Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 1)" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM S Th y I. KHO NG CÁCH T M T I M TRÊN - P1 ng Vi t Hùng , HAI TI M C N TH T I HAI TR C T A Cho hàm s (C ) : y =  ax + b  ax + b , M ( xo ; yo ) ∈ ( C )  M  xo ; o →  cx + d  cxo + d  n tr c Ox là d1 = yo = n tr c Oy là d 2 = xo Kho ng cách t M Kho ng cách t M Kho ng cách t M Kho ng cách t M Kho ng cách t M axo + b cxo + d d d là d 3 = xo + c c a a n ti m c n ngang y = là d 4 = yo − c c n ti m c n ng x = − n ư ng th ng d : Ax + By + C = 0  d5 = → Axo + Byo + C A2 + B 2 Kho ng cách gi a hai i m A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB )  AB = → ( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2 x−2 . x +1 Tìm i m M thu c th hàm s sao cho a) kho ng cách t M n Oy b ng ba l n kho ng cách t M n Ox. b) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M Hư ng d n gi i:  x −2 x−2 G i M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  M  xo ; o →  x +1 xo + 1   a) Kho ng cách t M n các tr c t a l n l n lư t là d1 = xo ; d 2 = yo . Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = n ti m c n ngang.  3xo − 6 2  x + 1 = xo  xo − 2 xo + 6 = 0 ⇒ vno xo − 2  o Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ xo = 3 yo ⇔ xo = 3 ⇔ ⇔ 2  3xo − 6 xo + 1 →  xo + 4 xo − 6 = 0  xo = −2 ± 10  = − xo  xo + 1  V y có hai i m M v i hoành là xo = −2 ± 10 th a mãn yêu c u bài toán. b) th hàm s có ti m c n ng là x = −1 và ti m c n ngang là y = 1. Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = xo + 1 . Kho ng cách t M n ti m c n ng là d 2 = yo − 1 = xo − 2 3 −1 = xo + 1 xo + 1 Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ xo + 1 = V y có hai i m M v i hoành 6 ⇔ xo + 1 = ± 6  xo = −1 ± 6 → xo + 1 là xo = −1 ± 6 th a mãn yêu c u bài toán. Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s ( C ) : y = Tìm i m M thu c ư ng ti m c n. 2x + 1 . x −3 th hàm s sao cho kho ng cách t M n i m I ng n nh t, v i I là giao i m c a hai Hư ng d n gi i:  2x + 1 7 7  G i M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = =2+  M  xo ;2 + →  x−3 x−3 xo − 3   th có ti m c n ng là x = 3 và ti m c n ngang là y = 2 nên giao i m c a hai ti m c n là I(3 ; 2). Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Ta có MI = Áp d ng b t NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 ( xM − xI ) + ( y M − y I ) = 2 2 ( xo − 3)2 + ( yo − 2 )2 2 = ( xo − 3)2 +  49  7   =  xo − 3  2 ( xo − 3)2 + 49 ( xo − 3)2 ng th c Cô-si ta có ( xo − 3) + 2 49 ( xo − 3) 2 2 ≥2 ( xo − 3)2 . ( xo − 3)2 = 14  MI ≥ 14 → V y MI min = 14 ⇔ ( xo + 3) = 49 ( xo + 3) 2 ⇔ ( xo + 3) = 7 ⇔ xo + 3 = ± 7  xo = −3 ± 7 → V y có hai i m M v i hoành là xo = −3 ± 7 th a mãn yêu c u bài toán. 2x + 3 sao cho x +1 a) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M b) kho ng cách t M n ti m c n ng b ng ba l n kho ng cách t M c) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. Hư ng d n gi i:  2x + 3  G i M(x0; y0) là i m thu c th ⇒ M  x0 ; 0 . x0 + 1   Ví d 3: [ VH]. Tìm M thu c th hàm s y= n ti m c n ngang. n tr c Oy. ng là x + 1 = 0 và ti m c n ngang là y − 2 = 0 n ti m c n ng là d1 = |x0 + 1| n ti m c n ngang là d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 + 3 Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ x0 + 1 = y0 − 2 ⇔   y0 = − x0 + 1  x0 = 0 ⇒ y0 = 3 2x + 3 2 V i y0 = x0 + 3 ⇔ 0 = x0 + 3 ⇔ x0 + 2 x0 = 0 ⇔  x0 + 1  x0 = −2 ⇒ y0 = 1 2x + 3 2 V i y0 = − x0 + 1 ⇔ 0 = − x0 + 1 ⇔ x0 + 2 x0 + 2 = 0, phương trình vô nghi m. x0 + 1 V y trên th có hai i m M th a mãn bài là M(0; 3) và M(–2; 1). b) Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = |x0 + 1| Kho ng cách t M n tr c Oy là d2 = |x0| 1 8   x0 = 2 ⇒ y0 = 3 Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ x0 + 1 = 3 x0 ⇔   x = − 1 ⇒ y = 10 0  0 4 3  1 8  1 10  V y trên th có hai i m M th a mãn là M  ;  , M  − ;  .  2 3  4 3 2x + 3 2x + 2 + 1 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1  1  G i M(x0; y0) là i m thu c th ⇒ M  x0 ;2 + . x0 + 1   Kho ng cách t M n ti m c n ng là h1 = |x0 + 1| 1 Kho ng cách t M n ti m c n ngang là h2 = y0 − 2 = x0 + 1 th có ti m c n Kho ng cách t M Kho ng cách t M T ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = h1 + h2 = x0 + 1 + 1 BDT Co-si 1 ≥ 2 x0 + 1 . =2⇒d ≥2 x0 + 1 x0 + 1 D u b ng 7  1 2  x0 + 1 = 1 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 = 3 t ư c khi x0 + 1 = ⇔ ( x0 + 1) = 1 ⇔  x0 + 1  x0 + 1 = −1 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 = 1   7 th có hai i m M th a mãn yêu c u là M  0;  , M ( −2;1) .  3 V y trên Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y II. T NG KHO NG CÁCH NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 N HAI TI M C N Gi s có th hàm s y= f ( x) , trong ó f(x) và g(x) là các hàm b c nh t. g ( x)  f (a)  th nên M  a; .  g (a)  th có ti m c n ng là x = α hay x – α = 0 và có ti m c n ngang là y = β hay y – β = 0. d1 = a − α k  Kho ng cách t M n các ti m c n l n lư t là  → k  d = d1 + d 2 = a − α + f (a) a−α −β = d = g (a) a−α  i m M thu c Theo b t ng th c Cô-si ta ư c d = a − α + k a−α ≥ 2 a−α . k a−α =2 k ⇒ d min = 2 k ⇔ a − α = k a−α ⇔ a−α = k ⇔a=α± k  M → Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s y= x , ( C ) . Tìm i m M thu c x+2 th sao cho a) M có t a là s nguyên. b) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là nh nh t. Hư ng d n gi i: x x+2−2 2 = =1− a) Ta có y = x+2 x+2 x+2 G i M(x; y) thu c th , M có t a  x + 2 = ±1 là s nguyên thì 2 ( x + 2 ) ⇔   x + 2 = ±2 x + 2 = 1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) x + 2 = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = 3 ⇒ M ( −3;3) x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ M ( 0;0 ) x + 2 = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = 2 ⇒ M ( −4;2 ) V y trên th hàm s có 4 i m M có t a là nh ng s nguyên. a   b) Gi s M  a;  ∈ ( C ) là i m c n tìm.  a+2 th có ti m c n ng x + 2 = 0 và ti m c n ngang y – 1 = 0. Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = a + 2 , kho ng cách n ti m c n ngang là d 2 = a 2 −1 = a+2 a+2 Khi ó, t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a + 2 + 2 2 ≥2 a+2. =2 2 a+2 a+2 V y d min = 2 2 ⇔ a + 2 = T 2 ⇔ a + 2 = ± 2 ⇔ a = −2 ± 2 a+2   −2 + 2  2+ 2  ó ta ư c hai i m M th a mãn là M 1  −2 + 2;  , M 2  −2 − 2; .     2  2    2x + 1 Ví d 2: [ VH]. Cho hàm s y = , ( C ) . Tìm i m M thu c th sao cho x−3 a) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là nh nh t. b) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n b ng 8. Hư ng d n gi i: 2 x + 1 2( x − 3) + 7 7 7   Ta có y = = =2+ . Gi s M  a; 2 +  ∈ ( C ) là i m c n tìm. x−3 x−3 x−3 a −3  th có ti m c n ng x − 3 = 0 và ti m c n ngang y – 2 = 0. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Kho ng cách t M n ti m c n NG VI T HÙNG n ti m c n ngang là d 2 = Facebook: LyHung95 7 7 = a−3 a−3 ng là d1 = a − 3 , kho ng cách a) T ng kho ng cách t M V y d min = 2 7 ⇔ a − 3 = T n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a − 3 + 7 7 ≥ 2 a −3. =2 7 a −3 a −3 7 ⇔ a −3= ± 7 ⇔ a = 3± 7 a −3 ó ta ư c hai i m M th a mãn yêu c u bài toán. a = 4 a = 2  a − 3 =1 7 2 b) Theo bài ta có d = d1 + d 2 = a − 3 + = 8 ⇔ ( a − 3) − 8 a − 3 + 7 = 0 ⇔  ⇔  a = 10 a−3 a −3 =7    a = −4 Tương ng trên th có 4 i m M th a mãn là M1 ( 4;9 ) , M 2 ( 2; −5 ) , M 3 (10;3) , M 4 ( −4;1) . 2x + m , ( C ) . G i M là m t i m thu c th hàm s . x −1 Tìm m t ng kho ng cách t M n hai ti m c n t giá tr nh nh t b ng 10. Hư ng d n gi i:  2a + m  Gi s M  a;  ∈ ( C ) là i m c n tìm. a −1   th hàm s có ti m c n ng x – 1 = 0 và ti m c n ngang là y – 2 = 0. Ví d 3: [ VH]. Cho hàm s y= Kho ng cách t M n ti m c n ng là d1 = a − 1 và kho ng cách n ti m c n ngang là d 2 = 2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 Khi ó, t ng kho ng cách t M n hai ti m c n là d = d1 + d 2 = a − 1 + m+2 m+2 ≥ 2 a −1 . =2 m+2 a −1 a −1  m = 23 ⇒ d min = 2 m + 2 = 10 ⇔ m + 2 = 25 ⇔   m = −27 V i m = 23 ta có i u ki n cho dmin: a − 1 =  a = 6 ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3)   a = 6 ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 )  V i m = −27 ta có i u ki n cho dmin: a − 1 = V y có hai giá tr c a m th a mãn và tương ng có hai i m M th a mãn yêu c u bài toán. Bài 1: [ VH]. Cho hàm s (C ) : y = 2x + 1 . x −1 BÀI T P T LUY N Tìm i m M trên (C) sao cho a) kho ng cách t M b) kho ng cach t M n ti m c n ng b ng hai l n kho ng cách t M n tr c Ox. n hai ti m c ng b ng nhau. x +1 . 2x + 3 c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. Bài 2: [ VH]. Cho hàm s (C ) : y = Tìm i m M trên (C) sao cho a) ti p tuy n t i M vuông góc v i ư ng th ng IM, v i I là giao i m c a hai ti m c n b) kho ng cach t M n hai ti m c ng b ng nhau. c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Bài 3: [ VH]. Cho hàm s NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 (C ) : y = x +1 . 2x −1 ng b ng hai l n kho ng cách t M n tr c Oy. Tìm i m M trên (C) sao cho a) kho ng cách t M n ti m c n b) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. c) kho ng cách MI ng n nh t, v i I là giao c a hai ti m c n. d) t ng kho ng cách t M n hai ti m c n b ng 2. 3x − 2 . 2x + 3 Bài 4: [ VH]. Cho hàm s (C ) : y = Tìm i m M trên (C) sao cho a) M có t a là s nguyên. n hai tr c t a b ng nhau. b) kho ng cach t M c) t ng kho ng cách t M n các ti m c n nh nh t. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!