Luận văn: Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn

Chia sẻ: Lotus_123 Lotus_123 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

146
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Câu hỏi đặt ra là điều này còn đúng với các không gian topo tuyến tính không lồi địa phương không. Bài báo này chỉ ra rằng đơn hình chuẩn trong không gian l p (0

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN NGUY N TRUNG KIÊN ĐI M B T Đ NG C A ÁNH X COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TUY N TÍNH Đ NH CHU N LU N VĂN T T NGHI P Đ I H C HC NHÂN SƯ PH M Ngư i hư ng d n khoa h c : PGS.TS. THÁI THU N QUANG Năm 2011
M cl c M Đ U ..................................... 3 1 M TS KI N TH C CHU N B 5 1.1 Các không gian cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian đ nh chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Không gian l i đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Ánh x liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Ánh x liên t c gi a các không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Ánh x liên t c gi a các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n . . . . . . . . . 10 1.2.4 Phép đ ng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5 Toán t compact - Toán t hoàn toàn liên t c . . . . . . . . . . 10 2 BÀI TOÁN VÀ M T S Đ NH LÝ V ĐI M B T Đ NG 12 2.1 M t s toán t tích phân và bài toán đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Toán t tích phân Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Toán t Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 ng d ng vào bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 M t s đ nh lý đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 2.2.2 Đ nh lý x p x và phép chi u Schauder . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Các đ nh lý đi m b t đ ng c a Brouwer và Borsuk . . . . . . . 19 2.2.4 Đ nh lý đi m b t đ ng Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5 M r ng c a đ nh lý Borsuk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 TÍNH CH T C T NGANG TÔPÔ VÀ NG D NG 22 3.1 Tính ch t c t ngang tôpô và s t n t i ánh x c t y u . . . . . . . . . 22 3.1.1 Tính ch t c t ngang tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2 Ánh x c t y u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 ng d ng cho bài toán đi m b t đ ng .................. 27 3.2.1 Nguyên lý Leray - Schauder. Đ nh lý Birkhoff-Kellogg . . . . . . 27 3.2.2 Trư ng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Phương trình y = x − F (x) và tính b t bi n c a mi n . . . . . . 3.2.3 32 K T LU N 36 TÀI LI U THAM KH O 37
M ĐU Lu n văn này nh m tìm hi u các v n đ liên quan đ n đi m b t đ ng c a các ánh x gi a các không gian tôpô, đ c bi t là c a toán t compact. Thông qua các đ nh lý đi m b t đ ng, có th ng d ng đ kh o sát s t n t i nghi m c a phương trình hay phương b t bi n c a mi n. N i dung chính c a lu n văn là trình bày chi ti t và làm rõ m t s k t qu trong [1]. Trong lu n văn, tác gi đã làm tư ng minh các ch ng minh c a Dugundji J. và Granas A.. Ngoài các ph n M đ u, K t lu n và Tài li u tham kh o thì lu n văn g m có 3 chương. Chương 1 gi i thi u m t s ki n th c chu n b v các không gian cơ b n và ánh x liên t c gi a các không gian, toán t compact, toán t hoàn toàn liên t c và phép đ ng luân. Chương 2 đ c p đ n m t s toán t tích phân, phép chi u và đ nh lý x p x Schauder, m t s đ nh lý đi m b t đ ng. Chương 3 trình bày tính ch t c t ngang tôpô và m t s ng d ng trong các bài toán đi m b t đ ng. Tác gi đã nh n đư c s hư ng d n nhi t tình, chu đáo, nghiêm kh c và đ y khoa h c c a PGS.TS Thái Thu n Quang trong su t th i gian h c t p, nghiên c u và hoàn thành đ tài. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Th y. Nhân d p này tác gi cũng xin chân thành g i l i c m ơn đ n quý th y, cô trong và ngoài Khoa Toán, Đ i h c Quy Nhơn đã dày công gi ng d y trong su t khóa h c
4 và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi hoàn thành lu n văn này. Tác gi xin chân thành c m ơn các b n cùng l p Sư ph m Toán A khóa 30 đã đùm b c giúp đ nhau trong h c t p và sinh ho t. M c dù lu n văn đã đư c th c hi n v i s n l c c g ng h t s c c a b n thân song do h n ch v trình đ và s hi u bi t nên khó tránh kh i nh ng sai l m thi u sót. Đ ng th i, tác gi cũng nh n th c đư c r ng còn r t nhi u v n đ m đ t ra chưa gi i quy t đư c. Tác gi r t mong nh n đư c nh ng góp ý, phê bình quý báu c a quý th y cô và các b n đ c quan tâm. Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011 Tác gi Nguy n Trung Kiên
Chương 1 M TS KI N TH C CHU N B 1.1 Các không gian cơ b n 1.1.1 Không gian mêtric Đ nh nghĩa 1.1.1.1. [2] Cho X là t p h p khác r ng. M t mêtric trên X là m t ánh x d t t p tích X × X vào t p R các s th c, tho mãn các đi u ki n sau: (i) d(x, y ) ≥ 0, v i m i x, y ∈ X ; (ii) d(x, y ) = 0 khi và ch khi x = y ; (iii) d(x, y ) = d(y, x), v i m i x, y ∈ X ; (iv) d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ), v i m i x, y, z ∈ X . M t t p h p X cùng m t mêtric d xác đ nh trên X đư c g i là m t không gian mêtric, ký hi u là (X, d). Đ nh nghĩa 1.1.1.2. [2] Cho không gian mêtric (X, d) và s th c r. Ký hi u B (x; r) = {y ∈ X : d(x, y ) < r} g i là hình c u m tâm x, bán kính r. T p con A c a X g i là t p m trong X n u v i m i x ∈ A đ u t n t i hình c u m B (x; ε) nào đó c a X ch a trong A. T p A ⊂ X g i là t p đóng n u X \ A là t p m .
6 Chú ý. Ký hi u diam(A) = sup d(x, y ) x,y ∈A g i là đư ng kính c a t p A. Đ nh nghĩa 1.1.1.3. [2] Dãy {xn } ⊂ (X, d) g i là dãy Cauchy n u ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀m, n ∈ N và m, n > n0 thì d(xm , xn ) < ε. Đ nh nghĩa 1.1.1.4. [2] Không gian mêtric X đư c g i là không gian mêtric đ y đ n u m i dãy Cauchy trong X đ u h i t đ n m t đi m nào đó thu c X . Đ nh nghĩa 1.1.1.5. [2] M t t p h p con A c a m t không gian mêtric X đư c g i là hoàn toàn b ch n n u m i r > 0 t n t i h u h n hình c u m B1 , B2 , ..., Bn bán kính r trong X sao cho n A⊂ Bi . i=1 Chú ý. Khi đó B = {B1 , B2 , ..., Bn } đư c g i là m t r-ph c a A. Đ nh nghĩa 1.1.1.6. [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian mêtric X . T p h p K đư c g i là t p h p compact n u m i dãy trong K đ u t n t i m t dãy con h i t đ n m t đi m nào đó thu c K . Đ c bi t, n u K = X và K compact thì ta nói không gian mêtric X là không gian compact. Đ nh lý 1.1.1.7. (Banach) [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian mêtric X . Đi u ki n c n và đ đ K compact là K đ y đ và hoàn toàn b ch n. 1.1.2 Không gian tôpô Đ nh nghĩa 1.1.2.1. [2] Gi s X là m t t p h p. M t h τ g m các t p h p con nào đó c a X đư c g i là m t tôpô trên X n u tho mãn các đi u ki n sau đây: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) H p tuỳ ý các t p h p c a h τ là m t t p h p c a h τ ; (iii) Giao h u h n các t p h p c a h τ là m t t p h p c a h τ .
7 M t t p h p X cùng v i m t tôpô τ xác đ nh trên nó đư c g i là m t không gian tôpô, ký hi u là (X, τ ). Khi đó m i ph n t thu c τ g i là m t t p m . Đ nh nghĩa 1.1.2.2. [2] Không gian tôpô X đư c g i là không gian Hausdorff n u x, y là hai đi m khác nhau b t kỳ c a X thì t n t i U, V l n lư t là lân c n c a x và y sao cho U ∩ V = ∅. Đ nh nghĩa 1.1.2.3. [2] Gi s K là m t t p h p con c a không gian tôpô X . K đư c g i là t p h p compact n u m i ph m c a K có m t ph con h u h n, t c là n u {Gα }α∈I là các t p m tuỳ ý trong X sao cho K⊂ Gα =⇒ ∃α1 , ..., αn ∈ I : K ⊂ Gαi . 1≤i≤n α∈I Đ nh lý 1.1.2.4. [2] (Tychonoff) Tích c a m t h tùy ý các không gian tôpô compact là không gian tôpô compact. Đ nh nghĩa 1.1.2.5. (Kh i l p phương Hilbert I ∞ ) [1] Ký hi u I = [0, 1]; In = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, n}; I ∞ = {x = (x1 , x2 , ...) : 0 ≤ xn ≤ 1, n = 1, 2, ...}. I ∞ đư c g i là kh i l p phương Hilbert, chính là tích đ m đư c c a các kho ng đóng đơn v I . M nh đ 1.1.2.6. [1] (i) Kh i l p phương Hilbert là không gian Hausdorff compact. (ii) B t kỳ m t không gian mêtric compact nào cũng có th nhúng vào hình l p phương Hilbert (Đ nh lý Urysohn). D th y r ng (i) suy ra t đ nh lý Tychonoff.
8 1.1.3 Không gian đ nh chu n Đ nh nghĩa 1.1.3.1. [3] Cho E là m t K-không gian vectơ (v i K = R ho c C). M t chu n trên E là m t hàm x → ||x|| t E vào R tho mãn các đi u ki n sau v i m i x, y ∈ E , m i λ ∈ K: (i) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 n u và ch n u x = 0; (ii) ||λx|| = |λ|||x||; (iii) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||. M t không gian đ nh chu n là m t không gian vectơ cùng v i m t chu n trên nó. Đ nh lý 1.1.3.2. [3] N u x → ||x|| là m t chu n trên E thì d(x, y ) = ||x − y || là m t mêtric trên E , mêtric này đư c g i là mêtric sinh b i chu n. Đ nh nghĩa 1.1.3.3. [3] Không gian Banach là không gian đ nh chu n đ y đ (v i mêtric sinh b i chu n). Đ nh lý 1.1.3.4. [1] Cho Ω là m t mi n b ch n trong Rn . Không gian các hàm s th c liên l c trên Ω, ký hi u C (Ω), là không gian Banach v i chu n ||u||0 = sup |u(x)|. x∈ Ω Đ nh nghĩa 1.1.3.5. [1] T p con K ⊂ C (Ω) đư c g i là đ ng liên t c n u v i m i ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ||x1 − x2 || < δ ⇒ |u(x1 ) − u(x2 )| < ε v i m i x1 , x2 ∈ Ω và u ∈ K . T p K đư c g i là compact tương đ i n u K compact. Đ nh lý 1.1.3.6. [1] (Arzelà-Ascoli) T p con c a C (Ω) là compact tương đ i khi và ch khi nó b ch n và đ ng liên t c. 1.1.4 Không gian l i đ a phương Đ nh nghĩa 1.1.4.1. [3] Cho E là không gian vectơ trên trư ng K. Hàm th c p : E → R đư c g i là n a chu n n u (i) p(x) ≥ 0 v i m i x ∈ E ;
9 (ii) p(λx) = |λ|p(x) v i m i λ ∈ K, x ∈ E ; (iii) p(x + y ) ≤ p(x) + p(y ) v i m i x, y ∈ E . Đ nh nghĩa 1.1.4.2. [1] Không gian tôpô tuy n tính E đư c g i là l i đ a phương n u m i lân c n c a 0 trong E đ u ch a m t lân c n l i c a 0. M i tôpô l i đ a phương trên không gian vectơ đư c xác đ nh b i h các n a chu n {pα |α ∈ A} th a tính ch t pα = 0, ∀α ∈ A khi và ch khi x = 0, V là t p m khi và ch khi v i m i v ∈ V t n t i ε > 0 và h u h n α1 , α2 , ..., αn ∈ A sao cho n {x|pαi (x − v ) < ε} ⊂ V . i=1 Đ nh nghĩa 1.1.4.3. [1] Cho A là t p con c a không gian l i đ a phương E , convA là t p l i đóng nh nh t c a E ch a A. 1.2 Ánh x liên t c 1.2.1 Ánh x liên t c gi a các không gian mêtric Đ nh nghĩa 1.2.1.1. [2] Ánh x f : (X, d) → (Y, ρ) gi a hai không gian mêtric đư c g i là liên t c t i x ∈ X n u m i dãy {xn } trong X sao cho xn → x thì f (xn ) → f (x). N u ánh x f liên t c t i m i đi m x thu c m t t p h p con A c a không gian mêtric X thì ta nói f liên t c trên t p h p A. Đ c bi t, n u A = X và f liên t c trên A thì ta nói f liên t c trên không gian mêtric X . 1.2.2 Ánh x liên t c gi a các không gian tôpô Khái ni m ánh x liên t c trong không gian tôpô là s m r ng m t cách t nhiên c a ánh x liên t c trong không gian mêtric. Đ nh nghĩa 1.2.2.1. [2] Gi s f là m t ánh x t không gian tôpô (X, τ ) vào không gian tôpô (Y, σ ). + Ánh x f đư c g i là liên t c t i đi m x c a X n u m i dãy (xα ) trong X h i t đ n x thì dãy f (xα ) h i t đ n f (x). + Ánh x f đư c g i là liên t c trên t p h p con A c a X n u nó liên t c t i m i
10 đi m x thu c A. Đ c bi t, n u A = X và f liên t c trên A thì ánh x f đư c g i là liên t c trên không gian tôpô X . 1.2.3 Ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n Do không gian đ nh chu n cũng là không gian mêtric v i mêtric sinh b i chu n nên khái ni m ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n đư c xây d ng d a trên đ nh nghĩa 1.2.1.1. Đ nh lý 1.2.3.1. (Tietze - Urysohn) [1] Cho X là không gian đ nh chu n, A ⊂ X đóng, f : A → R là hàm liên t c. Khi đó t n t i m r ng liên t c f ∗ : X → R c a f lên X . 1.2.4 Phép đ ng luân Đ nh nghĩa 1.2.4.1. [1] Hai ánh x liên t c f, g : X → Y gi a hai không gian tôpô g i là đ ng luân v i nhau n u t n t i ánh x liên t c H : X × [0, 1] → Y th a H (x, 0) = f (x), H (x, 1) = g (x), ∀x ∈ X . Ánh x H đư c g i là phép đ ng luân gi a X và Y . Ánh x f đư c g i là đ ng luân không n u nó đ ng luân v i m t ánh x h ng. 1.2.5 Toán t compact - Toán t hoàn toàn liên t c Đ nh nghĩa 1.2.5.1. [1] Cho X, Y là hai không gian tôpô và F : X → Y là ánh x liên t c. (i) Ánh x F đư c g i là compact n u F (X ) ch a trong m t t p con compact c a Y . (ii) X là không gian mêtric, F đư c g i là hoàn toàn liên t c n u nh c a m i t p con b ch n c a X đ u ch a trong m t t p con compact c a Y . (iii) Y là không gian vectơ, ánh x compact F đư c g i là h u h n chi u n u F (X ) ch a trong m t không gian con h u h n chi u c a Y . (iv) Y là không gian mêtric, F đư c g i là b ch n n u F (X ) là t p con b ch n c a Y.
11 T p h p các ánh x compact t X vào Y kí hi u là K(X, Y ). N u (Y, ) là không gian mêtric thì K(X, Y ) ch a trong không gian mêtric (B (X, Y ), d) - không gian các ánh x b ch n t X vào Y v i mêtric d(F, G) = sup (F (x), G(x)). x∈ X N u (E , || ||) là không gian đ nh chu n thì K(X, E ) là không gian con c a không gian đ nh chu n (B (X, E ), || ||) v i chu n ||F || = sup ||F (x)||. x∈X N u Y đ y đ thì (B (X, Y ), d) cũng đ y đ , E đ y đ thì B (X, E ) Banach. M nh đ 1.2.5.2. [1] Y đ y đ suy ra không gian K(X, Y ) đ y đ . Đ c bi t, n u E Banach thì K(X, E ) là không gian Banach. nên (B (X, Y ), d) đ y đ . Ta c n ch ng minh K(X, Y ) Ch ng minh. Vì Y đ y đ đóng trong B (X, Y ). Th t v y, xét {Fn } là m t dãy b t kỳ trong K(X, Y ) sao cho d(Fn , F ) → 0 v i F ∈ B (X, Y ). Khi đó ∀ε > 0, ∃k > 0 sao cho sup (F (x), Fk (x)) ≤ ε/2. x∈ X Do Fk (X ) hoàn toàn b ch n nên t n t i N = {y1 , y2 , ..., yn } là ε/2-ph c a Fk (X ). Do đó v i m i x ∈ X , ta có (F (x), yi ) ≤ (F (x), Fk (x)) + (Fk (x), yi ) ≤ ε, i = 1, . . . , n. V y N là ε-ph c a F (X ) hay F (X ) hoàn toàn b ch n. Hơn n a, F (X ) ⊂ Y nên đ y đ . S d ng đ nh lý 1.1.1.7, ta có F (X ) compact hay F ∈ K(X, Y ). V y K(X, Y ) đóng trong không gian đ y đ (B (X, Y ), d) nên K(X, Y ) đ y đ .
Chương 2 BÀI TOÁN VÀ M T S Đ NH LÝ V ĐI M B T Đ NG 2.1 M t s toán t tích phân và bài toán đi m b t đ ng 2.1.1 Toán t tích phân Urysohn Đ nh nghĩa 2.1.1.1. (Toán t tích phân Urysohn) [1] Cho Ω là m t mi n b ch n trong Rn , K : Ω × Ω × R → R liên t c. B ng cách đ t (x ∈ Ω) [F u](x) = K (x, y, u(y ))dy Ω v i m i u ∈ C (Ω), ta nh n đư c ánh x phi tuy n F : C (Ω) → C (Ω) và g i là toán t tích phân Urysohn. M nh đ 2.1.1.2. [1] Toán t tích phân Urysohn F hoàn toàn liên t c. Ch ng minh. Theo đ nh lý Arzelà 1.1.3.6, ta ch c n ch ng minh v i dãy {un } cho trư c th a mãn ||un || ≤ r suy ra dãy vn = F (un ) b ch n và đ ng liên t c thì F hoàn toàn liên t c . Bư c 1: ch ng minh {vn } b ch n V i M = sup{|K (x, y, u)| : x, y ∈ Ω, u ∈ [−r, r]} < +∞, ta có ||vn || = sup |vn (x)| ≤ sup |K (x, y, un (y ))|dy ≤ M µ(Ω). x∈Ω x∈Ω Ω
13 Bư c 2: ch ng minh {vn } đ ng liên t c Xét ε > 0 cho trư c. Vì K : Ω × Ω × [−r, r] → R liên t c đ u nên ∃δ > 0 sao cho [||x1 − x2 || < δ ] ⇒ |K (x1 , y, u) − K (x2 , y, u)| < ε, ∀y ∈ Ω, u ∈ [−r, r]. Khi đó |vn (x1 ) − vn (x2 )| ≤ |K (x1 , y, un (y )) − K (x2 , y, un (y ))|dy < εµ(Ω), ∀n Ω khi ||x1 − x2 || < δ . Vì v y, {vn } đ ng liên t c. Trư ng h p đ c bi t c a toán t này là toán t Hammerstein [F u](x) = K (x, y )f (y, u(y ))dy Ω trong đó f : Ω × R → R. Ta có sơ đ giao hoán sau / C (Ω) F C (Ω)F O FF FF F ˆ FF# K f C (Ω) Ánh x f : C (Ω) → C (Ω) (g i là toán t Niemytzki) xác đ nh b i y∈Ω [f u](y ) = f (y, u(y )), và K là toán t tích phân tuy n tính [Ku](x) = K (x, y )u(y )dy. Ω 2.1.2 Toán t Carathéodory Ký hi u (C k [a, b], ||.||k ) là không gian Banach g m các hàm kh vi liên t c c p k trên [a, b] d ng v : [a, b] → R v i chu n ||v ||k = max{||v ||0 , ||v ||0 , ..., ||v (k) ||0 } (||.||0 là chu n sup thông thư ng trên C [a, b]).
14 Đ nh nghĩa 2.1.2.1. (Toán t Carathéodory) [1] Cho p ≥ 1, ta g i f : [a, b] × Rk → R là hàm Lp -Carathéodory n u: (i) y → f (s, y ) liên t c h u kh p nơi đ i v i s trên [a, b]; (ii) s → f (s, y ) đo đư c v i m i y ∈ Rk ; (iii) V i m i r > 0, t n t i hàm không âm ϕr ∈ Lp [a, b] sao cho n u ||y || ≤ r thì |f (s, y )| ≤ ϕr (s) v i h u h t s ∈ [a, b]. B ng cách đ t t f (s, v (s), ..., v (k−1) (s))ds [F v ](t) = a v i m i v ∈ C k−1 [a, b], ta nh n đư c ánh x phi tuy n F : C k−1 [a, b] → C [a, b] và g i là toán t Lp -Carathéodory tương ng v i hàm Lp -Carathéodory f . Rõ ràng F xác đ nh và liên t c. M nh đ 2.1.2.2. [1] Toán t Carathéodory F hoàn toàn liên t c. Ch ng minh. S d ng đ nh lý Arzelà 1.1.3.6, ta ch c n ch ng minh n u dãy {un } ⊂ C k−1 [a, b] th a mãn ||un ||k−1 ≤ r thì suy ra dãy vn = F (un ) b ch n và đ ng liên t c trong C [a, b]. Th t v y, Bư c 1: ch ng minh {vn } b ch n (k−1) ||0 } ≤ r nên theo (iii), t n t i hàm ϕr ∈ Lp [a, b] Theo gi thi t, max{||un ||0 , ...., ||un sao cho |f (s, un (s), ..., u(k−1) (s))| ≤ ϕr (s) n đ i v i h u h t s ∈ [a, b], và do đó b ||vn ||0 = ||F un ||0 ≤ ϕr (s)ds. a Bư c 2: ch ng minh {vn } đ ng liên t c Cho ε > 0. Do tính liên t c c a tích phân Lebesgue, ∃δ > 0 sao cho n u |t − t | < δ
15 t ϕr (s)ds ≤ ε. Do đó thì t t |vn (t) − vn (t )| = |F un (t) − F un (t )| ≤ ϕr (s)ds ≤ ε, ∀n, ∀|t − t | < δ. t V y {vn } đ ng liên t c. 2.1.3 ng d ng vào bài toán biên Cho Ω là mi n b ch n trong Rn v i biên ∂ Ω trơn, f : Ω × R → R là ánh x H¨lder o n ∂ 2 f /∂x2 . Xét bài toán biên phi tuy n elliptic liên t c v i toán t Laplace ∆ = i i=1  −∆u = f (x, u), (2.1) u|∂ Ω = 0. Ta tìm nghi m u ∈ C 2 (Ω) ∩ C (Ω) th a (2.1). M t trong nh ng phương pháp đ gi i (2.1) là s d ng hàm Green G cho toán t - ∆ trong đi u ki n biên Dirichlet, đ đơn gi n hơn, ta đưa v phương trình d ng Hammerstein x ∈ Ω. u(x) = G(x, y )f (y, u(y ))dy, (2.2) Ω nhi u không gian khác nhau như Lp (Ω) (1 < p < Phương trình (2.2) có th xét +∞), C (Ω) ho c C 1 (Ω). m i trư ng h p còn tùy thu c vào d ng c a hàm Green tương ng v i bài toán (2.1). Hơn n a, trong m i trư ng h p trên toán t phi tuy n Hammerstein [F u](x) = G(x, y )f (y, u(y ))dy Ω là toán t hoàn toàn liên t c trong không gian hàm tương ng, và vì th , bài toán biên (2.1) có th chuy n v bài toán đi m b t đ ng c a ánh x F . 2.2 M t s đ nh lý đi m b t đ ng 2.2.1 Đi m b t đ ng Đ nh nghĩa 2.2.1.1. Cho X là m t không gian b t kỳ và F là ánh x t X (ho c t p con c a X ) vào X . Đi m x ∈ X đư c g i là đi m b t đ ng c a F n u x = F (x).
16 2.2.2 Đ nh lý x p x và phép chi u Schauder Đ nh nghĩa 2.2.2.1. [1] Cho N = {c1 , c2 , ..., cn } là t p h u h n trong không gian đ nh chu n. V i m i ε > 0, đ t {B (ci , ε)|i ∈ [n]}. (N, ε) = ([n] = {1, . . . , n}) V i m i i ∈ [n], đ t µi : (N, ε) → R là ánh x x → max[0, ε − ||x − ci ||]. Phép chi u Schauder pε : (N, ε) → convN đư c cho b i n 1 pε (x) = µi (x)ci . n µ i ( x) i=1 i=1 Chú ý. D ki m tra pε là ánh x vì v i m i x ∈ (N, ε), t n t i i ∈ [n] sao cho x ∈ B (ci , ε) n µi (x) = 0, hơn n a, pε (x) là t h p l i c a c1 , c2 , ..., cn nên pε [(N, ε)] ⊂ convN. nên i=1 2.2.2.2. [1] Cho c1 , c2 , ..., cn thu c t p l i C ⊂ E và pε là phép chi u M nh đ Schauder. Khi đó (a) pε là ánh x compact t (N, ε) vào convN ⊂ C ; (b) ||x − pε (x)|| < ε, ∀x ∈ (N, ε); (c) N u N ⊂ C đ i x ng qua tâm 0, ch ng h n N = {c1 , ..., ck , −c1 , ..., −ck } thì (N, ε) = (−N, ε) và pε (−x) = −pε (x), ∀x ∈ (N, ε). Ch ng minh. (a) D ki m tra µi là các hàm liên t c trên (N, ε) nên pε liên t c trên (N, ε). Hơn n a, pε (N, ε) ⊂ convN nên pε là ánh x compact. (b) Ta có n n µi (x) µi (x)ci n 1 i=1 i=1 ||x − pε (x)|| = x− µi (x)[x − ci ] = n n n µi (x) µi (x) µi (x) i=1 i=1 i=1 i=1 n µi (x)||x − ci || i=1 ≤ < ε. n µi (x) i=1
17 (Theo cách xác đ nh µi , ta có ho c µi (x) = 0 ho c ||x − ci || < ε) (c) Vi t −ci = c−i , theo cách xác đ nh µi , ta có µi (x) = µ−i (−x), t đó 1 pε (−x) = µi (−x)ci µi (−x) 1 = µ−i (x)ci µ−i (x) 1 =− µ−i (x)c−i µ−i (x) = −pε (x). Đ nh lý 2.2.2.3. (Đ nh lý x p x Schauder) [1] Cho X là không gian tôpô, C là t p con l i c a không gian đ nh chu n E và F : X → C là ánh x compact. Khi đó v i m i ε > 0, t n t i t p h u h n N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X ) ⊂ C và ánh x h u h n chi u Fε : X → C sao cho (a) ||Fε (x) − F (x)|| < ε, ∀x ∈ X ; (b) Fε (X ) ⊂ convN ⊂ C . Ch ng minh. Do F (X ) ch a trong m t t p con compact c a C ⊂ E nên F (X ) hoàn toàn b ch n, v i m i ε > 0, t n t i t p h u h n N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X ) sao cho F (X ) ⊂ (N, ε). Xét Fε : X → C xác đ nh b i x → pε F (x), trong đó pε : (N, ε) → convN là phép chi u Schauder, theo m nh đ 2.2.2.2, ta có Fε là ánh x c n tìm. Th t v y, (a) V i m i x ∈ X, ||Fε (x) − F (x)|| = ||pε F (x) − F (x)|| < ε; (b) Fε (X ) = pε F (X ) ⊂ pε (C ) ⊂ convN ⊂ C. B đ 2.2.2.4. [1] Cho X là không gian mêtric compact, A ⊂ X đóng và E là không gian đ nh chu n. Khi đó m i ánh x liên t c f : A → E đ u có th m r ng thành ánh x liên t c F : X → E .
18 Ch ng minh. V i m i ε = 1/n2 , n = 1, 2, ..., đ t fn : A → E là x p x Schauder c a f v i ||fn (a) − f (a)|| ≤ 1/n2 , ∀a ∈ A. Vì fn là ánh x liên t c t A vào không gian h u h n chi u E kn (đ ng c u v i Rkn ), ∗ theo đ nh lý Tietze-Urysohn 1.2.3.1, t n t i m r ng fn : X → E kn ⊂ E v i m i n = 1, 2, .... ∗ ∗ Đ t gn (x) = fn+1 (x) − fn (x), ta có 2 ||gn (a)|| ≤ ||fn+1 (a) − f (a)|| + ||f (a) − fn (a)|| ≤ , ∀a ∈ A. n2 − V i m i n, đ t Un = gn 1 B (0, 3/n2 ) ∩{x|d(x, A) < 1/n} là t p m trong X ch a A. B ng ∞ cách thay th m i t p Un b i U1 ∩ U2 ... ∩ Un , ta có th gi s U1 ⊃ U2 ... và Un = A. n=1 V i m i n = 1, 2..., ch n hàm Urysohn λn th a  1, x ∈ A λ n ( x) = 0, x ∈ Un / và hn (x) = λn (x)gn (x). Rõ ràng ||hn (x)|| ≤ 3/n2 . ∞ hn (x) h i t v i m i x. Th t v y, n u x ∈ A thì x thu c h u / D ki m tra chu i n=1 h n các t p Un . Khi đó chu i trên là m t t ng h u h n. N u x ∈ A thì t ng riêng th n c a chu i là fn+1 (a) − f1 (a) h i t v f (a) − f1 (a). ∞ trên X và hàm h(x) = hn (x) liên t c nên Do tính duy nh t c a đi m h i t n=1 ∗ f1 (x) + h(x) là m r ng c a F . Đ nh lý 2.2.2.5. [1] Cho X, E là các không gian đ nh chu n, A ⊂ X đóng và F0 : A → E là ánh x compact. Khi đó F0 m r ng đư c thành ánh x compact F : X → E. Ch ng minh. Vì F0 (A) là t p con compact c a E , cũng là không gian mêtric compact nên có th nhúng vào t p con đóng Q c a hình l p phương Hilbert I ∞ (theo m nh đ 1.1.2.6). Xét h : Q → E là ánh x ngư c c a phép nhúng này, ta có sơ đ giao hoán F0 / A HH EO HH HH g HHH h # Q ⊂ I∞
19 trong đó g là ánh x a → h−1 F0 (a). Vì X đ nh chu n, g m r ng đư c thành ánh x G : X → I ∞ và theo b đ 2.2.2.4, h m r ng đư c thành ánh x H : I ∞ → E. Ánh x H ◦ G : X → E hi n nhiên compact và là m r ng c a F0 . 2.2.3 Các đ nh lý đi m b t đ ng c a Brouwer và Borsuk Cho E là không gian đ nh chu n g m các ph n t là các dãy s th c {x1 , x2 , ...}, trong đó xn = 0 h u h t tr m t s h u h n v i chu n ||x|| = |xi |. Ký hi u E n = {x ∈ E : xi = 0, ∀i > n}; K n = {x ∈ E n : ||x|| ≤ 1}; S n = {x ∈ E n+1 : ||x|| = 1}. Do khuôn kh ti u lu n, ta th a nh n mà không ch ng minh 2 đ nh lý sau (Ph n ch ng minh, đ c gi có th xem [1], trang 85-96). Đ nh lý 2.2.3.1. (Brouwer) [1] M i ánh x liên t c F : K n → K n đ u có ít nh t m t đi m b t đ ng. Đ nh lý 2.2.3.2. (Borsuk 1) [1] Cho U là lân c n m , l i, đ i x ng, b ch n c a 0 trong E n , F : U → E n là ánh x b o toàn tính xuyên tâm trên ∂U , t c là −F (a) = F (−a), ∀a ∈ ∂U . Khi đó F có đi m b t đ ng. 2.2.4 Đ nh lý đi m b t đ ng Schauder Cho A là t p con c a không gian mêtric (X, d) và F : A → X . V i m i ε > 0, đi m a ∈ A th a d(a, F (a)) < ε đư c g i là đi m ε-b t đ ng c a F . M nh đ 2.2.4.1. [1] Cho A là t p con đóng c a không gian mêtric (X, d) và F : A → X là ánh x compact. Khi đó F có đi m b t đ ng khi và ch khi nó có đi m ε-b t đ ng v i m i ε > 0. Ch ng minh. Đi u ki n c n là hi n nhiên. Ta ch ng minh đi u ki n đ . V i m i n = 1, 2, ..., xét an là 1/n-b t đ ng c a F . Do F compact nên không m t tính t ng quát, ta