Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính không thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu (hàm số) là một bài toán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu. Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để khôi phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết sóng nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là một trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là trong bài toán khôi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toán xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như một hàm số một biến hoặc nhiều biến. Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiều chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa là các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhau cho mọi tín hiệu. Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu bởi các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina, Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena, CHLB Đức. . . Các tác giả của các công trình này đã tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp các phương pháp khôi phục không thích nghi không mềm dẻo linh hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác nhau. Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và 1
phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do Giáo sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu. Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung lượng hữu hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) của chúng, hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ một từ điển. Đề tài sẽ nghiên cứu những đại lượng đặc trưng cho những phương pháp khôi phục tối ưu có liên quan đến e-entropy, các độ dày phi tuyến và xấp xỉ bằng n số hạng. Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ và khôi phục không thích nghi tốt nhất, trong đó có phương pháp tuyến tính. Để xây dựng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu Đề tài Luận án sẽ xây dựng các biểu diễn sóng nhỏ giả nội suy của hàm số. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôi phục không thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán của phương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặc biệt là các phương pháp tuyến tính. Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác. Chương 2: Nghiên cứu Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp phi tuyến. Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ môn Giải tích, xêmina bộ môn Toán giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. 2
-Xêmina tại bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức. Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 3
Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN BẰNG GIÁ TRỊ LẤY MẪU Chương này tôi trình bày một định lý và một bổ đề là một trong những kết quả mới của luận án, đó là định lý biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi bởi các B-spline và đa thức lượng giác, chứng minh tương đương chuẩn. 1.1 Không gian Besov Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L p (Id ), toán tử sai phân cấp l được định nghĩa bởi l l ∆lh f ( x ) := ∑ (−1)l − j f ( x + jh). j =0 j Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ L p (Id ), thì ωl ( f , t) p := sup ∆lh f p,Id (lh) |h| 0, ∀t > 0, (ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t0 ), ∀t, t0 ∈ R+ , t ≤ t0 , (iii) ∀γ ≥ 1, ∃C 0 = C 0 (γ) sao cho Ω(γt) ≤ C 0 .Ω(t), t ∈ R+ . Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, không gian Besov BΩ p,θ được định nghĩa là tập hợp các hàm f ∈ L p (Id ) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn f BΩ : = k f k p + | f | BΩ , p,θ p,θ 4
ở đây | f | BΩ là nửa chuẩn Besov, xác định bởi p,θ  !1   θ ωl ( f , t ) p Ω ( t ) θ
Trong suốt luận án này chúng ta luôn giả thiết rằng A là một tập con hữu hạn của Rd+ . Kí hiệu B p,θ A là không gian Besov của tất cả các hàm trên Td , với chuẩn k f k B A := p,θ ∑ k f kBap,θ a∈ A A là hình cầu đơn vị của B A . hữu hạn. Kí hiệu U p,θ p,θ 1.2 Biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu d Cho x = ( x1 , x2 , . . . , xd ), y = (y1 , y2 , . . . , yd ) ∈ Rd , ký hiệu ( x, y) = ∑ xi yi và i =1 d | x |1 = ∑ | xi |. Cho một tập con A ⊂ Rd , ký hiệu Ao+ := { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈ i =1 A} và α = α( A), s = s( A), ở đây 1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ }, s := dim{ x ∈ Ao+ : | x |1 = 1/α}. Đặt S( A, x ) := sup( a, x ) là hàm giá của A. a∈ A Ký hiệu An ( f ) Bn ( f ) nếu An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) ở đây C là hằng số độc lập với n và f ∈ W; An ( f ) Bn ( f ) nếu An ( f ) Bn ( f ) và Bn ( f ) An ( f ). Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline bậc r với các nút tại các điểm 0, 1, . . . , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với r ≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập Z∞ Nr ( x ) := Nr−1 ( x − y) N1 (y)dy. −∞ Đặt Mr ( x ) := Nr ( x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r. Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá [−r, r ] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . r,. Định nghĩa d-biến B-spline như sau d M( x ) := ∏ M ( x i ), x = ( x1 , x2 , . . . , x d ), (1.1) i =0 và định nghĩa B - spline sóng nhỏ Mk,s ( x ) := M (2k x − s), cho một số không âm k và s ∈ Zd . Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt tiêu trên Id . Cho λ = {λ( j)} j∈ P(µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ( j) = λ(− j), ở 6
đây Pd (µ) := { j ∈ Z : | j| ≤ µ} và µ ≥ r − 1. Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính Q cho hàm f trên Rd bởi Q( f , x ) := ∑ Λ ( f , s ) M ( x − s ), (1.2) s ∈Zd ở đây Λ( f , s) := ∑ λ ( j ) f ( s − j ). (1.3) j∈ Pd (µ) Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C (Rd ) và ≤ kΛkk f kC(Rd ) , Q( f ) C (Rd ) trong đó kΛk = ∑ |λ( j)|. j∈ Pd (µ) Một toán tử Q được xác định từ (1.2 − 1.3) tái tạo lại P2r−1 , tức là Q( p) = p, p ∈ P2r−1 , được gọi là một toán tử giả nội suy trong C (Rd ). Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (1.2 − 1.3), cho h > 0 và một hàm f xác định trên Rd , chúng ta xác định toán tử Q(.; h) bởi Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h ( f ), ở đây σh ( f , x ) = f ( x/h). Từ định nghĩa của Q( f ; h), ta có Q( f , x; h) = ∑ Λ( f , k; h) M(h−1 x − k), k với Λ( f , k; h) = ∑ λ( j) f h(k − j) . j∈ Pd (µ) Toán tử Q(.; h) có các tính chất tương tự như toán tử Q, cũng được gọi là một toán tử giả nội suy trong C (Rd ). Nhưng Q(.; h) không được định nghĩa cho f trên Id , và do đó không khôi phục được hàm số f với các điểm lấy mẫu trong Id . Một cách tiếp cận để xây dựng toán tử giả nội suy cho một hàm số trên Id là mở rộng nó bằng các đa thức nội suy Lagrange. Cho một số nguyên không âm k, đặt x j = j2−k , j ∈ Z. Nếu f là một hàm số trên I, Ký hiệu Uk ( f ) và Vk ( f ) lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r 7
điểm bên trái x0 , x1 , . . . , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k −2r+1 , x2k −2r+3 , . . . , x2k trên đoạn I được xác định bởi: 2r −1 2sk ∆2s −k f ( x0 ) s−1 Uk ( f , x ) := f ( x0 ) + ∑ s! ∏ ( x − x j ), s =1 j =0 2r −1 2sk ∆s f ( x2k −2r+1 ) s−1 Vk ( f , x ) := f ( x2k −2r+1 ) + ∑ 2− k s! ∏ (x − x2k −2r+1+ j ). s =1 j =0 Hàm số f được định nghĩa là hàm số mở rộng của f trên R như sau:      Uk ( f , x ), x < 0,  f k ( x ) = f ( x ), 0 ≤ x ≤ 1,    V ( f , x ), x > 1.  k Nếu f liên tục trên I thì f liên tục trên R. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy (1.2 − 1.3) trong C (R). Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định bởi Qk ( f , x ) := Q f k , x; 2−k , x ∈ I, với hàm f trên I. Khi đó, n o Qk ( f , x ) = ∑ ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ I, J (k ) := s ∈ Z, −r < s < 2k + r s∈ J (k) và ak,s ( f ) := Λ f k , s; 2−k = ∑ λ ( j ) f k 2− k ( s − j ) . | j|≤µ Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên C (I). Cho f là hàm số trên Id . Giả sử Q là một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3) trong C (Rd ). Chúng ta xây dựng toán tử đa biến Qk xác định bởi Qk ( f , x ) = ∑ ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ Id , s∈ J (k) n o ở đây J (k ) := s ∈ Zd , −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, . . . , d là tập hợp các giá trị của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id . Chú ý rằng ak,s ( f ) = ak,s1 (( ak,s2 (. . . ak,sd ( f ))), (1.4) 8
ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f là hàm số một biến xi với các biến còn lại cố định. Tương tự như toán tử Q và Q(.; h), thì toán tử Qk là tuyến tính bị chặn trên C (Id ) và tái tạo P2r−1 . Đặc biệt, chúng ta có: ≤ C kΛkk f kC(Rd ) , Qk ( f ) C (Rd ) (1.5) với mỗi f ∈ C (Id ), với hằng số C không phụ thuộc k và, Qk ( ϕ∗) = ϕ, ∀ ϕ ∈ P2r−1 , ở đây ϕ∗ là hạn chế của ϕ trên Id . Toán tử nhiều biến Qk được gọi là toán tử giả nội suy trên C (Id ). Cho k ∈ Z+ , đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1 ( f ) = 0. Ta định nghĩa Qk bởi Qk = ∑ 0 qk0 . k ≤k Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ C (Id ). Khi đó, ta có k f − Qk ( f )k∞ ≤ Cω2r ( f , 2−k )∞ . (1.6) Do đó, k f − Qk ( f )k∞ → 0, k → ∞. (1.7) Cho bất kỳ f ∈ C (Id ), từ (1.7), f có thể biểu diễn thành chuỗi f = ∑ q k ( f ), q k ( f ) = ∑ ck,s ( f ) Mk,s , (1.8) k ∈Z+ s∈ J (k) chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞ (Id ), ở đây ck,s là các hàm hệ số của f , được xác định như dưới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1). Cụ thể, ck,s ( f ) := ak,s ( f ) − a0k,s ( f ), k ≥ 0, 2r a0k,s ( f ) := 2−2r+1 ∑ j 0 ak−1,m ( f ), k > 0, a0,s ( f ) := 0, (m,j)∈C (k,s) r ở đây Cr (k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J (k − 1), 0 ≤ j ≤ 2r } , 9
với k > 0, Cr (0, s) := {0} . Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tương tự như (1.4) cho ak,s , tức là, ck,s ( f ) = ck,s1 ((ck,s2 (. . . ck,sd ( f ))), ở đây các hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số một biến f khi xem f là hàm số với biến xi với các biến còn lại cố định. Cho k ∈ Z+ , ký hiệu Σ(k ) là không gian các B-splines Mk,s , s ∈ J (k ). Nếu 0 < p ≤ ∞, thì g ∈ Σ(k ) được biểu diễn bởi g= ∑ as Mk,s , s∈ J (k) và k gk p 2−dk/p { as } p,k , (1.9) ở đây  1/p ∑ | as | p  { as } :=  , p,k s∈ J (k) với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞. Từ (1.9) cho hàm số liên tục f trên Id , chúng ta có các nửa chuẩn sau đây tương đương với nhau !1/θ n oθ B2 ( f ) := ∑ kqk ( f )k p /Ω(2−k ) , k ∈Z+ !1/θ n oθ ∑ 2−dk/p k ck,s ( f ) k p,k /Ω(2−k ) B3 ( f ) := . k ∈Z+ Định lý 1.1. Cho 0 < p, θ ≤ ∞ và hàm số Ω sao cho tồn tại các hằng số µ, ρ > 0 và C1 , C2 thỏa mãn Ω(t).t−µ ≤ C1 Ω(t0 ).t0−µ , t ≤ t0 ; t, t0 ∈ I, (1.10) Ω(t).t−ρ ≥ C2 Ω(t0 ).t0−ρ , t ≤ t0 ; t, t0 ∈ I. (1.11) Khi đó, chúng ta có 10
(i) Nếu µ > d p và ρ < 2r thì một hàm số f ∈ BΩ p,θ có thể biểu diễn thành chuỗi (1.8) và B2 ( f ) k f k BΩ . (1.12) p,θ (ii) Nếu ρ < min(2r, 2r − 1 + 1p ) và g là một hàm số được biểu diễn bởi g= ∑ gk = ∑ ∑ ck,s Mk,s k ∈Z+ k ∈Z+ s ∈ J ( k ) thỏa mãn !1/θ n oθ B4 ( g) := ∑ gk Ω (2− k ) p < ∞, k ∈Z+ thì g ∈ BΩ p,θ và k gk BΩ B4 ( g). p,θ (iii) Nếu µ > d p và ρ < min(2r, 2r − 1 + 1p ) thì một hàm số f xác định trên Id thuộc BΩ p,θ khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuổi có dạng (1.8) thỏa mãn điều kiện (1.12). Hơn nữa, chuẩn k f k BΩ là tương đương với chuẩn B2 ( f ). p,θ 1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu Trong phần này chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số thuộc không gian Besov A thành chuỗi các đa thức lượng giác và chứng minh đẳng thức tương đương B p,θ chuẩn. Cho f ∈ L p (Td ), như đã biết, fb(k ) là hệ số Fourier thứ k của f ∈ L p với 1 ≤ p ≤ ∞. Cho k ∈ Zd+ . Đặt Pk := {s ∈ Zd : b2k j −1 c ≤ |s j | < 2k j , j = 1, ..., d}, ở đây b ac là phần nguyên a ∈ R+ . Cho k ∈ Zd+ , chúng ta định nghĩa toán tử δk như sau δk ( f ) := ∑ fb(s)ei(s,·) . s∈ Pk Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn đã biết. Cho 1 < p < ∞ và θ ≤ ∞. Khi đó, !1/θ n oθ k f kBA p,θ ∑ 2S( A,k) kδk ( f )k p , (1.13) k ∈Z+ trường hợp θ = ∞ thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum. 11
Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m được xác định như sau: 1 2m−1 sin(mt/2) sin(3mt/2) Vm (t) := ∑ 3m2 k=m D k ( t ) = 3m2 sin2 (t/2) , ở đây Dm ( t ) : = ∑ eikt |k|≤m là nhân Dirichlet một biến bậc m. Đặt V0 = 1. Cho hàm số một biến f ∈ L p (T). Chúng ta định nghĩa hàm số Um ( f ) bởi Z Um := f ∗ Um = 3πm f (t) Vm (· − t)dt, T và hàm số Vm ( f ) bởi Vm ( f ) := ∑ f (hk ) Vm (· − hk ), (1.14) k ∈ Pm ở đây h = 2π/3m và Pm := {k ∈ Z : 0 ≤ k < 3m}. Nếu m ∈ Zd+ , toán tử Vm của hàm số nhiều biến f ∈ L p (Td ) được xác định bởi d Vm ( f ) := ∏ Vmj ( f ), j =1 ở đây toán tử một biến Vm j áp dụng tương tự khi xem f là một hàm số biến x j với các biến còn lại cố định. Chú ý rằng Vm ( f ) là đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2m j − 1 với mỗi biến x j , và Vm ( f , hk) = f (hk ), k ∈ Pmd , (1.15) ở đây h = (2π/3)(m1−1 , . . . , m− 1 d ), Pm : = { k ∈ Z : 0 ≤ k j < 3m j , j = 1, . . . , d }. d d Chúng ta nhận được d −1/p kVm ( f )k p ∏ m j k{ f (hk)}kl νp , 1 ≤ p ≤ ∞, (1.16) j =1 ở đây ν = | Pmd | = 3d ∏dj=1 m j . Ký hiệu Tm là không gian các đa thức lượng giác bậc không vượt quá m j với mỗi biến x j , j = 1, . . . , d. Dễ dàng kiểm tra được Vm ( f ) = f , ∀ f ∈ Tm . (1.17) 12
Tiếp theo, cho hàm số một biến f ∈ L p (T), chúng ta định nghĩa v0 ( f ) := V1 ( f ), vk ( f ) := V2k ( f ) − V2k−1 ( f ), k = 1, 2, . . . . Cho k ∈ Zd+ , định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến trong L p (Td ) tương tự như toán tử Vm . Toán tử uk , k ∈ Zd+ là tương tự khi thay Vm ( f ) bởi Um ( f ). Bổ đề 1.2. Cho 1 < p < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α( A) > 1/p. Chúng ta có  1/θ n oθ k f kBA  p,θ ∑ 2S( A,k) kvk ( f )k p  , k ∈Zd+ với vế phải được thay bằng supremum cho trường hợp θ = ∞. Đặt ϕk,s := Vmk (· − shk ), và Qk := {s ∈ Zd : 0 ≤ s j < 3.2k j , j = 1, . . . , d}. ở đây mk := (2k1 , . . . , 2kd ), hk := (2π/3)(2−k1 , . . . , 2−kd ). Từ Bổ đề 1.2 và (1.14)-(1.17) chúng ta suy ra được biểu diễn bằng đa thức lượng A như sau. Đặt 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ giác với giá trị lấy mẫu trong không gian B p,θ ∞, và α > 0. Thì mỗi f ∈ B p,θ A có thể biểu diễn thành chuỗi f = ∑ ∑ f k,s ϕk,s (1.18) k ∈Zd+ s∈ Qk trong đó có tương đương chuẩn sau đây θ !1/θ ∑ 2S( A,k)−|k|1 /p k f k,s k |Qk | k f kBA (1.19) p,θ lp k ∈Z+ cho θ < ∞, với tổng ở vế phải được thay bằng supremum khi θ = ∞. Dựa trên biểu diễn (1.18)-(1.19), chúng ta có thể mở rộng của không gian Besov với độ trơn hỗn hợp cho một tập hợp hữu hạn A ⊂ Rd và 0 < p, θ ≤ ∞, là không gian tất cả các hàm số f xác định trên Td có thể biễu diễn thành chuỗi (1.18) sao cho nửa A chuẩn rời rạc vế phải của (1.19) hữu hạn. Chúng ta cũng dùng ký hiệu B p,θ = B p,θ cho A = {(0, . . . , 0)}. 13
Chương 2 KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH Trong chương này chúng ta nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số trong không gian Besov BΩ p,θ bằng phương pháp tuyến tính, xây dựng được phương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó qua đại lượng ρn . Đây cũng là kết quả mới được công bố và là một trong những nội dung chính của luận án. 2.1 Định nghĩa n Định nghĩa 2.1. Đặt Xn = { x j }nj=1 là n điểm của Id , Φn = ϕ j j=1 là họ n hàm số thuộc không gian Lq (Id ). If f ∈ Lq (Id ), để khôi phục hàm số f từ các giá trị lấy mẫu f ( x1 ), . . . , f ( x n ), chúng ta định nghĩa phương pháp tuyến tính dựa trên giá trị lấy mẫu Ln ( Xn , Φn , .) bởi công thức sau đây n L n ( Xn , Φ n , f ) : = ∑ f (x j ) ϕj. (2.1) j =1 Cho W ⊂ Lq (Id ). Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) để khôi phục hàm số f ∈ W từ n giá trị lấy mẫu trên bằng đại lượng sau ρn (W, Lq (Id )) := inf sup k f − Ln ( Xn , Φn , f )kq . Xn ,Φn f ∈W Định nghĩa 2.2. Cho số nguyên không âm m, đặt K (m) := {(k, s) : k ∈ Z+ , k ≤ m, s ∈ I d (k )}, ở đây I d (k ) = {s ∈ Zd+ : 0 ≤ si ≤ 2k , i = 1, . . . , d} và ký hiệu M (m) là tập hợp gồm các B-splines Mk,s , k ≤ m, s ∈ J (k ). Chúng ta định nghĩa 14
toán tử Rm của các hàm số f ∈ BΩ p,θ bởi Rm ( f ) := ∑ qk ( f ) = ∑ ∑ ck,s ( f ) Mk,s , k≤m k≤m s∈ J (k) và các lưới G (m) của các điểm trong Id , G (m) := {2−k s : (k, s) ∈ K (m)}. 2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính Định lý 2.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1 và µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Giả sử với mỗi n ∈ Z+ , m là số lớn nhất thỏa mãn | G (m)| ≤ n (2.2) Ω , L ) như Thì Rm xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho ρn := ρn (U p,θ q sau Rm ( f ) = Ln ( Xn∗ , Φ∗n , f ) = ∑ f (2−k s)ψk,s , (2.3) (k,s)∈K (m) ở đây Xn∗ := G (m) = {2−k s : (k, s) ∈ K (m)}, Φ∗n := ψk,s (k,s)∈K (m) , và chúng ta có đánh giá tiệm cận sau đây sup k f − Rm ( f )kq ρn Ω(n−1/d )n(1/p−1/q)+ . (2.4) Ω f ∈U p,θ 15
Chương 3 XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI 3.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số Định nghĩa 3.1. Cho B là một tập hợp con trong Lq , chúng ta sẽ định nghĩa phương pháp khôi phục với các điểm giá trị lấy mẫu và hàm để khôi phục thích nghi từ B theo từng hàm f ∈ W. Cụ thể là đối với từng hàm f ∈ W ta chọn n điểm x1 , . . . , x n , dựa trên thông tin về giá trị lấy mẫu f ( x1 ), . . . , f ( x n ) ta chọn hàm g = SnB ( f ) để khôi phục hàm f . Khi đó SnB là một phương pháp khôi phục thích nghi. Toán tử SnB ( f ) được định nghĩa chính xác như sau. Đặt I n là tập hợp bao gồm các tập hợp con ξ trong Id có số phần tử không quá n, V n là tập hợp mà mỗi phần tử là một bộ các số thực aξ = { a( x )} x∈ξ , ξ ∈ I n , a( x ) ∈ R. Gọi In là một ánh xạ từ W đến I n và P là ánh xạ từ V n đến B. Khi đó cặp ( In , P) xác định một ánh xạ SnB từ W đến B cho bởi công thức SnB ( f ) := P { f ( x )} x∈ In ( f ) . (3.1) Định nghĩa 3.2. Cho một tập hợp B các hàm số xác định trên tập Ω, khi đó giả chiều của B được định nghĩa là số nguyên n lớn nhất sao cho tồn tại các điểm a1 , a2 , . . . , an trong Ω và b ∈ Rn để số phần tử của tập hợp n o 1 2 n sgn (y) : y = f ( a ) + b1 , f ( a ) + b2 , . . . , f ( a ) + bn , f ∈ B là 2n , ở đây sgn ( x ) = 1 với t > 0, sgn ( x ) = −1 với t ≤ 0 và cho x ∈ Rn , sgn ( x ) = ( sgn ( x1 ), sgn ( x2 ), . . . , sgn ( xn )). 16
Định nghĩa 3.3. Cho B là một họ các tập con B trong Lq , khi đó sai số của phương pháp khôi phục thích nghi tối ưu được đo bằng đại lượng Rn (W, B)q := inf inf sup k f − SnB ( f )kq , (3.2) B∈B SnB f ∈W trong đó SnB là tất cả các ánh xạ được định nghĩa ở (3.1). Ký hiệu Rn (W, B)q bằng en (W )q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq sao cho | B| ≤ 2n , và bằng rn (W )q nếu B là họ tất cả các tập hợp con B trong Lq có giả chiều không quá n. Định nghĩa 3.4. Giả sử B và W là các tập hợp con của Lq . Chúng ta xấp xỉ các phần tử trong W từ B bởi E(W, B, Lq ) := sup inf k f − ϕkq . f ∈W ϕ ∈ B Cho họ B các tập con trong Lq , chúng ta xem xét xấp xỉ tốt nhất của B ∈ B qua đại lượng sau d(W, B , Lq ) := inf E(W, B, Lq ). (3.3) B∈B Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B của Lq thỏa mãn | B| ≤ 2n , thì d(W, B , Lq ) ký hiệu là en (W, Lq ). Nếu B trong (3.3) là họ tất cả các tập con B của Lq sao cho dim p ( B) ≤ n, thì d(W, B , Lq ) kí hiệu là ρn (W, Lq ). 3.2 Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp thích nghi Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp xấp xỉ và khôi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu hàm số một biến(d = 1) thuộc không gian Besov BΩ p,θ . Hơn nữa chúng ta đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp thông qua các đại lượng en , rn . Từ kết quả chính vừa nêu trên, chúng ta có thể tổng quát cho trường hợp nhiều biến bằng kỹ thuật tương tự. kết quả chính được trình bày thông qua các định lý sau đây. Định lý 3.1. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p). Thì chúng ta có Ω Ω en U p,θ ≥ ρn U p,θ Ω(1/n). q q 17
Sau đây là các kết quả chính nhận được khi chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu. Định lý 3.2. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì Ω rn (U p,θ )q Ω(1/n). (3.4) Ngoài ra, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn (M) sao cho dim p ( B) ≤ n và một phương pháp SnB thỏa mãn sup k f − SnB ( f )kq Ω(1/n). (3.5) Ω f ∈U p,θ Định lý 3.3. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1. Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), chúng ta có Ω en U p,θ Ω(1/n). (3.6) q Đặc biệt, chúng ta xây dựng được tập hợp B trong Σn (M) có | B| ≤ 2n và một phương pháp SnB dạng (3.1) sao cho sup f − SnB ( f ) q Ω(1/n). (3.7) Ω f ∈U p,θ Bằng cách chứng minh tương tự, chúng ta có thể tổng quát các kết quả cho trường hợp hàm số nhiều biến f ∈ Łq (Id ), d > 1, cụ thể có thể phát biểu dưới các định lý sau đây. Định lý 3.4. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω là hàm số thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì Ω rn (U p,θ )q Ω(n−1/d ). Hơn nữa, chúng ta xây dựng được tập hợp con B trong Σn (M) sao cho dim p ( B) ≤ n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB thỏa mãn sup k f − SnB ( f )kq Ω(n−1/d ). Ω f ∈U p,θ 18
Định lý 3.5. Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1. Nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − 1 + 1/p), thì chúng ta có Ω en U p,θ Ω(n−1/d ). q Ngoài ra, chúng ta xây dựng được một tập hợp con B trong Σn (M) có | B| ≤ 2n và một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB của (3.1) sao cho sup f − SnB ( f ) q Ω(n−1/d ). Ω f ∈U p,θ 3.3 Xấp xỉ và khôi phục hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp bằng phương pháp thích nghi Trong phần này, chúng ta nghiên cứu một trong những phương pháp khôi phục thích nghi đó là phương pháp phi tuyến, lớp hàm số mà chúng ta xét đến là A (xem Định nghĩa 3.12). Chúng ta xây dựng được phương lớp các hàm số f ∈ B p,θ pháp xấp xỉ và khôi phực hàm số, đồng thời đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ A , L ) và độ dày phi tuyến ρ (U A , L ). Trường qua các đại lượng entropy en (U p,θ q n p,θ q hợp A = { a} chúng ta đề xuất được cách chứng minh đơn giản hơn so với trường hợp tổng quát. Đặt Φ = { ϕk }k∈Q là một họ các phần tử trong Lq . Ký hiệu Mn (Φ) là một đa tạp phi tuyến tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng ϕ = ∑ ak ϕk , trong đó K là k∈K một tập hợp con của Q có số phần tử là n. Chúng ta gọi n-term Lq -approximation của một phần tử f ∈ Lq liên quan đến họ Φ là xấp xỉ Lq -approximation của f bởi các phần tử từ Mn (Φ). Để đánh giá cận trên cho các ước lượng tiêm cận của A , L ), chúng ta sử dụng một xấp xỉ phi tuyến n-term L -approximation đối en (U p,θ q q với họ V := { ϕk,s }s∈Q . k ,k ∈Z+ d Chú ý rằng họ V được xây dựng từ tịnh tiến bản nguyên của các cặp đôi tích hỗn hợp tensor nhân nhiều biến de la Vallée Poussin. 19
3.3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian B ap,θ Các kết quả chính khi chúng tôi nghiên cứu phương pháp xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong không gian Besov B ap,θ được phát biểu các định lý sau đây. Định lý 3.6. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có rằng a en (U p,θ a , Lq ) ≤ en (U p,θ , Lq ) (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) . (3.8) Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng được một tập con hữu hạn V∗ của V, một tập hợp con B trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , và một ánh xạ SnB : U p,θ a → B có dạng (3.1) thỏa mãn a E(U p,θ , B, Lq ) ≤ sup k f − SnB ( f )kq (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) . a f ∈U p,θ Định lý 3.10 được suy ra từ định lý sau đây. Định lý 3.7. . Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và r > 1/p. Thì, chúng ta có a a en (U p,θ , Bq,τ ) ≤ en (U p,θ , Bq,τ ) Eθ,τ (n), (3.9) ở đây Eθ,τ (n) = (n/ logs n)−r (log n)s(1/τ −1/θ ) . Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng một tập hợp con V∗ trong V, một tập hợp con B trong Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n và một ánh xạ SnB : U p,θ a → B có dạng (3.1) thỏa mãn a E(U p,θ , B, Bq,τ ) ≤ sup k f − SnB ( f )k Bq,τ Eθ,τ (n). (3.10) a f ∈U p,θ a , L ) nhận được từ định lý sau đây. Cận dưới của ρ(U p,θ q Định lý 3.8. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì chúng ta có a ρ(U p,θ , Lq ) (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) . Sau đây chúng ta phát biểu và chứng minh kết quả chính của phần này. Định lý 3.9. Cho 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p. Thì a en (U p,θ a , Lq ) ρn (U p,θ , Lq ) n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) . Hơn nữa, chúng ta cũng đánh giá tiệm cận của phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu a en (U p,θ a , Lq ) rn (U p,θ , Lq ) n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) . 20