intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Toán: TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
229
lượt xem 57
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu luyện thi đại học, đề cương ôn thi sinh học, bài tập sinh học, toán di truyền, công thức sinh học: bài tập trắc nghiệm, tài liệu ôn thi đại học, ngân hàng đề thi trắc nghiệm, ôn tập sinh học, sổ tay sinh học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Toán: TÍCH PHÂN

  1. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp hàm số hợp thường gặp 1  dx  x  C  du  u  C  d ax  b   a ax  b   C x  1 u  1  1 ax  b dx  1 ax  b  C   1  C   1  C   1 x  dx  u  du       1  1 a  1 dx du  x  ln x  C x  0  u  ln u  C u  0 dx 1  ln ax  b  C x  0   ax  b a x x u u  e dx  e  C  e du  e  C 1 e ax b dx  e ax b  C  a ax au  C 0  a  1  C 0  a  1 x a u dx    a dx  1 cos ax  b dx  sin ax  b   C ln a ln a  a   cos xdx  sin x  C cos udu  sin u  C 1 sin ax  b dx   cos ax  b   C   sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C a 1 1 dx  tan ax  b   C  1 1 cos ax  b   cos  cos dx  tan x  C du  tan u  C 2 a 2 2 x u 1 1 dx   cot ax  b   C 1 1   sin  sin dx   cot x  C du   cot u  C sin 2 ax  b  a 2 2 x u I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b / Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau: ò f[u(x)]u (x)dx a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a , x = b Þ t = u(b) = b . b b ò f[u(x)]u / (x)dx = ò f(t)dt . Bước 3. a a e2 dx Ví dụ 7. Tính tích phân I = ò x ln x . e Giải dx Đặt t = ln x Þ dt = x 2 x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 2 2 dt 2 Þ I= = ln t = ln 2 . ò 1 t 1 Vậy I = ln 2 . 1 www.VNMATH.com
  2. www.VNMATH.com p 4 cos x Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx . ò (sin x + cos x)3 0 Hướng dẫn: p p 4 4 cos x 1 dx . Đặt t = t an x + 1 I= ò (sin x + dx = ò (t an x + 1) . cos x) 3 3 cos2 x 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx Ví dụ 9. Tính tích phân I = ò (1 + . x) 2x + 3 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 3- x Ví dụ 10. Tính tích phân I = dx . ò 1+ x 0 Hướng dẫn: 3 t 2 dt 3- x Đặt t = ; đặt t = t an u L Þ L 8ò 2 (t + 1)2 1+ x 1 p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. Phân tích I = ò 1+ x 0 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], đ ể tính ta thực hiện các bước sau:  f ( x)dx a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u / (t ) dt . Bước 2. Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   .   b f [u (t )]u / (t )dt   g (t )dt . Bước 3. f ( x)dx      a 1 2 1 ò Ví dụ 1. Tính tích phân I = dx . 1 - x2 0 Giải é- p ; p ù Þ dx = cos t dt Đặt x = sin t, t Î ê ë 2 2ú û 1 p x = 0 Þ t = 0, x = Þ t = 2 6 2 www.VNMATH.com
  3. www.VNMATH.com p p p 6 6 6 p cos t cos t p p 6 - 0= . Þ I= dt = ò cos t dt = ò dt = t = ò 0 6 6 1 - sin 2 t 0 0 0 p Vậy I = . 6 2 4 - x 2 dx . Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . 1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I = . ò1+ x2 0 Giải æ p pö Đặt x = t an t, t Î ç- ; ÷ Þ dx = (t an 2 x + 1)dt ÷ ç ÷ ç 2 2ø è p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 t an 2 t + 1 p Þ I= ò dt = ò dt = . 1 + t an 2 t 4 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx Ví dụ 4. Tính tích phân I = . ò 2 x + 2x + 2 0 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx . I= = ò ò 2 1 + (x + 1)2 x + 2x + 2 0 0 Đặt x + 1 = t an t p ĐS: I = . 12 2 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = . ò 4 - x2 0 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = . ò x 2 + 2x + 2 0 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 2 x sin 3 xdx . ò cos Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = 0 Hướng dẫn: 3 www.VNMATH.com
  4. www.VNMATH.com Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15 p 2 5 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = xdx . ò cos 0 Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15 p 2 4 x sin 2 xdx . ò cos Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = 0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 4 x sin 2 xdx = ò cos2 x sin 2 2xdx = 16 ò (1 - cos 4x)dx + 4 ò cos 2x sin 2 2xdx I= ò cos 40 0 0 0 p p p 2 2 sin 3 2x ö 2 æx 1 1 1 p ÷ ò (1 - cos 4x)dx + 8 ò sin 2 2xd(sin 2x) = ç 16 - 64 sin 4x + 24 ø 0 = 32 . = ÷ ç ÷ 16 0 è 0 p Vậy I = . 32 p 2 dx ò cos x + Ví dụ 14. Tính tích p hân I = . sin x + 1 0 Hướng dẫn: x Đặt t = t an . 2 ĐS: I = ln 2 . 1 t2 2t 2t a : sin a  ; cos a  ; tan a  . Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan 2 2 1 t2 2 1 t 1 t 3.2. Dạng liên kết p xdx Ví dụ 15. Tính tích phân I = ò sin x + 1 . 0 Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = 0 Þ t = p, x = p Þ t = 0 0 p (p - t)dt p t ò ( sin t + 1 - ) ò Þ I= - = dt sin(p - t) + 1 sin t + 1 p 0 p p dt p dt = pò - IÞ I= ò sin t + 1 sin t + 1 2 0 0 æt p ö dç - ÷ ÷ ç ÷ p p p p ç2 4 ø æt pö è p p p dt p dt = t an ç - ÷ = p . = ò = = ò ò ÷ ç ÷ t p ç2 4 ø 2 æt pö 2 2 t t 4 ( ) è 2 ( ) 2 cos2 ç - ÷ cos - sin + cos 0 0 0 0 ÷ ç ÷ 24 2 2 ç2 4 ø è 4 www.VNMATH.com
  5. www.VNMATH.com Vậy I = p . Tổng quát: p p p ò f(sin x)dx . ò xf(sin x)dx = 2 0 0 p 2 sin 2007 x Ví dụ 16. Tính tích phân I = dx . ò sin 2007 x + cos2007 x 0 Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt 2 p p x= 0Þ t= , x= Þ t= 0 2 2 p p ( ) sin 2007 -t 0 2 cos2007 t 2 dx = ò dx = J (1). Þ I= - ò sin p p sin 2007 t + cos2007 t ( ) ( ) 2007 - t + cos2007 -t p 0 2 2 2 p 2 p p Mặt khác I + J = (2). Từ (1) và (2) suy ra I = . ò dx = 2 4 0 Tổng quát: p p 2 2 n cos n x sin x p dx = , n Î Z+ . dx = ò ò sin x + cos n x n sin x + cosn x n 4 0 0 p p 6 6 sin 2 x cos2 x ò ò Ví dụ 17. Tính tích phân I = dx và J = dx . sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 0 0 Giải I - 3J = 1 - 3 (1). p p 6 6 dx 1 dx I+ J = ò dx = ò 2 0 sin x + p ( ) sin x + 3 cos x 0 3 1 p Đặt t = x + Þ dt = dx  I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2) I = . ln 3 + ,J= ln 3 - 16 4 16 4 1 ln(1 + x) Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò dx . 1 + x2 0 Giải Đặt x = t an t Þ dx = (1 + t an 2 t)dt p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 ln(1 + t an t) (1 + t an 2 t )dt = Þ I= ò ln(1 + t an t)dt . ò 1 + t an 2 t 0 0 5 www.VNMATH.com
  6. www.VNMATH.com p Đặt t = - u Þ dt = - du 4 p p t= 0Þ u= , t= Þ u= 0 4 4 p 0 4 é æp öù t an ç - u ÷údu ò ln ê1 + Þ I= ò ln(1 + t an t)dt = - ÷ ç ÷ ç4 ê øú è ë û 0 p 4 p p 4 4 æ 1 - t an u ö æ ö 2 ÷du = ÷du ò ln ç1 + ò ln ç 1 + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è 1 + t an u ø è t an u ø 0 0 p p 4 4 p ò ln 2du - ò ln (1 + t an u )du = ln 2 - I . = 4 0 0 p Vậy I = ln 2 . 8 p 4 cos x ò 2007 Ví dụ 19. Tính tích phân I = dx . x +1 p - 4 Hướng dẫn: Đặt x = - t 2 ĐS: I = . 2 Tổng quát: Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [- a ; a ] thì a a f(x) dx = ò f(x)dx . ò x a +1 -a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cos x . p 2 ò f(x)dx . Tính tích phân I = p - 2 Giải p 2 Đặt J = ò f(- x)dx , x = - t Þ dx = - dt p - 2 p p p p x= - Þ t= , x= Þ t=- 2 2 2 2 p p 2 2 ò f(- t)dt = ò [f(- x) + Þ I= J Þ 3I = J + 2I = 2f(x) ]dx p p - - 2 2 p p 2 2 ò cos xdx = 2ò cos xdx = = 2. p 0 - 2 6 www.VNMATH.com
  7. www.VNMATH.com 2 Vậy I = . 3 3.3. Các k ết quả cần nhớ a i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đo ạn [– a; a] thì 0. ò f(x)dx = -a a a ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì ò f(x)dx = 2ò f(x)dx . -a 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ì (n - 1) !! ï p p ï , neáu n leû ï 2 2 cos n xdx = ò sin n xdx = ï n !! . ò í ï (n - 1) !! p ï . , neáu n chaün 0 0 ï ï ï î n !! 2 Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! = 1; 1!! = 1; 2 !! = 2; 3 !! = 1.3; 4 !! = 2.4; 5 !! = 1.3.5; 6 !! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8 !! = 2.4.6.8; 9 !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 . p 2 10 !! 2.4.6.8.10 256 11 Ví dụ 21. . ò cos xdx = = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 0 p 2 9 !! p 1.3.5.7.9 p 63p 10 ò sin xdx = .= .= Ví dụ 22. . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 0 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u (x), v(x) liên tục và có đ ạo hàm trên đo ạn [a; b]. Ta có / / Þ (uv )/ dx = u / vdx + uv / dx (uv ) = u v + uv / b b b Þ d uv = vdu + udv Þ ò d(uv) = ò vdu + ò udv ( ) a a a b b b b b b Þ uv = ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv - ò vdu . a a a a a a Công thức: b b b ò udv = uv - ò vdu (1). a a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b ò f(x)g/ (x)dx = f(x)g(x) a - / òf (x)g(x)dx (2). a a 2. Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân t a thực hiện ò f(x)g(x)dx a Cách 1. 7 www.VNMATH.com
  8. www.VNMATH.com Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (ho ặc ngư ợc lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân b / du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được. ò vdu a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: b b b ax i/ Nếu gặp .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đ ặt u = P(x) . ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e a a a b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a Cách 2. b b / Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2). ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx a a 1 x Ví dụ 1. Tính tích phân I = ò xe dx . 0 Giải u= x ì du = dx ì ï ï Đặt ï í dv = ex dx Þ ï (chọn C = 0 ) í ï v = ex ï ï î ï î 1 1 1 1 ò xex dx = xex x (x - 1)ex Þ - ò e dx = = 1. 0 0 0 0 e Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò x ln xdx . 1 Giải ï du = dx ì ï ì u = ln x ï ï x Đặt ï Þï í í x2 ï dv = xdx ï ï ïv= î ï ï î 2 e e e x2 e2 + 1 1 Þ x ln xdx = ln x - ò xdx = . ò 2 21 4 1 1 p 2 x Ví dụ 3. Tính tích phân I = sin xdx . òe 0 Giải ì u = sin x ì du = cos xdx ï ï Đặt ï Þï í í x ï v = ex ï dv = e dx ï ï î î p p 2 2 p p x sin xdx = e x sin x x 2 òe òe Þ I= - cos xdx = e 2 - J . 0 0 0 ì u = cos x ì du = - sin xdx ï ï Đặt ï í dv = ex dx Þ ï í ï v = ex ï ï î ï î 8 www.VNMATH.com
  9. www.VNMATH.com p p 2 2 p x cos xdx = e x cos x x 2 Þ J= òe + òe sin xdx = - 1 + I 0 0 0 p p e2 + 1 . Þ I = e - (- 1 + I) Þ I = 2 2 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = ò cos xdx . 0 Hướng dẫn: p 2 Đặt t = x L Þ I = 2 ò t cos t dt = L = p - 2 . 0 e Ví dụ 8. Tính tích phân I = ò sin(ln x)dx . 1 ( sin 1 - cos 1)e + 1 ĐS: I = . 2 III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b Giả sử cần tính tích phân I = f(x) dx , ta thực hiện các bước sau ò a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x1 x2 b x 0 0 - + + f(x) b x1 x2 b Bước 2. Tính I = f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx . òa a x1 x2 2 x 2 - 3x + 2 dx . Ví dụ 9. Tính tích phân I = ò -3 Giải Bảng xét dấu -3 1 2 x x 2 - 3x + 2 0 0 - + 1 2 59 2 2 ò (x - 3x + 2 )dx - ò (x - 3x + 2 )dx = I= . 2 -3 1 59 Vậy I = . 2 p 2 5 - 4 cos2 x - 4 sin xdx . ò Ví dụ 10. Tính tích phân I = 0 9 www.VNMATH.com
  10. www.VNMATH.com p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạ ng 2 b Giả sử cần tính tích phân I = ± g(x) ]dx , ta thực hiện ò [ f(x) a Cách 1. b b b g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Tách I = ò [ f(x) ± g(x) ]dx = f(x) dx ± ò ò a a a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 Ví dụ 11. Tính tích phân I = ò(x - x - 1 )dx . -1 Giải Cách 1. 2 2 2 I= (x - x - 1 )dx = x dx - x - 1 dx ò ò ò -1 -1 -1 0 2 1 2 =- ò xdx + ò xdx + ò (x - 1)dx - ò (x - 1)dx -1 0 -1 1 0 2 1 2 x2 x2 æx 2 æx 2 ö ö + ç - x÷ - ç - x÷ = 0 . =- + ÷ ÷ ç2 ç ÷ ÷ è ø- 1 è 2 ø1 2 2 -1 0 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x + – 0 + x–1 – – 0 + 0 1 2 I= ò (- x + x - 1 )dx + ò (x + x - 1 )dx + ò (x - x + 1 )dx -1 0 1 1 + (x 2 - x ) 0 + x 0 2 = 0. =-x -1 1 Vậy I = 0 . 3. Dạng 3 b b Để tính các tích phân I = g(x) }dx , ta thực hiện các ò max {f(x), g(x) }dx và J = ò min {f(x), a a bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h (x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h (x) > 0 thì max {f(x), g(x) } = f(x) và min {f(x), g(x) } = g(x) . + Nếu h (x) < 0 thì max {f(x), g(x) } = g(x) và min {f(x), g(x) } = f(x) . 4 2 ò max {x + 1, 4x - 2 }dx . Ví dụ 12. Tính tích phân I = 0 Giải 10 www.VNMATH.com
  11. www.VNMATH.com Đặt h(x) = (x 2 + 1 ) - (4x - 2 ) = x 2 - 4x + 3 . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 2 2 ò (x + 1 )dx + ò (x + 1 )dx = . I= ò (4x - 2 )dx + 3 0 1 3 80 Vậy I = . 3 2 x Ví dụ 13. Tính tích phân I = 4 - x }dx . ò min {3 , 0 Giải Đặt h(x) = 3 x - (4 - x ) = 3 x + x - 4 . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 2 1 x x2 ö æ 3 ÷ = 2 + 5. + ç 4x - ò 3x dx + I= (4 - x )dx = ò ÷ ç ÷ ln 3 è 2 ø1 ln 3 2 0 0 1 2 5 Vậy I = +. ln 3 2 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b b Để chứng minh 0 (hoặc 0 ) ta chứng minh f(x) ³ 0 (ho ặc f(x) £ 0 ) với ò f(x)dx ³ ò f(x)dx £ a a " x Î [a; b ]. 1 3 1 - x 6 dx ³ 0 . Ví dụ 14. Chứng minh ò 0 Giải 1 3 3 6 6 1 - x 6 dx ³ 0 . Với " x Î [0; 1 ]: x £ 1 Þ 1- x ³ 0 Þ ò 0 2. Dạng 2 b b Để chứng minh ta chứng minh f(x) ³ g(x) với " x Î [a; b ]. ò f(x)dx ³ ò g(x)dx a a p p 2 2 dx dx Ví dụ 15. Chứng minh ò . ò 1+ £ 1 + sin 10 x sin 11 x 0 0 Giải é0; p ù : 0 £ sin x £ 1 Þ 0 £ sin 11 x £ sin 10 x Với " x Î ê ë 2ú û 1 1 Þ 1 + sin 10 x ³ 1 + sin 11 x > 0 Þ . £ 10 1 + sin 11 x 1 + sin x 11 www.VNMATH.com
  12. www.VNMATH.com p p 2 2 dx dx Vậy ò . £ ò 1+ 1 + sin 10 x sin 11 x 0 0 3. Dạng 3 b Để chứng minh A £ B ta thực hiện các bước sau ò f(x)dx £ a Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f(x) £ M . b Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a) = B . a 1 4 + x 2 dx £ Ví dụ 16. Chứng minh 2 £ 5. ò 0 Giải Với " x Î [0; 1 ]: 4 £ 4 + x 2 £ 5 Þ 2 £ 4 + x2 £ 5. 1 4 + x 2 dx £ Vậy 2 £ 5. ò 0 3p 4 p dx p Ví dụ 17. Chứng minh £. £ ò 3- 2 sin 2 x 4 2 p 4 Giải ép 3p ù 2 1 £ sin 2 x £ 1 Với " x Î ê ; ú: £ sin x £ 1 Þ ë4 4û 2 2 1 1 Þ 1 £ 3 - 2 sin 2 x £ 2 Þ £ £1 2 3 - 2 sin 2 x 3p 4 1 3p p dx 3p p ( ) ( ) . Þ - £ ò 3- £1 - 2 sin 2 x 24 4 4 4 p 4 3p 4 p dx p Vậy ò 3- £ £. 2 4 2 sin x 2 p 4 p 3 3 cot x 1 Ví dụ 18. Chứng minh £ dx £ . ò 12 x 3 p 4 Giải ép p ù cot x , xÎ ê ; ú ta có Xét hàm số f(x) = ê4 3 ú x ë û -x - cot x ép p ù sin 2 x / < 0 "x Î ê ; ú f (x) = ê4 3 ú x2 ë û p p p pù "x Î é ; () () Þf £ f(x) £ f ê4 3 ú 3 4 ë û 12 www.VNMATH.com
  13. www.VNMATH.com ép p ù 3 cot x 4 "x Î ê ; ú Þ £ £ ê4 3 ú p x p ë û p 3 3 æp p ö 4 æp p ö cot x ç - ÷£ dx £ ç - ÷. Þ ò ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ p ç3 4 ø ç è p è3 4 ø x p 4 p 3 3 cot x 1 Vậy dx £ . £ ò 12 x 3 p 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b Để chứng minh A £ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện ò f(x)dx £ a ì f(x) £ g(x) " x Î [ b ] a; ï ï b ïb ï Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho í Þ ò f(x)dx £ B . ï g(x)dx = B ïò a ï ïa î ì h(x) £ f(x) " x Î [ b ] a; ï ï b ïb Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho ï Þ A £ ò f(x)dx . í ï h(x)dx = A ïò a ï ïa î 2 2 2 dx p Ví dụ 19. Chứng minh £ £. ò 2 4 2007 1- x 0 Giải é 2ù 1 ú : 0 £ x 2007 £ x 2 £ Với " x Î ê0; 2ú 2 ê ë û 1 1 1 £ 1 - x 2 £ 1 - x 2007 £ 1 Þ 1 £ Þ £ 2 1 - x 2007 1 - x2 2 2 2 2 2 2 dx dx . ò dx £ ò £ò Þ 2007 1 - x2 1- x 0 0 0 Đặt x = sin t Þ dx = cos t dt 2 p x = 0 Þ t = 0, x = Þ t= 2 4 2 p 2 4 dx cos t dt p Þ = =. ò ò cos t 4 1 - x2 0 0 2 2 2 dx p Vậy £. £ ò 2 4 2007 1- x 0 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Ví dụ 20. Chứng minh £ £ . ò 4 2 2 x + 2- 1 0 Giải 13 www.VNMATH.com
  14. www.VNMATH.com Với " x Î [0; 1 ]: 2 - 1 £ x 2 + 2 - 1 £ 3 - 1 x x x Þ £ £ 3- 1 2- 1 2 x + 2- 1 1 1 1 xdx xdx xdx . ò ò ò Þ £ £ 3- 1 2- 1 2 x + 2- 1 0 0 0 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Vậy . £ £ ò 4 2 2 x + 2- 1 0 V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y = f(x), x = a, x = b và trục ho ành là S = f(x) dx . ò a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) dx . ò a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Giải Do ln x ³ 0 " x Î [1; e ] nên e e e S= ln x dx = ò ln xdx = x (ln x - 1 ) 1 = 1 . ò 1 1 Vậy S = 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x 2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox. Giải Bảng xét dấu x0 1 3 y – 0 + 0 1 3 2 2 ò (- x + 4x - 3 )dx + ò (- x + 4x - 3 )dx S= - 0 1 1 3 æ x3 æ x3 ö ö 8 ÷ ÷ = - ç- ç 3 + 2x + 3x ø + ç- 3 + 2x + 3x ø = 3 . 2 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ è è 0 1 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = f(x) - g(x) dx . ò a Phương pháp giải toán 14 www.VNMATH.com
  15. www.VNMATH.com Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) - g(x) dx . ò a 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b f(x) - g(x) dx . Trong đó a , b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của y = f(x), y = g(x) là S = ò a phương trình f(x) = g(x) (a £ a < b £ b ). Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a ; b ]. b Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) - g(x) dx . ò a Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 . Giải Đặt h(x) = (x 3 + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 2 ò (x 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx + 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx ò (x S= - 0 1 1 2 æx 4 11x 2 æx 4 11x 2 ö ö 5 - 6x ÷ + ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . = - ç - 2x 3 + ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 2 5 Vậy S = (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 . Giải Đặt h(x) = (x 3 + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 . Bảng xét dấu x1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 3 ò (x 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx - 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx ò (x S= 1 2 ö 2 æx 4 ö3 æx 4 11x 2 11x 2 1 - 6x ÷ - ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . = ç - 2x 3 + ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è ø1 è ø2 2 2 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 Chú ý: 15 www.VNMATH.com
  16. www.VNMATH.com Nếu trong đoạn [a ; b ] phương tr ình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công b b t hức g(x) ]dx . ò f(x) - g(x) dx = ò [f(x) - a a Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . Giải 3 Ta có x = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2 0 2 3 3 ò (x - 4x )dx + ò (x - 4x )dx Þ S= -2 0 0 2 æx 4 æx 4 ö ö = ç - 2x 2 ÷ + ç - 2x 2 ÷ = 8 . ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải Ta có x 2 - 4 x + 3 = 0 Û t 2 - 4t + 3 = 0, t = x ³ 0 ét = 1 éx = 1 éx = ± 1 Ûê Ûê Ûê êt = 3 êx = 3 êx = ± 3 ë ë ë 3 3 x - 4 x + 3 dx = 2 ò x 2 - 4x + 3 dx 2 Þ S= ò -3 0 é1 3 ù = 2 ê ò (x 2 - 4x + 3 )dx ò (x 2 - 4x + 3 )dx ú + ê ú ê0 ú ë û 1 1 3 é æx 3 ù 16 3 ö æx ö ê ç - 2x 2 + 3x ÷ + ç - 2x 2 + 3x ÷ ú= . =2 ç ÷ ÷ ç3 ÷ ÷ êè 3 ú3 ø0 è ø1 ë û 16 Vậy S = (đvdt). 3 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 ìx+ 3³ 0 ï ï éx = 0 ï2 Û ï éx - 4x + 3 = x + 3 Û ê . íê êx = 5 ï ïê2 ë ï êx - 4x + 3 = - x - 3 ïë î Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2 +0–0+ x - 4x + 3 1 3 5 2 2 2 ò (x - 5x )dx + ò (- x + 3x - 6 )dx + ò (x - 5x )dx Þ S= 0 1 3 1 3 5 æx 3 5x 2 ö 3 2 3 2 ÷ + æ- x + 3x - 6x ö + æx - 5x ö = 109 . ÷ ÷ =ç - ç ç ÷ ÷ ÷ ç3 ç ç ÷ ÷ ÷ è 2 ø0 è 3 2 ø1 è 3 2 ø3 6 109 Vậy S = (đvdt). 6 16 www.VNMATH.com
  17. www.VNMATH.com Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 1 = x + 5 Û t 2 - 1 = t + 5, t = x ³ 0 ìt = x ³ 0 ï ï ìt = x ³ 0 ï2 ï Û ï ét - 1 = t + 5 Û í ï Û x = ±3 íê ï ït = 3 ï ê2 ï î ï êt - 1 = - t - 5 ï îë 3 3 x2 - 1 - x + 5 ) dx = 2 ò x 2 - 1 - Þ S= (x + 5 ) dx ò ( -3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 x2 - 1 – 0 + 1 3 ò (- x 2 - x - 4 )dx + 2 ò (x - x - 6 )dx Þ S= 2 0 1 1 3 æ- x 3 x2 æx 3 x2 ö ö 73 - 4x ÷ + ç - - 6x ÷ = = 2ç . - ÷ ÷ ç3 ç3 ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 3 73 Vậy S = (đvdt). 3 Chú ý: Nếu hình phẳng đ ược giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối t ròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = f(x) ³ 0" x Î [a; b ], y = 0 , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p ò f 2 (x)dx . a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox. 2 2 Giải Hoành đ ộ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ± R . Phương trình (C) : x 2 + y 2 = R 2 Û y 2 = R 2 - x 2 R R Þ V = p ò (R 2 - x 2 )dx = 2p ò (R 2 - x 2 )dx -R 0 R 3 3 æ xö ÷ = 4p R . = 2p ç R 2 x - ÷ ç ÷ è 3 ø0 3 3 4p R Vậy V = (đvtt). 3 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường x = g(y) ³ 0" y Î [c; d ], x = 0 , d y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = p ò g2 (y)dy . c 17 www.VNMATH.com
  18. www.VNMATH.com x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : + 2 = 1 quay quanh Oy. a2 b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ± b . b x2 y2 a 2 y2 Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 Û x 2 = a 2 - b2 a b b b a 2 y2 ö 22 æ ÷dy = 2p æa 2 - a y ödy ÷ Þ V = p ò ça 2 - ç òè ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ b2 ø b2 ø è -b 0 R a 2y3 ö 2 æ ÷ = 4p a b . = 2p ç a 2 y - ÷ ç ÷ 3b 2 ø 0 è 3 2 4p a b Vậy V = (đvtt). 3 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³ 0, g(x) ³ 0 " x Î [a; b ] quay quanh trục Ox là ) b V = p ò f 2 (x) - g2 (x) dx . a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Giải ìx³ 0 éx = 0 ï Hoành độ giao điểm ï 4 Ûê êx = 1 . í ïx = x ï ë î 1 1 Þ V = p ò x 4 - x dx = p 4 ò (x - x )dx 0 0 15 121 3p ( ) =p x- x = . 5 2 10 0 3p Vậy V = (đvtt). 10 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³ 0, g(y) ³ 0 " y Î [c; d ] quay quanh trục Oy là ) d V = p ò f 2 (y) - g 2 (y) dy . c Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y 2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Giải éy = - 1 Tung độ giao điểm - y 2 + 5 = 3 - y Û ê êy = 2 . ë 2 2 Þ V = p ò (- y 2 + 5 ) - (3 - y )2 dy -1 18 www.VNMATH.com
  19. www.VNMATH.com 2 4 - 11y 2 + 6y + 16 )dy ò (y =p -1 2 æy 5 11y 3 ö 153p + 3y 2 + 16y ÷ = =pç - . ÷ ç ÷ ç5 è 3 ø- 1 5 153p Vậy V = (đvtt). 5 VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 11 12 1 10 10 1. Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S  1  C10  C10  ...  C10 2 3 11 0 1 19 2. Tính: I   x 1  x  dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 0 10 11 12 1 18 1 19 C19  C19 . C19  C19  C19  ...  S 2 3 4 20 21 2 n1  1 1 1 1 3. Chứng minh rằng: 1  C1  Cn  ...  2 n Cn  n n 1 n 1 2 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2    4 sin x  cos x 2. Tính các tích phân sau: 2 2 e 2 A= 2 x  5 - 7 x dx B= C= 2 x ln 2dx x 2 -1 dx    x -2 0 1 3. Tính các tích phân sau:  2 e x 4 23 3 B=  ln x dx C*= D*=  dx A= e3 cos x sin xdx dx   x 1 1 x -1 2 x x 4 1 0 5 4. Tính các tích phân sau:  10 e I= sin(ln x) dx 4 dx J= K=  lg xdx   sin 2 x cot x x 1 1  6  2 ln 5 dx L=  x dx x 2 sin 2 xdx M= N=  2  1 x -9 ln 3 e  2e 3 cos 2 x  4 sin 2 x 0  2 sin 2 x C=  dx 2 2 0 (1  cos x) 5. Tính các tích phân sau: 1 4 dx 3 dx A= B= C= 16 - x 2 dx    x2  3 2 4- x 0 0 3 3 2 ln 2 1- e x D= E=  dx dx  x2  1 1 ex 2 0 6. Tính các tích phân sau: 19 www.VNMATH.com
  20. www.VNMATH.com 2 e2  C*=  ln2x dx A=  ln x dx x sin x B*=  1  cos2 x dx 1x x 1 0 1 x2  1 2 3x 4  2 x e D*= cos(ln x) dx F*  E=   4 dx dx  x3 1 1  x 1 1 7. Tính:   1 4 2 x 4 2 e C=  xe x dx 2 cos 3 xdx A= B= D=  E=  x ln xdx dx   cos xdx x 0 1 1 0 0 e 2 4 2 1 ln x  1 x x G=  x 1  2 x 2 dx F=  H=  x 1  2 xdx I=  J=  dx dx dx 1  x2 x 1 x 1 0 0 1 0 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ ường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x b. y=2x; y=3x và x=0 x c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đ ường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D g iới hạn bởi các đ ường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b) Trục Oy. Hết 20 www.VNMATH.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
10=>1