Chuyên đề luyện thi ĐH phần tích phân

Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

620
lượt xem 177
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề luyện thi đh phần tích phân', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề luyện thi ĐH phần tích phân

Chuyên đề tích phân & ứng dụng ồ Văn Hoàng 1. Bảng nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 2. Các phương pháp tính tích phân: Bài 1: Tính tích phân I 2 dx . 0 x 1 a) Phương pháp đổi biến số: HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2). * Loại 1: ln 3 ex 2 2 dx Bài 2: Tính tích phân I dx Dạng: a x dx , đặt x = asint. 0 (e x 1)3 2 2 a x b dx dx HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng u du . ĐS I 2 1 Dạng: 2 đặt x = atant, đặt ax b ctant x a2 (ax b) 2 c 2 a 0 b Bài 3: Tính tích phân I x (e 2 x 3 1 x ) dx * Loại 2: f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x). 1 a HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e-2 - 4/7 + Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx. b b 2 6 + Ta cũng có thể biến đổi: f (u ( x))u '( x)dx f (u ( x ))d (u ( x )) Bài 4: Tính tích phân I 1 cos3 x .sin x.cos5 dx a a 0 b) Phương pháp tích phân từng phần: 6 b b b HD: t = 1 cos3 x cos3x = 1- t6. ĐS I =12/91 x 2 3 Dạng: P( x) sin xdx, P( x) cos xdx, P( x) e dx, 1 a a a Bài 5: Tính tích phân I dx 5 x. x 2 4 Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx). x b x b HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt t x2 4 . ĐS I=1/4.ln5/3 Dạng: 2 dx, 2 dx, a cos x a sin x 4 x Bài 6: Tính tích phân I dx dx dx 1 cos 2 x Đặt u = x, dv = 2 hoặc dv = . 0 cos x sin 2 x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = /8-1/4.ln2 3. Một số tích phân thường gặp: 1 1 b Bài 7: Tính tích phân I x 3 1 x 2 dx ; J x 2 1 x 2 dx P( x) a) Tích phân hữu tỉ: dx P(x), Q(x) là các đa thức. 0 0 a Q( x) 3 + Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). tgx Bài 8: Tính tích phân I dx + Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc cos x. 1 cos 2 x phương pháp hệ số bất định. 4 b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác. + Nắm vững các công thức biến đổi. HD: Biến đổi về dạng .Đặt c) Tích phân hồi quy: b b 2 Dạng e x sin xdx, e x cos xdx. x Bài 9 :Tính tích phân : I dx a a x 1 1 x 1 Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e dx. Tích phân từng phần 2 lần. b b Đặt t x 1 t2 x 1 x t2 1 dx 2tdt x 1 t 0; x 2 t 1 1 1 1 Dạng: sin(ln x)dx, cos(ln x)dx. t 1 2 3 t t 2 I 2tdt 2 dt 2 t2 t 2 dt a a 0 1 t 0 t 1 0 t 1 Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. t3 t2 1 1 1 11 d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: 2 2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2 3 2 0 3 2 3 Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và: a a 2 + y = f(x) chẵn thì f ( x)dx 2 f ( x)dx . sin 2 x sin x Bài 10:Tính tích phân : I dx a 0 0 1 3cos x a + y = f(x) lẻ thì: f ( x)dx 0. Ñaë t t 1 3cos x t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx 2tdt a sin xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 2; x t 1 3 2 f ( x) e) Tích phân dạng dx trong đó f(x) là hàm số chẵn. t2 1 2tdt ax 1 2 2 cos x 2 1 2 2sin x cos x sin x 1 sin xdx 1 3 3 I dx Cách giải: Tách thành 2 tích phân : 0 1 3cos x 0 1 3cos x 2 t 0 2 f ( x) f ( x) f ( x) 2 2 2t 2 1 2 2t 3 t 2 16 2 2 1 34 x dx x dx x dx a 1 a 1 0 a 1 31 3 3 9 3 1 3 9 3 9 3 27 0 f ( x) Xét tích phân dx đổi biến số x = -t. 2 sin 2 x ax 1 Bài 11 : Tính tích phân : I dx f ( x) 0 cos x 4sin 2 x 2 Kết quả ta được dx f ( x)dx . Ñaë t t cos2 x 4sin 2 x t 2 1 3sin 2 x 2tdt 6sin x cos xdx ax 1 0 2tdt a a 3sin 2 xdx sin 2 xdx . Ñoå i caä n : x 0 t 1; x t 2 f) Tích phân dạng: f ( a x)dx f ( x )dx trong đó f(x) là hàm 3 2 2tdt 2 0 0 2 2 3 2 2 4 2 2 số liên tục trên [0; a]. I dt t 1 t 31 3 1 3 3 3 Đổi biến x = a - t.
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ xB xB kx 2 TRÒN XOAY. S k x 1 5 3 x 2 dx 5 k x x3 xA 2 xA 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); 2 kx B 2 kx A b 5 k xB 3 xB 5 k xA 3 xA 2 2 x = a; x = b có diện tích: SD= f ( x ) g( x ) dx a k 2 x 2 xA 5 k xB xA 3 xB 3 xA 2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi 2 B quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : k xB xA x xA 5 k 2 xA x A xB 2 xB b 2 B VOx= f 2 ( x )dx k k k2 k 5 . 5 k a 3 2 3 9 3 3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : 3k 2 90 18k 2k 2 6 k 5 k 2 12k 60 3.18 54 b 3 f 2 ( y )dy 1 3 1 2 VOy= k 2 12k 60 k 6 24 Vaä y Smin k 6 a 54 54 Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3. 1 x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong y pt tieá p tuyeá n taï i ñieå m M laø : y y M y ' xM x xM x x3 1 y 9 2.3 x 3 y 6x 9 2 1 1 y x2 x y x 0 Ta coù : S dx , x 1;2 , 0 Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : x x 3 1 x x 3 1 y 9 1 y 6x 9 x 6 2 dx 2 x 3 1 x 3 2 1 x 2 S dx dx y 9 x x3 1 pt tung ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø y y 9 36 y y 2 18y 81 1 x x3 1 1 x x3 1 1 6 9 y 9 y 9 1 x 1' 2 2 3 2 1 1 3x 2 1 1 y 2 18y 81 0 y 9. S y dy y 0;9 : y 0 dx dx ln x ln x 3 1 6 6 1 x 3 x3 1 1 x 3 x3 1 3 1 0 9 9 y 9 y2 9y 2 y3 27 27 9 1 1 4 1 Vaä y : S y dy 18 ñvdt ln 2 ln 9 ln 2 . S ln 2 ln 9 ñvdt 6 12 6 3 4 2 4 3 3 3 3 0 0 Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0 quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y x, y x2 2x Ox và đường y x sin x 0 x Phöông trình hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x 0 x 0 x x2 2x x 2 3x 0 x 0 x 3 Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x sin x 0 3 3 sin x 0 x Vaä y S x x2 2 x dx x 2 3 x dx x 0;3 , x 2 3 x 0 2 0 0 VOx x sin x dx x sin 2 xdx 3 3 0 0 3x 2 x3 27 9 neâ n S 3x x 2 dx 9 ñvdt 2 3 2 2 1 cos 2 x x2 3 0 0 x dx xdx x cos 2 xdx I I 0 2 20 2 0 4 0 2 4 2 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x du dx (Đại học khối A – 2007) u x Ñaë t 1 Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : e 1 x 1 ex x dv cos 2 xdx v sin 2 x 2 x 0 x 0 x e x e 0 x 1 1 3 ex e x 1 I sin 2 x sin 2 xdx 0 cos 2 x 0 VOx ñvtt 2 0 20 4 0 4 1 1 S e 1 x 1 e x x dx x e e x dx ; Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , 0 0 1 y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi x 0;1 , ta luoâ n coù x e e x 0, vaä y S x e ex dx quay hình H quanh trục Ox 0 x 0 (loaï i) u x du dx Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x ln x 0 Ñaë t ln x 0 x 1 dv e e x dx v e e x dx ex e x e e 2 1 2 1 Vaä y VOx x ln x dx x 2 ln 2 xdx I1 1 ex e e 1 1 S x ex e x ex e x dx ex e 1 1 ñvdt 0 2 2 2 2 ln x 0 0 du dx e e 2 u ln 2 x x x3 2 2 2 e3 2 Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x và đường thẳng (d) qua Ñaë t I1 ln x x ln xdx I dv 2 x dx x3 3 31 3 3 2 M(1;5) có hệ số góc là k. v x 2 dx 1 d 3 Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) P và (d) có diện tích nhỏ nhất. dx x3 Ñaë t u ' ln x du ' ; dv ' x 2 dx v' x 2 dx x 3 Ta coù pt ñt (d) : y 5 k x 1 y kx k 5 e e e x3 1 2 e3 x3 e3 e3 1 2e3 1 Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a (P) vaø (d) : I2 ln x x dx 3 31 3 9 3 9 9 9 3x 2 kx k 5 3x 2 kx k 5 0 1 1 e 3 2 2e 1 3 5e3 2 k VOx . ñvtt xA 3 3 9 27 k 2 12k 60 0, k (d ) luoâ n caé t (P) ôû A vaø B. 6 k xB 6
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2005 Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005 2 cos 3x I dx KQ: 2 3ln 2 2 sin 2 x sin x 34 0 sin x 1 I dx KQ: Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 0 1 3cos x 27 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005 I ln 2 2 sin xdx 3 x sin 2 xdx I ;J 2 KQ: 3 2 sin 2 x cos x x 0 sin 2 x cos x J I dx KQ: 2 ln 2 1 0 sin 2 x 2 cos x.cos 2 3 4 1 cos x 2 0 Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005 e e2 1 2 I x ln xdx KQ: 1 4 I esin x cos x cos xdx KQ: e 1 0 4 Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 2 Bài 4. Tham khảo 2005 4 2 7 x 2 141 I x sin xdx KQ: 4 I 3 dx KQ: 0 2 0 x 1 10 Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005 Bài 5. Tham khảo 2005 2 3 x 2x2 4x 9 I dx KQ: 6 3 3 x2 4 8 I sin 2 xtgxdx KQ: ln 2 0 0 8 Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005 1 Bài 6. Tham khảo 2005 xdx 1 I 3 KQ: 4 1 0 x 1 8 I tgx esin x .cos x dx KQ: ln 2 e 2 1 Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 0 e Bài 7. Tham khảo 2005 dx I KQ: e 2 1 x 1 ln 2 x 1 6 2 I x ln xdx KQ: e3 Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005 1 9 9 Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005 2 sin 2004 x 1 6 3 8 I 2004 dx KQ: I x3 . x 2 3dx KQ: 0 sin x cos 2004 x 4 0 5 Bài 25. CĐSP KonTum – 2005 Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 3 x 3 2 4sin 3 x I dx KQ: 6 ln 3 8 I dx KQ: 2 3 x 1 x 3 0 1 cos x 1 Bài 10. CĐ GTVT – 2005 2006 1 8 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006 I x 5 1 x 2 dx KQ: 0 105 2 sin 2 x 2 Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 I dx KQ: 3 0 cos x 4sin x 2 2 3 2 3x 3.e 2 5 Bài 2. Tham khảo 2006 I e sin 5 xdx KQ: 6 0 34 dx 3 1 I KQ: ln Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 2 2x 1 4x 1 2 12 3 848 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006 I x 3 1.x 5 dx KQ: 1 105 5 3e 2 0 I x 2 e2 x dx KQ: Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 0 2 1 2sin 2 x 4 1 2 I dx KQ: ln 2 Bài 4. Tham khảo 2006 I x 1 sin 2 x dx KQ: 1 0 1 sin 2 x 2 4 0 Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005 2 5 0 dx 3 Bài 5. Tham khảo 2006 I x 2 ln x dx KQ: ln 4 I KQ: 1 4 1 x2 2 x 4 18 Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006 Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 ln 5 dx 3 e ln x 2 I KQ: ln I dx KQ: 1 ln 3 e x 2e x 3 2 1 x2 e 10 dx Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005 Bài 7. Tham khảo 2006 I KQ: 2 ln 2 1 7 5 x 2 x 1 3 x 1 46 e 3 2 ln x 10 11 I 3 dx KQ: Bài 8. Tham khảo 2006 I dx KQ: 2 0 3x 1 15 x 1 2 ln x 3 3 1
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 1 1 I x ln 1 x 2 dx (Đổi biến t 1 x 2 , từng phần)KQ: ln 2 2 sin 3 x 0 2 I dx KQ: Không tồn tại 0 2 cos 3 x 1 Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 2 Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 ln 1 x 3 1 I dx KQ: 3ln 2 ln 3 1 1 x2 2 I x ln 1 x 2 dx KQ: ln 2 0 2 Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006 1 Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006 2 2 1 I x x 2 1dx KQ: 2 x x 1 32 0 3 I dx KQ: 10 ln 3 1 1 x 5 3 x 1 Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006 I dx KQ: ln 2 Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006 1 x2 2 1 0 5 I x cos3 x sin x dx KQ: 2 4 sin x cos x 0 Bài 13. CĐ Y Tế – 2006 I dx KQ: ln 2 1 sin 2 x 2 cos x 1 5 4 Bài 31. CĐ GTVT III – 2006 I dx KQ: ln Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 0 5 2sin x 2 3 3 2 1 I x ln x 2 5 dx KQ: 14 ln14 5ln 5 9 J 2 x 7 ln x 1 dx KQ: 24 ln 3 14 0 2 0 Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006 2 4 cos 2 x 1 76 I 3 dx KQ: I 1 tg 8 x dx KQ: 0sin x cos x 3 32 0 105 Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 4 4x 3 4 2 I 2 dx KQ: 18 ln 2 7 ln 3 I x 1 cos x dx KQ: 1 3 x 3x 2 0 8 Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006 6 sin 3 x sin 3 3 x 1 1 4 cos 2 x 1 I dx KQ: ln 2 I dx KQ: ln 3 0 1 cos 3 x 6 3 0 1 2sin 2 x 4 Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006 Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 e ln x 3 2 ln 2 x 3 3 ln 2 e2 x 8 I dx KQ: 3 3 22 2 I dx KQ: 2 3 1 x 8 0 ex 2 3 Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006 Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 4 1 2 4sin x 3 I cos 4 x sin 4 x dx KQ: I dx KQ: 2 0 2 0 1 cos x Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 4 cos 2 x 1 4 x 2 I dx KQ: ln 3 I 2 dx KQ: ln 0 1 2sin 2 x 4 0 cos x 4 2 Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006 Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 3 2 x 3 2 I dx KQ: 6 ln 3 8 I sin x sin 2 xdx KQ: 13 x 1 x 3 0 3 Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 9 1 468 x 4 1 I x. 3 1 x dx KQ: I 2 dx KQ : ln 1 7 0 x 3 3 4 e x3 1 2e 3 11 Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006 Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006 I ln x dx KQ: 1 x 9 18 2 2 1 I x 2 cos xdx 2 KQ: 2 4 Bài 24. I x 2 2 x3 dx KQ: 3 3 2 2 1 0 9 Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 e dx 2 1 2 I 2 KQ: Bài 25. I 2 x 1 cos 2 xdx KQ: 1 1 x 1 ln x 4 0 2 4 2 1 e2 1 2 sin x cos x Bài 26. I x e2 x 3 x 1 dx KQ: Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006 I dx KQ: ln 2 1 sin 2 x 0 4 14 4
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 Bài 8. Tham khảo khối D – 2007 3 2 2 ln tgx 1 2 I dx KQ: ln 3 x 2 cos x dx KQ: 2 sin 2 x 16 0 4 4 Bài 9. CĐSPTW – 2007 Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương 2 7 3 15 trình y x 2 2 ; y x ; x 1; x 0 . KQ: I sin 2 x 1 sin 2 x dx KQ: 6 0 4 Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 4 cos3 x 2 e ln x Bài 10. CĐ GTVT – 2007 dx KQ: 2 I dx KQ: 4 2 e 0 1 sin x 0 x Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 7 x 2 231 1 1 3 dx KQ: I dx KQ: 0 x 1 10 0 x2 2 x 2 4 Bài 12. CĐ Khối A – 2007 Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 1 1 1 2007 32008 22008 7 2 1 dx KQ: 3 x 2 46 1 x x 2008 I 3 dx KQ: 3 0 3x 1 15 Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 e 2 1 x ln x dx KQ: 5e3 2 4 x 2 1 27 I 2 dx KQ: ln Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 0 cos x 4 2 Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 4 2 3 2 1 2 x sin x dx KQ: I 4 x 1 ln x dx KQ: 6 ln 2 2 1 384 32 4 1 Bài 15. CĐ Khối B – 2007 Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 dx 2 y x, y x cos 2 x , x 0, x . KQ: I KQ: ln 2 . 2 sin x.sin x 3 0 6 3 Bài 16. CĐ Khối D – 2007 x 1 dx KQ: 1 2 2007 Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007 3 dx 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: KQ: 1 2 2 e 1 x x 1 3 12 y e 1 x , y 1 ex x . KQ: 1 2 3 14 3 Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007 Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007 x 3 x 2 1 dx KQ: 1 5 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ln x , Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 y 0, y e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi 0 3 31 5e 3 2 x e2 x x 1 dx KQ: e 2 quay hình H quanh trục Ox. KQ: 1 4 60 27 1 Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007 Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007 xe x dx KQ: 1 e 0 5e 4 1 Tính tích phân I x3 ln 2 x dx KQ: 2008 1 32 Bài 4. Tham khảo khối A – 2007 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008 4 2x 1 6 tg 4 x 1 10 dx KQ: 2 ln 2 dx KQ: ln 2 3 0 1 2x 1 0 cos 2 x 2 9 3 Bài 5. Tham khảo khối B – 2007 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1 x 1 4 sin x dx y 0 và y . KQ: ln 2 1 4 4 3 2 x2 1 4 2 KQ: 0 sin 2 x 2 1 sin x cos x 4 Bài 6. Tham khảo khối B – 2007 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ln x 3 2 ln 2 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008 3 dx KQ: 2 1 1 x 16 y x và y 2 x2 . KQ: 2 3 Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008 Bài 7. Tham khảo khối D – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 1 x x 1 3 9 dx KQ: 1 ln 2 ln 3 P :y x 2 4 x và đường thẳng d : y x .KQ: (đvdt) 2 2 2 0 x 4
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân 1 1 2t = ln .dt I I 0 Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm 1 1 2t Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo 2 x 2 .dx khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi Thí dụ 2: Tính x 22 1 phân: d F ( x) F ( x) C Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận x = -2 t = 2 và x = 2 t = -2 2 2 t dt 2 t dt2 2 2 .t .dt t 2 2 2t 1 1 .t 2 .dt Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được Do đó: I = = nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo 2 2 t 1 2 2t 1 2 1 2t 2 2t 1 2 2 dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho t 2 .dt 1 32 1 1 32 8 t 2 .dt t I I . .t gọn bài viết). 2 22 t 1 3 2 2 3 2 3 Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm 2 7 ln x.dx s inx.dx 1. 2x 1 x2 x 5 .dx 2. s inx.cos7 x.dx 3. Thí dụ 3: Tính x 0 sinx cosx 7 7 1 8 1. 2x 1 x 2 x 5 .dx x 2 x 5 .d x 2 x 5 = x2 x 5 C Đặt t = x x t dx dt .Đổi cận: x = 0 t và x t 0 8 2 2 2 2 1 1 Do đó: 2. s inx.cos7 x.dx = ( cos7 x).d(cosx)= d - cos8x - cos8x+C 8 8 sin t .( dt ) 0 2 2 cost.dt 2 cosx.dx ln x.dx 1 2 I J 3. ln x.d (ln x ) ln x C cost sint cosx sinx x 2 sin t cos t 0 0 2 2 2 Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm dx x.dx 2 s inx.dx 2 cosx.dx 2 1 1. sin 3x.cos2x.dx 2. 3. Vì I + J = + = dx x 2 I J x x 1 3 x 2 1 sinx cosx cosx sinx 2 4 0 0 0 0 1 1 1 1. sin 3 x.cos2x.dx sin 5 x s inx .dx = d cos5x-cosx 2 2 5 Thí dụ 4: Tính x.s inx.sin3x.dx 0 1 1 = cos5x - cosx + C Đặt t = −x x= −t dx = − dt. Đổi cận: x = 0 t= ,x= t =0 10 2 Do đó: dx 2d x 0 2. d 2 ln x 1 x 2 ln x 1 x C I t .sin t .sin 3 t .( dt ) = t .sin t.sin 3t.dt x x 1 2 x 1 0 = sin t.sin 3t.dt t.sin t.sin 3t.dt = cos2t-cos4t dt I x.dx d x2 1 1 2 1 3 2 2 2 3. x 1 3 .d x 2 1 d x 1 3 0 0 0 3 x 2 1 1 2 4 1 1 2 x2 1 3 I cos2t-cos4t .dt sin 2t sin 4t 0 4 4 2 4 0 3 2 2 0 x 1 3 C 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN dx dx Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây. Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1. 2. 1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz) s inx cos 4 x Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) x x là một nguyên hàm của f(x) thì d d dx 2 2 b b 1. = s inx x x x x f ( x)dx F ( x) F (b) F (a) sin .cos tg .cos 2 a 2 2 2 2 a x Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt d tg buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có 2 x x d ln tg ln tg C được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết : x 2 2 tg 3 2 4 3 dx 4 1 dx dx d tgx I tan x 1 (?). Lưu ý : f ( x) không 2. cos4 x cos2 x.cos2 x cos2 x 0 cos 2 x 0 cos 2 x 1 3 1 3 3 = 1 tg2 x .d (tgx ) d tgx tg x = tgx tg x C xác định tại x 0; nên I không tồn tại. 3 3 2 4 2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân. 7 b 3 ( x 1)dx Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân f ( x).dx mà không thể Thí dụ 1 : Tính I 3 (ĐH Ngoại ngữ HN-1999) a 0 3x 1 7 7 tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin 2 1 1 3 [(3x 1) 2]dx 13 gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x. I [(3x 1) 3 2(3 x 1) 3 ]d(3x 1) 1 30 3 3x 1 90 1 2x 7 Thí dụ 1: Tính ln .dx 1 3 5 2 3 46 1 2x (3 x 1) 3 3(3 x 1) 3 9 5 15 1 0 Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận: x = -1 t = 1 và x = 1 t = -1. 1 1 1 1 1 1 dx 1 2x 1 2t 1 2t 1 2t Thí dụ 2 : Tính I (ĐH Ngoại thương HN-1999) I ln .dx ln .( dt ) ln .dt ln .dt ( x 2 3x 2) 2 1 1 2x 1 1 2t 1 1 2t 1 1 2t 0
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 1 1 1 1 0 1 1 dx dx 1 1 x 1 u I dx 2 dx I dx u ( du) du du 0 x 1 x 2 0 ( x 1)2 0 ( x 2)2 0 x 1 x 2 0 1 s inx 1 sin u 0 1 s inu 0 1 s inu x 1 1 2 3 1 u 1 u ( x 1) 1 ( x 2) 1 2 ln 2 ln . 2 d I d I x 2 0 3 4 2 2 u 2 4 0 u u 0 cos 2 sin cos Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách 2 2 2 4 cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối. u 3 Do đó : I = tg 2 . Thí dụ 3 : Tính I x x2 2 x .dx 2 4 0 1 b 3 0 2 3 Chú ý : Nếu gặp tích phân f ( x)dx mà tính mãi không được, I x x 2 2 x .dx x x2 2 x .dx x x2 2 x .dx x x2 2 x .dx a 1 1 0 2 các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ 0 2 3 x x2 2 x .dx x x2 2 x .dx x x2 2 x .dx trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng. 1 0 2 Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần x4 2x3 0 x4 2x3 2 x4 2x3 3 a T T 4 4 3 1 4 3 0 4 3 2 hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có : f ( x)dx f ( x)dx a 0 a T T a T a T 2. Phương pháp biến đổi số : Ta có f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (*). Xét J f ( x )dx , Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì a a T T b u (b ) đặt u = x - T x=u+T dx = du.Đổi cận : x = T u=0;x=a+T u = a, f [u(x)].u'(x)dx f (t ) dt a a a a u( a) do đó : J f (u T ). du f (u)du f ( x )dx .Thay vào (*) ta có đpcm. 0 0 0 4 dx Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của Thí dụ 4 : Tính I (Học viện KTQS - 1999) hàm số tuần hoàn. 2 7 x x 9 2007 1 1 dt Thí dụ 9 : Tính s inx dx Đặt t x dx . x t t2 0 1 1 Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là Đổi cận : x 7 t ;x=4 t . . 7 4 2007 2 2007 Do đó : Do đó : s inx dx s inx dx s inx dx ... s inx dx 1 1 1 0 0 2006 7 4 dt 1 d (3t ) 1 7 1 7 1 7 I ln (3t )2 1 3t ln ln 2007 s inx dx 2007 s inx.dx 2007cosx 5014 9t 2 1 3 (3t )2 1 3 1 3 2 6 4 1 1 4 0 0 0 7 4 1 3. Sử dụng công thức tích phân từng phần : x 4 dx b b Thí dụ 5 : Tính I x (Đề Học viện BCVT - 1999) b 11 2 Ta có : udv u.v a vdu a a Đặt t = x x = t dx = dt. Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có : Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương 1 ( t ) .( dt ) 4 1 2 .t dt t 4 1 1 4 t dt 1 5 1 2 1 pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải I t 4dt t I I I . kết hợp với phương pháp đổi biến : 1 1 24 1 1 2t 1 1 1 2t 5 1 5 5 2 b Chú ý : - Để tính f ( x)dx không nhất thiết phải tìm nguyên Thí dụ 10 : Tính I sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) a 0 hàm F(x) của f(x). Đặt t x x t2 dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t=0; x 2 t= nên : g ( x)dx - Cách tích phân dạng với a > 0 và g(x) là hàm số I 2 t sin tdt 2 t.d (cos t ) 2 t cos t cos tdt = 2 sin t 0 2 0 ax 1 0 0 0 chẵn, đều làm như trên. 1 1 Thí dụ 11 : Tính I = x 5 .e x .dx 2 x Thí dụ 6 : Tính ln dx 0 1 2 x 1 Giải : Xét I n x n .e x .dx . Đặt u xn du nu n 1; dv e x dx v ex . Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó : 0 1 -1 1 1 -1 1 2-x 2+t 2+t 2-t 2-t Theo công thức tích phân từng phần ta có : I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I. I = 0. -1 2+x 1 2-t -1 2-t -1 2+t -1 2+t 1 1 1 1 1 1 In x n .e x .dx udv uv vdu x n .e x n x n 1e x dx e nI n 1 Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ 0 0 0 0 0 0 luôn bằng 0. 1 1 1 1 + Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : với mọi n nguyên và n >1.Ta có : I1 x.e x .dx xe x e x dx e ex 1. 0 0 0 0 b b b f ( x)dx f (u )du f (t )dt = ... I2 e 2 I1 e 2; I 3 e 3I 2 e 3(e 2) 6 2e; a a a I4 e 4I 3 e 4(6 2e) 9e 24; I I5 e 5I 4 e 5(9e 24) 120 44e x Thí dụ 7 : Tính dx Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương 0 1 s inx tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho Đổi biến số u = x x u . Ta có : x 0 u ;x u 0. n = 2;3;4;5. Mặt khác : dx = -du.
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC 3 dx 3 xdx x 1 t 2 I Ñaë t t 1 x 2 dt 2 xdx. 2 3 dx 1 x 1 x2 1 x2 1 x2 x 3 t 4 1. Tính tích phân : I (A – 2003) 1 t t 1 4 4 4 x x2 4 1 dt 1 1 1 1 4 5 I dt dt ln t 1 ln t 22t t 1 22 t t 1 22 t 1 t 2 2 Ñaë t t x2 4 t2 x2 4 2tdt 2 xdx tdt xdx 4 1 t 1 1 3 1 1 3 Ñoå i caä n : x 5 t 3; x 2 3 t 4 ln ln ln ln 2 t 2 2 4 2 2 2 1 t 2 t 2 2 3 4 4 4 xdx tdt dt I dt 5 x 2 x 2 4 3 t2 4 t 3 t 2 t 2 43 t 2 t 2 2 4 4 7. Tính tích phân : I esin x cos x cos xdx (D – 2005) 1 1 1 1 4 1 t 2 dt ln t 2 ln t 2 ln 0 43 t 2 t 2 4 3 4 t 2 3 2 2 1 1 1 1 5 ln ln ln I esin x cos xdx cos2 xdx A B 4 3 5 4 3 0 0 1 2 2. Tính tích phân : I x 3 1 x 2 dx (Dự bị 2A – 2003) Tính A esin x cos xdx : Ñaë t t sin x dt cos xdx. 0 0 1 1 Ñaë t t 1 x2 t2 1 x2 x2 1 t2 2 xdx 2tdt xdx tdt Ñoå i caä n : x 0 t 0, x t 1. A e t dt et e 1 2 0 Ñoå i caä n : x 0 t 1; x 1 t 0 0 1 1 0 1 t3 t5 1 1 2 2 2 1 cos 2 x x sin 2 x 2 I x 2 1 x 2 xdx 1 t2 t tdt t 2 t 4 dt Tính B cos2 xdx dx 3 5 3 5 15 0 0 2 2 4 0 4 0 1 0 0 e Vaä y I A B e 1 1 3ln x ln x 4 3. Tính tích phân : I dx (B – 2004) 1 x 1 8. Tính tích phân : I 1 x 2 dx 3dx dx 2tdt Ñaë t t 1 3ln x t2 1 3ln x 2tdt 0 x x 3 x 1 t 1; x e t 2 Khi gaë p a 2 x 2 , ta ñaë t x a sin t , t ; 2 2 2 2 2 t 2 1 2tdt 2 2 t 5 t3 2 32 8 1 1 116 I t t 4 t 2 dt 3 3 91 9 5 3 9 5 3 5 3 135 Đặt x sin t t ; dx cos tdt. 1 1 2 2 ln 5 dx x 0 sin t 0 t 0; x 1 sin t 1 t Tính tích phân : I ( B – 2006) Đổi cận 2 ln 3 e x 2e x 3 2 2 2 Ñaë t t ex dt e x dx. x ln 3 t 3, x ln 5 t 5 I 1 sin 2 t cos tdt cos2 t cos tdt cos t cos tdt ln 5 e dxx 5 dt 5 dt 5 t 1 t 2 0 0 0 I dt e2 x 2 3e x t2 3t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 ln3 3 3 3 2 2 1 cos 2t 1 1 2 5 cos2 tdt dt t sin 2t 5 1 1 5 t 2 3 1 3 0 0 2 2 4 0 4 dt ln t 2 ln t 1 ln ln ln ln t 2 t 1 3 t 1 4 2 2 1 3 3 dx 9. Tính tích phân : I 01 x2 2 sin 2 x cos x 4. Tính tích phân : I dx (B – 2005) 0 1 cos x Khi gaë p 1 , ta ñaë t x atgt , t ; a2 x2 2 2 2 2sin x cos x cos x 2 sin x cos2 x I dx 2 dx Ñaë t x tgt t ; dx 1 tg2 t dt 0 1 cos x 0 1 cos x 2 2 Ñaë t t 1 cos x dt sin xdx; Ñoå i caä n : x 0 t 2, x t 1 2 x 0 tgt 0 t 0; x 1 tgt 1 t 2 2 4 1 t 1 dt 2 t 2 2t 1 2 1 t 2 I 2 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 4 1 tg2 t dt 4 2 t 1 t 1 t 2 I dt t 4 1 1 tg2 t 4 1 0 0 0 2 2 4 ln 2 2 2 ln 2 1 2 1 dx 10. Tính tích phân : I x x 1 2 4 1 2 sin 2 x 0 5. Tính tích phân : I dx (B – 2003) 1 1 s in2 x dx 1 3 3 0 I . Ñaë t x tgt t ; dx 1 tg 2t dt 2 2 2 2 2 2 2 0 1 3 x 0 t 1 x 4 cos 2 x 2 2 I dx Ñaë t t 1 sin 2 x dt 2 cos 2 xdx . 0 1 sin 2 x x t 2 4 3 1 1 3 3 x 0 tgt tgt t ;x 1 tgt tgt 3 t 1 dt 2 1 2 1 2 2 3 6 2 2 3 Vaä y I ln t ln 2 21 t 2 1 2 3 3 1 tg2 t dt 3 2 2 33 2 3 2 3 3 3 dx I dt t 6. Tính tích phân : I 3 2 3 3 3 3 3 6 9 (Dự bị 1 B – 2004) tg t 1 x x3 6 4 4 6 6
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 1 2 3 1 2 x2 x3 x3 x2 11. Tính tích phân : I ln x 2 x dx (D – 2004) Vaä y I x - x 2 dx x 2 - x dx - - 0 1 2 3 0 3 2 1 2 1 1 8 1 1 2x 1 - -2 - - 1 u ln x 2 x du dx 2 3 3 3 2 Ñaë t : x2 x dv dx 2 v x x4 x 1 17. Tính tích phân : I dx (Dự bị 2 A – 2004) 3 3 3 3 3 x 2x-1 3 1 x2 4 I= udv= uv - vdu= xln x 2 -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx 0 2 2 2 2 2 x x-1 2 x-1 2 2 2 2 x 17 x3 xdx dx 16 =3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 3 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3 I= x 2 -4- + dx= -4x - +17 2 =- -A+17B 2 0 x +4 x 2 +4 2 3 0 0 x +4 2 0 x +4 3 1 Tính A : Ñaë t t x2 4 dt 2 xdx ; x 0 t 4, x 2 t 8 12. Tính tích phân : I x 2 e2 x dx (D – 2006) 0 Tính B : Ñaë t x 2tgt t ; dx 2 1 tg t dt ; x 2 0 2 2 du=dx u=x-2 tgt 0 t 0, x 2 tgt 1 t Ñaë t : Þ 1 4 dv=e dx 2x v= e2x dx= e2x 2 1 dt 8 1 8 1 1 1 1 1 1 1 A ln t ln 8 ln 4 ln 2 ln 2 1 1 2x 1 2x 1 1 5-3e2 24 t 2 4 2 2 I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e2 +2 - e2x = 0 0 0 2 0 20 2 4 0 4 4 2 1 tg2 t dt 14 1 4 16 17 B dt t Vaä y I ln 2 4 4 4tg2 t 20 2 8 3 8 x 0 0 13. Tính tích phân : I dx (Dự bị 1 – A2003) 0 1 cos2 x 2 1 dx 2 18. Chứng minh rằng : u x du dx 9 18 x3 7 4 x 14 x 1 I dx dx I1 Ñaë t : dx dx 1 1 1 0 2 cos2 x 2 0 cos2 x 2 dv v tgx x 1;1 thì 1 x 1 1 x3 1 7 8 x3 9 cos2 x cos2 x 9 8 x3 7 1 1 1 dx 1 2 dx 2 4 4 4 4 cos x ' 1 1 1 1 ñpcm I1 udv uv 4 vdu xtgx 4 tgxdx dx 9 8 x3 7 9 8 x3 7 0 0 0 0 0 4 0 cos x 1 1 1 1 1 1 ln cos x 4 ln ln 2. I I ln 2 2 5 4 0 4 2 4 2 2 1 8 4 19. Chứng minh rằng : 3 2sin 2 xdx 1 2 4 2 4 14. Tính tích phân : I x 3 e x dx (Dự bị 1 D – 2003) 0 x ; , ta coù : 4 2 Ñaë t t x2 dt 2 xdx. Ñoå i caä n : x 0 t 0, x 1 t 1 1 1 1 2 1 2 dt 1 1 sin x 1 sin 2 x 1 1 2sin 2 x 2 4 3 2sin 2 x 5 I x 2 e x xdx tet tet dt I 2 2 0 0 2 20 2 1 2 u t du dt 1 1 1 Ñaë t I1 udv uv vdu 2 3 2sin 2 x 5 2 3 2sin 2 xdx 5 dv e dt t v e t 0 2 4 2 4 0 0 4 1 1 1 1 tet et dt e et e e 1 1 I 0 0 2 2 5 0 3 2sin 2 xdx ñpcm 2 2 4 4 15. Tính tích phân : I x sin xdx (Dự bị 1 D – 2004) 1 0 4 x2 5 20. Chứng minh rằng : 1 dx Ñaë t t x x t 2 dx 2tdt. 0 2 2 Ñoå i caä n : x 0 t 0; x 2 t Vaä y I 2 t sin tdt 2 2 I1 x 0;1 0 x 1 0 x2 1 4 4 x2 5 0 4 x 2 5 du 2tdt 2 4 x2 5 1 u t2 2 2 Ñaë t dv sin tdt v sin tdt cos t 1 4 x2 5 1 dx (ñieà u phaû i chöù ng minh) 0 2 2 Vaä y I1 t 2 cos t 2 t cos tdt 2 2I 2 0 0 4 u' t du ' dt Ñaë t 21. Tính tích phân : I 1 cos2 xdx dv ' cos tdt v' cos tdt sin t 3 Vaä y I2 t sin t sin tdt cos t 1 1 2 p p 0 p p 0 0 4 4 4 4 0 0 I= 2sin 2 xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx I1 2 4 I 2 2 8 p p p 0 0 p - - - - 3 3 3 3 2 p 1 1 3 2 x2 0 16. Tính tích phân : I x dx (D – 2003) = 2 -cosx 4 - -cosx p = 2 - +1- -1+ = -1 0 - 3 2 2 2 0 Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1 x -∞ 0 1 2 +∞ x2 – x + 0 – 0 + + 2 5 x 1 22. Tính tích phân : I dx 1 x2 x 6
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 5x 5 5x 5 A B Ax 2 A Bx 3B Ta coù : x2 x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 2 s in3 x 2 cos3 x 28. Cho I dx ; J dx . 0 sin x+cos x 0 sin x+cos x 3 3 3 3 A B 5 A 2 5x 5 A B x 2 A 3B 2 A 3B 5 B 3 2 3 Tính I bằng cách đặt t x 2 2 2 dx 2 ln x - 3 3 ln x 2 3 ln 4 - 2 ln 2 3 ln 3 I x -3 x 2 1 1 6 ln 2 - 2 ln 2 - 3 ln 3 4 ln 2 - 3 ln 3 x 0 t Ñaë t t x dt dx 2 23. Xác định các hằng số A, B sao cho : 2 x t 0 3x 1 A B 3x 1 2 3 3 2 , x 1 . Tìm: 3 dx x 1 x 1 x 1 x 1 0 sin3 t 2 2 cos3 t 2 cos3 x I dt dt dx J A B x 1 cos3 t sin3 t cos3 x sin3 x 3x 1 A B Bx A B B 3 A 2 sin 3 t cos 3 t 0 0 2 2 2 x 1 3 x 1 3 x 1 2 x 1 3 x 1 3 A B 1 B 3 2 3x 1 2 3 1 3 Ngoaø i ra : I J dx x 2 I J dx dx C 0 0 2 4 x 1 3 x 1 3 x 1 2 x 1 2 x 1 1 x ln x 1 x2 3 dx 24. Tính tích phân : I dx 29. Tính tích phân : I 4 0 1 x 2 sin x cos5 x3 4 x 1 x2 x 1 dx u ln x 1 x2 1 x dx 2 1 x 2 dx dx Ñaë t t tan x dt . x t 1; x t 3. du cos2 x 4 3 Ñaë t xdx x 1 x2 1 x2 x 1 x2 p dx p dx p dx dv 1 x2 xdx 3 cos2 x 3 cos2 x 3 cos2 x v Vaä y I 1 x2 p 4 sin3 x cos5 x p 4 sin3 x cos5 x p 4 tg3 x 4 4 4 Tính v : Ñaë t t 1 x2 t2 1 x2 2tdt 2 xdx tdt xdx. cos2 x cos8 x 3 3 3 tdt dt 3 4 v dt t 1 x2 t 4 dt 4. 4 t 4 3 1 4 8 3 1 t 1 4 t 3 1 1 1 1 1 1 I 1 x 2 ln x 1 x2 dx 2 ln 1 2 x 2 ln 1 2 1 0 0 0 30. Tính tích phân : I sin x dx 0 e2 ln x ln ln x 1 25. Tính : I dx (CĐ KT A, D – 2005) x 0 t 0 Ñaë t t x x t2 dx 2tdt. Vaä y I sin t 2tdt e x x 1 t 1 0 dx u 2t du 2dt Ñaë t t ln x dt x e t 1, x e2 t 2 Ñaë t x 1 dv sin t dt v sin t dt cos t 2 2 2 2 t 2 1 3 I t ln t dt tdt ln tdt I1 2 I1 I 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 I t cos t cos t dt 2 sin t 0 dt 2 0 0 u ln t du 2 2 Tính I1 : Ñaë t t I1 t ln t dt 2 ln 2 t dv dt 1 1 v t 1 2 sin 2 x 31. Tính tích phân : I dx 3 1 sin 4 x 6sin 2 x 5 2 ln 2 2 1 2 ln 2 1. I 2 ln 2 1 2 ln 2 0 2 2 2 sin 2 xdx I Ñaë t t sin 2 x dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx 2 cos3 x sin 2 x 1 sin 2 x 5 26. Tính tích phân : J dx (Sở GĐ TP 2004−2005) 0 sin 2 x x 0 t 1 1 t 4 t 2 2 2 6 dt 1 1 1 .I dt dt 1 x t 2 1 t t 4 41 t t 4 41 t t 4 Ñaët t sin x dt cos xdx. x t ;x t 1 2 6 2 2 2 1 2 1 t 1 1 1 1 5 π ln t ln t 4 ln ln ln ln cos2 xcosxdx 2 1 1-t dt 1 1 1 2 1 1 1 4 1 4 t 4 1 4 3 5 4 3 J= = = 2 -1 dt= - -t = -1-1 - -2- = π sin2 x 1 t2 1 t t 1 2 2 2 6 2 2 32. Tính tích phân : I sin xe x dx 1 2 x dx 0 27. Tính tích phân : I 0 x6 9 Ñaë t u sin x du cos dx I e x sin x e x cos xdx J 1 dv e x dx v ex 0 0 2 x dx x 0 t 0 I Ñaë t t x 3 dt 3 x dx 2 u ' cos x du ' sin xdx 0 x3 2 9 x 1 t 1 Ñaë t J e x cos x e x sin xdx e 1 I dv ' e x dx v ' ex 0 0 1 t 3 t 3 1 1 1 1 1 dt 1 dt 1 1 1 e 1 I dt dt I e 1 I 2I e 1 I 3 0 t2 9 30 t 3 t 3 18 0 t 3 t 3 18 0 t 3 t 3 2 1 1 1 1 t 3 1 1 1 1 33. Giải phương trình : ln t 3 ln t 3 ln ln ln1 ln x 18 0 18 t 3 18 2 18 2 1 2 0 sin 2t 1 cos2 tdt 0 x 0 ln t ln t 4 4 1 0
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2 Ñaë t u 1 cos2 t u2 1 cos2 t 2udu 2sin t cos tdt 2 x5 11x 3 VOx x 4 11x 2 6 x 16 dx 3 x 2 16 x 2udu sin 2tdt. t 0 u 2; t x u 1 cos x 2 1 5 3 1 1 cos2 x x 1 cos2 x 3 32 88 1 11 153 u 44 13 ñvtt sin 2t 1 cos2 tdt 2 u 2 du 2 5 3 5 3 5 0 2 3 2 3 3 3 3 1 cos x 2 2 1 cos x 2 2 2 dx 2 . pt 0 39. Tính tích phân : I 3 3 3 3 4 5sin x 0 1 cos x 2 2 cos x 1 2 sin x 0 x k k x 0 t 0 x dx Ñaë t t tg dt . 2 x x t 1 sin3 x 2 cos2 2 2 34. Tính tích phân : I dx 0 1 sin x dx x 1 cos2 1 1 1 2 2dt dt dt 1 1 cos 2 x 1 I 2 2 I sin 2 x sin x 1 dx sin x 1 dx x x 4 1 t 2 10t 4t 2 10t 4 1 1 sin x 2 0 4 10sin cos 0 0 0 4 t 2 t 0 0 1 cos( x) 2 2 2 2 x cos2 2 1 cos 2 x 1 1 sin x 1 dx t 2 t 2 x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 cos 2 dt dt ln t ln t 2 4 2 30 1 30 1 t 2 3 2 t 2 t t 0 3 1 x 3 3 2 2 x sin 2 x cos x tg 1 1 2 4 1 2 4 4 2 0 2 2 1 t 1 2 1 1 1 1 ln ln ln ln 2 3 t 2 3 2 4 3 2 cos3 x 35. Tính tích phân : I dx 0 0 1 sin x 2 2 cos2 x cos xdx 2 1 sin 2 x cos xdx 2 1 sin x 1 sin x cos xdx 40. Tính tích phân : I cos5 x cos 7 xdx I 0 1 sin x 0 1 sin x 0 1 sin x 0 2 2 2 1 2 2 2 cos x 1 sin x dx cos x cos x sin x dx cos x sin 2 x dx I cos5 x cos 6 x x dx cos 6 x cos5 x cos xdx sin 6 x cos5 x sin xdx J K 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 du 6sin x cos5 xdx sin x cos 2 x 2 1 0 u cos6 x Tính J : Ñaë t 1 4 0 4 4 2 dv cos 6 xdx v cos 6 xdx sin 6 x 6 1 7 x 36. Tính tích phân : I dx bằng cách đổi biến t = –x 1 2 2 x 10 1 J sin 6 x cos6 x sin 6 x cos5 x sin xdx K . Vaä y I J K 0 1 6 0 0 x 1 t 1 Ñaë t t x dt dx x 1 t 1 1 x4 1 x7 1 t7 dt 1 t7 1 x7 41. Tính tích phân : I dx I dx dt dx I 2I 0 I 0 1 2x 1 1 x10 1 1 t10 1 1 t10 1 1 x10 1 0 1 0 x4 x4 x4 e 3 2 ln x I dx dx. Xeù t J dx. 37. Tính tích phân : I dx (Dự bịB–2006) 1 2x 1 0 2x 1 1 2x 1 1 x 1 2 ln x x 1 t 1 0 t4 dt 1 t 4 2t dt 1 x 4 2 x dx Ñaë t x t dx dt .J 2dx dx x 0 t 0 1 2 t 1 0 2 t 1 0 2x 1 Ñaë t t 1 2 ln x t2 1 2 ln x 2tdt tdt x x 1 1 1 x 4 2x 1 1 1 x 4 2 x dx x4 4 x5 1 2 3 t 1 2 2 Vaä y I dx dx x dx x 1 t 1, x e t 2 Vaä y I tdt 4 t dt 2 0 2x 1 0 2x 1 0 2x 1 0 5 0 5 1 t 1 2 4t t3 4 2 2 2 4 1 10 2 11 2 cosn xdx 3 3 3 3 42. Tính tích phân : I 1 0 cosn x sin n x 38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0 ; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi x 0 t Ñaë t t x dt dx; 2 quay miền D quanh trục hoành. 2 x t 0 y 5 x2 2 Hình phaú ng D ñöôï c giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng y 3 x 0 cosn t dt 2 2 sin n tdt 2 sin n xdx Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : I . 0 sin t cosn t 0 sin x cosn x n n 5 x2 3 x x2 x 2 0 x 1 x 2 cosn t sin n t 2 2 2 2 2 2 2 VOx 5 x2 3 x dx 25 10 x 2 x4 9 6x x 2 dx 2 sin n x cosn x 2 1 1 2I dx dx x 2 I 2 0 sin x n cosn x 0 0 2 4 x 4 11x 2 6 x 16 dx. x 1;2 , x 4 11x 2 6 x 16 0, 1
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2 2x 1 4 sin 4 x cos4 x 47. Tính tích phân : I dx 43. Tính tích phân : I dx 1 x2 x 1 3x 1 4 2x 1 A B C A x 1 Bx x 1 Cx 2 Ta coù : 0 0 x x 1 2 x2 x x 1 x 2 x 1 sin 4 x cos4 x 4 sin 4 x cos4 x sin 4 x cos4 x I dx dx . Xeù t J dx . B C 0 A 1 3x 1 0 3x 1 3x 1 B C x2 A B x A 4 4 A B 2 B 3 x2 x 1 x t A 1 C 3 Ñaë t x t dx dt 4 4 2 2 2 x 0 t 0 1 3 3 1 1 x I dx 3ln x 3ln x 1 3ln 1 x2 x x 1 x 1 x x 1 1 0 sin 4 t cos4 t 4 3t sin 4 t cos4 t 4 3x sin 4 x cos4 x J dt dt dx 1 2 1 1 4 3ln 1 3ln 3ln 3t 1 0 3t 1 0 3x 1 2 3 2 2 3 4 2 4 3x sin 4 x cos4 x 4 sin 4 x cos4 x 48. Tính tích phân : F max 1; x; x 2 dx Vaä y I dx dx 0 3x 1 0 3x 1 0 Gọi H = x – 1. H = 0 x = 1. 4 3x 1 sin 4 x cos4 x 4 4 dx sin 4 x cos4 x dx 1 2s in2 xcos2 x dx x 0 1 2 0 3 x 1 0 0 H –0 + Gọi G = x2 – x. G = 0 x=0Vx=1 4 1 4 1 1 cos 4 x 4 3 1 x 0 1 2 1 s in 2 2x dx 1 dx cos 4 x dx. 0 2 0 2 2 0 4 4 G 0 – 0 + x 1 x 1 3 1 4 3 0 x 1: x2 x 1 ; 1 x 2: x2 x 1 x sin 4 x . I x2 x x2 x 4 16 0 16 2 2 1 2 1 x3 8 1 10 44. Tính tích phân : F max 1; x; x 2 dx dx x 2 dx x 1 0 0 1 0 3 1 3 3 3 2 1 I sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx x 3 dx 49. Tính tích phân : T 0 0 x x2 1 Ta coù : sin x cos x cos x sin x cos x sin x 10 10 4 4 2 2 1 x3 x x2 1 1 sin10 x cos10 x cos6 x sin 4 x cos4 x sin 6 x T dx x3 x 2 1 x dx 0 x x 2 1 x x 2 1 0 sin x cos x sin x 6 4 4 cos x cos x sin x 6 4 4 cos x sin x cos x sin x 4 4 6 6 1 1 1 cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos4 x cos2 x sin2 x sin 4 x 2 2 2 2 2 2 x5 1 x 3 x 2 1dx x 4 dx I I 5 5 1 2 cos 2 x.sin 2 x 2 2 0 0 0 cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x cos2 2 x 1 sin 2 x cos2 2 x x 0 t 1 4 4 Ñaë t t x2 1 t2 x2 1 2tdt 2 xdx tdt xdx. 1 cos 4 x sin 2 4 x 1 1 1 cos8 x 15 1 1 x 1 t 2 cos 4 x cos 4 x cos8 x 2 16 2 2 32 32 2 32 1 2 2 t5 t 3 2 I x 2 x 2 1xdx t 2 1 t.tdt t4 t 2 dt 2 15 1 1 15 1 1 2 15 0 1 1 5 3 1 Vaä y : I cos 4 x cos8 x dx x sin 4 x sin 8x 0 32 2 32 32 8 256 0 64 4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 .Vaä y T 5 3 5 3 15 15 15 1 x 45. Tính tích phân : I dx 4 0 x3 1 50. Tính tích phân : B ln 1 tgx dx 1 1 0 x 0 t 0 t.2tdt t 2 dt Ñaë t t x t2 x 2tdt dx Vaä y I 2 6 x 1 t 1 0 t 6 1 0 t 1 x 0 t Ñaë t t x dt dx; 4 du t 0 u 0 1 1 4 3 2 1 x t 0 Ñaë t u t 3 du 3t 2 dt I 2 du 4 t 1 u 1 0 u2 1 3 0 1 u2 0 u 0 tgm 0 m 0 4 1 tgt 4 2 B ln 1 tg t dt ln 1 dt ln dt Ñaë t u tgm m ; du 1 tg 2 m dm 4 1 tgt 1 tgt 2 2 u 1 tgm 1 m 0 0 4 4 2 4 1 tg m dm 2 24 2 4 4 4 4 ln 2 I dm m ln 2dt ln 1 tgt dt ln 2 t 4 ln 1 tgx dx I 3 0 1 tg2 m 30 3 6 0 0 0 0 4 0 ln 2 ln 2 3 2I I x2 4 8 46. Tính tích phân : I max 1; dx 0 4 51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần a T T 2 2 x x Ta laä p hieä u soá : H 1 . Cho H 0 1 0 x2 4 x 2 hoàn với chu kỳ T thì : f x dx f x dx 4 4 a 0 x -2 0 2 3 2004 H 0 + 0 – 3 Áp dụng, tính tích phân : I 1 cos 2 xdx 2 3 2 3 x2 x2 x2 2 x3 9 2 43 0 I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x + =2+ - = 0 4 2 4 0 2 4 0 12 2 4 3 12
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng T a a T T 0 1 0 dx dx dx Ta coù : f x dx f x dx f x dx f x dx 1 I Xeù t J 0 0 a a T 1 ex 1 x2 1 0 ex 1 x2 1 1 ex 1 x2 1 T x a T t a x 0 t 0 Xeù t I3 f x dx Ñaë t t x T dt dx Ñaë t x t dx dt a T x T t 0 x 1 t 1 0 a a a 0 1 1 1 I3 f t T dt f t T dt f t dt f x dx 2 dt et dt e x dx dx J . Vaä y I a 0 0 0 1 e t 1 t 2 1 0 e t 1 t 2 1 0 e x 1 x 2 1 0 x2 1 T a T Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c f x dx f x dx ñpcm x 0 tgu 0 u 0 0 a Ñaë t x tgu u ; dx 1 tg2 u du 2004 2004 2004 2 2 x 1 tgu 1 u AÙ p duï ng : I 1 cos 2 xdx 2sin 2 xdx 2 sin x dx 4 0 0 0 2 4 2004 4 1 tg2 u du 4 I du u 4 2 sin x dx sin x dx ... sin x dx 1 tg2 u 0 4 0 0 0 2 2002 x 2 4 2004 1 ln t Theo tính chaá t treâ n, ta coù : sin x dx sin x dx ... sin x dx 56. Giải phương trình theo ẩn x : dt 18 0 2 2002 1 t 2 2 e Neâ n I 1002 2 sin x dx 1002 2 sin xdx sin xdx 0 0 x 1 1 ln t dt t u 0 2 Goï i I dt Ñaë t u 1 ln t du e 1002 2 cos x cos x 4008 2 t t 0 1 e t x u 1 ln x 1 1 ln x 2 1 ln x u 2 1 ln x 52. Tính tích phân : I x 2004 sin xdx I udu 0 2 0 2 1 0 1 1 ln x 2 x e5 I x 2004 sin xdx x 2004 sin xdx (1) 2 1 ln x 6 ln x 5 pt 18 1 ln x 36 1 1 0 2 1 ln x 6 ln x 7 x 0 x 1 t 1 e7 Xeù t tích phaâ n I1 x 2004 sin xdx. Ñaë t x t dx dt 1 x 0 t 0 0 1 1 57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : I1 t 2004 sin t dt t 2004 sin tdt x 2004 sin xdx (2) x2 4x 4 1 0 0 y , tiệm cận xiên của (C) và hai đường Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c : I 0 x 1 thẳng x = 2, x = 5 53. Tính tích phân : D x sin x cos2 xdx x2 4x 4 1 0 Haø m soá vieá t thaø nh : y x 3 x 1 x 1 x 0 t 1 Ñaë t t x dt dx Vì lim 0 neâ n TCX cuû a (C) laø y x 3 x t 0 x 1 x 5 5 0 1 1 1 D t sin t cos2 t dt t sin t cos2 tdt Vaä y S x 3 x 3 dx dx Vôù i x 2;5 0 2 x 1 2 x 1 x 1 0 5 1 5 sin t cos tdt 2 t sin t cos tdt 2 sin t cos2 tdt x sin x cos2 xdx neâ n S dx ln x 1 ln 4 ln1 2 ln 2 ñvdt 2 x 1 2 0 0 0 0 sin t cos2 tdt D 2D sin t cos2 tdt x2 58. Cho hình giới hạn elip : y 2 1 quay quanh trục 0 0 4 t 0 u 1 hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. Ñaë t u cos t du sin tdt t u 1 x2 x2 4 x2 1 1 1 1 Elip y2 1 y2 1 y 4 x2 u3 2 4 4 4 2 sin t cos tdt 2 u 2 du u du2 D 0 1 1 3 3 3 Vì elip coù a2 4 a 2, b 2 1 b 1 neâ n hình giôù i haï n elip coù : 2 x 2 1 2 2 2 3 x3 8 8 8 VOx y dx2 4 x dx 2 4x 8 8 ñvtt 54. Tính tích phân : I sin x.sin 2 x.sin 3 x.cos 5 xdx 2 4 2 4 3 2 4 3 3 3 0 3 2 3 59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do I sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (1) quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường 0 3 2 tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2. 3 3 2 3 pt ñöôø ng troø n taâ m I 3; 0 ,R 2 laø x 3 y2 4 x t Xeù t J sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx Ñaë t x 3 t dx dt. 2 2 x 3 2 4 y2 x 3 4 y2 x 3 4 y2 3 2 x 3 t 0 Vì ñöôø ng troø n coù taâ m I 3; 0 ,R 2 neâ n 2 y 2 0 2 2 2 VOy 3 4 y2 2 3 4 y2 2 dy 6.2 4 y 2 dy 12 4 y 2 dy J sin 3 t sin 6 2t sin 9 3t cos 15 5t dt 2 2 2 3 2 2 y 2 sin u 1 u 3 3 2 Goï i I 4 y 2 dy Ñaë t y 2sin u u ; dy 2 cos udu 2 2 2 2 2 y 2 sin u 1 u sin t sin 2t sin 3t cos 5tdt sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx (2). 2 0 0 2 2 2 2 1 2 Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c I 0 I 4 4sin 2 t 2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos2 udu 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u 2 2 2 2 2 2 1 2 2 VOy 24 2 ñvtt dx 2 2 55. Tính tích phân : I 1 e x 1 x 2 1
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x 2 4x 3 x 3 2 2 x x x 3 x 3 y 4 vaø y (Đại học khối B – 2002) x 3 x 0 4 x2 4x 3 x 3 x2 5x 0 4 2 x 0 x 5 x 5 x2 4x 3 x 3 x 2 3x 6 0(VN ) pt hoaø nh ñoä giao ñieå m 2 ñöôø ng laø : x2 x2 x2 x4 x4 x2 x2 8 x 2 2 x 0 5 4 4 4 0 0 – 0 4 4 2 4 32 32 4 x2 16 (voâ lyù ) x 2 4x 3 x 3 2 2 2 2 2 2 x x x x 5 5 5 S 4 dx Vôù i x 2 2;2 2 , 4 0 S x 3 x2 4 x 3 dx x 3 dx x2 4 x 3 dx 2 2 4 4 2 4 4 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 5 x2 x2 x2 x2 x2 55 neâ n S 4 dx 4 dx dx A B 3x I I 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 0 2 2 5 1 I x2 4 x 3 dx Giaû i pt x 2 4 x 3 0 ta ñöôï c : x 1 x 3 A 16 x 2 dx Ñaë t x 4sin t t ; dx 4 cos tdt 2 2 2 2 2 0 2 x 0 1 3 5 x 2 2 sin t t 2 4 x 2 4x 3 + 0 – 0 + 2 1 3 5 x 2 2 sin t t Ta coù : I x 2 4 x 3 dx x2 4 x 3 dx x2 4 x 3 dx 2 4 0 1 3 1 3 5 1 4 4 4 4 x3 x3 x3 4 4 20 28 A 16 16sin 2 t .4 cos tdt 8 cos t cos tdt 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 3 0 3 1 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 55 28 109 S ñvdt 1 4 1 1 2 3 6 4 t s in2t 4 2 4 2 4 2 4 2 63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : 4 2 2 x 2 x 3 2 2 1 8 y x ; y 2 x; y 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay B dx 16 2 16 2 2 2 4 2 12 2 2 2 12 2 3 tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy. 8 4 y x y 0 x y2 Vaä y S A B 2 4 2 ñvdt Mieà n D giôù i haï n bôû i 3 3 y 2 x x 2 y y 1 nhaä n 2 cot gx. 3 sin 3 x sin xdx Pt tung ñoä giao ñieå m : y 2 2 y y2 y 2 0 Tính tích phân : A y 2 loaï i sin3 x 1 1 3 2 2 2 VOy y2 2 y dy y4 2 y dy sin3 x sin x 0 0 2 cot gx. 3 2 cot gx. 1 3 1 cot g x 2 1 A sin3 x dx dx 2 x 0;1 , y 4 2 y 0 neâ n VOy 4 4y y2 y 4 dy sin 2 x sin 2 x 0 3 3 1 1 y3 y5 1 1 32 x t 4y 2y2 4 2 ñvtt 2 cot gx. 3 cot g 2 x dx 3 3 5 3 5 15 dx. Ñaë t t cot gx dt 3 0 sin 2 x sin 2 x 64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = 3 x t 0 2 xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay 1 1 0 3 5 tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox 3 3 t8 3 33 1 3 9 A t 3 t2 dt t 3 dt Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : 1 0 8 8 81 24 0 3 x 0 (loaï i) x ln x 0 e ln x 0 x 1 ln x 61. Tính tích phân : I 2 dx e 2 e 1 x 1 Vaä y VOx x ln x dx x 2 ln 2 xdx I1 1 1 e 2 ln x dx du dx e e u ln x du u ln 2 x x x3 2 2 2 e3 2 x Ñaë t I1 ln x x ln xdx I Ñaë t dx dv x dx2 x3 3 31 3 3 2 dv dx 1 v x 2 dx 1 x 1 2 v 3 x 1 2 x 1 dx e e du ' 1 dx u ' ln x x I .ln x 1 A Ñaë t x 1 1 1 x x 1 dv ' x 2 dx x3 e e v' x 2 dx 3 e dx e x 1 x e 1 1 e e e A dx dx ln x ln x 1 1 x3 1 2 e e3 x3 e3 e3 1 2e3 1 x x 1 x x 1 x x 1 I2 ln x x dx 1 e 1 e 1 e e 3 1 31 3 9 1 3 9 9 9 e 1 e3 2 2e 3 1 5e3 2 x e VOx . ñvtt ln ln ln e ln e 1. Vaä y I 0 3 3 9 27 x 1 1 e 1 1 e 1 e 62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x2 4 x 3 vaø y x 3 (Đại học khối A – 2002)