Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hưng Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HƯNG YÊN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br /> <br /> Câu I (5,0 điểm)<br /> <br /> 2x −1<br /> có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao<br /> x −1<br /> y 2x + 1 .<br /> điểm của nó và đường thẳng =<br /> 1. Cho hàm số y =<br /> <br /> 2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị<br /> <br /> 7 <br /> hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A  ;1 đến đường thẳng đi qua hai<br /> 2 <br /> điểm cực trị đó lớn nhất.<br /> Câu II (4,0 điểm)<br /> ( 3x + 1) log 4 ( 3x + 1) .<br /> 1<br /> 1. Tìm nghiệm dương của phương trình 4 x − 2 x − 1 = log 2<br /> 2<br /> x<br />   3x π <br />  1<br />  x π<br /> 2. Giải phương trình 2 2 cos  −  cos  −  + sin=<br /> x<br /> sin 2 x + sin 2 x .<br /> 2 8<br />   2 8<br />  2<br /> Câu III (4,0 điểm)<br /> 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với=<br /> AB a=<br /> , AD 2a . Mặt bên<br /> ( SAB ) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt<br /> a 6<br /> . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .<br /> 3<br /> 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt<br /> phẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh<br /> BC và CC ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′M và AN theo a .<br /> Câu IV (3,0 điểm) Giải hệ phương trình<br /> 3 x 2 − 2 y 2 − xy + 12 x − 17 y − 15 =<br /> 0<br /> <br /> 2<br />  2 − x + 6 − x − x = y + 2 y + 5 − y + 4.<br /> Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br /> phẳng ( SAC ) bằng<br /> <br /> (<br /> <br /> )(<br /> <br /> )(<br /> <br /> )<br /> <br /> T =cos A + cos 2 A + 2 cos B + cos 2 B + 2 cos C + cos 2 C + 2 .<br /> <br /> 1<br /> <br /> =<br /> x<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi <br /> 2<br />  x + xn −1 = 1 , ∀n ≥ 2.<br />  n<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1. Chứng minh rằng − ≤ xn ≤ với mọi n ≥ 1 .<br /> 8<br /> 2<br /> 2. Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) khi n → +∞ .<br /> <br /> ----------------- Hết ----------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.<br /> Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: .............................<br /> Chữ kí của cán bộ coi thi: ....................................................................................................<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HƯNG YÊN<br /> ( Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2017 - 2018<br /> Môn: TOÁN<br /> <br /> I. Hướng dẫn chung<br /> 1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài<br /> làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.<br /> 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần<br /> như hướng dẫn quy định.<br /> 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không<br /> sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. Các điểm thành phần và<br /> điểm cộng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.<br /> <br /> II. Đáp án và thang điểm<br /> Đáp án<br /> <br /> Câu<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2x −1<br /> có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại<br /> x −1<br /> giao điểm của ( C ) và đường thẳng =<br /> y 2x + 1 .<br /> <br /> 1. Cho hàm số y =<br /> Câu I.1<br /> 2,0 điểm<br /> <br /> Xét hàm số y =<br /> <br /> −1<br /> 2x −1<br /> . Với ∀x ≠ 1 , ta có y′ =<br /> 2<br /> x −1<br /> ( x − 1)<br /> <br /> Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng:<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> x ≠ 1<br /> 2x −1<br /> = 2x + 1 ⇔  2<br /> x −1<br /> 0<br /> 2 x − 3x =<br /> <br /> Với x = 0 tọa độ giao điểm A ( 0;1)<br /> <br /> x = 0<br /> ⇔<br /> x = 3<br /> 2<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 0;1) là: y =− x + 1<br /> Với x =<br /> <br /> 3<br /> 3 <br /> tọa độ giao điểm B  ;4 <br /> 2<br /> 2 <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3 <br /> Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại B  ;4  là: y =<br /> −4 x + 10<br /> 2 <br /> <br /> 2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số<br /> Câu I.2 có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A  7 ;1 đến đường thẳng đi qua hai<br /> 2 <br /> 3,0 điểm<br /> điểm cực trị đó lớn nhất.<br /> 0,25<br /> Với ∀x ∈  , ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + m + 1<br /> Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình y′ = 0 có hai nghiệm<br /> <br /> 0 có hai nghiệm phân biệt<br /> phân biệt ⇔ phương trình 3 x 2 − 6 x + m + 1 =<br /> ′<br /> ⇔∆ >0⇔m 0 , phương trình tương đương<br /> 2,0 điểm<br /> 4 x − 2=<br /> x − 1 log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1)  − log 4 x<br /> 0,25<br /> ⇔ 4 x + x + log 4 x = 3 x + 1 + log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1) <br /> <br /> Đặt log 4 ( 3 x + 1) = y ⇔ 3 x + 1 = 4 y<br /> <br /> Phương trình trở thành: ⇔ 4 x + x + log 4 x = 4 y + y + log 4 y<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Xét hàm số f ( t ) = 4t + t + log 4 t trên ( 0;+∞ ) .<br /> Hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) .<br /> <br /> Phương trình (1) ⇔ f ( x=<br /> )<br /> <br /> f ( y ) ⇔=<br /> x y<br /> <br /> Trở lại phép đặt ta được: 4 x = 3 x + 1 ⇔ 4 x − 3 x − 1 = 0<br /> Xét hàm số g ( x ) = 4 x − 3 x − 1 trên  .<br /> <br /> Chứng minh phương trình g ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên  .<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x 0;=<br /> x 1.<br /> Có g=<br /> ( 0 ) g=<br /> (1) 0 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm=<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1.<br /> <br /> 0,25<br /> <br />   3x π <br />  1<br />  x π<br /> 2. Giải phương trình 2 2 cos  −  cos  −  + sin=<br /> x<br /> sin 2 x + sin 2 x .<br /> 2 8<br />   2 8<br />  2<br /> Câu II.2<br /> 0,25<br />   3x π <br />  1<br />  x π<br /> 2,0 điểm<br /> 2 2 cos  −  cos  −  + sin=<br /> sin 2 x + sin 2 x<br /> x<br /> 2 8<br />   2 8<br />  2<br />  3x π <br />  x π<br /> sin x sin x cos x + sin 2 x<br /> ⇔ 2 2 cos  −  cos  −  + 2 2 =<br />  2 8<br /> 2 8<br /> π<br /> <br /> ⇔ 2 cos  2 x −  + 2 cos x + 2 2 =<br /> sin x sin x cos x + sin 2 x<br /> 4<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> ⇔ cos 2 x + sin 2 x + 2 ( cos x + 2sin x=<br /> ) sin x cos x + sin 2 x<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> ⇔ cos 2 x + sin x cos x − 2sin 2 x + 2 ( cos x + 2sin x ) =<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> ⇔ ( cos x − sin x )( cos x + 2sin x ) + 2 ( cos x + 2sin x ) =<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ⇔ ( cos x + 2sin x ) cos x − sin x + 2 =<br /> 0<br /> <br /> cos x + 2sin x =<br /> 0 (1)<br /> ⇔<br /> 0 ( 2)<br /> cos x − sin x + 2 =<br /> Giải (1): cot x =−2 ⇔ x =acr cot ( −2 ) + k π<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> π<br /> 3π<br /> <br /> Giải (2): sin x − cos x = 2 ⇔ sin  x −  =1 ⇔ x = + k 2π<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với=<br /> AB a=<br /> , AD 2a .<br /> Mặt bên ( SAB ) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng<br /> <br /> Câu III.1<br /> 2,0 điểm cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD<br /> (<br /> )<br /> 3<br /> theo a .<br /> Gọi H là trung điểm của AB suy ra<br /> 0,5<br /> SH ⊥ AB . Mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD )<br /> nên SH ⊥ ( ABCD ) .<br /> <br /> d ( B; ( SAC ) ) = 2d ( H ; ( SAC ) )<br /> <br /> Suy ra d ( H ; ( SAC ) ) =<br /> <br /> a 6<br /> 6<br /> <br /> Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng HE ⊥ AC<br /> Chứng minh ( SHE ) ⊥ ( SAC )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trong mặt phẳng ( SHE ) , dựng HK ⊥ SE<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra HK ⊥ ( SAC )=<br /> ⇒ HK d ( H ; =<br /> ( SAC ) )<br /> <br /> a 6<br /> 6<br /> <br /> Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng BF ⊥ AC . Tính BF =<br /> <br /> 2a<br /> .<br /> 5<br /> <br /> a<br /> .<br /> 5<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Xét tam giác SHE có<br /> =<br /> −<br /> = 2 ⇒ SH =a .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> SH<br /> HK<br /> HE<br /> a<br /> 3<br /> 1<br /> 2a<br /> Vậy<br /> .<br /> =<br /> VS . ABCD =<br /> SH .S ABCD<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> Suy ra=<br /> HE<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> =<br /> BF<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc<br /> giữa mặt phẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung<br /> <br /> Câu III.2 điểm của các cạnh BC và CC ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′M và<br /> 2,0 điểm AN theo a .<br /> <br /> Trong mặt phẳng ( ACC ′A′ ) , dựng A′E song song với AN ( E ∈ AC )<br /> Khi đó, AN song song với mặt phẳng ( A′ME )<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> =<br /> d ( AN ; A′M ) d=<br /> suy ra<br /> ( AN ; ( A′ME ) ) d ( A; ( A′ME ) )<br /> <br /> Trong mặt phẳng ( ABC ) , dựng AK ⊥ EM<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Chứng minh ( AA′K ) ⊥ ( A′ME ) .<br /> Trong mặt phẳng ( AA′K ) , dựng AH ⊥ A′K<br /> <br /> Suy ra AH ⊥ ( A′ME ) ⇒ d ( A; ( A′ME ) ) =<br /> AH .<br /> 2 S AME 2a 93<br /> =<br /> ME<br /> 31<br /> Góc giữa ( A′BC ) và mặt phẳng đáy là <br /> A′MA = 600<br /> <br /> Tính ME = a 31=<br /> ; AK<br /> <br /> suy ra AA′ AM<br /> =<br /> =<br /> .tan 600 3a<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 97<br /> 6a 97<br /> Xét tam giác AA′K , có<br /> =<br /> +<br /> =<br /> ⇒ AH =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> AH<br /> AK<br /> AA′<br /> 36a<br /> 97<br /> 6a 97<br /> .<br /> Vậy d ( AN ; A′M ) =<br /> 97<br /> 3 x 2 − 2 y 2 − xy + 12 x − 17 y − 15 =<br /> 0<br /> (1)<br /> Giải hệ phương trình <br /> 2<br /> Câu IV<br />  2 − x + 6 − x − x = y + 2 y + 5 − y + 4 ( 2 )<br /> 3,0 điểm<br /> −3 ≤ x ≤ 2<br /> <br /> Điều kiện: <br /> 5<br />  y ≥ − 2<br /> 0<br /> (1) ⇔ ( x − y − 1)( 3x + 2 y + 15) =<br />  y= x − 1<br /> ⇔<br /> 0<br /> 3 x + 2 y + 15 =<br /> TH 3 x + 2 y + 15 =<br /> 0<br /> Từ điều kiện, 3 x + 2 y + 15 ≥ −9 − 5 + 15 > 0 (loại)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> TH y= x − 1 , thay vào phương trình (2) ta được:<br /> 2 − x + 6 − x − x2 = x − 1 + 2x + 3 − x + 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br />