SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HƯNG YÊN<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH<br />
NĂM HỌC 2017 - 2018<br />
Môn thi: TOÁN<br />
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề<br />
<br />
Câu I (5,0 điểm)<br />
<br />
2x −1<br />
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao<br />
x −1<br />
y 2x + 1 .<br />
điểm của nó và đường thẳng =<br />
1. Cho hàm số y =<br />
<br />
2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị<br />
<br />
7 <br />
hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A ;1 đến đường thẳng đi qua hai<br />
2 <br />
điểm cực trị đó lớn nhất.<br />
Câu II (4,0 điểm)<br />
( 3x + 1) log 4 ( 3x + 1) .<br />
1<br />
1. Tìm nghiệm dương của phương trình 4 x − 2 x − 1 = log 2<br />
2<br />
x<br />
3x π <br />
1<br />
x π<br />
2. Giải phương trình 2 2 cos − cos − + sin=<br />
x<br />
sin 2 x + sin 2 x .<br />
2 8<br />
2 8<br />
2<br />
Câu III (4,0 điểm)<br />
1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với=<br />
AB a=<br />
, AD 2a . Mặt bên<br />
( SAB ) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt<br />
a 6<br />
. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .<br />
3<br />
2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt<br />
phẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh<br />
BC và CC ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′M và AN theo a .<br />
Câu IV (3,0 điểm) Giải hệ phương trình<br />
3 x 2 − 2 y 2 − xy + 12 x − 17 y − 15 =<br />
0<br />
<br />
2<br />
2 − x + 6 − x − x = y + 2 y + 5 − y + 4.<br />
Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức<br />
phẳng ( SAC ) bằng<br />
<br />
(<br />
<br />
)(<br />
<br />
)(<br />
<br />
)<br />
<br />
T =cos A + cos 2 A + 2 cos B + cos 2 B + 2 cos C + cos 2 C + 2 .<br />
<br />
1<br />
<br />
=<br />
x<br />
1<br />
<br />
2<br />
Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi <br />
2<br />
x + xn −1 = 1 , ∀n ≥ 2.<br />
n<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1. Chứng minh rằng − ≤ xn ≤ với mọi n ≥ 1 .<br />
8<br />
2<br />
2. Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) khi n → +∞ .<br />
<br />
----------------- Hết ----------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.<br />
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br />
Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: .............................<br />
Chữ kí của cán bộ coi thi: ....................................................................................................<br />
<br />
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
HƯNG YÊN<br />
( Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)<br />
<br />
HƯỚNG DẪN CHẤM<br />
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH<br />
NĂM HỌC 2017 - 2018<br />
Môn: TOÁN<br />
<br />
I. Hướng dẫn chung<br />
1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài<br />
làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.<br />
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần<br />
như hướng dẫn quy định.<br />
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không<br />
sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. Các điểm thành phần và<br />
điểm cộng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.<br />
<br />
II. Đáp án và thang điểm<br />
Đáp án<br />
<br />
Câu<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
2x −1<br />
có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại<br />
x −1<br />
giao điểm của ( C ) và đường thẳng =<br />
y 2x + 1 .<br />
<br />
1. Cho hàm số y =<br />
Câu I.1<br />
2,0 điểm<br />
<br />
Xét hàm số y =<br />
<br />
−1<br />
2x −1<br />
. Với ∀x ≠ 1 , ta có y′ =<br />
2<br />
x −1<br />
( x − 1)<br />
<br />
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng:<br />
<br />
0,25<br />
0,5<br />
<br />
x ≠ 1<br />
2x −1<br />
= 2x + 1 ⇔ 2<br />
x −1<br />
0<br />
2 x − 3x =<br />
<br />
Với x = 0 tọa độ giao điểm A ( 0;1)<br />
<br />
x = 0<br />
⇔<br />
x = 3<br />
2<br />
<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,5<br />
<br />
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 0;1) là: y =− x + 1<br />
Với x =<br />
<br />
3<br />
3 <br />
tọa độ giao điểm B ;4 <br />
2<br />
2 <br />
<br />
0,5<br />
<br />
3 <br />
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại B ;4 là: y =<br />
−4 x + 10<br />
2 <br />
<br />
2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số<br />
Câu I.2 có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A 7 ;1 đến đường thẳng đi qua hai<br />
2 <br />
3,0 điểm<br />
điểm cực trị đó lớn nhất.<br />
0,25<br />
Với ∀x ∈ , ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + m + 1<br />
Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình y′ = 0 có hai nghiệm<br />
<br />
0 có hai nghiệm phân biệt<br />
phân biệt ⇔ phương trình 3 x 2 − 6 x + m + 1 =<br />
′<br />
⇔∆ >0⇔m 0 , phương trình tương đương<br />
2,0 điểm<br />
4 x − 2=<br />
x − 1 log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1) − log 4 x<br />
0,25<br />
⇔ 4 x + x + log 4 x = 3 x + 1 + log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1) <br />
<br />
Đặt log 4 ( 3 x + 1) = y ⇔ 3 x + 1 = 4 y<br />
<br />
Phương trình trở thành: ⇔ 4 x + x + log 4 x = 4 y + y + log 4 y<br />
<br />
(1)<br />
<br />
Xét hàm số f ( t ) = 4t + t + log 4 t trên ( 0;+∞ ) .<br />
Hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) .<br />
<br />
Phương trình (1) ⇔ f ( x=<br />
)<br />
<br />
f ( y ) ⇔=<br />
x y<br />
<br />
Trở lại phép đặt ta được: 4 x = 3 x + 1 ⇔ 4 x − 3 x − 1 = 0<br />
Xét hàm số g ( x ) = 4 x − 3 x − 1 trên .<br />
<br />
Chứng minh phương trình g ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên .<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
x 0;=<br />
x 1.<br />
Có g=<br />
( 0 ) g=<br />
(1) 0 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm=<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1.<br />
<br />
0,25<br />
<br />
3x π <br />
1<br />
x π<br />
2. Giải phương trình 2 2 cos − cos − + sin=<br />
x<br />
sin 2 x + sin 2 x .<br />
2 8<br />
2 8<br />
2<br />
Câu II.2<br />
0,25<br />
3x π <br />
1<br />
x π<br />
2,0 điểm<br />
2 2 cos − cos − + sin=<br />
sin 2 x + sin 2 x<br />
x<br />
2 8<br />
2 8<br />
2<br />
3x π <br />
x π<br />
sin x sin x cos x + sin 2 x<br />
⇔ 2 2 cos − cos − + 2 2 =<br />
2 8<br />
2 8<br />
π<br />
<br />
⇔ 2 cos 2 x − + 2 cos x + 2 2 =<br />
sin x sin x cos x + sin 2 x<br />
4<br />
<br />
<br />
0,25<br />
<br />
⇔ cos 2 x + sin 2 x + 2 ( cos x + 2sin x=<br />
) sin x cos x + sin 2 x<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0<br />
⇔ cos 2 x + sin x cos x − 2sin 2 x + 2 ( cos x + 2sin x ) =<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0<br />
⇔ ( cos x − sin x )( cos x + 2sin x ) + 2 ( cos x + 2sin x ) =<br />
<br />
0,25<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
⇔ ( cos x + 2sin x ) cos x − sin x + 2 =<br />
0<br />
<br />
cos x + 2sin x =<br />
0 (1)<br />
⇔<br />
0 ( 2)<br />
cos x − sin x + 2 =<br />
Giải (1): cot x =−2 ⇔ x =acr cot ( −2 ) + k π<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
π<br />
3π<br />
<br />
Giải (2): sin x − cos x = 2 ⇔ sin x − =1 ⇔ x = + k 2π<br />
4<br />
4<br />
<br />
1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với=<br />
AB a=<br />
, AD 2a .<br />
Mặt bên ( SAB ) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng<br />
<br />
Câu III.1<br />
2,0 điểm cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD<br />
(<br />
)<br />
3<br />
theo a .<br />
Gọi H là trung điểm của AB suy ra<br />
0,5<br />
SH ⊥ AB . Mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD )<br />
nên SH ⊥ ( ABCD ) .<br />
<br />
d ( B; ( SAC ) ) = 2d ( H ; ( SAC ) )<br />
<br />
Suy ra d ( H ; ( SAC ) ) =<br />
<br />
a 6<br />
6<br />
<br />
Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng HE ⊥ AC<br />
Chứng minh ( SHE ) ⊥ ( SAC )<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Trong mặt phẳng ( SHE ) , dựng HK ⊥ SE<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Suy ra HK ⊥ ( SAC )=<br />
⇒ HK d ( H ; =<br />
( SAC ) )<br />
<br />
a 6<br />
6<br />
<br />
Trong mặt phẳng ( ABCD ) , dựng BF ⊥ AC . Tính BF =<br />
<br />
2a<br />
.<br />
5<br />
<br />
a<br />
.<br />
5<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Xét tam giác SHE có<br />
=<br />
−<br />
= 2 ⇒ SH =a .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
SH<br />
HK<br />
HE<br />
a<br />
3<br />
1<br />
2a<br />
Vậy<br />
.<br />
=<br />
VS . ABCD =<br />
SH .S ABCD<br />
3<br />
3<br />
<br />
Suy ra=<br />
HE<br />
<br />
0,5<br />
<br />
1<br />
=<br />
BF<br />
2<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc<br />
giữa mặt phẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung<br />
<br />
Câu III.2 điểm của các cạnh BC và CC ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′M và<br />
2,0 điểm AN theo a .<br />
<br />
Trong mặt phẳng ( ACC ′A′ ) , dựng A′E song song với AN ( E ∈ AC )<br />
Khi đó, AN song song với mặt phẳng ( A′ME )<br />
<br />
0,5<br />
<br />
=<br />
d ( AN ; A′M ) d=<br />
suy ra<br />
( AN ; ( A′ME ) ) d ( A; ( A′ME ) )<br />
<br />
Trong mặt phẳng ( ABC ) , dựng AK ⊥ EM<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Chứng minh ( AA′K ) ⊥ ( A′ME ) .<br />
Trong mặt phẳng ( AA′K ) , dựng AH ⊥ A′K<br />
<br />
Suy ra AH ⊥ ( A′ME ) ⇒ d ( A; ( A′ME ) ) =<br />
AH .<br />
2 S AME 2a 93<br />
=<br />
ME<br />
31<br />
Góc giữa ( A′BC ) và mặt phẳng đáy là <br />
A′MA = 600<br />
<br />
Tính ME = a 31=<br />
; AK<br />
<br />
suy ra AA′ AM<br />
=<br />
=<br />
.tan 600 3a<br />
1<br />
1<br />
1<br />
97<br />
6a 97<br />
Xét tam giác AA′K , có<br />
=<br />
+<br />
=<br />
⇒ AH =<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
AH<br />
AK<br />
AA′<br />
36a<br />
97<br />
6a 97<br />
.<br />
Vậy d ( AN ; A′M ) =<br />
97<br />
3 x 2 − 2 y 2 − xy + 12 x − 17 y − 15 =<br />
0<br />
(1)<br />
Giải hệ phương trình <br />
2<br />
Câu IV<br />
2 − x + 6 − x − x = y + 2 y + 5 − y + 4 ( 2 )<br />
3,0 điểm<br />
−3 ≤ x ≤ 2<br />
<br />
Điều kiện: <br />
5<br />
y ≥ − 2<br />
0<br />
(1) ⇔ ( x − y − 1)( 3x + 2 y + 15) =<br />
y= x − 1<br />
⇔<br />
0<br />
3 x + 2 y + 15 =<br />
TH 3 x + 2 y + 15 =<br />
0<br />
Từ điều kiện, 3 x + 2 y + 15 ≥ −9 − 5 + 15 > 0 (loại)<br />
<br />
0,5<br />
0,5<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
0,5<br />
0,25<br />
0,5<br />
<br />
TH y= x − 1 , thay vào phương trình (2) ta được:<br />
2 − x + 6 − x − x2 = x − 1 + 2x + 3 − x + 3<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
