 = 14, 6; χ2 ,95 = 37, 7 25;0 25;0
81 3. B`i tˆp aa . Do d´ ¯o (xi − 20)2 ni 1, 75 2 σ1 = = = 0, 046 2 χ25;0,95 37, 7 (xi − 20)2 ni 1, 75 2 σ2 = = = 0, 12 2 χ25;0,05 14, 6 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a aa . . ´ ii) Khi chua biˆt k` vong ta t` s 2 = 0, 0692. ey. ım ’ ´ a .’ ’ Tra bang phˆn vi khi b` phuong voi bˆc tu do n − 1 = 24. a. ınh ’’ ’. χ2,05 = 13, 85; χ2,95 = 36, 4 0 0 v` t´ a ınh 24s 2 24 × 0, 0692 2 σ1 = = = 0, 046 2 χ0,95 36, 4 24s 2 24 × 0, 0692 2 σ2 = = = 0, 12 2 χ0,05 13, 85 ’ Vˆy khoang tin cˆy l` (0, 046; 0, 12). a aa . . ` ˆ 3. BAI TAP . ’’ ´ ˜ 1. Mˆt mˆu c´c trong luong tuong ung l` 8,3; 10,6; 9,7; 8,8; 10,2 v` 9,4 kg . X´c d.nh oaa a a a ¯i ’ .’ ’ . . ’ ´ ’ .’ ’ uoc luong khˆng chˆch cua o e ’ . a) trung b` cua tˆng thˆ’, ’ ınh ’ o e ’ng thˆ’. ’o b) phuong sai cua tˆ e ’’ ˜. ` ¯ ’` ınh ’ ’a a 2. Mˆt mˆu do do 5 duong k´ cua qua cˆu l` 6,33; 6,37; 6,36; 6,32 v` 6,37cm. X´c o a ¯ˆ ¯ a a ’ . ´ luong khˆng chˆch cua trung b` v` phuong sai cua duong k´ qua ’ ¯ ’` ’ ’ d.nh uoc ’ .’ ¯i o e ınh a ınh ’’ ’’ ’ . ` cˆu. a 3. ¯ ˆ’ x´c d.nh do ch´ x´c cua mˆt chiˆc cˆn ta khˆng c´ sai sˆ hˆ thˆng, nguoi ta ´ ´. ´ ’` De a ¯i ¯ˆ ınh a ’ o ea.o o oe o ’ . . ´ h`nh 5 lˆn cˆn doc lˆp (c`ng mˆt vˆt), kˆt qua nhu sau: ´ ` a ¯ˆ a ’ tiˆn a e a u oa e ’ .. .. 94, 1 94, 8 96, 0 95, 2 kg ’ ´ ’ .’ ´ ’` ’ X´c d.nh uoc luong khˆng chˆch cua phuong sai sˆ do trong hai truong hop: a ¯i o e o¯ ’ ’’ ’ .’ . ´ ´ a) biˆt khˆi luong vˆt cˆn l` 95kg ; e o ’ .’ aaa . ´ khˆi luong vˆt cˆn. ´ ’ .’ b) khˆng biˆt o o e aa . ´ ˜ ˜ a ’’ o D ’` ınh ’ e’ ¯ ’ .’ ’ 4. ¯ uong k´ cua mˆt mˆu ngˆu nhiˆn cua 200 viˆn bi duoc san xuˆt boi mˆt m´y o a a e a ’ . . ’ ` c´ trung b` 20,9mm v` do lˆch tiˆu chuˆn 1,07mm. U’oc luong ´ ’ .’ trong mˆt tuˆn o o a ınh a ¯ˆ e e a ’ . .. ´ ¯o ınh ¯ ’` ınh ’ trung b` duong k´ cua viˆn bi voi dˆ tin cˆy (a) 95%, (b) 99%. e a ’ ’. .
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 82 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ 5. ¯ ˆ’ khao s´t suc bˆn chiu luc cua mˆt loai ˆng cˆng nghiˆp nguoi ta tiˆn h`nh do ’ a ´ e` ´ ´ ’` . .’ ’ De o .o o e ea ¯ ’ ’ . . ´ng v` thu duoc c´c sˆ liˆu sau ´e 9ˆ o a ¯ ’ .’ a o . 4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375 ’ ´` ´ e` ¯o o a ´ ` e` ’` e˘ Tu kinh nghiˆm nghˆ nghiˆp nguoi ta biˆt rang suc bˆn d´ c´ phˆn phˆi chuˆn e e o a ’ ’ ’ . . ’n σ = 300. X´c d.nh khoang tin cˆy 95% cho suc bˆn trung b` ´ ¯o e ´ e` ’ voi dˆ lˆch chuˆa a ¯i a ınh ’ .. ’ . ´ng trˆn. ’ cua loai ˆ .o e ` ’` 6. Tai mˆt v`ng rung nguyˆn sinh, nguoi ta deo v`ng cho 1000 con chim. Sau mˆt ou e ¯ o o ’ ’ . . . ´t lai 200 con th` thˆy c´ 40 con c´ deo v`ng. Thu uoc luong sˆ chim ´o ’’ ’ ´ ’ .’ ´ ` ˘ thoi gian, ba . ıa o¯ o o ’ ’ ` ¯o ´ ¯o trong v`ng rung d´ voi dˆ tin cˆy 99%. u a ’. ’ . ´ ´ ´ ¯o ´ ` e ’e ’ ’ 7. Biˆt ty lˆ nay mˆm cua mˆt loai hat giˆng l` 0,9. Voi dˆ tin cˆy 0,95, nˆu ta a o o a a e ’. . . .. . ´n do d`i khoang tin cˆy cua ty lˆ nay mˆm khˆng vuot qu´ 0,02 th` cˆn phai ` ` ’ a ’ ’e ’ ’ muˆ ¯ˆ a o a o a ıa ’ .’ . . . gieo bao nhiˆu hat? e . ´ a e` a ’’ ’ ’ ’ 8. Kˆt qua quan s´t vˆ h`m luong vitamine C cua mˆt loai tr´i cˆy cho o bang sau: e o . aa ’ .’ . ´ H`m luong vitamine C (%) a Sˆ tr´i oa ’ .’ 6−7 5 7−8 10 8−9 20 9 − 10 35 10 − 11 25 11 − 12 5 a ’ ´ ’ .’ o a ´ ¯ˆ a) H˜y uoc luong h`m luong vitamine C trung b` trong mˆt tr´i voi do tin cˆy a ınh a ’ ’ .’ ’. . . 95%. b) Qui uoc nhung tr´i c´ h`m luong vitamine C trˆn 10% l` tr´i loai A. U’oc luong ’´ ´ ’ .’ ˜ aoa e aa . ’ ’ .’ ’ ’ ´ ¯o ’e a . ty lˆ tr´i loai A voi dˆ tin cˆy 90%. a ’. . . ´. ’ ´ ’ .’ c) Muˆn dˆ ch´ x´c khi uoc luong h`m luong vitamine C trung b` l` 0,1 v` o ¯o ınh a a ınh a a ’ ’ .’ ´ ’ .’ ´ u ¯o ` ’e a . do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ tr´i loai A l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 95% th` cˆn ¯ˆ ınh a a a ıa ’’ ’ . . . . a˜ quan s´t thˆm bao nhiˆu tr´i nua? A a e e ’ ´ ´ ´ ’ ’’ D ¯ ’` ınh ’ ’ ’ 9. ¯ o duong k´ cua 100 chi tiˆt m´y do mˆt phˆn xuong san xuˆt, ta duoc kˆt qua ea o a a ¯ ’ .’ e ’ . ’’ ’ cho o bang sau: ´ ´a D ’` ¯ uong k´ (mm) ınh Sˆ chi tiˆt m´y o e ’ 9,85 8 9,90 12 9,95 20 10,00 30 10,05 14 10,10 10 10,15 6
83 3. B`i tˆp aa . ´ ´ ınh ` ˜ e o ¯ ’` a˜ Theo qui d.nh, nhung chi tiˆt c´ duong k´ tu 9, 9mm dˆn 10, 1mm l` nhung chi ¯i ¯e ’ ’ ’ ’ ’y ´ dat tiˆu chuˆn k˜ thuˆt. tiˆt ¯ . e e a a . a) U’oc luong ty lˆ v` uoc luong trung b` duong k´ cua nhung chi tiˆt dat tiˆu ´ ’ .’ ’ e a ’ ´ ’ .’ ´ ınh ¯ ’` ˜ ınh ’ e ¯. e ’ ’ ’ ’ . ’ a ´ u ¯o chuˆn voi c`ng dˆ tin cˆy 95%? a ’ . . ’ dˆ ch´ x´c khi uoc luong duong k´ trung b` cua nhung chi tiˆt dat ’ ´ ’ .’ ¯ ’` ´ ˜ ınh ’ b) ¯ ˆ ¯o ınh a De . ınh e ¯. ’ ’ ’ ’ ’ ’ ´ ’ .’ ´ ’e tiˆu chuˆn l` 0, 02mm v` do ch´ x´c khi uoc luong ty lˆ chi tiˆt dat tiˆu chuˆn e aa a ¯ˆ ınh a e ¯. e a ’ . . ´ u ¯o ´ ´’ ` e˜ l` 5% voi c`ng dˆ tin cˆy 99% th` cˆn do thˆm ´ nhˆt bao nhiˆu chi tiˆt nua? a a ıa¯ e ıt a e ’ . . ’ Do a ’ ’ ’ 10. ¯ ˆ d`i cua ban kim loai tuˆn theo luˆt chuˆn. ¯ o 10 ban kim loai d´ ta thu duoc a a aD . ¯o ¯ ’ .’ . . . ´ liˆu sau: sˆ e o. 4, 1 3, 9 4, 7 4, 4 4, 0 3, 8 4, 4 4, 2 4, 4 5, 0 H˜y x´c d.nh a a ¯i ’ a) Khoang tin cˆy 90% cho do d`i trung b` trˆn; a ¯ˆ a ınh e . . ’ ’ ¯o a ¯´ b) Khoang tin cˆjy 95% cho phuong sai cua dˆ d`i do. a ’’ . 11. Nguoi ta do chiˆu sˆu cua biˆ’n, sai lˆch ngˆu nhiˆn duoc gia thiˆt phˆn phˆi theo ´ ´ ˜ e` a ’ ’` ’ ¯ e e a e ¯ ’ .’ e a o ’ . ’n voi dˆ lˆch tiˆu chuˆn l` 20m. Cˆn do bao nhiˆu lˆn dˆ’ x´c d.nh ’a ´ ¯o e ` ` qui luˆt chuˆ a a e a a¯ e a ¯e a ¯i ’ .. . ` sˆu cua biˆ’n voi sai lˆch khˆng qu´ 15m v` do tin cˆy dat duoc 95%? ´ chiˆu a ’ e e e o a a ¯ˆ a ¯ . ¯ ’ .’ ’ . . . ´ ´ a ’’ o ’’ a ’ 12. Theo d˜i sˆ h`ng b´n duoc trong mˆt ng`y o mˆt cua h`ng, ta duoc kˆt qua ghi ooa a ¯ ’ .’ o ¯ ’ .’ e . . ’’ ’ o bang sau: ´ ´ Sˆ h`ng b´n oa a duoc (kg/ng`y) ¯ ’ .’ a Sˆ ng`y oa 1900 − 1950 2 1950 − 2000 10 2000 − 2050 8 2050 − 2100 5 a ’ ´ ’ .’ ˜ a ´ ¯ˆ ’ ’ .’ H˜y uoc luong phuong sai cua luong h`ng b´n duoc mˆi ng`y voi do tin cˆy 95%? a a ¯ ’ .’ o a ’ ’’ ’. . ´ α1 = α2 ). (cho biˆt e ’` ` ˆ ’ • 2 TRA LOI BAI TAP . 1. a) 9, 5kg , b) 0, 74kg 2 2. x = 6, 35cm, s2 = 0, 00055cm2 . 3. a) Trung b` khˆi luong m = 95kg . U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ´ ’ .’ ’ ınh o ’ .’ o e a ’ ’’ . 1n 15 (xi − m)2 = (xi − 95)2 = 0, 41 n i=1 5 i=1 1n 15 b) X = xi = xi = 95, 5 n i=1 5 i=1
’´ ’ ’ ´ ˜ o ’ ¯. ’ ’ 84 Chuong 4. Uoc luong tham sˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn ’’ a e ’ U’oc luong khˆng chˆch cua phuong sai l` ´ ’ .’ ’ o e a ’ ’’ . n 15 1 s2 = (xi − X )2 = (xi − 95, 5)2 = 0, 7rf f n − 1 i=1 4 i=1 4. (a) 20, 9 ± 0, 148mm, (b) 20, 9 ± 0, 195mm. 5. (5092, 89 ; 5484, 89). 6. 0, 1271 < p < 0, 2729 ’ ` ´ ` Tˆng sˆ chim trong v`ng rung nam trong khoang ( 01000 , 01000 ) ’ ˘ o o u ’ ,2729 ,1271 ´ 0,9×0,1 ’a 7. 2 × 1, 96 < 0, 02. Giai bˆt phuong tr` ta c´ n > 3457. ınh o ’’ n 8. a) 9, 06; 9, 54), c) 467 tr´i. a 9. a) (0, 792 < p < 0, 928); (9, 982 < m < 10, 006). b) 221. 10. a) (4, 09 ; 4, 49), b) (0, 064 ; 0, 456). ` 11. 7 lˆn. a 12. (1253, 8 < σ 2 < 3983, 8).