Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính - Phần 1

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

569
lượt xem 152
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính - phần 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính - Phần 1

CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực hiện các phép tính sau ⎛1 3⎞ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 1 0 2⎞⎜ ⎟ 6 5⎟ ⎛ 2 11 5⎞ ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ 2 1⎟ 1. ⎜ ⎜ ⎟ 4. ⎜ ⎟⎜0 1 1 0⎟⎜ ⎜0 0⎟ ⎝ −7 3 2⎠ ⎝3 0 4 ⎠⎜1 0 2 1⎟ 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ 4 ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞ n ⎛ 2 −1 1⎞ ⎜ ⎟ 5. ⎜ ⎟ (n ∈ , 0 ≤ ϕ < 2π ) 2. ⎜ ⎟ 2 (1 2) ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ 1 2 1⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎛1 a⎞n ⎜ 0 1 ⎟ , a ∈ R và n ∈ 3. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1⎞ Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ và f ( x ) = 3x + 2 x − 4 . Tính f ( A) . 2 ⎝ 0 3⎠ Bài 3: ⎛x y⎞ ⎛ x 6 ⎞ ⎛ 4 x + y⎞ 1. Tìm các số thực x, y , z , w sao cho 3 ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟. ⎝ z w ⎠ ⎝ −1 2 w ⎠ ⎝ z + w 3 ⎠ ⎛ 2 1⎞ 2. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 −2 ⎞ Bài 4: Cho các ma trận A = ⎜ 1 2 2 ⎟ , B = ⎜ −1 2 ⎟ , C = ⎜ ⎟ . Tính C B A . t t t ⎜ 2 2 5⎟ ⎜ 3 2⎟ ⎝ 2 3 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5: Tìm ma trận X trong các trường hợp sau ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 2⎞ 1. ⎜ ⎟ . X. ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4 5⎠ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 2. ⎜ ⎟ . X − X .⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 −1⎠ ⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. ⎜ 2 5 4⎟ X - ⎜ 7 6⎟ = 3 ⎜ 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 5⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ −2 1⎠ §2. ĐỊNH THỨC
Bài 6: Tính các định thức sau đây 7 6 5 2 3 4 1 2 3 4 1. 1 2 −1 2. 5 6 7 2 3 4 1 3. 3 −2 2 8 9 1 3 4 1 4 4 1 2 3 1 2 3 4 a+x x x x2 + 1 xy xz 2 3 4 1 5. x b+x x 6. xy y +1 2 yz 4. 3 4 1 4 x x c+x xz yz z +1 2 4 1 2 3 Bài 7: Tính các định thức cấp n sau đây 1 2 3 ....... n − 1 n 1 2 3 ....... n −1 n 1 0 3 ....... n − 1 n 2 2 3 ....... n −1 n 1 2 0 ........ n − 1 n 3 3 3 ....... n −1 n 1. 3. ...................................... .... ..... ..... ....... ....... ... 1 2 3 ............ 0 n n −1 n −1 n −1 ....... n −1 n 1 2 3 ........ n − 1 0 n n n ....... n n 1 1 1 ....... 1 1 x a a a 1 2 2 ....... 2 2 a x a a 1 2 3 ....... 3 3 3. 4. a a x a ... ... ... ....... .... .... 1 2 3 ....... n − 1 n − 1 a a a x 1 2 3 ....... n − 1 n Bài 8:Giải các phương trình sau đây 1 x x 2 x3 x x +1 x + 2 1 2 4 8 1. =0 2. x + 3 x + 4 x + 5 = 0 1 3 9 27 x+6 x+7 x+8 1 4 16 64 §3. HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau
⎛ 1 3 5 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 3 −2 4 ⎞ 1. ⎜ 2 −1 −3 4 ⎟ ⎜ 2. ⎜ 4 −2 5 1 7⎟ ⎟ ⎜ 5 1 −1 7 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎝ 1 8 2⎟ ⎠ ⎝ 7 7 9 1⎠ ⎛ 0 2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −4 3 1 0⎞ ⎜ −1 −4 5 ⎟ ⎜ 1 −2 1 −4 ⎟ 2⎟ 3. ⎜ 3 1 7 ⎟ 3. ⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 1 −1 3 1⎟ ⎜ 0 5 −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 3 ⎟ ⎝ 1 −7 4 −4 5⎠ ⎝ 0 ⎠ Bài 10: Tùy theo tham số m , hãy tìm hạng của các ma trận sau ⎛ 1 2 3⎞ ⎛3 1 1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. ⎜ 4 5 6⎟ 2. ⎜ 2 2 4 3⎟ ⎜ 7 8 9⎟ ⎜m 4 10 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝10 m 12⎠ ⎝1 7 17 3⎠ ⎛m 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ 1 m 1 m ⎟ . Tìm m để r ( A) < 3 . ⎜ 1 1 1 m2 ⎟ ⎝ ⎠ §4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp biến đổi sơ cấp ⎛1 0 3⎞ ⎛1 3 2⎞ ⎛1 3 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. ⎜ 2 1 1 ⎟ 2. ⎜ 2 1 3 ⎟ 3. ⎜ 5 0 1 ⎟ ⎜ 3 2 2⎟ ⎜3 2 1⎟ ⎜3 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 0 1⎞ ⎛ 2 1 0 2⎞ ⎛1 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. ⎜1 1 2 0⎟ 5. ⎜ 2 2 1 0⎟ 6. ⎜0 1 1 0⎟ ⎜ 0 1 1 2⎟ ⎜0 2 2 1⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 0 1 1⎠ ⎝ 1 0 2 2⎠ ⎝1 0 0 1⎠ §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 ⎧ x1 + 3x 2 + 5 x3 + x 4 = 0 ⎪ ⎪ 1. ⎨ x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 2. ⎨ 4 x1 − 7 x 2 − 3x3 − x 4 = 0 ⎪x + 7x − 5x − x = 0 ⎪3x + 2 x + 7 x + 8 x = 0 ⎩ 1 2 3 4 ⎩ 1 2 3 4 Bài 14: Giải và biện luận các hệ phương trình sau
⎧mx + y +z = 1 ⎧ x + y + (1 − m )z = m + 2 ⎪ ⎪ 1. ⎨ x + my + z = m 2. ⎨(1 + m )x − y +2 z = 0 ⎪ x + y + mz = m 2 ⎪ 2x − my +3z = m+2 ⎩ ⎩ ⎧ x1 +3x 2 +2 x 3 +4 x 4 = 1 ⎧x 1 −2 x 2 +x 3 +2 x 4 = 1 ⎪2 x ⎪ ⎪ 1 +5x 2 +2 x 3 +9 x 4 = 1 3. ⎨x 1 +x 2 −x 3 +x 4 = m 4. ⎨ ⎪x +7x 2 −5x 3 −x 4 = 4m ⎪ x1 +5x 2 +6 x 3 + mx 4 = 3 ⎩ 1 ⎪ x1 +3x 2 +4 x 3 +3x 4 = 2 ⎩ ⎧ x1 +2 x 2 −x3 = 2 ⎧ 2x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪2 x ⎪ ⎪ 1 −3x 2 +7x 3 = −1 5. ⎨ x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 6. ⎨ ⎪x + 7x − 4 x + 11x = m ⎪− x 1 +x 2 +3x 3 = 6 ⎩ 1 2 3 4 ⎪ 5x 1 +x 2 +2 x 3 = m ⎩ ⎧ x1 +2 x 2 +3x 3 + mx 4 = m+2 ⎪x +x 2 +x 3 + mx 4 = m +1 ⎪ 1 ⎪ 7. ⎨2 x 1 +3x 2 +4 x 3 +2 mx 4 = 2m + 3 ⎪3 x +4 x 2 +2 x 3 +3mx 4 = 3m + 1 ⎪ 1 ⎪ x1 ⎩ +x 2 +2 x 3 +2 mx 4 = m2 + m + 2 ⎧mx +y +z = m ⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ 2 x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − 1 . Tìm tham số m ⎪ x +y + mz = 1 ⎩ để hệ phương trình trên có nghiệm. ⎧ax −3y + z = −2 ⎪ Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = 3 (I), trong đó a, b là tham số. ⎪3x +2 y + z = b ⎩ 1. Xác định a, b để hệ (I) là hệ Cramer. Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b . 2. Tìm a, b để hệ (I) vô nghiệm. 3. Tìm a, b để hệ (I) có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ. ⎧ x 1 − 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0 ⎪ ⎪2 x1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 Bài 17: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình ⎨ . ⎪3x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 ⎪ x 1 + 4 x 2 − 6 x 3 + 3x 4 = 0 ⎩