Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

318
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào thống kê đủ đối với . * Điều kiện cần. Vậy T(X) = (T1(X),…, Ts(X)) làGiả sử (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào. Đặt h(x1,…, xn) = Ta biết rằng Điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]. Ví dụ 2.6. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; với (a;2). Chứng minh rằng 2;là thống kê đủ đối). Giải. Ta có hàm mật...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2

Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào . Vậy T(X) = (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với . * Điều kiện cần Giả sử (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào . Đặt h(x1,…, xn) = Ta biết rằng Mà
Vậy ta có Điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]. Ví dụ 2.6. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2 ). Chứng minh rằng là thống kê đủ đối N(a; ; 2 với (a; ). Giải. Ta có hàm mật độ đồng thời của X1,…, Xn là =g trong đó h(x) = và g = 2 Theo Định lí 2.5, cặp ( ) là thống kê đủ đối với (a; )
(X1,…, Xn) xác định trên không gian mẫu Rn và nhận Định nghĩa 2.7. Thống kê giá trị trong không gian T được gọi là ước lượng của hàm tham số ( ) (Theo định nghĩa của thống kê thì (X) chỉ phụ thuộc X1,…, Xn mà không phụ thuộc ). Định nghĩa 2.8. Ước lượng (X1,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng không chệch nếu E (X1,…, Xn) = ( ). Ví dụ 2.9. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2 dạng tổng quát N(a; ). * Trung bình mẫu là ước lượng không chệch của a vì = . * Phương sai mẫu điều chỉnh là ước lượng không chệch 2 của . Thật vậy =
2 * Phương sai mẫu không là ước lượng không chệch của vì Định nghĩa 2.10. Ước lượng (X1,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng không chệch tốt nhất nếu: i1. E (X1,…, Xn) = ( ) * i2. D (X1,…, Xn) D (X1,…, Xn) trong đó *(X1,…, Xn) là ước lượng không chệch bất kỳ của ( ), còn E , D là kí hiệu kỳ vọng toán và phương sai với điều kiện . Định nghĩa 2.11. Ước lượng (X1,…, Xn) của tham số được gọi là ước lượng vững nếu (X1,…, Xn) hội tụ về theo xác suất khi n , nghĩa là: với > 0 tuỳ ý cho trước. Ví dụ 2.12. Trong Ví dụ 2.9, là ước lượng vững của a. vì X1,…, Xn độc lập có 2 2 phân phối như nhau với EX1 = … = EXn = a và DX1 = ;…; DXn = , nên theo Định lí Trêbưsep ta có hội tụ về a theo xác suất khi n .
Chứng minh tương tự là ước lượng vững của . Định nghĩa 2.13. Phân phối f(x, ) được gọi là chính quy nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: ) > 0] không phụ thuộc vào i1) [x; f(x, . i2)Đối với mỗi x và mỗi , tồn tại đạo hàm riêng (x, ). i3 ) =0 Số J( ) = được gọi là lượng thông tin Fisher về chứa trong X. Định nghĩa 2.14. Ước lượng (X1, X2,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệch chính quy nếu với mọi nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối hoặc nếu X có phân phối rời rạc Định nghĩa trên có thể phát biểu như sau
Ước lượng (X1, X2,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệch chính quy nếu: Định lí 2.15. (Bất đẳng thức Cramer - Rao) Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ) và ( ) là hàm tham số đã cho. Nếu (X1, X2,…, Xn) là ước lượng không chệch chính quy của ( ), f(x, ) là phân phối chính quy thì Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi với mọi thì: với xác suất 1 (X) - ( ) = b( ) Chứng minh . Do phân phối f(x, ) và ước lượng (X) là chính quy nên và do X1,X2,…,Xn độc lập, có cùng phân phối nên Vì
Mặt khác = Vì nên Từ đó ta suy ra . Định lí được chứng hay minh. Chú ý: Bất đẳng thức này có thể mở rộng cho trường hợp tham số là một vectơ =( 1,…, r). Định nghĩa 2.16. Ước lượng (X) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng hiệu quả nếu D (X) = .
Ví dụ 2.17. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Poisson với tham số > 0. Chứng minh rằng ước lượng là ước lượng hiệu quả của . Giải. Ta có ; và J( ) = Vậy là ước lượng hiệu quả của hay .