Giáo án Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích các khối đa diện - khối tròn xoay

Chia sẻ: Nguyenanhtuan_qb Nguyenanhtuan_qb | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích các khối đa diện - khối tròn xoay" tóm tắt kiến thức, hướng dẫn giải chi tiết các bài tập giúp các em học sinh củng cố các kiến thức trọng tâm và vận dụng vào giải các bài tập nhằm khắc sâu kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích các khối đa diện - khối tròn xoay

Chuyên đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang. 1. Một số kiến thức bổ trợ: a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết: a.1.Một số công thức tính thể tích: - Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước. 3 Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V  a Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương . - Thể tích khối lăng trụ: V  B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao. 1 - Thể tích của khối chóp: V  .B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao. 3 - Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có: VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  . . VS . ABC SA SB SC - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V =  .R 2 .h (h : độ dài đường cao) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  .R.l 1 - Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h 3 - Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2 4 - Thể tích khối cầu: V =  .R 3 3 a.2.Một số kiến thức bổ trợ: 3 2 3 + Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: h  a. Diện tích : S  a . 2 4 2 + Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a. 2 Diện tích S  a . 1 1 + Công thức tính diện tích tam giác: S  .a.ha  .a.b.sin C . 2 2 + Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P). Nếu d  ( P) thì ( 0  d,( P))  90  Nếu không vuông góc với ( P) thì - Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P).   Khi đó : (d,( P))  (d, d ')   . +Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
( P)  (Q)  d  a  ( P), a  d      (( P),(Q))  (a, b) b  (Q), b  d  a  b  I  d  + Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b. * Nếu a  b thì - Dựng mp(P)  b và mp(P)  a tại A - Dựng AB vuông góc với b tại B Khi đó: d(a, b)  AB * Nếu a và b không vuông góc thì Cách 1: - Dựng mp(P)  a tại O và ( P)  b  I  - Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P) -Trong (P) dựng OH vuông góc với b’tại H. -Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B -Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại A. Khi đó: d(a, b)  AB Cách 2: - Dựng (P)  b và mp(P)//a . - Dựng (Q) thỏa mãn A  (Q), A  a, (Q)  (P),(Q)  (P)= c - Trong (Q) kẻ AB vuông góc với c tại B Khi đó: d(a, b)  AB Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a. 3 3a 3 2 3 9a2 3 Giải: Ta có : Chiều cao: h  3a.  Diện tích : S   3a .  2 2 4 4 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 5a 6 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD.   2 Giải: Ta có : AC  5a 6. 2  10a 3 và SABCD  5a 6  150a2 Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 7, BC  5a . Giải: Ta có: AB  BC2  AC2  (5a)2  (a 7)2  18a2  3a 2 Khi đó: Diện tích tam giác ABC là 2
1 1 a2 14 SABCD  .AC.AB  .a 7.a 2  (đvdt) 2 2 2 Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3 ,  ABC  600 . Giải: Diện tích tam giác ABC là 2 1   1 .5a.2a 3. 3  15a (đvdt) SABCD  .AB.BC.sin ABC 2 2 2 2 Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) . b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC). Giải Giải: a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ta có: O  AM , SO  ( ABC) Khi đó OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó  (SA  ,( ABC))  (SA  , AO)  SAO b.Vì SO  ( ABC) nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà BC  OM nên SM  BC .Do đó ((  SBC),( ABC))  (SM  ,OM )  SMO Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA  ( ABCD ) a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD). b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD). Giải: a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên ta có: AC  BD Vì SA  ( ABCD ) Khi đó AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó  (SC  ,( ABCD))  (SC  , AC)  SCA b.Vì SA  ( ABCD ) nên AO là hình chiếu vuông góc của SO trên (ABCD) mà BD  AO nên SO  BD .Do đó ((  SBD),( ABCD))  (SO  ,OA)  SOA Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, SA  ( ABCD ) Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC. 3
Giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta thấy AC  BD và SA  BD nên BD  (SAC) Do đó SC  BD (SAC)  SC,(SAC)  BD tại O Trong (SAC) kẻ OH vuông góc với SC tại H. Khi đó : d( BD, SC)  OH Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng  ( ABC) .Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN. Giải: (ĐH khối A-2011) Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN cắt d tại E. EN  AE    EN  (SAE)  (SEN )  (SAE) . EN  SA  Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE. Khi đó AK  (SEN ) . Vì MN//EN mà EN  (SEN )  AM //(SEN ) Do đó d  AB, SN   d( AB,(SEN )  d( A,(SEN ))  AK b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a. Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 4a 3 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD. Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và AC=a 5, BC  4a . Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6 ,  0 ABC  30 . Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD). b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD). Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA=SB=SC. a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC). b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC). Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’ và mặt đáy (A’B’C’). Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Xác định góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’). 4
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề: a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác. B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h 1 B 3: Áp dụng công thức V = B.h 3 Ví dụ 1. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Giải: a) Gọi E là trung điểm của BC và O là tâm của ABC .Vì ABCD là tứ diện đều nên DO  ( ABC ) và AE  BC và 2 2a 3 O  AE , AO  AE  3 3 Trong  vuông DAO : DO  AD 2  AO 2 2a 3 2 2a 6  (2a ) 2  ( )  3 3  2a  2 3 Mặt khác: S ABC   a2 3 , 4 Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là 1 3 V  S ABC .DO  1 .a2 3. 2a 6  2a 2 3 3 3 3 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH 1 a 6 MH  DO  2 3 Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp a. Biết cạnh bên bằng a 3 .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ diện K.ABC theo a. 0 b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 . 0 c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 . 0 d. Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45 . Giải 5
Giải: a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ta có: O  AM , SO  ( ABC) 2 2 a 3 a 3 O  AM , AO  AM  .  3 3 2 3 Trong  vuông SAO : SO  SA2  AO 2 a 3 2 2a 6  (a 3) 2  ( )  3 3 Mặtkhác: 1 1 a 3 a2 3 S ABC  .BC. AM  .a.  2 2 2 4 Vậy thể tích chóp S.ABC là 1 2 3 VS . ABC  S ABC .SO  1 . a 3 . a 6  a 2 3 3 4 3 12 1 a 6 Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên (ABC).Khi đó H  AM , KH //  SO  Vậy 2 3 Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là 1 1 a 2 3 a 6 a3 2 VK . ABC  S ABC .KH  . .  (đvtt) 3 3 4 3 12 b.Vì SO  ( ABC) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó  (SA  ,( ABC))  (SA  = 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có: , AO)  SAO   a 3 . 3  a ; S  a 3 (đvdt) 2 SO=AO.tanSAO 3 ABC 4 1 1 a2 3 a3 3 V Vậy S . ABC  S ABC .SO  . .a  (đvtt) 3 3 4 12 c.Vì SO  ( ABC) nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà BC  OM nên SM  BC .Do đó (( SBC),( ABC))  (SM ,OM )  SMO = 300  a 3 1 a a2 3 Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO .  ; S ABC  (đvdt) 6 3 6 4 1 1 a2 3 a a3 3 V Vậy S . ABC  S ABC .SO  . .  (đvtt) 3 3 4 6 72   450 ,AB=a d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB 0 a 2 Do đó SAB vuông cân đỉnh S Ta có: SA  AB.sin 45  2 a 2 a a 6 Trong SAO vu趔ng c : SO  SA2  AO 2  ( )  ( )2  2 3 6 1 1 a2 3 a 6 a3 2 Vậy VS . ABC  S ABC .SO  . .  (đvtt) 3 3 4 6 24 6
Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a, SA  ( ABCD) .Góc giữa SD và ABCD bằng 450 . Giải: a) Vì SA  ( ABCD ) nên AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó  (SD  ,( ABCD))  (SD   450 , AD)  SDA Xét tam giác SAD có   450 và SDA   900 nên SA=AD=3a SAD Ta có S ABCD  AB.BC  a.3a  3a , 2 Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là 1 1 VS . ABCD  S ABCD .SA  .3a 2 .a  3a 3 3 3 Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ. B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h B3: Áp dụng công thức V  B.h Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15 Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15 là ABCA’B’C’. Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là a2 3 3a3 5 VABCA ' B'C'  AA '.SABC  2a 15.  4 2 3 a 6  (đvtt) 12 Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ 7
Giải: a. Gọi H là hình chiếu  của A’trên (ABC). Do A’A=A’B=A’C nên H là tâm của tam giác đều ABC. a 3  0 Ta có AH= và A'AH=60 3 Trong  vuông AA’H ta có a 3 A’H = AH. tan600 = . 3a 3 a2 3 SABC = 4 Vậy Thể tích khối lăng trụ là VABCA ' B 'C '  S ABC . A ' H  a2 3 a3 3  .a  4 4 Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng AC'=2a 6 Giải: Gọi b là độ dài cạnh của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có A'C'=a 2; AA'  b; AC '  b 3 Mặt khác Theo giả thiết ta có AC'=2a 6 nên b 3 =2a 6  b  2a 2   2 Khi đó SABCD  2a 2  8a2 Vậy Thể tích khối lăng trụ là VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '   2a 2.8a 2  16a 2 . 2 Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay B 3: Áp dụng công thức : - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V =  .R 2 .h ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  .R.l 1 - Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h 3 - Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2 8
4 - Thể tích khối cầu: V =  .R 3 3 Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b. Giải: Khối trụ có bán kính Mặt khác Theo giả thiết ta có bán 2 2 3a 3 kính R=AO= AH= a 3 3 3 2 - Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2. .a 3.4b  8ab 3. (đvdt) - Diện tích toàn phần của hình trụ là Stp = Sxq +2.Sđ 2 = 2. .a 3.4b  2 .(a 3)   8ab 3.  6a2 .  2a (4b 3  3a) Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều cao h=4b là   2 V=  .R2 .h   a 3 .4b  12a2 b Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có chiều cao 0 bằng a và góc ở đỉnh bằng 120 . Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là  SAB cân có  ASB=120 0  nên ASO=60 0 Trong  vuông ASO Ta có: R  AO  SO. tan 600  a 3; AO a 3 l  SA  0   2a sin 60 3 2 - Diện tích xung quanh của hình nón là 2 Sxq =  Rl   .a 3.2a  2a 3. (đvdt) - Diện tích toàn phần của hình nón là 2 Stp = Sxq +Sđ =  Rl   R    2  .a 3.2a   a 3  2a2 3.  3 a2   a2 (2 3  3) (đvdt) Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao h=a là 1 1   2 V= . .R2 .h  . a 3 .a   a3 3 3 9
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp: Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a. Giải: Do SA  ( ABC) nên SA là đường cao của khối chóp S.ABC. Trong tam giác vuông ABC. Ta có: BC  AC2  AB2   (5a)2  (4a)2  3a 1 1 SABC  AB.BC  .3a.4a  6a2 2 2 1 3 Vậy V = SABC. SA = 6a (đvtt) 3 Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và 0 đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 Giải: Gọi M là trung điểm của BC. Vì ABC là tam giác đều nên AM  BC mà SA  ( ABC) Nên AM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) Do đó SM  BC hơn nữa BC  ( SBC )  ( ABC ) nên ((  SBC),( ABC))  (SM , AM )    300  SMA Trong  V SAM ta có a 3 3 a SA = AM. tan300 = .  2 3 2 1 Vậy V = SABC. SA = 3 1 a2 3 a a3 3 = . .  (đvtt) 3 4 2 24 Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=a, a 3 0 SA=SB=SC= và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60 2 10
Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC).Do tam giác ABC vuông tại A và SA=SB=SC nên H là trung điểm của BC. Gọi M là trung điểm của AB. AM  BC Khi đó ((  SAB),( ABC))  (SM , HM )    600  SMH Trong  V SHC ta có SH  SC2  CH 2  a 3 2 a2 a 2  ( ) ( )  2 2 2 Trong  V SHM ta có a 2 a 6 a 6 HM = SH: tan600 = : 3 Do đó AC=2HM= Khi đó 2 6 3 1 1 3 a 6 a2 2 SABC = AB.AC= .a .  2 2 3 3 6 1 1 a 2 a 2 a3 2 Vậy V = SABC. SA = . .  (đvtt) 3 3 6 2 18 Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp a.Biết cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD. 0 b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 . 0 c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 .   60 . d. Biết SAB 0 Giải: a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều nên ta có: SO  ( ABCD) 1 1 a 2 O  AC , AO  AC  .a 2  2 2 2 Trong SAO vu趔ng c : SO  SA2  AO 2 a 2 2 a 6  (a 2) 2  ( )  2 2 Mặtkhác: S ABCD  a 2 Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 3 VS . ABCD  S ABCD .SO  1 .a2. a 6  a 6 3 3 2 6 11
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD). 1 1 a 6 a 6 S 1 a2 Khi đó H  AO, MH //  SO  .  , ABC  .S ABCD  5 5 2 10 2 2 1 1 a 2 a 6 a3 6 Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là VM . ABC  S ABC .KH  . .  3 3 2 10 60 a3 6 VM . ABC 60  1 Khi đó : V  S . ABCD a 3 6 10 6 1 1 1  Cách 2: VS . ABCD  .S ABCD .SO  .2 S ABC .5MH  10  S ABC .MH   10VM . ABC 3 3 3  V 1  M . ABC  VS . ABCD 10 b.Vì SO  ( ABCD ) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD).Do đó  (SA  ,( ABCD))  (SA  = 600 .Trong tam giác vuông SAO ta có: , AO)  SAO   a 2 . 3  a 6 ; S  a 3 (đvdt) 2 SO=AO.tanSAO 2 2 ABC 4 1 1 2 a 6 a3 6 Vậy V S . ABC  S ABC .SO  .a .  (đvtt) 3 3 2 6 c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO  ( ABCD ) nên OE là hình chiếu vuông góc của SE trên (ABCD) mà CD  OE nên SE  CD . Do đó ((SCD),( ABCD))  (SE   = 300 ,OE)  SEO Trong tam giác vuông SMO ta có:   a . 1  a 3 ; S  a 3 (đvdt) 2 SO=OE.tanSEO 2 3 6 ABC 4 1 1 2 a 3 a3 3 V Vậy S . ABCD  S ABCD .SO  .a .  (đvtt) 3 3 6 18   600 ,AB=a d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB Do đó SAB đều cạnh a Ta có: SA  AB  a a 2 a 2 Trong SAO vu趔ng c : SO  SA2  AO 2  (a ) 2  ( )  2 2 1 1 2 a 2 a3 2 V Vậy S . ABC  S ABC .SO  .a .  (đvtt) 3 3 2 6 Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông. 0 a. Biết AB=,2a SA  ( ABCD ) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 60 0 b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 30 12
Giải: a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a nên ta có: AC  BD và AO = 1 AC  a 2 2 Vì SA  ( ABCD ) Khi đó AO là hình chiếu vuông góc của SO trên (ABCD). mà BD  AO nên SO  BD Do đó ((  SBD),( ABCD))  (SO  = 600 , AO)  SOA Trong tam giác vuông SAO ta có:   a 2. 1  a 6 ; SA=AO.tanSOA 3 6 S ABCD   2a   4a 2 (đvdt) 2 1 1 2 a 6 2a3 6 V Vậy S . ABCD  S ABCD .SO  .4a .  3 3 6 9 b. Vì SA  ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó  (SC  ,( ABCD))  (SC  = 300 .Trong tam giác vuông SAC ta có: , AC)  SCA   2a. 1  2a 3 ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta có SA=AC.tanSCA 3 3   2 b. 2  2a  b  a 2 Khi đó S ABCD  a 2  2a 2 (đvdt) 1 3 Vậy VS . ABCD  S ABCD .SO  1 .2a2. 2a 3  4a 3 (đvtt) 3 3 3 9 Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB a. CMR SH  ( ABCD ) b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 1 c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM  AD .Tính VS . ABM theo a. 4 Giải: a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung điểm của AB nên SH  AB 3 3a 3 và SH  3a.  2 2 Khi đó Ta có : (SAB)  ( ABCD)  SH  AB   SH  ( ABCD) SH  (SAB)   S ABCD   3a   9a 2 2 b. Mặtkhác: Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 2 3a 3 9a3 3 VS . ABCD  S ABCD .SH  .9a .  3 3 2 2 13
1 c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM  AD nên.Tính 4 1 1 1 1 9a 2 S ABM  .S ABD  . S ABCD  S ABCD  4 4 2 8 8 Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là 1 1 9a 2 3a 3 9a 3 3 VS . ABM  S ABM .SH  . .  3 3 8 2 16 Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.   600 , SA  SC  a 5 , SB  SD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. BAD 2 Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có SA=SC và OA=OC nên SO  AC (1) SB=SD và OB=OD nên SO  BD (2) Từ (1) và (2) Ta có SO  ( ABCD ) Xét  ABD ta có AB = AD = a và   600 nên  ABD là tam giác đều cạnh a. BAD Khi đó Ta có : a 3 a2 3 AO  ; S  ABD  2 4 a2 3  SABCD  2. S  ABD  2 Trong  vuông SAO Ta có: a 5 2 a 3 2 a 2 SO  SA2  AO 2  ( ) ( )  2 2 2 Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 2 VS . ABCD  S ABCD .SO  1 . a 3 . a 2  3 3 2 2 a3 6  (đvtt) 12 Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ Giải: a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên AA'  ( ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a.Khi đó ta SABCD   5a   25a2 và 2 có AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên ( ABCD )  nên AC'A'=60 0 Trong  V ABC ta có 14
AA’ = AC. tan600 = 5a 2 . 3 =5 a 6 Vậy Thể tích khối lăng trụ là VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '  25a 2 .5a 6  125a 3 6 Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a,   600 .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc ACB 300.Tính thể tích lăng trụ đó. Giải: a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên AA '  ( ABC) Do đó AB là hình chiếu vuông góc của A’B trên  (ABC)Ta có: BC'A=30 0 Trong  V ABC ta có: AB = BC. tan600 = a 3 AA' Trong  V AA’B Ta có: tan300 = AB 1  AA’=AB.tan300 = a 3 . =a 3 1 1 a2 3 SABC = AB.AC = .a 3 .a = 2 2 2 Vậy Thể tích khối lăng trụ là a2 3 a3 3 VABCA ' B 'C '  S ABC . AA '  .a  2 2 Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,   600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc BCA 300. a. Tính độ dài cạnh AC’ b. Tính thể tích lăng trụ Giải: a. Vì  ABC vuông tại A nên BA  AC Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA  AA’ Do đó BA  ( ACC ' A ') Ta có BA  ( ACC ' A ') nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên ( ACC ' A ')  Theo giả thiết Ta có: BC'A=30 0 AB Trong  V ABC ta có: tan600 =  AB = AC. tan600 = a 3 AC 15
Trong  V BAC’ Ta có: AB AB tan300 =  AC’ = =AB 3 =3a AC tan 300 Trong  V AA’C’: AA'  AC '2  A ' C '2  (3a ) 2  a 2  2a 2 1 1 a2 3 SABC = AB.AC = .a 3 .a = 2 2 2 Vậy Thể tích khối lăng trụ là a2 3 VABCA ' B 'C '  S ABC . AA '  .2a 2  a 3 6 2 Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a 6 a , AA'= và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của 2 lăng trụ trên. Giải: a. Gọi H là trung điểm của B’C’.Theo giả thiết ta có AH  ( A ' B ' C ') Trong  vuông AA ' H Ta có: AH  AA '2  A ' H 2 a 6 2 a 3 2 a 3  ( ) ( )  2 2 2 a2 3 SA'B'C' = 4 Vậy Thể tích khối lăng trụ là VABCA ' B 'C '  S ABC . A ' H  a 2 3 a 3 3a 3  .  4 2 8 Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng 2 bằng 2 a . 16
Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là  SAB - Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq =  Rl   Rl  2 a2  (đvdt) 2 a2 2 a2  R  a l 2 a Trong  vuông SAO Ta có: SO  SA2  AO 2   2a  2   a2  a 3 Vậy Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao h=a là 1 2 1 2  a3 3 V = . .R .h  . a .a 3  3 3 3 c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp: Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  a 2 , SA vuông góc với đáy, SA  a a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN. Lời giải: 1 a)Ta có: VS . ABC  S ABC .SA 3 + SA  a + ABC c怏 n c : AC  a 2  AB  a 1  S ABC  a 2 2 1 1 a3 Yêu cầu: Vậy: VSABC  . a 2 .a  3 2 6 +Học sinh ghi được thể tích b) Gọi I là trung điểm BC. khối SABC và tính. SG 2 +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn G là trọng tâm,ta có :  thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. SI 3 + Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích SM SN SG 2  // BC  MN// BC     đối với khối chóp SB SC SI 3 V SM SN 4  SAMN  .  VSABC SB SC 9 4 2a 3 Vậy: VSAMN  VSABC  9 27 Bài 2. 17
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Lời giải: HD a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD 1 b)VS . ABCD  S ABCD .SO 3 + S ABCD  a 2 a 6 + SOC có : SO  AO.tan 60  2 a3 6 Vậy : VS . ABCD  6 Yêu cầu: +Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn c) VS . AEMF : của giáo viên. Xét khối chóp S.AMF và S.ACD +Tính được thể tích của khối S.ABCD sau SM 1 khi đã làm qua nhiều bài tập. Ta có :   SC 2 +Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối SI SF 2 S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài    5) SO SD 3 V SM SF 1  SAMF  .  VSACD SC SD 3 1 1 a3 6  VSAMF  VSACD  VSACD  3 6 36 a3 6 a3 6  VS . AEMF 2  36 18 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. 18
Lời giải: a)Tính VABCD 1 1 Ta có: VABCD  S ABC . AD  a 3 3 3 b) Ta có: AB  AC , AB  CD  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD) c) Tính VDCEF : Yêu cầu: V DE DF +Học sinh chứng minh được đường Ta có: DCEF  . (*) VDABC DA DB thẳng vuông góc mặt phẳng. Mà DE.DA  DC 2 , chia cho DA2 DE DF +Nắm được nhu cầu tính các tỉ số , . DE DC 2 a2 1 DA DB   2  2  +Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy DA DA 2a 2 Tương tự: DE ra DF DC 2 a2 1 DA    DB DB 2 DC  CB 2 2 3 VDCEF 1 Từ (*)   . VDABC 6 1 a3 Vậy VDCEF  VABCD  6 36 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ d) Lời giải: a) Ta có: 1 a3 2 VS . ABCD  S ABCD .SA  3 3 b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB ' Ta có SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC ) c) Tính VS . A B 'C ' D ' +Tính VS . AB 'C ' : VSA ' B 'C ' SB ' SC ' Ta có:  . (*) VSABC SB SC Yêu cầu: SC ' 1 +Học sinh biết chứng SAC vuông cân nên  minh AB '  ( SBC ) SC 2 Ta có: + Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: S . AB ' C ', S . AC ' D ' 19
SB ' SA2 2a 2 2a 2 2 + Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.     SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3 V 1 A B O D M c A' B' D' C' Từ (*)  SA ' B 'C '  VSABC 3 1 a3 2 a3 2  VSA ' B 'C '  .  3 3 9 2a 3 2 + VS . A B 'C ' D '  2VS . A B 'C '  9 Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD. a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’. c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có : V  AB. AD.AA '  a 3.a2  a3 3 ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a . * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 1 a3 3 VOA' B'C ' D'  V  3 3 b) M là trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') Yêu cầu: 1 1 a a 3 a 3 2+Học sinh 3 xác định công thức thể tích của khối VOBB'C '  SBB'C ' .OM  . .  hộp và khối chóp. 3 3 2 2 12 +Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là 3V (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp) OBB’C’. Ta có : C ' H  OBB 'C ' SOBB ' +Giải được câu b) tương tự như bài 1b ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a 1  SOBB '  a 2  C ' H  2a 3 2 Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. 20