Chuyên đề Toán: TÍCH PHÂN
lượt xem 57
download
tài liệu luyện thi đại học, đề cương ôn thi sinh học, bài tập sinh học, toán di truyền, công thức sinh học: bài tập trắc nghiệm, tài liệu ôn thi đại học, ngân hàng đề thi trắc nghiệm, ôn tập sinh học, sổ tay sinh học
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chuyên đề Toán: TÍCH PHÂN
- www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp hàm số hợp thường gặp 1 dx x C du u C d ax b a ax b C x 1 u 1 1 ax b dx 1 ax b C 1 C 1 C 1 x dx u du 1 1 a 1 dx du x ln x C x 0 u ln u C u 0 dx 1 ln ax b C x 0 ax b a x x u u e dx e C e du e C 1 e ax b dx e ax b C a ax au C 0 a 1 C 0 a 1 x a u dx a dx 1 cos ax b dx sin ax b C ln a ln a a cos xdx sin x C cos udu sin u C 1 sin ax b dx cos ax b C sin xdx cos x C sin udu cos u C a 1 1 dx tan ax b C 1 1 cos ax b cos cos dx tan x C du tan u C 2 a 2 2 x u 1 1 dx cot ax b C 1 1 sin sin dx cot x C du cot u C sin 2 ax b a 2 2 x u I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b / Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau: ò f[u(x)]u (x)dx a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a , x = b Þ t = u(b) = b . b b ò f[u(x)]u / (x)dx = ò f(t)dt . Bước 3. a a e2 dx Ví dụ 7. Tính tích phân I = ò x ln x . e Giải dx Đặt t = ln x Þ dt = x 2 x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 2 2 dt 2 Þ I= = ln t = ln 2 . ò 1 t 1 Vậy I = ln 2 . 1 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p 4 cos x Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx . ò (sin x + cos x)3 0 Hướng dẫn: p p 4 4 cos x 1 dx . Đặt t = t an x + 1 I= ò (sin x + dx = ò (t an x + 1) . cos x) 3 3 cos2 x 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx Ví dụ 9. Tính tích phân I = ò (1 + . x) 2x + 3 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 3- x Ví dụ 10. Tính tích phân I = dx . ò 1+ x 0 Hướng dẫn: 3 t 2 dt 3- x Đặt t = ; đặt t = t an u L Þ L 8ò 2 (t + 1)2 1+ x 1 p ĐS: I = - 3 + 2. 3 Chú ý: 1 3- x dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. Phân tích I = ò 1+ x 0 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], đ ể tính ta thực hiện các bước sau: f ( x)dx a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx u / (t ) dt . Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t . b f [u (t )]u / (t )dt g (t )dt . Bước 3. f ( x)dx a 1 2 1 ò Ví dụ 1. Tính tích phân I = dx . 1 - x2 0 Giải é- p ; p ù Þ dx = cos t dt Đặt x = sin t, t Î ê ë 2 2ú û 1 p x = 0 Þ t = 0, x = Þ t = 2 6 2 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p p p 6 6 6 p cos t cos t p p 6 - 0= . Þ I= dt = ò cos t dt = ò dt = t = ò 0 6 6 1 - sin 2 t 0 0 0 p Vậy I = . 6 2 4 - x 2 dx . Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . 1 dx Ví dụ 3. Tính tích phân I = . ò1+ x2 0 Giải æ p pö Đặt x = t an t, t Î ç- ; ÷ Þ dx = (t an 2 x + 1)dt ÷ ç ÷ ç 2 2ø è p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 t an 2 t + 1 p Þ I= ò dt = ò dt = . 1 + t an 2 t 4 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx Ví dụ 4. Tính tích phân I = . ò 2 x + 2x + 2 0 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx . I= = ò ò 2 1 + (x + 1)2 x + 2x + 2 0 0 Đặt x + 1 = t an t p ĐS: I = . 12 2 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = . ò 4 - x2 0 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = . ò x 2 + 2x + 2 0 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 2 x sin 3 xdx . ò cos Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = 0 Hướng dẫn: 3 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15 p 2 5 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = xdx . ò cos 0 Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15 p 2 4 x sin 2 xdx . ò cos Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = 0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 4 x sin 2 xdx = ò cos2 x sin 2 2xdx = 16 ò (1 - cos 4x)dx + 4 ò cos 2x sin 2 2xdx I= ò cos 40 0 0 0 p p p 2 2 sin 3 2x ö 2 æx 1 1 1 p ÷ ò (1 - cos 4x)dx + 8 ò sin 2 2xd(sin 2x) = ç 16 - 64 sin 4x + 24 ø 0 = 32 . = ÷ ç ÷ 16 0 è 0 p Vậy I = . 32 p 2 dx ò cos x + Ví dụ 14. Tính tích p hân I = . sin x + 1 0 Hướng dẫn: x Đặt t = t an . 2 ĐS: I = ln 2 . 1 t2 2t 2t a : sin a ; cos a ; tan a . Biểu diễn các hàm số LG theo t tan 2 2 1 t2 2 1 t 1 t 3.2. Dạng liên kết p xdx Ví dụ 15. Tính tích phân I = ò sin x + 1 . 0 Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = 0 Þ t = p, x = p Þ t = 0 0 p (p - t)dt p t ò ( sin t + 1 - ) ò Þ I= - = dt sin(p - t) + 1 sin t + 1 p 0 p p dt p dt = pò - IÞ I= ò sin t + 1 sin t + 1 2 0 0 æt p ö dç - ÷ ÷ ç ÷ p p p p ç2 4 ø æt pö è p p p dt p dt = t an ç - ÷ = p . = ò = = ò ò ÷ ç ÷ t p ç2 4 ø 2 æt pö 2 2 t t 4 ( ) è 2 ( ) 2 cos2 ç - ÷ cos - sin + cos 0 0 0 0 ÷ ç ÷ 24 2 2 ç2 4 ø è 4 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Vậy I = p . Tổng quát: p p p ò f(sin x)dx . ò xf(sin x)dx = 2 0 0 p 2 sin 2007 x Ví dụ 16. Tính tích phân I = dx . ò sin 2007 x + cos2007 x 0 Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt 2 p p x= 0Þ t= , x= Þ t= 0 2 2 p p ( ) sin 2007 -t 0 2 cos2007 t 2 dx = ò dx = J (1). Þ I= - ò sin p p sin 2007 t + cos2007 t ( ) ( ) 2007 - t + cos2007 -t p 0 2 2 2 p 2 p p Mặt khác I + J = (2). Từ (1) và (2) suy ra I = . ò dx = 2 4 0 Tổng quát: p p 2 2 n cos n x sin x p dx = , n Î Z+ . dx = ò ò sin x + cos n x n sin x + cosn x n 4 0 0 p p 6 6 sin 2 x cos2 x ò ò Ví dụ 17. Tính tích phân I = dx và J = dx . sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 0 0 Giải I - 3J = 1 - 3 (1). p p 6 6 dx 1 dx I+ J = ò dx = ò 2 0 sin x + p ( ) sin x + 3 cos x 0 3 1 p Đặt t = x + Þ dt = dx I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2) I = . ln 3 + ,J= ln 3 - 16 4 16 4 1 ln(1 + x) Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò dx . 1 + x2 0 Giải Đặt x = t an t Þ dx = (1 + t an 2 t)dt p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 ln(1 + t an t) (1 + t an 2 t )dt = Þ I= ò ln(1 + t an t)dt . ò 1 + t an 2 t 0 0 5 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p Đặt t = - u Þ dt = - du 4 p p t= 0Þ u= , t= Þ u= 0 4 4 p 0 4 é æp öù t an ç - u ÷údu ò ln ê1 + Þ I= ò ln(1 + t an t)dt = - ÷ ç ÷ ç4 ê øú è ë û 0 p 4 p p 4 4 æ 1 - t an u ö æ ö 2 ÷du = ÷du ò ln ç1 + ò ln ç 1 + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è 1 + t an u ø è t an u ø 0 0 p p 4 4 p ò ln 2du - ò ln (1 + t an u )du = ln 2 - I . = 4 0 0 p Vậy I = ln 2 . 8 p 4 cos x ò 2007 Ví dụ 19. Tính tích phân I = dx . x +1 p - 4 Hướng dẫn: Đặt x = - t 2 ĐS: I = . 2 Tổng quát: Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [- a ; a ] thì a a f(x) dx = ò f(x)dx . ò x a +1 -a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cos x . p 2 ò f(x)dx . Tính tích phân I = p - 2 Giải p 2 Đặt J = ò f(- x)dx , x = - t Þ dx = - dt p - 2 p p p p x= - Þ t= , x= Þ t=- 2 2 2 2 p p 2 2 ò f(- t)dt = ò [f(- x) + Þ I= J Þ 3I = J + 2I = 2f(x) ]dx p p - - 2 2 p p 2 2 ò cos xdx = 2ò cos xdx = = 2. p 0 - 2 6 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com 2 Vậy I = . 3 3.3. Các k ết quả cần nhớ a i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đo ạn [– a; a] thì 0. ò f(x)dx = -a a a ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì ò f(x)dx = 2ò f(x)dx . -a 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ì (n - 1) !! ï p p ï , neáu n leû ï 2 2 cos n xdx = ò sin n xdx = ï n !! . ò í ï (n - 1) !! p ï . , neáu n chaün 0 0 ï ï ï î n !! 2 Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! = 1; 1!! = 1; 2 !! = 2; 3 !! = 1.3; 4 !! = 2.4; 5 !! = 1.3.5; 6 !! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8 !! = 2.4.6.8; 9 !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 . p 2 10 !! 2.4.6.8.10 256 11 Ví dụ 21. . ò cos xdx = = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 0 p 2 9 !! p 1.3.5.7.9 p 63p 10 ò sin xdx = .= .= Ví dụ 22. . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 0 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u (x), v(x) liên tục và có đ ạo hàm trên đo ạn [a; b]. Ta có / / Þ (uv )/ dx = u / vdx + uv / dx (uv ) = u v + uv / b b b Þ d uv = vdu + udv Þ ò d(uv) = ò vdu + ò udv ( ) a a a b b b b b b Þ uv = ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv - ò vdu . a a a a a a Công thức: b b b ò udv = uv - ò vdu (1). a a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b ò f(x)g/ (x)dx = f(x)g(x) a - / òf (x)g(x)dx (2). a a 2. Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân t a thực hiện ò f(x)g(x)dx a Cách 1. 7 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (ho ặc ngư ợc lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân b / du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được. ò vdu a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: b b b ax i/ Nếu gặp .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đ ặt u = P(x) . ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e a a a b ii/ Nếu gặp ò P(x) ln xdx thì đặt u = ln x . a Cách 2. b b / Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2). ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx a a 1 x Ví dụ 1. Tính tích phân I = ò xe dx . 0 Giải u= x ì du = dx ì ï ï Đặt ï í dv = ex dx Þ ï (chọn C = 0 ) í ï v = ex ï ï î ï î 1 1 1 1 ò xex dx = xex x (x - 1)ex Þ - ò e dx = = 1. 0 0 0 0 e Ví dụ 2. Tính tích phân I = ò x ln xdx . 1 Giải ï du = dx ì ï ì u = ln x ï ï x Đặt ï Þï í í x2 ï dv = xdx ï ï ïv= î ï ï î 2 e e e x2 e2 + 1 1 Þ x ln xdx = ln x - ò xdx = . ò 2 21 4 1 1 p 2 x Ví dụ 3. Tính tích phân I = sin xdx . òe 0 Giải ì u = sin x ì du = cos xdx ï ï Đặt ï Þï í í x ï v = ex ï dv = e dx ï ï î î p p 2 2 p p x sin xdx = e x sin x x 2 òe òe Þ I= - cos xdx = e 2 - J . 0 0 0 ì u = cos x ì du = - sin xdx ï ï Đặt ï í dv = ex dx Þ ï í ï v = ex ï ï î ï î 8 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p p 2 2 p x cos xdx = e x cos x x 2 Þ J= òe + òe sin xdx = - 1 + I 0 0 0 p p e2 + 1 . Þ I = e - (- 1 + I) Þ I = 2 2 Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = ò cos xdx . 0 Hướng dẫn: p 2 Đặt t = x L Þ I = 2 ò t cos t dt = L = p - 2 . 0 e Ví dụ 8. Tính tích phân I = ò sin(ln x)dx . 1 ( sin 1 - cos 1)e + 1 ĐS: I = . 2 III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b Giả sử cần tính tích phân I = f(x) dx , ta thực hiện các bước sau ò a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x1 x2 b x 0 0 - + + f(x) b x1 x2 b Bước 2. Tính I = f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx . òa a x1 x2 2 x 2 - 3x + 2 dx . Ví dụ 9. Tính tích phân I = ò -3 Giải Bảng xét dấu -3 1 2 x x 2 - 3x + 2 0 0 - + 1 2 59 2 2 ò (x - 3x + 2 )dx - ò (x - 3x + 2 )dx = I= . 2 -3 1 59 Vậy I = . 2 p 2 5 - 4 cos2 x - 4 sin xdx . ò Ví dụ 10. Tính tích phân I = 0 9 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạ ng 2 b Giả sử cần tính tích phân I = ± g(x) ]dx , ta thực hiện ò [ f(x) a Cách 1. b b b g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Tách I = ò [ f(x) ± g(x) ]dx = f(x) dx ± ò ò a a a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 Ví dụ 11. Tính tích phân I = ò(x - x - 1 )dx . -1 Giải Cách 1. 2 2 2 I= (x - x - 1 )dx = x dx - x - 1 dx ò ò ò -1 -1 -1 0 2 1 2 =- ò xdx + ò xdx + ò (x - 1)dx - ò (x - 1)dx -1 0 -1 1 0 2 1 2 x2 x2 æx 2 æx 2 ö ö + ç - x÷ - ç - x÷ = 0 . =- + ÷ ÷ ç2 ç ÷ ÷ è ø- 1 è 2 ø1 2 2 -1 0 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x + – 0 + x–1 – – 0 + 0 1 2 I= ò (- x + x - 1 )dx + ò (x + x - 1 )dx + ò (x - x + 1 )dx -1 0 1 1 + (x 2 - x ) 0 + x 0 2 = 0. =-x -1 1 Vậy I = 0 . 3. Dạng 3 b b Để tính các tích phân I = g(x) }dx , ta thực hiện các ò max {f(x), g(x) }dx và J = ò min {f(x), a a bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h (x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h (x) > 0 thì max {f(x), g(x) } = f(x) và min {f(x), g(x) } = g(x) . + Nếu h (x) < 0 thì max {f(x), g(x) } = g(x) và min {f(x), g(x) } = f(x) . 4 2 ò max {x + 1, 4x - 2 }dx . Ví dụ 12. Tính tích phân I = 0 Giải 10 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Đặt h(x) = (x 2 + 1 ) - (4x - 2 ) = x 2 - 4x + 3 . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 2 2 ò (x + 1 )dx + ò (x + 1 )dx = . I= ò (4x - 2 )dx + 3 0 1 3 80 Vậy I = . 3 2 x Ví dụ 13. Tính tích phân I = 4 - x }dx . ò min {3 , 0 Giải Đặt h(x) = 3 x - (4 - x ) = 3 x + x - 4 . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 2 1 x x2 ö æ 3 ÷ = 2 + 5. + ç 4x - ò 3x dx + I= (4 - x )dx = ò ÷ ç ÷ ln 3 è 2 ø1 ln 3 2 0 0 1 2 5 Vậy I = +. ln 3 2 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b b Để chứng minh 0 (hoặc 0 ) ta chứng minh f(x) ³ 0 (ho ặc f(x) £ 0 ) với ò f(x)dx ³ ò f(x)dx £ a a " x Î [a; b ]. 1 3 1 - x 6 dx ³ 0 . Ví dụ 14. Chứng minh ò 0 Giải 1 3 3 6 6 1 - x 6 dx ³ 0 . Với " x Î [0; 1 ]: x £ 1 Þ 1- x ³ 0 Þ ò 0 2. Dạng 2 b b Để chứng minh ta chứng minh f(x) ³ g(x) với " x Î [a; b ]. ò f(x)dx ³ ò g(x)dx a a p p 2 2 dx dx Ví dụ 15. Chứng minh ò . ò 1+ £ 1 + sin 10 x sin 11 x 0 0 Giải é0; p ù : 0 £ sin x £ 1 Þ 0 £ sin 11 x £ sin 10 x Với " x Î ê ë 2ú û 1 1 Þ 1 + sin 10 x ³ 1 + sin 11 x > 0 Þ . £ 10 1 + sin 11 x 1 + sin x 11 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com p p 2 2 dx dx Vậy ò . £ ò 1+ 1 + sin 10 x sin 11 x 0 0 3. Dạng 3 b Để chứng minh A £ B ta thực hiện các bước sau ò f(x)dx £ a Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f(x) £ M . b Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a) = B . a 1 4 + x 2 dx £ Ví dụ 16. Chứng minh 2 £ 5. ò 0 Giải Với " x Î [0; 1 ]: 4 £ 4 + x 2 £ 5 Þ 2 £ 4 + x2 £ 5. 1 4 + x 2 dx £ Vậy 2 £ 5. ò 0 3p 4 p dx p Ví dụ 17. Chứng minh £. £ ò 3- 2 sin 2 x 4 2 p 4 Giải ép 3p ù 2 1 £ sin 2 x £ 1 Với " x Î ê ; ú: £ sin x £ 1 Þ ë4 4û 2 2 1 1 Þ 1 £ 3 - 2 sin 2 x £ 2 Þ £ £1 2 3 - 2 sin 2 x 3p 4 1 3p p dx 3p p ( ) ( ) . Þ - £ ò 3- £1 - 2 sin 2 x 24 4 4 4 p 4 3p 4 p dx p Vậy ò 3- £ £. 2 4 2 sin x 2 p 4 p 3 3 cot x 1 Ví dụ 18. Chứng minh £ dx £ . ò 12 x 3 p 4 Giải ép p ù cot x , xÎ ê ; ú ta có Xét hàm số f(x) = ê4 3 ú x ë û -x - cot x ép p ù sin 2 x / < 0 "x Î ê ; ú f (x) = ê4 3 ú x2 ë û p p p pù "x Î é ; () () Þf £ f(x) £ f ê4 3 ú 3 4 ë û 12 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com ép p ù 3 cot x 4 "x Î ê ; ú Þ £ £ ê4 3 ú p x p ë û p 3 3 æp p ö 4 æp p ö cot x ç - ÷£ dx £ ç - ÷. Þ ò ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ p ç3 4 ø ç è p è3 4 ø x p 4 p 3 3 cot x 1 Vậy dx £ . £ ò 12 x 3 p 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b Để chứng minh A £ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện ò f(x)dx £ a ì f(x) £ g(x) " x Î [ b ] a; ï ï b ïb ï Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho í Þ ò f(x)dx £ B . ï g(x)dx = B ïò a ï ïa î ì h(x) £ f(x) " x Î [ b ] a; ï ï b ïb Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho ï Þ A £ ò f(x)dx . í ï h(x)dx = A ïò a ï ïa î 2 2 2 dx p Ví dụ 19. Chứng minh £ £. ò 2 4 2007 1- x 0 Giải é 2ù 1 ú : 0 £ x 2007 £ x 2 £ Với " x Î ê0; 2ú 2 ê ë û 1 1 1 £ 1 - x 2 £ 1 - x 2007 £ 1 Þ 1 £ Þ £ 2 1 - x 2007 1 - x2 2 2 2 2 2 2 dx dx . ò dx £ ò £ò Þ 2007 1 - x2 1- x 0 0 0 Đặt x = sin t Þ dx = cos t dt 2 p x = 0 Þ t = 0, x = Þ t= 2 4 2 p 2 4 dx cos t dt p Þ = =. ò ò cos t 4 1 - x2 0 0 2 2 2 dx p Vậy £. £ ò 2 4 2007 1- x 0 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Ví dụ 20. Chứng minh £ £ . ò 4 2 2 x + 2- 1 0 Giải 13 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Với " x Î [0; 1 ]: 2 - 1 £ x 2 + 2 - 1 £ 3 - 1 x x x Þ £ £ 3- 1 2- 1 2 x + 2- 1 1 1 1 xdx xdx xdx . ò ò ò Þ £ £ 3- 1 2- 1 2 x + 2- 1 0 0 0 1 3+ 1 xdx 2+ 1 Vậy . £ £ ò 4 2 2 x + 2- 1 0 V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y = f(x), x = a, x = b và trục ho ành là S = f(x) dx . ò a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) dx . ò a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Giải Do ln x ³ 0 " x Î [1; e ] nên e e e S= ln x dx = ò ln xdx = x (ln x - 1 ) 1 = 1 . ò 1 1 Vậy S = 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x 2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox. Giải Bảng xét dấu x0 1 3 y – 0 + 0 1 3 2 2 ò (- x + 4x - 3 )dx + ò (- x + 4x - 3 )dx S= - 0 1 1 3 æ x3 æ x3 ö ö 8 ÷ ÷ = - ç- ç 3 + 2x + 3x ø + ç- 3 + 2x + 3x ø = 3 . 2 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ è è 0 1 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = f(x) - g(x) dx . ò a Phương pháp giải toán 14 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) - g(x) dx . ò a 2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b f(x) - g(x) dx . Trong đó a , b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của y = f(x), y = g(x) là S = ò a phương trình f(x) = g(x) (a £ a < b £ b ). Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a ; b ]. b Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) - g(x) dx . ò a Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 . Giải Đặt h(x) = (x 3 + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 2 ò (x 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx + 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx ò (x S= - 0 1 1 2 æx 4 11x 2 æx 4 11x 2 ö ö 5 - 6x ÷ + ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . = - ç - 2x 3 + ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 2 5 Vậy S = (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 . Giải Đặt h(x) = (x 3 + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 . Bảng xét dấu x1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 3 ò (x 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx - 3 - 6x 2 + 11x - 6 )dx ò (x S= 1 2 ö 2 æx 4 ö3 æx 4 11x 2 11x 2 1 - 6x ÷ - ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . = ç - 2x 3 + ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è ø1 è ø2 2 2 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 Chú ý: 15 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Nếu trong đoạn [a ; b ] phương tr ình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công b b t hức g(x) ]dx . ò f(x) - g(x) dx = ò [f(x) - a a Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . Giải 3 Ta có x = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2 0 2 3 3 ò (x - 4x )dx + ò (x - 4x )dx Þ S= -2 0 0 2 æx 4 æx 4 ö ö = ç - 2x 2 ÷ + ç - 2x 2 ÷ = 8 . ÷ ÷ ç4 ç4 ÷ ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải Ta có x 2 - 4 x + 3 = 0 Û t 2 - 4t + 3 = 0, t = x ³ 0 ét = 1 éx = 1 éx = ± 1 Ûê Ûê Ûê êt = 3 êx = 3 êx = ± 3 ë ë ë 3 3 x - 4 x + 3 dx = 2 ò x 2 - 4x + 3 dx 2 Þ S= ò -3 0 é1 3 ù = 2 ê ò (x 2 - 4x + 3 )dx ò (x 2 - 4x + 3 )dx ú + ê ú ê0 ú ë û 1 1 3 é æx 3 ù 16 3 ö æx ö ê ç - 2x 2 + 3x ÷ + ç - 2x 2 + 3x ÷ ú= . =2 ç ÷ ÷ ç3 ÷ ÷ êè 3 ú3 ø0 è ø1 ë û 16 Vậy S = (đvdt). 3 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 ìx+ 3³ 0 ï ï éx = 0 ï2 Û ï éx - 4x + 3 = x + 3 Û ê . íê êx = 5 ï ïê2 ë ï êx - 4x + 3 = - x - 3 ïë î Bảng xét dấu x 0 1 3 5 2 +0–0+ x - 4x + 3 1 3 5 2 2 2 ò (x - 5x )dx + ò (- x + 3x - 6 )dx + ò (x - 5x )dx Þ S= 0 1 3 1 3 5 æx 3 5x 2 ö 3 2 3 2 ÷ + æ- x + 3x - 6x ö + æx - 5x ö = 109 . ÷ ÷ =ç - ç ç ÷ ÷ ÷ ç3 ç ç ÷ ÷ ÷ è 2 ø0 è 3 2 ø1 è 3 2 ø3 6 109 Vậy S = (đvdt). 6 16 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 1 = x + 5 Û t 2 - 1 = t + 5, t = x ³ 0 ìt = x ³ 0 ï ï ìt = x ³ 0 ï2 ï Û ï ét - 1 = t + 5 Û í ï Û x = ±3 íê ï ït = 3 ï ê2 ï î ï êt - 1 = - t - 5 ï îë 3 3 x2 - 1 - x + 5 ) dx = 2 ò x 2 - 1 - Þ S= (x + 5 ) dx ò ( -3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 x2 - 1 – 0 + 1 3 ò (- x 2 - x - 4 )dx + 2 ò (x - x - 6 )dx Þ S= 2 0 1 1 3 æ- x 3 x2 æx 3 x2 ö ö 73 - 4x ÷ + ç - - 6x ÷ = = 2ç . - ÷ ÷ ç3 ç3 ÷ ÷ è 2 ø0 è 2 ø1 3 73 Vậy S = (đvdt). 3 Chú ý: Nếu hình phẳng đ ược giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối t ròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = f(x) ³ 0" x Î [a; b ], y = 0 , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p ò f 2 (x)dx . a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox. 2 2 Giải Hoành đ ộ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ± R . Phương trình (C) : x 2 + y 2 = R 2 Û y 2 = R 2 - x 2 R R Þ V = p ò (R 2 - x 2 )dx = 2p ò (R 2 - x 2 )dx -R 0 R 3 3 æ xö ÷ = 4p R . = 2p ç R 2 x - ÷ ç ÷ è 3 ø0 3 3 4p R Vậy V = (đvtt). 3 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường x = g(y) ³ 0" y Î [c; d ], x = 0 , d y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = p ò g2 (y)dy . c 17 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : + 2 = 1 quay quanh Oy. a2 b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ± b . b x2 y2 a 2 y2 Phương trình (E) : 2 + 2 = 1 Û x 2 = a 2 - b2 a b b b a 2 y2 ö 22 æ ÷dy = 2p æa 2 - a y ödy ÷ Þ V = p ò ça 2 - ç òè ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ b2 ø b2 ø è -b 0 R a 2y3 ö 2 æ ÷ = 4p a b . = 2p ç a 2 y - ÷ ç ÷ 3b 2 ø 0 è 3 2 4p a b Vậy V = (đvtt). 3 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³ 0, g(x) ³ 0 " x Î [a; b ] quay quanh trục Ox là ) b V = p ò f 2 (x) - g2 (x) dx . a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Giải ìx³ 0 éx = 0 ï Hoành độ giao điểm ï 4 Ûê êx = 1 . í ïx = x ï ë î 1 1 Þ V = p ò x 4 - x dx = p 4 ò (x - x )dx 0 0 15 121 3p ( ) =p x- x = . 5 2 10 0 3p Vậy V = (đvtt). 10 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³ 0, g(y) ³ 0 " y Î [c; d ] quay quanh trục Oy là ) d V = p ò f 2 (y) - g 2 (y) dy . c Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y 2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Giải éy = - 1 Tung độ giao điểm - y 2 + 5 = 3 - y Û ê êy = 2 . ë 2 2 Þ V = p ò (- y 2 + 5 ) - (3 - y )2 dy -1 18 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com 2 4 - 11y 2 + 6y + 16 )dy ò (y =p -1 2 æy 5 11y 3 ö 153p + 3y 2 + 16y ÷ = =pç - . ÷ ç ÷ ç5 è 3 ø- 1 5 153p Vậy V = (đvtt). 5 VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 11 12 1 10 10 1. Tính I= 1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S 1 C10 C10 ... C10 2 3 11 0 1 19 2. Tính: I x 1 x dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 0 10 11 12 1 18 1 19 C19 C19 . C19 C19 C19 ... S 2 3 4 20 21 2 n1 1 1 1 1 3. Chứng minh rằng: 1 C1 Cn ... 2 n Cn n n 1 n 1 2 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x cos x , biết rằng F ln 2 4 sin x cos x 2. Tính các tích phân sau: 2 2 e 2 A= 2 x 5 - 7 x dx B= C= 2 x ln 2dx x 2 -1 dx x -2 0 1 3. Tính các tích phân sau: 2 e x 4 23 3 B= ln x dx C*= D*= dx A= e3 cos x sin xdx dx x 1 1 x -1 2 x x 4 1 0 5 4. Tính các tích phân sau: 10 e I= sin(ln x) dx 4 dx J= K= lg xdx sin 2 x cot x x 1 1 6 2 ln 5 dx L= x dx x 2 sin 2 xdx M= N= 2 1 x -9 ln 3 e 2e 3 cos 2 x 4 sin 2 x 0 2 sin 2 x C= dx 2 2 0 (1 cos x) 5. Tính các tích phân sau: 1 4 dx 3 dx A= B= C= 16 - x 2 dx x2 3 2 4- x 0 0 3 3 2 ln 2 1- e x D= E= dx dx x2 1 1 ex 2 0 6. Tính các tích phân sau: 19 www.VNMATH.com
- www.VNMATH.com 2 e2 C*= ln2x dx A= ln x dx x sin x B*= 1 cos2 x dx 1x x 1 0 1 x2 1 2 3x 4 2 x e D*= cos(ln x) dx F* E= 4 dx dx x3 1 1 x 1 1 7. Tính: 1 4 2 x 4 2 e C= xe x dx 2 cos 3 xdx A= B= D= E= x ln xdx dx cos xdx x 0 1 1 0 0 e 2 4 2 1 ln x 1 x x G= x 1 2 x 2 dx F= H= x 1 2 xdx I= J= dx dx dx 1 x2 x 1 x 1 0 0 1 0 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ ường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x b. y=2x; y=3x và x=0 x c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đ ường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D g iới hạn bởi các đ ường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b) Trục Oy. Hết 20 www.VNMATH.com
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - tích phân, Ứng dụng của Tích phân
8 p | 1041 | 651
-
Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm, vi phân
152 p | 1129 | 455
-
Cách giải các bài toán tích phân
67 p | 259 | 429
-
Giải toán tích phân bằng nhiều cách
0 p | 516 | 204
-
Bài tập Toán tích phân
11 p | 497 | 190
-
Chuyên đề toán " Hàm - Tích phân "
2 p | 310 | 151
-
Tham khảo chuyên đề Toán: Tích phân
57 p | 277 | 105
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
3 p | 214 | 30
-
Các chuyên đề Toán phổ thông: Tập 1
43 p | 125 | 23
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Tích phân các hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng
9 p | 122 | 19
-
Các chuyên đề Toán phổ thông: Tập 2
54 p | 93 | 18
-
Các chuyên đề Toán phổ thông: Tập 3
48 p | 87 | 16
-
CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1)
9 p | 124 | 12
-
Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng tóm tắt của giáo khoa
8 p | 121 | 10
-
Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề Giải tích (Tập 1)
118 p | 37 | 7
-
Các dạng chuyên đề Toán lớp 10: Lý thuyết trọng tâm và phương pháp giải học kì 1
533 p | 48 | 7
-
Chuyên đề Toán tìm x - Toán lớp 6
84 p | 40 | 5
-
Chuyên đề 4: Tích phân
33 p | 94 | 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn