Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Sự biến thiên của hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Sự biến thiên của hàm số" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Sự biến thiên của hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 S BI N THIÊN C A HÀM S Th y ng Vi t Hùng Ki n th c cơ b n Gi s hàm s y = f ( x ) có t p xác • Hàm s f nh D. ng bi n trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c D. • Hàm s f ngh ch bi n trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c D. • N u y ' = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) thì: a > 0 + y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 a < 0 + y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 • nh lí v d u c a tam th c b c hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) : + N u ∆ < 0 thì g( x ) luôn cùng d u v i a. + N u ∆ = 0 thì g( x ) luôn cùng d u v i a (tr x=− b ) 2a + N u ∆ > 0 thì g( x ) có hai nghi m x1 , x2 và trong kho ng hai nghi m thì g( x ) khác d u v i a, ngoài kho ng hai nghi m thì g( x ) cùng d u v i a. • So sánh các nghi m x1 , x2 c a tam th c b c hai g( x ) = ax 2 + bx + c v i s 0: ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0   + x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0 + 0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0 + x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 S < 0 S > 0   • g( x ) ≤ m, ∀x ∈ (a; b) ⇔ max g( x ) ≤ m ; ( a;b ) g( x ) ≥ m, ∀x ∈ (a; b) ⇔ min g( x ) ≥ m ( a;b ) B. M t s d ng câu h i thư ng g p 1. Tìm i u ki n hàm s y = f ( x ) ơn i u trên t p xác • Hàm s f nh (ho c trên t ng kho ng xác nh). ng bi n trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c D. • Hàm s f ngh ch bi n trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c D. • N u y ' = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) thì: a > 0 + y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 a < 0 + y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 2. Tìm i u ki n hàm s y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ơn i u trên kho ng (a ; b ) . Ta có: y′ = f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . a) Hàm s f (a ; b ) . ng bi n trên (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ (a ; b ) và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c Trư ng h p 1: • N u b t phương trình f ′( x ) ≥ 0 ⇔ h(m) ≥ g( x ) (*) (a ; b ) thì f ng bi n trên (a ; b ) ⇔ h(m) ≥ max g( x ) (**) (a ; b ) • N u b t phương trình f ′( x ) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g( x ) thì f ng bi n trên (a ; b ) ⇔ h(m) ≤ min g( x ) t t = x − a . Khi ó ta có: Trư ng h p 2: N u b t phương trình f ′( x ) ≥ 0 không ưa ư c v d ng (*) thì y′ = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c . 2 2 Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 – Hàm s f a > 0 ∆ > 0  a > 0 ng bi n trên kho ng (−∞; a) ⇔ g(t ) ≥ 0, ∀t < 0 ⇔  ∨  ∆≤0  S > 0 P ≥ 0  a > 0 ∆ > 0  a > 0 ng bi n trên kho ng (a; +∞) ⇔ g(t ) ≥ 0, ∀t > 0 ⇔  ∨  ∆≤0  S < 0 P ≥ 0  – Hàm s f b) Hàm s f ngh ch bi n trên (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ (a ; b ) và y′ = 0 ch x y ra t i m t s h u h n i m thu c (a ; b ) . Trư ng h p 1: • N u b t phương trình f ′( x ) ≤ 0 ⇔ h(m) ≥ g( x ) (*) (a ; b ) thì f ngh ch bi n trên (a ; b ) ⇔ h(m) ≥ max g( x ) • N u b t phương trình f ′( x ) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g( x ) (**) (a ; b ) thì f ngh ch bi n trên (a ; b ) ⇔ h(m) ≤ min g( x ) Trư ng h p 2: N u b t phương trình f ′( x ) ≤ 0 không ưa ư c v d ng (*) thì t t = x − a . Khi ó ta có: y′ = g(t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c . a < 0 ∆ > 0  a < 0 – Hàm s f ngh ch bi n trên kho ng (−∞; a) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t < 0 ⇔  ∨  ∆≤0  S > 0 P ≥ 0  a < 0 ∆ > 0  a < 0 – Hàm s f ngh ch bi n trên kho ng (a; +∞) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t > 0 ⇔  ∨  ∆≤0  S < 0 P ≥ 0  2 2 3. Tìm i u ki n hàm s y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ơn i u trên kho ng có dài b ng k cho trư c. a ≠ 0 • f ơn i u trên kho ng ( x1; x2 ) ⇔ y′ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 , x2 ⇔  (1) ∆ > 0 • Bi n i x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = d 2 (2) • S d ng nh lí Viet ưa (2) thành phương trình theo m. • Gi i phương trình, so v i i u ki n (1) ch n nghi m. 4. Tìm i u ki n a) b) c) hàm s y = ng bi n trên (−∞;α ) . ng bi n trên (α ; +∞) . ng bi n trên (α ; β ) . ax 2 + bx + c (2), (a, d ≠ 0) dx + e T p xác  −e  adx 2 + 2aex + be − dc f ( x) nh: D = R \   , y ' = = 2 2 d   ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 N u: f ( x ) ≥ 0 ⇔ g( x ) ≥ h(m) (i) Trư ng h p 1 Trư ng h p 2 N u bpt: f ( x ) ≥ 0 không ưa ư c v d ng (i) thì ta t: t = x − α . Khi ó bpt: f ( x ) ≥ 0 tr thành: g(t ) ≥ 0 , v i: g(t ) = adt 2 + 2a(dα + e)t + adα 2 + 2aeα + be − dc a) (2) ng bi n trên kho ng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g(t ) ≥ 0, ∀t < 0 (ii)  a > 0 ∆ > 0  a > 0 (ii) ⇔  ∨  ∆ ≤ 0 S > 0 P ≥ 0  a) (2) ng bi n trên kho ng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g( x ) ≥ h(m), ∀x < α   −e  ≥α ⇔d  h(m) ≤ min g( x ) ( −∞;α ]  b) (2) ng bi n trên kho ng (α ; +∞) b) (2) ng bi n trên kho ng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g( x ) ≥ h(m), ∀x > α   −e  ≤α ⇔d  h(m) ≤ min g( x ) [α ; +∞ )   −e  ⇔  d ≤α  g(t ) ≥ 0, ∀t > 0 (iii)  a > 0 ∆ > 0  a > 0 (iii) ⇔  ∨  ∆≤0  S < 0 P ≥ 0  c) (2) ng bi n trên kho ng (α ; β )  −e  ⇔  d ∉ (α ; β )  g( x ) ≥ h(m), ∀x ∈ (α ; β )   −e  ∉ (α ; β ) ⇔d h(m) ≤ min g( x ) [α ; β ]  ax 2 + bx + c (2), (a, d ≠ 0) dx + e 5. Tìm i u ki n hàm s y = a) Ngh ch bi n trên (−∞;α ) . b) Ngh ch bi n trên (α ; +∞) . c) Ngh ch bi n trên (α ; β ) . T p xác  −e  adx 2 + 2aex + be − dc f ( x) nh: D = R \   , y ' = = 2 2 d   ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 N u f ( x ) ≤ 0 ⇔ g( x ) ≥ h(m) (i) Trư ng h p 1 Trư ng h p 2 N u bpt: f ( x ) ≥ 0 không ưa ư c v d ng (i) thì ta t: t = x − α . Khi ó bpt: f ( x ) ≤ 0 tr thành: g(t ) ≤ 0 , v i: g(t ) = adt 2 + 2a(dα + e)t + adα 2 + 2aeα + be − dc a) (2) ng bi n trên kho ng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g(t ) ≤ 0, ∀t < 0 (ii)  a < 0 ∆ > 0  a < 0 (ii) ⇔  ∨  ∆ ≤ 0 S > 0 P ≥ 0  a) (2) ngh ch bi n trên kho ng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g( x ) ≥ h(m), ∀x < α   −e  ≥α ⇔d  h(m) ≤ min g( x ) ( −∞;α ]  b) (2) ngh ch bi n trên kho ng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g( x ) ≥ h(m), ∀x > α   −e  ≤α ⇔d  h(m) ≤ min g( x ) [α ; +∞ )  b) (2) ng bi n trên kho ng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g(t ) ≤ 0, ∀t > 0 (iii)  a < 0 ∆ > 0  a < 0 (iii) ⇔  ∨  ∆≤0  S < 0 P ≥ 0  c) (2) ng bi n trong kho ng (α ; β )  −e  ⇔  d ∉ (α ; β )  g( x ) ≥ h(m), ∀x ∈ (α ; β )   −e  ∉ (α ; β ) ⇔d h(m) ≤ min g( x ) [α ; β ]  Baøi 1. 1 Cho hàm s y = (m − 1) x 3 + mx 2 + (3m − 2) x (1) 3 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s (1) khi m = 2 . 2) Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s (1) ng bi n trên t p xác nh c a nó. • T p xác nh: D = R. y ′= (m − 1) x + 2mx + 3m − 2 . (1) ng bi n trên R ⇔ y ′≥ 0, ∀x ⇔ m ≥ 2 2 Baøi 2. Cho hàm s y = x 3 + 3 x 2 − mx − 4 (1) 1) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) khi m = 0 . 2) Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s (1) ng bi n trên kho ng (−∞;0) . • T p xác nh: D = R. y ′= 3 x 2 + 6 x − m . y′ có ∆′ = 3(m + 3) . + N u m ≤ −3 thì ∆′ ≤ 0 ⇒ y′ ≥ 0, ∀x ⇒ hàm s ng bi n trên R ⇒ m ≤ −3 tho YCBT. + N u m > −3 thì ∆′ > 0 ⇒ PT y′ = 0 có 2 nghi m phân bi t x1 , x2 ( x1 < x2 ) . Khi ó hàm s các kho ng (−∞; x1 ),( x2 ; +∞) . ng bi n trên Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015! Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th y Do ó hàm s V y: m ≤ −3 . NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 ∆′ > 0 m > −3   ng bi n trên kho ng (−∞;0) ⇔ 0 ≤ x1 < x2 ⇔  P ≥ 0 ⇔ −m ≥ 0 (VN) S > 0 −2 > 0   Baøi 3. Cho hàm s y = 2 x 3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có 1) Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s khi m = 0. 2) Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng (2; +∞) th (Cm). • T p xác nh: D = R. y ' = 6 x 2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có ∆ = (2m + 1)2 − 4(m 2 + m) = 1 > 0 x = m y' = 0 ⇔  . Hàm s ng bi n trên các kho ng (−∞; m), (m + 1; +∞) x = m +1 Do ó: hàm s ng bi n trên (2; +∞ ) ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1 Baøi 4. Cho hàm s y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 . 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s khi m = 1. 2) Tìm m hàm ng bi n trên kho ng K = (0; +∞) . • Hàm ng bi n trên (0; +∞) ⇔ y ′= 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + (2 − m) ≥ 0 v i ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ f ( x) = 3x 2 + 2 x + 2 ≥ m v i ∀x ∈ (0; +∞) 4x + 1 6(2 x 2 + x − 1) 1 Ta có: f ′( x ) = = 0 ⇔ 2 x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = −1; x = 2 2 (4 x + 1) L p BBT c a hàm f ( x ) trên (0; +∞) , t ó ta i 1 5 n k t lu n: f   ≥ m ⇔ ≥ m . 4 2 Câu h i tương t : 1 a) y = (m + 1) x 3 − (2m − 1) x 2 + 3(2m − 1) x + 1 (m ≠ −1) , K = (−∞; −1) . 3 1 b) y = (m + 1) x 3 − (2m − 1) x 2 + 3(2m − 1) x + 1 (m ≠ −1) , K = (1; +∞) . 3 1 c) y = (m + 1) x 3 − (2m − 1) x 2 + 3(2m − 1) x + 1 (m ≠ −1) , K = (−1;1) . 3 1 Baøi 5. Cho hàm s y = (m 2 − 1) x 3 + (m − 1) x 2 − 2 x + 1 (1) (m ≠ ±1) . 3 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s khi m = 0. 2) Tìm m hàm ngh ch bi n trên kho ng K = (−∞;2) . S: m ≥ 4 11 S: m ≥ 0 S: m ≥ 1 2 • T p xác nh: D = R; y′ = (m2 − 1) x 2 + 2(m − 1) x − 2 . t t = x – 2 ta ư c: y′ = g(t ) = (m 2 − 1)t 2 + (4m 2 + 2m − 6)t + 4m 2 + 4m − 10 Hàm s (1) ngh ch bi n trong kho ng (−∞;2) ⇔ g(t ) ≤ 0, ∀t < 0 m2 − 1 < 0  a < 0 TH1:  ⇔ 2 ∆≤0  3m − 2m − 1 ≤ 0  m2 − 1 < 0 a < 0  2  >0 3m − 2m − 1 > 0  ∆ TH2:  ⇔ 4m2 + 4m − 10 ≤ 0 S>0   −2m − 3 P ≥ 0   >0  m +1  V y: V i −1 ≤ m < 1 thì hàm s (1) ngh ch bi n trong kho ng (−∞;2) . 3 Baøi 6. 1 Cho hàm s y = (m 2 − 1) x 3 + (m − 1) x 2 − 2 x + 1 (1) (m ≠ ±1) . 3 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s khi m = 0. Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vn t i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!