intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt

Chia sẻ: Lê Bật Thành Công | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
281
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt gửi đến các bạn kiến thức về: Các phương pháp tính tích phân, tích phân một số hàm số thường gặp, tích phân một số hàm đặc biệt. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt

  1. http://ebooktoan.com 1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  1. Phương pháp đổi biến số  b Bài toán: Tính  I = f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu     1) Hàm  x = u (t )  có đạo hàm liên tục trên đoạn  [ α ; β ] ,                             2) Hàm hợp  f (u (t ))  được xác định trên  [ α ; β ] ,                             3)  u (α ) = a, u ( β ) = b , b β                      thì  I = � a f ( x)dx = � α f (u (t ))u ' (t )dt . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: π 1 2                a)  I = x 2 x 3 + 5dx                   b)  J = ( sin 4 x + 1) cos xdx 0 0 Giải: a) Ta cú   t = x 3 + 5 � dt = 3x 2 dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 1 6 +1 dt = 1 ( t ) dt = 1 (t ) 6 = 2 t t 6 1 6 1 2      � I = � x x + 5dx = � 2 2 3 t       3 35 3 1 +1 5 9 5 0 5 2 4 10      = 6− 5. 3 9 π π 2 �1 � 6 b) Ta có  J = (sin 4 x + 1)d (sin x)    = � sin x + sin x �2 = 5 �5 �0 5 0  Ví dụ 2.  Hãy tính các tích sau: 
  2. http://ebooktoan.com 2 4 1 dx                 a) 4 − x 2 dx            b)    0 0 1 + x 2 �π π � Giải:  a) Đặt  x = 2sin t , t �� − ; . �2 2� � π  Khi x = 0 thì t = 0. Khi  x = 2  thì  t = .               2               Từ  x = 2sin t dx = 2cos tdt π π 4 2 2   � 0 4 − x 2 dx = � 0 � 4 − 4sin 2 t .2cos tdt = 4 cos 2 tdt = π . 0 �π π �  b) Đặt  x = tan t , t ��− ; �.  � 2� 2 π Khi  x = 0  thì  t = 0 , khi  x = 1  thì  t = . 4 dt   Ta có:  x = tan t � dx = .  cos 2 t π π 1 4 4 π dx 1 dt π      � 0 1 +� � x 2 = 0 1 + tan 2 t . cos 2 t = 0 dt = t 4 0 = 4 . � Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát  hơn như:   Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng  a 2 + x 2 , a 2 − x 2 và  x 2 − a 2  (trong trong đó a là hằng số  dương) mà không có cách biến đổi nào  khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: �π π � Với  a 2 − x 2 , đặt  x = a sin t , t �� − ;   �2 2��                              hoặc  x = a cos t , t [ 0; π ] . �π π � Với  a 2 + x 2 , đặt  x = a tan t , t ��− ; �  � 2 2 �
  3. http://ebooktoan.com 3                                    hoặc  x = acott , t ( 0;π ) . a �π π � Với  x 2 − a 2 , đặt   x = − ; �\ { 0} , t �� sin t �2 2� a π                              hoặc  x = ; t [ 0;π ] \ � � � �. cos t �2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số  u = u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  [ a; b ]   b u (b ) sao cho  f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u ) du  thì   I = � � f ( x)dx = g (u )du . a u(a) 1 Ví dụ 3: Tính  I = x 2 x 3 + 5dx 0 Giải:  Đặt  u ( x) = x 3 + 5 .Tacó     u (0) = 5, u (1) = 6                 .  6 6 2 Từ đó được:     I = 1 35 2 udu = u u = 6 6 − 5 5 = 9 5 9 4 9 6− 10 9 5 ( )  Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 1 e2 1 dx 4x + 2 a)  ( 2 x + 1) dx          b) 5         c) dx 0 x ln x 0 x 2 + x + 1 e 2π 2 3 dx 2π d)                e) cos(3 x − ) dx 1 (2 x − 1) 2 π 3 3 Giải: a) Đặt  u = 2 x + 1  khi  x = 0  thì  u = 1 . Khi  x = 1 thì  u = 3 du       Ta có  du = 2dx � dx = . Do đó: 2 1 3 1 5 u6 3 1 6 � ( 2 x + 1) dx = u du = � 5 2 = (3 − 1)  = 60 . 0 21 12 1 12 3
  4. http://ebooktoan.com 4 b)Đặt  u = ln x . Khi  x = e  thì  u = 1 . Khi x = e 2  thì  u = 2 . e2 2 dx dx du 2 Ta có  du = x   � � e = x ln x 1 u = ln u = ln 2 − ln1 = ln 2 . 1 c)Đặt  u = x 2 + x + 1 . Khi  x = 0  thì  u = 1 . Khi  x = 1  thì  u = 3 . Ta có  du = (2 x + 1) dx . Do đó: 1 3 4x + 2 2du 3 � 0 x2 + x + 1 dx = 1 u = � 2ln u 1 = 2(ln 3 − ln1) = 2ln 3 . d)Đặt  u = 2 x − 1 . Khi  x = 1 thì  u = 1 . Khi  x = 2  thì  u = 3 . du Ta có  du = 2dx � dx = . Do đó: 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1 �1 (2 x − 1) 2 = 21u 2 = �− 2u 1 = − ( − 1) = . 2 3 3 2π e)Đặt  u = 3 x − . 3 π π  Khi  x =  thì  u = , 3 3 2π 4π  Khi  x =  thì  u = . 3 3 du Ta có  du = 3dx � dx = . Do đó: 3 2π 4π 4π 3 3 2π 1 1 3 1 � 4π π� �    cos(3 x − π 3 ) dx = 3π 3� cos udu = sin u π = � sin 3� 3 − sin � 3� 3 3 3 1� 3 3� 3                                     = � −− �= − . 3� 2 2 � 3 2.Phương pháp tích phân từng phần.
  5. http://ebooktoan.com 5 Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  [ a; b ]  thì: b b b � �                           u ( x)v ( x) dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ( x)dx ' ' a a a b b b �                              hay  udv = uv − vdu .  a a a � Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng  udv = uv ' dx  bằng cách chọn một phần  thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại  dv = v ' ( x)dx. Bước 2: Tính  du = u ' dx  và  v = �� dv = v ' ( x)dx . b b b � � Bước 3: Tính  vdu = a a vu ' dx  và  uv . a Bước 5: Áp dụng công thức trên. e Ví dụ 5: Tính  x ln xdx 1 dx du = u = ln x x Giải:              Đặt     dv = xdx x2 v= 2 e e x2 e 1 e2 x 2 e e2 + 1 �      x ln xdx = 1 2 ln x − 1 2 1 xdx = − 2 4 � 1 = 4 .  Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: π π 2 1 ln x 2 2      a)  dx            b)  x cos xdx        c) xe x dx       d)  e x cos xdx   1 x 5 0 0 0
  6. http://ebooktoan.com 6 dx u = ln x du = � � x Giải:  a) Đặt  � 1 �  . Do đó: �dv = dx � 1 x5 v=− 4 4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1 � 1 � 15 − 4 ln 2         �5 dx = − 4 + �5 = − + � − 4 �= . 1 x 4 x 1 4 1 x 64 4 � 4 x � 1 256 u=x � �du = dx      b)  Đặt  � �  . Do đó: �dv = cos xdx v � = sin x π π 2 π 2 π π π � 0 0 0 � x cos xdx = ( x sin x ) 2 − sin xdx = + cos x 2 = − 1. 2 0 2 u=x � �du = dx c)Đặt  � � x . Do đó: �dv = e x dx v=e � 1 1 1 1 � � xe dx = xe − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1 . x x 0 0 0 0 �u = ex �du = e x dx     d) Đặt   � � �dv = cos xdx �v = sin x π π 2 π 2 � � � e x cos xdx = e x sin x 2 − e x sin xdx . 0 0 0 �u1 = e x �du1 = e x dx    Đặt   � � �dv1 = sin xdx �v1 = − cos x π π 2 π π 2 � � e cos xdx = e 2 + e cos x 2 − e x cos xdx . � x x 0 0 0
  7. http://ebooktoan.com 7 π π π 2 2 π e −1 2 � � 2 e x cos xdx = e − 1 � e x cos xdx = 0 2 � 0 2 . *Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P( x)e dxx P( x)ln xdx P( x)cos xdx e x cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử  dụng công thức tích phân từng phần là làm thế  nào để chọn u và  dv = v ' dx  thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx.  Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn   dv = v ' dx  là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm   dễ tìm.       Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: β Nếu tính tích phân  P ( x)Q ( x)dx  mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là  α một trong những hàm số:  e ax , cos ax, sin ax  thì ta thường đặt  u = P ( x) du = P ' ( x)dx � � dv = Q( x)dx v = Q( x)dx
  8. http://ebooktoan.com 8 β Nếu tính tích phân  P ( x)Q ( x)dx  mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là  α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) hàm số ln(ax) thì ta đặt  � �   dv = P( x)dx v = P ( x)dx β β Nếu tính tích phân  I = e ax cos bxdx hoặc J = e ax sin bxdx  thì α α du = ae ax dx u=e ax             ta đặt  � � 1 dv = cos bxdx v = sin bx b du = ae ax dx u=e ax         hoặc đặt  � � 1 dv = sin bxdx v = − cos bx b Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở  thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: β dx                                    I = (a 0) . α ax 2 + bx + c                (trong đó  ax 2 + bx + c 0  với mọi  x [α; β ] ) Xét  ∆ = b 2 − 4ac . β dx I=  +)Nếu  ∆ = 0  thì  � b � tính được. 2 α a �x − � � 2a �
  9. http://ebooktoan.com 9 β 1 dx  +)Nếu  ∆ > 0  thì  I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 )                      (trong đó  x1 = −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a 1 x − x1 β          � I = ln . a ( x1 − x2 ) x − x2 α β β dx dx    +) Nếu  ∆ < 0 thì  I= α ax 2 + bx + � c = ��� α 2 2 b � � −∆ �� �x + �+ � 2 �� a� � 2a � � 4a �� � � � b −∆ 1 −∆ 2 ( Đặt  x + = tan t � dx = 1 + tan 2 t ) dt , ta tính được I. 2a 4a 2 2 a β mx + n b) Tính tích phân:  I = dx, (a 0) . α ax 2 + bx + c mx + n (trong đó  f ( x) =  liên tục trên đoạn  [ α ; β ] ) ax 2 + bx + c            +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:                     mx n A(2ax b) B                     ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c mx n A(2ax b) B            +)Ta có I=  2 dx dx dx ax bx c ax 2 bx c 2 ax bx c A(2ax b)    .            Tích phân  2 dx   =  Aln ax 2 bx c ax bx c β dx            Tích phân     tính được. α ax 2 + bx + c
  10. http://ebooktoan.com 10 b P ( x)  c)  Tính tích phân  I = dx  với P(x) và Q(x) là đa thức của x. a Q ( x) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa  thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1 ,α 2 ,..., α n thì đặt P ( x) A1 A2 An    = + + ... + . Q ( x ) x − α1 x − α 2 x − αn ( ) + Khi  Q ( x ) = ( x − α ) x + px + q , ∆ = p − 4q < 0 thì đặt 2 2 P( x) A Bx + C = + 2 . Q( x) x − α x + px + q + Khi  Q ( x) = ( x − α ) ( x − β )  với       thì đặt 2 P ( x) A B C = + + 2 . Q( x) x − α x − β ( x − β )   1 4 x + 11 Ví dụ 7. Tính tích phân:  dx . 0 x2 + 5x + 6  Giải:   Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A ( 2 x + 5) B               = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 4 x + 11 2 Ax + ( 5 A + B )            = , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �2A = 4 �A = 2             � � �� 5 A + B = 11 �B = 1 �
  11. http://ebooktoan.com 11 4 x + 11 2 ( 2 x + 5) 1 Vậy  = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} . x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 1 1 1 4 x + 11 2x + 5 dx Do đó  0 �x 2 + 5 x + 6 dx = 2 0 x 2 + 5�x + 6 dx + �0 x2 + 5x + 6 1 x+2 1 9              = 2ln x + 5 x + 6 + ln = ln . 2 0 x+3 0 2 Cách 2. Vì  x + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 )  nên ta có thể tính tích phân trên bằng  2 cách:   Tìm A, B sao cho:  4 x + 11 A B           = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 4 x + 11 ( A + B ) x + 3 A + B , ∀x �ﾡ \ −3; −2    � = { } x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �A + B = 4 �A = 3    � � �� �3 A + 2 B = 11 �B = 1 4 x + 11 3 1 Vậy  = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} . x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 1 1 1 4 x + 11 dx dx Do đó  0 �x 2 + 5x + 6 dx = 3 0 + � � x+2 0 x+3 1 1 9                                          = 3ln x + 2 + ln x + 3 = ln . 0 0 2 1 dx Ví dụ 8:Tính tích phân:   . 0 x + x +1 2 Giải: 1 1 dx dx 2� Do  x + x + 1 = � 1 � 2 3 � 0 0 �x + �+ � 2� 4
  12. http://ebooktoan.com 12 1 3 �π π� 3   Đặt  x + = 2 2 tan t , t �� � ; � dx = ( 1 + tan 2 t ) dt �6 3 � 2 π 3 π π 1 dx 3 ( 1 + tan 2 t ) dt 2 3 3 2 3 3 π 3 Vậy  � 0 x2 + x + 1 = � π 2 3 (1 + tan t ) 2 = 3 � π dt = 3 t π = 9 . 6 4 6 6 1 2 Ví dụ 9. Tính tích phân:  x3 dx .  0 x −1 2 Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 x3 � x � xdx �0 x2 − 1 dx = 0 � �� x + x 2 − 1 dx = xdx + � � 1 � � 0 x2 − 1 1 1 x2 1 1 1 3          = 2 + ln x − 1 2 = + ln . 2 2 2 8 2 4 0 0  2. Tích phân các hàm l  ượng giác  2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:  π 2              a)  J = sin 2 x sin 7 xdx ; π − 2 π 2               b) K = cos x (sin 4 x + cos 4 x)dx ; 0 π 2               c)  M = 4sin 3 x . dx 0 1 + cos x Giải
  13. http://ebooktoan.com 13 π π 2 2 1 1  a)  J = � 2 π − cos5 xdx − 2 π � cos9 xdx − 2 2 π π 1 1 4            = sin 5 x 2 − sin 9 x 2 = .                 10 π 18 π 45 − − 2 2 ( ) 2 b) Ta có   cos x(sin x + cos x) = cos x �sin x + cos x − 2sin 2 x cos 2 x � 4 4 2 2 � � � 1 2 � � 1 � 3 1 = cos x � 1 − ( 1 − cos 4 x ) �= cos x + cos x cos 4 x 1 − sin 2 x �= cos x � � 2 � � 4 � 4 4 3 1 = cos x + ( cos5 x + cos3x ) . 4 8 π π π π 2 2 2 2 3 1 1 � K = cos x(sin 4 x + cos 4 x)dx = 0 � 40 cos xdx + � 80 cos5 xdx + 80 co3xdx � π π π 3 1 1 3 1 1 11         = sin x 2 + sin 5 x 2 + sin 3 x 2 = + − = .      4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1 − cos 2 x)sin x c)  = = = 4(1 − cos x)sin x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x M = 2. 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác  dx 2.2.1.Tính   I = asinx + b cos x + c  Phương pháp: x 2dt    Đặt  t = tan � dx = 2 1+ t2
  14. http://ebooktoan.com 14 2t 1− t 2  Ta có:  sin x =  và  cos x = 1+ t 2 1+ t2 dx 2dt I= � asinx + b cos x + c = � ( c − b ) t 2 + 2at + b + c  đã biết cách tính. dx Ví dụ 11. Tính     4cos x + 3sin x + 5 x 1� x� 2dt Giải:  Đặt  t = tan � dt = � 1 + tan 2 � dx � = dx 2 2� 2� 1+ t2 2dt dx 1+ t2 dt � cos x + 3sin x + 3 = 1− t 2 �+ 3 2t + 3 = 2 t + 3t + 2 � 1+ t2 1+ t2 x tan + 1 t +1 2                                        = ln + C = ln +C. t+2 x tan + 2 2 dx 2.2.2. Tính  I = a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d dx Phương pháp:   I = ( a + d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c + d ) cos 2 x dx                            = cos 2 x ( a + d ) tan 2 x + b tan x + ( c + d ) dx � I = dt Đặt  t = tgx � dt =  đã tính được. cos 2 x ( a + d ) t + bt + ( c + d ) 2 dx Ví dụ 12. Tính:  I = . sin x + 2sin x cos x − 3cos x 2 2 dx Giải:Ta có dx cos 2 x   I= � sin x + 2sin x cos x − 3cos x 2 2 = � tan x + 2 tan x − 3 2
  15. http://ebooktoan.com 15 dx        Đặt  t = tan x � dt = cos 2 x dt dt 1 t −1 1 tan x − 1 �I = � t + 2t − 3 2 = � = ln ( t − 1) ( t + 3) 4 t + 3 + C = ln 4 tan x + 3 +C  m sin x + n cos x + p 2.2.3.  Tính  I = dx . a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C sao cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x m sin x + n cos x + p +) Vậy  I = dx = a sin x + b cos x + c a cos x b sin x dx = A dx B dx C a sin x b cos x c a sin x b cos x c         Tích phân  dx       tính được a cos x b sin x          Tích phân dx ln a sin x b cos x c C a sin x b cos x c dx           Tích phân  tính được. a sin x b cos x c cos x + 2sin x Ví dụ 13. Tính:  I = dx .  4cos x + 3sin x Giải:  Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x   cos x + 2sin x = ( 4 A + 3B ) cos x + ( 3 A − 4 B ) sin x, ∀x
  16. http://ebooktoan.com 16 2 A= 4 A + 3B = 1 5 �� �� 3 A − 4B = 2 1 B=− 5 �2 1 −4sin x + 3cos x � 2 1    I = �− . dx = x − ln 4cos x + 3sin x + C . � �5 5 4cos x + 3sin x � 5 5 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn                           (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý:  Nguyên hàm dạng  R ( sin x,cos x ) dx , với  R ( sin x,cos x ) là một  hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu  tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân. x 2dt Trường hợp chung: Đặt  t = tan � dx = 2 1+ t2 2t 1− t2   Ta có  sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu  R ( sin x,cos x ) là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là           R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt  t = tan x  hoặc  t = cot x ,  sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.      +) Nếu  R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:             R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt  t = cos x .      +) Nếu  R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:              R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt  t = sin x . 3.Tích phân hàm vô tỉ  3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
  17. http://ebooktoan.com 17 1 dx Ví dụ 14. Tính tích phân:  I = . 0 x +1 + x Giải 1 1 1 2 dx ( ) 2� ( ) 3 ( x + 1) 2 − x 2 � 3 I= � 0 x +1 + x = �0 x + 1 − x dx = � 3� � = 2 2−2 �0 3 1 x 3 dx Ví dụ 15:Tính tích phân   . 0 x + 1 + x2 1 1 x 3 dx 2 2 −1 Giải:  � x+ 0 1 + x2 =� ( x 3 1 + x 2 − x 4 )dx = 0 15 .     3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác                                          (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn           Gồm:  Đổi  biến số t là toàn bộ căn thức                      Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng Ví dụ 15:Tính    1                                       I x 3 1 x 2 dx 0 Giải:      1 1 3 2 I x 1 x dx x 2 1 x 2 .xdx 0 0 Đặt  t=  1 x 2 t 2 1 x2 x2 1 t 2  Ta có:      xdx=­tdt, Khi    x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì  t =0     Vậy    1 0 3 5 t t 2                    I (1 t 2 )t 2 dt 1 3 5 0 15
  18. http://ebooktoan.com 18 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối  2  Ví dụ 16: Tính   J = x 2 − 1 dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu của  x 2 − 1 trên đoạn  [ −2;2] x ­2                ­1                 1                      2 x2 − 1         +          0        ­         0         + 2 −1 1 2 Do đó  I = � x 2 − 1 dx = ( x − 1) dx + � � 2 ( 1 − x ) dx + � ( x − 1) dx 2 2 −2 −2 −1 1 �x 3 �−1 � x 3 �1 �x 3 �2                = � − x � + �x − � + � − x � = 4 .    �3 �−2 � 3 �−1 �3 �1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số  y = f ( x)  liên tục  và lẻ trên đoạn  [ − a; a ]  . Khi đó a                                            I = f ( x)dx = 0 . −a π 2 xdx Ví dụ 17:  Chứng minh  I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2 π π Giải:  Đặt  x = −t � dx = − dt . Khi x= 2  thì t = ­  2 , khi  x = −  thì  t = 2 2 2 tdt Do đó  : I=  I 4 sin 2 t 2 π 2 xdx Suy ra  : 2I = 0. Ta được  I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2
  19. http://ebooktoan.com 19 2.Cho hàm số  y = f ( x)  liên tục  và chẵn trên đoạn  [ − a; a ]  . Khi đó  a a I= � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx . −a 0 a 0 a  Chứng minh :   Ta có  I = � � � f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx   (1) −a −a 0 0  Ta tính  J = f ( x )dx  bằng cách đặt  x = −t ( 0 ��� t a) dx = −dt −a 0 0 a a �J = � −a � � � f ( x)dx = − f (−t )dt = f (t )dt = f ( x)dx  (2) a 0 0 a a  Thay (2) vào (1) ta được  I = � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x Ví dụ 18: Tính tích phân:  I = dx π 4 − sin 2 x − 2 π π π 2 2 2 x + cos x x cos x Giải:         Ta có  I = � − π 4 − sin 2 x dx = � − π 4 − sin 2 x dx + � − π 4 − sin 2 x dx 2 2 2 π 2 x �π π � x Do  f1 ( x ) = là hàm số  lẻ  trên  − � ; �nên  dx = 0 4 − sin x 2 � 2 2 � π 4 − sin 2 x − 2 cos x �π π � và  f 2 ( x ) =  là hàm số  ch ẵ n trên  − ; �nên ta có:  � 4 − sin 2 x �2 2�
  20. http://ebooktoan.com 20 π π π 2 2 2 cos x cos x d (sin x)   � − π 4 − sin 2 x dx = 2 0 4 − � sin 2 x dx = − 2 π � (sin x + 2) ( sin x + 2 ) − 2 2 π 1 sin x − 2 1 Vậy  I = − ln 2 = ln 3 . 2 sin x + 2 2 0 3.Cho hàm số  y = f ( x)  liên tục  và chẵn trên đoạn : . Khi đó f ( x) 1                                      I dx f ( x)dx ax 1 2 Chứng minh:    Đặt t= ­x    dt= ­ dx a t +1 x ­t Ta có  f(x) = f(­t)= f(t); a +1= a +1=          at Khi x= ­  thì t =    ; x =   thì t =­     f ( x) a t f (t ) at 1 1 Vậy      I x dx t dt t f (t ) dt                     a 1 a 1 a 1 f (t )                  f (t )dt dt f ( x)dx I at 1 f ( x) 1 Suy ra             I x dx f ( x)dx a 1 2 1 x4 Ví dụ 19 : Tính tích phân:   I = dx .  −1 2 x + 1 Giải:Đặt t= ­x    dt= ­ dx Khi x= ­ 1 thì t = 1  ; x =1  thì t =­1   1 1 1 x4 t4 2t Vậy      I x dx t dt t t 4 dt                           1 2 1 1 2 1 1` 2 1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2