Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11ườ
GI I PH NG TRÌNH B C B NẢ ƯƠ Ậ Ố
0
234
=++++
dcxbxaxx
Trong ch ng trình đ i s tr ng ph thông chúng ta ch h c m t lo iươ ạ ố ở ườ ổ ỉ ọ ộ ạ
ph ng trình b c b n đ c bi t. Đó là ph ng trình trùng ph ng. Tuy nhiênươ ậ ố ặ ệ ươ ươ
trong các đ thi đ i h c thì d ng ph ng trình th ng khai tri n và đ a về ạ ọ ạ ươ ườ ể ư ề
d ng ph ng trình b c b n không thu c d ng trùng ph ngạ ươ ậ ố ộ ạ ươ
Sau đây xin gi i thi u v i các b n cách gi i các ph ng trình b c b nớ ệ ớ ạ ả ươ ậ ố
d ng ạ
0
234 =++++ dcxbxaxx
trong đó
dcba ,,,
là các s th c khác không.ố ự
1. V i các ph ng trình b c b n, trong m t s tr ng h p c th ,ớ ươ ậ ố ộ ố ườ ợ ụ ể
n u ta có ếcách nhìn sáng t o, bi t bi n đ i h p lí và sáng t oạ ế ế ổ ợ ạ , ta có thể
gi i đu c chúng không khó khăn gì.ả ợ
Ví d 1ụ . Gi i ph ng trìnhả ươ
( )
0246 2
2
2=++−− axxax
(1)
Ph ng trình (1) đ c vi t thànhươ ượ ế
02462 2224 =++−+− axxaaxx
hay
( )
02462 224 =++++− aaxxax
(2)
Ph ng trình (2) là ph ng trình b c b n đ i v i x mà b n kh ng đu cươ ươ ậ ố ố ớ ạ ố ợ
h c cách gi i.ọ ả
Nh ng ta l i có th vi t ph ng trình (1) d i d ngư ạ ể ế ươ ướ ạ
( )
04612 2422 =+−+−− xxxaxa
(3)
Và xem (3) là ph ng trình b c hai đ i v i a.ươ ậ ố ớ
V i cách nhìn nàyớ, ta tìm đ c a theo x:ượ
xxxxxxa 46121 24242
2,1 −+−+−±−=
Gi i các ph ng trình b c hai đ i v i xả ươ ậ ố ớ
022
2=−−+ axx
(4)
Và
02
2=−− axx
(5)
Ta tìm đu c các nghi m (1) theo a.ợ ệ
Đi u ki n đ (4) có nghi m là ề ệ ể ệ
03
≥+
a
và các nghi m c a (4) là ệ ủ
ax +±−= 31
2,1
Đi u ki n đ (5) có nghi m là ề ệ ể ệ
01
≥+
a
và các nghi m c a (5) là ệ ủ
ax +±= 11
4,3
T ng k tổ ế
a -3 -1
Ph ng trình (4)ươ Vô nghi mệ2 nghi mệ2 nghi mệ
Ph ng trình (5)ươ Vô nghi mệVô nghi mệ2 nghi mệ
Lê Du ng Tr ng Giang – T*G*Mơ ườ
Trang
Tháng 12/2009
1
Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11ườ
Ph ng trình (6)ươ Vô nghi mệ2 nghi mệ4 nghi mệ
1 nghi m 3 nghi mệ ệ
Ví d 2ụ. Gi i ph ng trìnhả ươ
0445 234 =++−− xxxx
(1)
Ph ng trình (1) đu c vi t d i d ng:ươ ợ ế ướ ạ
( )
( ) ( )
( )( )
014
0141
0444
22
222
2234
=−−−
=−−−−−
=−−−−−
xxx
xxxxx
xxxxx
V y (1) có 4 nghi m làậ ệ
.
2
51
;
2
51
;2;2 4321
+
=
−
==−= xxxx
Ví d 3ụ. Gi i ph ng trìnhả ươ
0521104832 234 =++−− xxxx
(1)
Ta vi t (1) d i d ng:ế ướ ạ
( ) ( )
05347924162 2234 =+−−+− xxxxx
Và đ t: ặ
xxy 34 2−=
thì (1) đ c bi n đ i thànhượ ế ổ
0572 2=+− yy
T đó ừ
1
1=y
và
2
5
2=y
Gi i ti p các ph ng trình b c hai đ i v i x sau đây (sau khi thayả ế ươ ậ ố ớ
1
1=y
và
2
5
2=y
vào
xxy 34 2−=
):
0134 2=−− xx
Và
0568 2=−− xx
Ta s đu c các nghi m c a (1).ẽ ợ ệ ủ
Ví d 4ụ. Gi i ph ng trìnhả ươ
0231632 234 =++−+ xxxx
(1)
Đây là ph ng trình b c b n (và là ph ng trình h i quy khi ươ ậ ố ươ ồ
2
e d
a b
� �
=� �
� �
)
V i ph ng trình này ta gi i nh sau:ớ ươ ả ư
Chia hai v c a ph ng trình cho ế ủ ươ
2
x
(khác không) thì (1) t ng đu ng v iươ ơ ớ
0
23
1632 2
2=++−+ x
x
xx
Hay
2
2
1 1
2 3 16 0x x
x x
� � � �
+ + + − =
� � � �
� � � �
Đ t ặ
1
y x x
= +
thì
2 2
2
1
2y x x
− = +
Ph ng trình (1) đu c bi n đ i thành:ươ ợ ế ổ
( )
2
2 2 3 16 0y y− + − =
hay
2
2 3 20 0y y+ − =
Lê Du ng Tr ng Giang – T*G*Mơ ườ
Trang
Tháng 12/2009
2
Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11ườ
Ph ng trình này có nghi m là ươ ệ
1 2
5
4, 2
y y= − =
Vì v y ậ
14xx
+ = −
và
1 5
2
xx
+ =
t c là ứ
24 1 0x x+ + =
và
2
2 5 2 0x x− + =
T đó ta tìm đu c các nghi m c a (1) là:ừ ợ ệ ủ
1,2 3 4
1
2 3, , 2
2
x x x= − = =
.
Nh v y, v i các ví d 2,3 và 4 ta gi i đu c ph ng trình b c b n như ậ ớ ụ ả ợ ươ ậ ố ờ
bi t bi n đ i sáng t o v trái c a ph ng trình đ d n t i vi c gi i cácế ế ổ ạ ế ủ ươ ể ẫ ớ ệ ả
ph ng trình và ph ng trình quen thu c.ươ ươ ộ
2. Có th gi i ph ng trình b c b n nói trên b ng cách phân tích vể ả ươ ậ ố ằ ế
trái c a ph ng trình thành nhân t ủ ươ ử b ng ph ng pháp h s b t đ nh.ằ ươ ệ ố ấ ị
Ví d 5ụ . Gi i ph ng trình: ả ươ
4 3 2
4 10 37 14 0x x x x+ − + − =
(1)
Ta th phân tích v trái thành hai nhân t b c hai ử ế ử ậ
2
x px q+ +
và
2
x rx s+ +
,
trong đó
, , ,p q r s
là các h s nguyên ch a xác đ nh.ệ ố ư ị
Ta có:
( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14x x x x x px q x rx s+ − + − = + + + +
(2)
Đ ng nh t các h s c a nh ng s h ng cùng b c hai v c a đ ng nh tồ ấ ệ ố ủ ữ ố ạ ậ ế ủ ồ ấ
th c ta có h ph ng trình sauứ ệ ươ
4
10
37
14
p r
s q pr
ps qr
qs
+ = −
+ + = −
+ =
= −
Nh ph ng trình cu i cùng c a h này ta đoán nh n các giá tr nguyênờ ươ ố ủ ệ ậ ị
t ng ng có th l y đu c c a q và s nh sauươ ứ ể ấ ợ ủ ư
q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14
s -14 -7- 2 -1 14 7 2 1
Th l n l t các giá tr trên c a q thì th y v i ử ầ ượ ị ủ ấ ớ
2, 7q s= = −
ph ng trìnhươ
th hai và th ba c a h trên cho ta h ph ng trình m iứ ứ ủ ệ ệ ươ ớ
5
7 2 37
pr
p r
= −
− + =
Mà kh ử
p
đi thì đu c ợ
2
2 37 35 0r r− + =
Ph ng trình này cho nghi m nguyên c a ươ ệ ủ
r
là 1. Nh th ta suy ra ờ ế
5p= −
Thay các giá tr ị
, , ,p q r s
v a tìm đ c vào (2) thì có:ừ ượ
( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14 5 2 7x x x x x x x x+ − + − = − + + −
Ph ng trình (1) ng v i ươ ứ ớ
( ) ( )
2 2
5 2 7 0x x x x− + + − =
Gi i ph ng trình tích này ta đu c các nghi m sau c a (1):ả ươ ợ ệ ủ
5 17 1 29
;
2 2
x x
−
= =
Lê Du ng Tr ng Giang – T*G*Mơ ườ
Trang
Tháng 12/2009
3
Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11ườ
L u ýư: Trong m t s tru ng h p ta không th dùng ph ng pháp này vìộ ố ờ ợ ể ươ
nhi u khi vi c phân tích trên không đ c nh mong mu n ch ng h n khi hề ệ ượ ư ố ẳ ạ ệ
trên không có nghi m nguyên. ệ
3. Sau đây ta s tìm công th c nghi m c a ph ng trình b c b nẽ ứ ệ ủ ươ ậ ố
( )
4 3 2 0f x x ax bx cx d= + + + + =
(1)
trong đó
, , ,a b c d
là các s th cố ự .
D ng ý c a ta là phân tích đa th c ụ ủ ứ
4 3 2
x ax bx cx d+ + + +
thành hai nhân t b cử ậ
hai
Dùng n ph h, ta bi n đ i nh sau: ẩ ụ ế ổ ư
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 4 4 2
f x x ax h bx cx d a x h hx ahx
� �
= + + + + + − − − −
� �
� �
( )
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 4 2 4
f x x ax h h a b x ah c x h d
� �
� � � � � � � �
= + + − + − + − + −
� � � � � � � �
� �
� � � � � � � �
� �
(2)
Tam th c trong d u móc vuông có d ng: ứ ấ ạ
2
Ax Bx C+ +
2
Ax Bx C+ +
có th vi t d i d ng: ể ế ướ ạ
( )
2
2
Ax Bx C Px q+ + = +
(3)
Khi và ch khi ỉ
24 0B AC− =
hay
2
4 0AC B− =
Ta có:
2
2 2
1 1 1
4 0
4 4 2
h a b h d ah c
� �� � � �
+ − − − − =
� �� � � �
� �� � � �
Đây là ph ng trình b c ba đ i v i ươ ậ ố ớ
h
n n ph i có ít nh t m t nghi m th cế ả ấ ộ ệ ự .
Gi s nghi m đó là ả ử ệ
1h
=
.
(Ta có th dùng công th c bi u di n nghi m ph ng trình b c ba c aể ứ ể ễ ệ ươ ậ ủ
Cacđanô (nhà toán h c ng i Italia) ọ ườ
3 2 0x px q+ + =
(*) qua các h s c a nó.ệ ố ủ
M i ph ng trình b c ba t ng quát: ọ ươ ậ ổ
3 2
0 1 2 3 0
0, 0a y a y a y a a+ + + =
đ u có thề ể
đ a v d ng (*) nh phép bi n đ i n s ư ề ạ ờ ế ổ ẩ ố
1
0
3
a
y x a
= −
. Công th c đ c vi tứ ượ ế
nh sau: ư
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
q q p q q p
x= − + + + − − +
trong đó m i căn th c b c ba ỗ ứ ậ ở
v sau có ba giá tr , nh ng ph i ch n các c p giá tr có tích b ng ế ị ư ả ọ ặ ị ằ
3
p
−
đ c ngể ộ
v i nhau)ớ
Th thì (2) đu c vi t d i d ng: ế ợ ế ướ ạ
( ) ( )
2
2
21 1
2 2
f x x ax t px q
� �
= + + − +
� �
� �
(4)
V y:ậ
( )
2 2
1 1 1 1 0
2 2 2 2
f x x ax t px q x ax t px q
� �� �
= + + + + + + − + =
� �� �
� �� �
T đó: ừ
21 1 0
2 2
x a p x t q
� �
+ + + + =
� �
� �
Lê Du ng Tr ng Giang – T*G*Mơ ườ
Trang
Tháng 12/2009
4
Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11ườ
ho c ặ
21 1 0
2 2
x a p x t q
� �
+ − + − =
� �
� �
Gi i hai ph ng trình b c hai này ta đu c t p h p nghi m c a (1):ả ươ ậ ợ ậ ợ ệ ủ
2
1,2
1 1 1 4 2
2 2 2
x a p a p q t
� � � �
= − + + − −
� � � �
� � � �
Và
2
3,4
1 1 1 4 2
2 2 2
x a p a p q t
� � � �
= − − − + −
� � � �
� � � �
Ví d 6ụ. Gi i ph ng trình: ả ươ
4 3 2
7 6 0x x x x− − + + =
D a vào công th c (3) ta xác đ nh đu c ự ứ ị ợ
h
:
2
2
29 1 1
4 6 1 0
4 4 2
h h h
� �� � � �
+ − − − − =
� �� � � �
� �� � � �
t c ứ
3 2
7 25 175 0h h h+ − − =
Ta tìm đu c m t nghi m th c ợ ộ ệ ự
h
c a ph ng trình này là ủ ươ
5h
=
D a vào (3) và v i ự ớ
5, 1,, 7, 1, 6h t a b c d= = = − = − = =
thì tính đu c ợ
7 1
,
2 2
p q −
= =
Ph ng trình đã cho s đu c di n đ t theo (4) là:ươ ẽ ợ ễ ạ
2 2
2
2 2
1 5 7 1 0
2 2 2 2
1 5 7 1 1 5 7 1 0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x x
� � � �
− + − − =
� � � �
� � � �
� �� �
− + + − − + − + =�� �� �
� �� �
Thì đ c t p nghi m c a ph ng trình đã cho là: ựơ ậ ệ ủ ươ
{ }
1; 2;3;1− −
4. Ta còn có th gi i ph ng trình b c b n b ng ể ả ươ ậ ố ằ cách s d ng đử ụ ồ
th .ị
Th t v y, đ gi i ph ng trình b c b nậ ậ ể ả ươ ậ ố
4 3 2 0x ax bx cx d+ + + + =
(1)
b ng đ th , ta hãy đ t ằ ồ ị ặ
2
x y mx= −
Ph ng trình (1) tr thành: ươ ở
2 2 2 2 2
2 0y mxy m x axy axm bx cx d− + + − + + + =
Đ kh đu c các s h ng có ể ử ợ ố ạ
xy
trong ph ng trình này thì ph i có:ươ ả
2 0m a− + =
và
2
a
m=
V y n u đ tậ ế ặ
2
x y mx= −
và
2
a
m=
t c ứ
2
2
a
x y x= −
Thì (1) tr thành: ở
2 2
2 2 2 2 0
4 2
a a
y x x bx cx d+ − + + + =
(2)
Thay
2
x
b i ở
2
a
y x−
và bi n đ i thì (2) tr thành ế ổ ở
Lê Du ng Tr ng Giang – T*G*Mơ ườ
Trang
Tháng 12/2009
5