Khóa luận tốt nghiệp: Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình Vật Lý - Toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:135

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình Vật Lý - Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ ---- HUỲNH TRÚC PHƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý TP. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Vũ Thụ Nhân TP. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019
i LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng đào tạo, các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện khóa luận này. Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tôi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận. TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019 SINH VIÊN Huỳnh Trúc Phương
ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... i MỤC LỤC ...................................................................................................................ii DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................................... v DANH MỤC HÌNH VẼ .............................................................................................. vi MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1 I. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1 II. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2 III. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................ 2 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 2 V. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2 VI. Cấu trúc đề tài .................................................................................................... 2 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU .................................. 4 1.1. Một số hàm đặc biệt ........................................................................................... 4 1.1.1. Hàm delta Dirac .................................................................................... 4 1.1.2. Hàm Heaviside ...................................................................................... 4 1.1.3. Hàm Bessel ........................................................................................... 4 1.1.4. Đa thức Legendre .................................................................................. 5 1.2. Các phép biến đổi tích phân ............................................................................... 6 1.2.1. Phép biến đổi Fourier ............................................................................ 6 1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos ........................................................... 9 1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức .................................................................... 9 1.2.4. Phép biến đổi Laplace.......................................................................... 10 Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TOÁN ............................................................................................................... 15 2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN ........................................................................ 15 2.1.1. Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 15 2.1.2. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng ......... 15 2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do .................................. 15 2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức ......................... 22
iii 2.1.3. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt ........ 25 2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn ......................... 25 2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn ............................... 31 2.1.4. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace ............... 34 2.1.5. Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác ........................................ 38 2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT ................................................. 44 2.2.1. Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 44 2.2.2. Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền sóng ............................................................................................................ 44 2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vô hạn ...................................................... 44 2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn ................................................ 46 2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN ...................................................... 48 2.3.1. Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 48 2.3.2. Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý – toán ............................................................................................................ 48 2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ..................................................................... 54 2.4.1. Giới thiệu phương pháp ....................................................................... 54 2.4.2. Hàm Green .......................................................................................... 54 2.4.3. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian......... 56 2.4.4. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong không gian ba chiều ............................................................................................ 60 2.4.5. Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài toán phụ thuộc vào thời gian ....................................................................................................... 62 Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN ......................................................................... 68 3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN ...................................................... 68 3.1.1. Giải các bài toán truyền sóng ............................................................... 68 3.1.2. Giải các bài toán truyền nhiệt .............................................................. 75 3.1.3. Giải các bài toán Laplace ..................................................................... 81 3.1.4. Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác ........................................... 88 3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT ............................... 98 3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN .................................. 101
iv 3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ................................................. 115 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................................................. 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 127
v DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace ................................................................................ 13 Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng .................................................................. 14
vi DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1. Chu tuyến l  L trong mặt phẳng phức ........................................................ 12 Hình 2.1. Đồ thị hàm số y  u ( x, t ) ........................................................................... 100
1 MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng. Các nhà vật lý biết được dao động của dây, dao động của sóng nước,... nhờ việc giải phương trình truyền sóng, biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc giải phương trình truyền nhiệt,...[7],[5]. Để giải các phương trình này, các nhà vật lý thường sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích. Phương pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần đúng [4]. Còn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên khó khăn đối với các bài toán phức tạp [3]. Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên vì các bài toán vật lý trong chương trình học của sinh viên không quá phức tạp. Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý toán: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Mỗi loại phương trình có nhiều dạng khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vô hạn, truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn và không chứa nguồn, phương trình Laplace,... Các phương pháp giải tích thường được sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức D’Alembert. Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì không đòi hỏi sinh viên biết nhiều kiến thức toán phức tạp. Ngoài ra còn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng hơn nhưng khá nặng về kiến thức toán như phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp hàm Green. Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán là rất cần thiết. Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn. Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tôi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích để giải các bài toán phương trình vật lý - toán trong đề tài này.
2 II. Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến hai mục đích sau:  Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace.  Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green. III. Đối tượng nghiên cứu  Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý.  Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu các bài toán đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thông qua các giáo trình, sách, các tài liệu liên quan.  Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán vật lý – toán. V. Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý - toán thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt trên thanh, phương trình Laplace,… VI. Cấu trúc đề tài Mở đầu: Phần này tôi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc đề tài. Chương 1. Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu. Trong chương này, tôi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong chương 2.
3 Chương 2. Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – toán. Trong chương này, tôi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green. Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - toán. Trong chương này, tôi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2. Kết luận và hướng phát triển
4 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1. Một số hàm đặc biệt 1.1.1. Hàm delta Dirac Trong vật lý, hàm delta Dirac δ(x) thường được dùng để mô tả các khái niệm như: mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm,...Hàm delta Dirac được định nghĩa bởi: 0, 𝑥 ≠ 0 𝛿 (𝑥 ) = { (1.1.1) ∞, 𝑥 = 0 và hàm này phải thoả mãn đẳng thức: +∞ ∫ 𝛿 (𝑥 )𝑑𝑥 = 1 (1.1.2) −∞ Hàm delta Dirac có tính chất như sau: Với mọi hàm 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥 = 𝑥0 thì: +∞ ∫ 𝛿 (𝑥 − 𝑥0 )𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0 ). (1.1.3) −∞ 1.1.2. Hàm Heaviside Hàm Heaviside H(t), còn gọi là hàm bậc thang đơn vị, được định nghĩa như sau: 0, 𝑡 < 0 𝐻 (𝑡 ) = { (1.1.4) 1, 𝑡 > 0 Định nghĩa trên cho ta biết hàm H(t) là một hàm không liên tục, nhận giá trị 0 khi đối số t âm và nhận giá trị 1 khi đối số t dương. Hàm Heaviside thường được dùng trong việc nghiên cứu các mạch điện, xử lý các tín hiệu,... 1.1.3. Hàm Bessel Trong các bài toán vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, ta thường gặp phương trình có dạng sau: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 𝑥2 2 +𝑥 + (𝑥 2 − 𝑚2 )𝑦 = 0 (1.1.5) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Phương trình (1.1.5) gọi là phương trình Bessel bậc m. Nghiệm của phương trình này có dạng hàm Bessel. Hàm Bessel loại 1 theo biến x  R , bậc m, được định nghĩa bằng chuỗi luỹ thừa sau:
5 +∞ (−1)𝑘 𝑥 2𝑘+𝑚 𝐽𝑚 (𝑥 ) = ∑ ( ) (1.1.6) 𝑘! (𝑚 + 𝑘 )! 2 𝑘=0 Hàm Bessel loại 2 liên hệ với hàm Bessel loại 1 theo biểu thức: 𝐽𝑚 (𝑥 ) cos(𝑚𝜋) − 𝐽−𝑚 (𝑥) 𝑌𝑚 (𝑥 ) = (1.1.7) sin(𝑚𝜋) trong đó: +∞ (−1)𝑘 𝑥 2𝑘−𝑚 𝐽−𝑚 (𝑥 ) = ∑ ( ) 𝑘! (−𝑚 + 𝑘 )! 2 𝑘=0 Nếu phương trình (1.1.5) có bậc m nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng: 𝑦 = 𝐴𝐽𝑚 (𝑥 ) + 𝐵𝑌𝑚 (𝑥) (1.1.8) Ngược lại, nếu phương trình (1.1.5) có bậc m không nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng: 𝑦 = 𝐴𝐽𝑚 (𝑥 ) + 𝐵𝐽−𝑚(𝑥) (1.1.9) với A, B là các hệ số. 1.1.4. Đa thức Legendre Trong các bài toán Laplace trong hệ toạ độ cầu, ta thường gặp các phương trình có dạng: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 (1 − 𝑥 2 ) − 2𝑥 + 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0, 𝑥 ∈ (−1,1), 𝑛 ≥ 0 (1.1.10) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 gọi là phương trình Legengre. Nghiệm của phương trình này có dạng đa thức Legendre. Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là 𝑃𝑛 (𝑥), được cho bởi biểu thức sau: 1 𝑑 𝑛 (𝑥 2 − 1)𝑛 𝑃𝑛 (𝑥 ) = , 𝑛 = 0,1,2, … (1.1.11) 𝑛! 2𝑛 𝑑𝑥 2 Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre: 𝑃0 (𝑥 ) = 1 𝑃1 (𝑥 ) = 𝑥
6 1 𝑃2 (𝑥 ) = (3𝑥 2 − 1) 2 1 𝑃3 (𝑥 ) = (5𝑥 3 − 3𝑥) 2 Khi giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nghiệm tổng quát của nó dưới dạng chuỗi chứa đa thức Legendre, để tìm hệ số của chuỗi, chẳng hạn ta có +∞ 𝑓 (𝑥 ) = ∑ 𝐴𝑛 𝑃𝑛 (𝑥) (1.1.12) 𝑛=0 với f(x) là một hàm đã biết, thì hệ số 𝐴𝑛 sẽ có dạng sau: 2𝑛 + 1 1 𝐴𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑃𝑛 (𝑥 )𝑑𝑥 (1.1.13) 2 −1 1.2. Các phép biến đổi tích phân 1.2.1. Phép biến đổi Fourier Cho 𝑓𝑇 (𝑡) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Chuỗi Fourier của hàm 𝑓𝑇 (𝑡) có dạng: +∞ 𝑎0 𝑓𝑇 (𝑡) = + ∑[𝑎𝑛 cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝜔𝑛 𝑡)] (1.2.1) 2 𝑛=1 2𝑛𝜋 trong đó n là các số nguyên không âm; 𝜔𝑛 = và các hệ số 𝑎0 , 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 được xác định 𝑇 như sau: 𝑇 2 2 𝑎0 = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 2 𝑎𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡) cos(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 𝑇 2 𝑇 2 2 𝑏𝑛 = ∫ 𝑓 (𝑡) sin(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 { 𝑇 −𝑇 𝑇 2 Thay 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , 𝜔𝑛 vào 𝑓𝑇 (𝑡):
7 𝑇 1 2 ⇒ 𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2 +∞ 𝑇 2 2 + ∑ [cos 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos(𝜔𝑛 𝑣) 𝑑𝑣 (1.2.2) 𝑇 − 𝑇 𝑛=1 2 𝑇 2 + sin 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin(𝜔𝑛 𝑣)𝑑𝑣 ] 𝑇 − 2 Mặt khác ta có: 2(𝑛 + 1)𝜋 2𝑛𝜋 𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 = − 𝑇 𝑇 2𝜋 2 ∆𝜔 ⇔ ∆𝜔 = 𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 = ⇔ = 𝑇 𝑇 𝜋 Do đó, 𝑓𝑇 (𝑡) được viết lại dưới dạng sau: 𝑇 1 2 𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2 +∞ 𝑇 1 2 + {∑ [cos 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos(𝜔𝑛 𝑣) 𝑑𝑣∆𝜔 (1.2.3) 𝜋 − 𝑇 𝑛=1 2 𝑇 2 + sin 𝜔𝑛 𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin(𝜔𝑛 𝑣)𝑑𝑣∆𝜔]} 𝑇 −2 Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn. Bây giờ ta xét 𝑇 → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm không tuần hoàn: 𝑓 (𝑡) = lim 𝑓𝑇 (𝑡) 𝑇→+∞ Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân +∞ ∫ |𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡 −∞
8 1 thì khi 𝑇 → +∞ ⇒ → 0, số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.2.3) bằng 0. Mặt khác, 𝑇 2𝜋 khi 𝑇 → +∞ thì ∆𝜔 = → 0, chuỗi vô hạn trong (1.2.3) trở thành tích phân với cận từ 𝑇 0 đến ∞. 1 +∞ +∞ +∞ ⇒ 𝑓𝑇 (𝑡) = ∫ [cos 𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 + sin 𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 ] 𝑑𝜔 𝜋 0 −∞ −∞ Ta đặt: 1 +∞ 𝐴(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 𝜋 −∞ (1.2.4) 1 +∞ 𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 { 𝜋 −∞ +∞ ⇒ 𝑓(𝑡) = ∫ [𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 + 𝐵(𝜔) sin 𝜔𝑡 ]𝑑𝜔 (1.2.5) 0 Biểu thức (1.2.5) chính là biểu diễn Fourier của hàm 𝑓(𝑡). Tuy nhiên không phải bất kỳ hàm nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier. Nếu 𝑓(𝑡) là hàm liên tục trên từng đoạn, có đạo hàm trái và phải tại mọi điểm, đồng thời tồn tại tích phân +∞ ∫ |𝑓 (𝑡)|𝑑𝑡 −∞ thì hàm 𝑓(𝑡) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier. Tại điểm 𝑓(𝑡) bị gián đoạn, giá trị của tích phân Fourier sẽ bằng với trung bình giới hạn trái và phải của 𝑓(𝑡) tại điểm đó. Nếu 𝑓(𝑡) là hàm chẵn : 1 +∞ 𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 = 0 𝜋 −∞ 2 +∞ 𝐴(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 { 𝜋 0 +∞ ⇒ 𝑓(𝑡) = ∫ 𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (1.2.6) 0 Nếu 𝑓(𝑡) là hàm lẻ :
9 1 +∞ 𝐴(𝜔) =∫ 𝑓 (𝑣 ) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣 = 0 𝜋 −∞ 𝑇 2 +∞ 𝐵(𝜔) = ∫ 𝑓𝑇 (𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 { 𝜋 0 +∞ ⇒ 𝑓 (𝑡) = ∫ 𝐵 (𝜔) sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (1.2.7) 0 1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos Cho hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) xác định ∀ 𝑥 ∈ (0, +∞), ∀ 𝑡 ≥ 0. Biến đổi Fourier Sin của hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x được xác định bởi: +∞ ℱ𝑠 (𝑢 (𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡) = ∫ 𝑢 (𝑥, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥 (1.2.8) 0 Để tìm lại được hàm 𝑢(𝑥, 𝑡), ta sử dụng phép biến đổi gọi là phép biến đổi ngược: 2 +∞ ℱ𝑠−1(𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡)) = 𝑢 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝒰𝑠 (𝑝, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑝 (1.2.9) 𝜋 0 Tương tự, biến đổi Fourier Cos của 𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x là: +∞ ℱ𝑐 (𝑢 (𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑥 (1.2.10) 0 và phép biến đổi ngược có dạng: 2 +∞ ℱ𝑐−1(𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡)) = 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝒰𝑐 (𝑝, 𝑡) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑝 (1.2.11) 𝜋 0 1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau: +∞ ℱ (𝑓(𝑡)) = 𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡 )𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 (1.2.12) −∞ Để tìm lại hàm f(t), ta sử dụng phép biến đổi Fourier phức ngược được cho bởi: −1 ( 1 +∞ ℱ 𝐹(𝜔)) = 𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹 (𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 (1.2.13) 2𝜋 −∞
10 Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm 𝑓(𝑡) đóng vai trò là chùm sáng trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi qua lăng kính, khi đó chúng sẽ bị tách ra thành các thành phần có tần số 𝜔 ứng với cường độ 𝐹(𝜔). Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn sắc ứng với một tần số. Do đó việc biến đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác nhau, tạo thành phổ màu. Và khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2]. Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi Fourier phức là định lý tích chập. Định lý 1.2.1 (Định lý tích chập) Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g, kí hiệu là 𝑓 ∗ 𝑔, được định nghĩa là: +∞ +∞ (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝑓 (𝑥 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢 (1.2.14) −∞ −∞ Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g có dạng: ℱ (𝑓 ∗ 𝑔) = ℱ (𝑓 )ℱ(𝑔) (1.2.15) Để tìm lại tích chập của f và g, ta có biến đổi Fourier ngược: +∞ ℱ −1 (ℱ(𝑓 )ℱ (𝑔)) = 𝑓 ∗ 𝑔 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢 (1.2.16) −∞ 1.2.4. Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau: +∞ ℒ (𝑓(𝑥)) = 𝐹 (𝑝) = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑒 −𝑝𝑥 𝑑𝑥 (1.2.17) 0 trong đó 𝑓(𝑥) xác định ∀ 𝑥 ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; 𝑝 là số phức, có dạng 𝑝 = 𝛾 + 𝑖𝛽, là một tham số phức hội tụ trong miền 𝑅𝑒 (𝑝) = 𝛾 > 𝛾0 . Hàm 𝑓(𝑥) được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho 𝑒 −𝑘𝑥 |𝑓(𝑥)| khả vi trong mọi miền 0 < 𝑥 < ∞. Để tìm lại hàm 𝑓(𝑥 ) từ hàm 𝐹(𝑝), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược. Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:
11 −1 ( 1 𝛾+𝑖∞ ℒ 𝐹(𝑝)) = 𝑓(𝑥 ) = ∫ 𝐹 (𝑝)𝑒 𝑝𝑥 𝑑𝑝 (1.2.18) 2𝜋𝑖 𝛾−𝑖∞ Để tính tích phân trong (1.2.18), ta phải áp dụng định lý thặng dư Cauchy. Định lý 1.2.2. (Định lý thặng dư Cauchy) Nếu 𝑓(𝑧) là hàm giải tích trong một miền kín được giới hạn bởi biên 𝐶 ngoại trừ các điểm đơn cô lập 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 (với n là số hữu hạn) nằm bên trong 𝐶 thì ta có: 𝑛 ∳𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ Res 𝑓(𝑧) (1.2.19) 𝐶 𝑧=𝑎𝑗 𝑗=1 trong đó Res 𝑓(𝑧) là giá trị thặng dư của hàm 𝑓 (𝑧) tại cực điểm 𝑧 = 𝑎𝑗 . 𝑧=𝑎𝑗 𝑃(𝑧) Giả sử 𝑓(𝑧) = , với 𝑃(𝑧) và 𝑄(𝑧) đều là hàm giải tích của z. Nếu 𝑃(𝑧) ≠ 0, 𝑄(𝑧) 𝑄(𝑧) = 0 thì điểm 0 của 𝑄 (𝑧) = 0 gọi là cực điểm của hàm 𝑓(𝑧). Nếu 𝑧 = 𝑎 là một cực điểm của 𝑓(𝑧) và nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 1, cực điểm này gọi là cực điểm cấp 1, nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 2, cực điểm gọi là cực điểm cấp 2, tương tự cho các cực điểm cấp cao hơn. Nếu 𝑓(𝑧) có một cực điểm cấp 𝑚 > 1 tại 𝑧 = 𝑎 thì thặng dư được cho bởi: 1 𝑑 𝑚−1 Res 𝑓(𝑧) = lim [ 𝑚−1 [(𝑧 − 𝑎)𝑚 𝑓(𝑧)]] (1.2.20) 𝑧=𝑎 (𝑚 − 1)! 𝑧→𝑎 𝑑𝑧 Để tìm biến đổi Laplace ngược sử dụng định lý thặng dư, ta tính tích phân sau: 𝛾+𝑖𝜔 𝐼 = lim ∫ 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 𝜔→∞ 𝛾−𝑖𝜔
12 Hình 1.1. Chu tuyến l  L trong mặt phẳng phức Chu tuyến 𝑙 + 𝐿 biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1. Chu tuyến này bao quanh tất cả các điểm bất thường cô lập của hàm lấy tích phân. Tích phân dọc theo chu tuyến 𝐿 + 𝑙 có giá trị: ∫ 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒 𝑝𝑥 . 𝐹 (𝑝)) (1.2.21) 𝑙+𝐿 Khi 𝜔 → ∞ thì ∫𝐿 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 → 0. Do đó: 𝛾+𝑖∞ 𝐼 = lim ∫𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 = ∫ 𝑒 𝑝𝑥 𝐹 (𝑝)𝑑𝑝 𝜔→∞ 𝑙 𝛾−𝑖∞ (1.2.22) = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒 𝑝𝑥 . 𝐹 (𝑝)) Mặt khác ta có: