Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt
lượt xem 7
download
Tài liệu Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt gửi đến các bạn kiến thức về: Các phương pháp tính tích phân, tích phân một số hàm số thường gặp, tích phân một số hàm đặc biệt. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Phân loại một số dạng tích phân đặc biệt
- http://ebooktoan.com 1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số b Bài toán: Tính I = f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α ; β ] , 2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , b β thì I = � a f ( x)dx = � α f (u (t ))u ' (t )dt . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: π 1 2 a) I = x 2 x 3 + 5dx b) J = ( sin 4 x + 1) cos xdx 0 0 Giải: a) Ta cú t = x 3 + 5 � dt = 3x 2 dx Khi x=0 thỡ t=5 Khi x=1 thỡ t=6 1 6 +1 dt = 1 ( t ) dt = 1 (t ) 6 = 2 t t 6 1 6 1 2 � I = � x x + 5dx = � 2 2 3 t 3 35 3 1 +1 5 9 5 0 5 2 4 10 = 6− 5. 3 9 π π 2 �1 � 6 b) Ta có J = (sin 4 x + 1)d (sin x) = � sin x + sin x �2 = 5 �5 �0 5 0 Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:
- http://ebooktoan.com 2 4 1 dx a) 4 − x 2 dx b) 0 0 1 + x 2 �π π � Giải: a) Đặt x = 2sin t , t �� − ; . �2 2� � π Khi x = 0 thì t = 0. Khi x = 2 thì t = . 2 Từ x = 2sin t dx = 2cos tdt π π 4 2 2 � 0 4 − x 2 dx = � 0 � 4 − 4sin 2 t .2cos tdt = 4 cos 2 tdt = π . 0 �π π � b) Đặt x = tan t , t ��− ; �. � 2� 2 π Khi x = 0 thì t = 0 , khi x = 1 thì t = . 4 dt Ta có: x = tan t � dx = . cos 2 t π π 1 4 4 π dx 1 dt π � 0 1 +� � x 2 = 0 1 + tan 2 t . cos 2 t = 0 dt = t 4 0 = 4 . � Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a 2 + x 2 , a 2 − x 2 và x 2 − a 2 (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: �π π � Với a 2 − x 2 , đặt x = a sin t , t �� − ; �2 2�� hoặc x = a cos t , t [ 0; π ] . �π π � Với a 2 + x 2 , đặt x = a tan t , t ��− ; � � 2 2 �
- http://ebooktoan.com 3 hoặc x = acott , t ( 0;π ) . a �π π � Với x 2 − a 2 , đặt x = − ; �\ { 0} , t �� sin t �2 2� a π hoặc x = ; t [ 0;π ] \ � � � �. cos t �2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] b u (b ) sao cho f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u ) du thì I = � � f ( x)dx = g (u )du . a u(a) 1 Ví dụ 3: Tính I = x 2 x 3 + 5dx 0 Giải: Đặt u ( x) = x 3 + 5 .Tacó u (0) = 5, u (1) = 6 . 6 6 2 Từ đó được: I = 1 35 2 udu = u u = 6 6 − 5 5 = 9 5 9 4 9 6− 10 9 5 ( ) Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 1 e2 1 dx 4x + 2 a) ( 2 x + 1) dx b) 5 c) dx 0 x ln x 0 x 2 + x + 1 e 2π 2 3 dx 2π d) e) cos(3 x − ) dx 1 (2 x − 1) 2 π 3 3 Giải: a) Đặt u = 2 x + 1 khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 du Ta có du = 2dx � dx = . Do đó: 2 1 3 1 5 u6 3 1 6 � ( 2 x + 1) dx = u du = � 5 2 = (3 − 1) = 60 . 0 21 12 1 12 3
- http://ebooktoan.com 4 b)Đặt u = ln x . Khi x = e thì u = 1 . Khi x = e 2 thì u = 2 . e2 2 dx dx du 2 Ta có du = x � � e = x ln x 1 u = ln u = ln 2 − ln1 = ln 2 . 1 c)Đặt u = x 2 + x + 1 . Khi x = 0 thì u = 1 . Khi x = 1 thì u = 3 . Ta có du = (2 x + 1) dx . Do đó: 1 3 4x + 2 2du 3 � 0 x2 + x + 1 dx = 1 u = � 2ln u 1 = 2(ln 3 − ln1) = 2ln 3 . d)Đặt u = 2 x − 1 . Khi x = 1 thì u = 1 . Khi x = 2 thì u = 3 . du Ta có du = 2dx � dx = . Do đó: 2 2 3 dx 1 du 1 3 1 1 1 �1 (2 x − 1) 2 = 21u 2 = �− 2u 1 = − ( − 1) = . 2 3 3 2π e)Đặt u = 3 x − . 3 π π Khi x = thì u = , 3 3 2π 4π Khi x = thì u = . 3 3 du Ta có du = 3dx � dx = . Do đó: 3 2π 4π 4π 3 3 2π 1 1 3 1 � 4π π� � cos(3 x − π 3 ) dx = 3π 3� cos udu = sin u π = � sin 3� 3 − sin � 3� 3 3 3 1� 3 3� 3 = � −− �= − . 3� 2 2 � 3 2.Phương pháp tích phân từng phần.
- http://ebooktoan.com 5 Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] thì: b b b � � u ( x)v ( x) dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ( x)dx ' ' a a a b b b � hay udv = uv − vdu . a a a � Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v ' ( x)dx. Bước 2: Tính du = u ' dx và v = �� dv = v ' ( x)dx . b b b � � Bước 3: Tính vdu = a a vu ' dx và uv . a Bước 5: Áp dụng công thức trên. e Ví dụ 5: Tính x ln xdx 1 dx du = u = ln x x Giải: Đặt dv = xdx x2 v= 2 e e x2 e 1 e2 x 2 e e2 + 1 � x ln xdx = 1 2 ln x − 1 2 1 xdx = − 2 4 � 1 = 4 . Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: π π 2 1 ln x 2 2 a) dx b) x cos xdx c) xe x dx d) e x cos xdx 1 x 5 0 0 0
- http://ebooktoan.com 6 dx u = ln x du = � � x Giải: a) Đặt � 1 � . Do đó: �dv = dx � 1 x5 v=− 4 4x 2 2 2 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1 � 1 � 15 − 4 ln 2 �5 dx = − 4 + �5 = − + � − 4 �= . 1 x 4 x 1 4 1 x 64 4 � 4 x � 1 256 u=x � �du = dx b) Đặt � � . Do đó: �dv = cos xdx v � = sin x π π 2 π 2 π π π � 0 0 0 � x cos xdx = ( x sin x ) 2 − sin xdx = + cos x 2 = − 1. 2 0 2 u=x � �du = dx c)Đặt � � x . Do đó: �dv = e x dx v=e � 1 1 1 1 � � xe dx = xe − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1 . x x 0 0 0 0 �u = ex �du = e x dx d) Đặt � � �dv = cos xdx �v = sin x π π 2 π 2 � � � e x cos xdx = e x sin x 2 − e x sin xdx . 0 0 0 �u1 = e x �du1 = e x dx Đặt � � �dv1 = sin xdx �v1 = − cos x π π 2 π π 2 � � e cos xdx = e 2 + e cos x 2 − e x cos xdx . � x x 0 0 0
- http://ebooktoan.com 7 π π π 2 2 π e −1 2 � � 2 e x cos xdx = e − 1 � e x cos xdx = 0 2 � 0 2 . *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P( x)e dxx P( x)ln xdx P( x)cos xdx e x cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv = v ' dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: β Nếu tính tích phân P ( x)Q ( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là α một trong những hàm số: e ax , cos ax, sin ax thì ta thường đặt u = P ( x) du = P ' ( x)dx � � dv = Q( x)dx v = Q( x)dx
- http://ebooktoan.com 8 β Nếu tính tích phân P ( x)Q ( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) hàm số ln(ax) thì ta đặt � � dv = P( x)dx v = P ( x)dx β β Nếu tính tích phân I = e ax cos bxdx hoặc J = e ax sin bxdx thì α α du = ae ax dx u=e ax ta đặt � � 1 dv = cos bxdx v = sin bx b du = ae ax dx u=e ax hoặc đặt � � 1 dv = sin bxdx v = − cos bx b Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: β dx I = (a 0) . α ax 2 + bx + c (trong đó ax 2 + bx + c 0 với mọi x [α; β ] ) Xét ∆ = b 2 − 4ac . β dx I= +)Nếu ∆ = 0 thì � b � tính được. 2 α a �x − � � 2a �
- http://ebooktoan.com 9 β 1 dx +)Nếu ∆ > 0 thì I = , a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) (trong đó x1 = −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a 1 x − x1 β � I = ln . a ( x1 − x2 ) x − x2 α β β dx dx +) Nếu ∆ < 0 thì I= α ax 2 + bx + � c = ��� α 2 2 b � � −∆ �� �x + �+ � 2 �� a� � 2a � � 4a �� � � � b −∆ 1 −∆ 2 ( Đặt x + = tan t � dx = 1 + tan 2 t ) dt , ta tính được I. 2a 4a 2 2 a β mx + n b) Tính tích phân: I = dx, (a 0) . α ax 2 + bx + c mx + n (trong đó f ( x) = liên tục trên đoạn [ α ; β ] ) ax 2 + bx + c +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx n A(2ax b) B ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c mx n A(2ax b) B +)Ta có I= 2 dx dx dx ax bx c ax 2 bx c 2 ax bx c A(2ax b) . Tích phân 2 dx = Aln ax 2 bx c ax bx c β dx Tích phân tính được. α ax 2 + bx + c
- http://ebooktoan.com 10 b P ( x) c) Tính tích phân I = dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x. a Q ( x) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1 ,α 2 ,..., α n thì đặt P ( x) A1 A2 An = + + ... + . Q ( x ) x − α1 x − α 2 x − αn ( ) + Khi Q ( x ) = ( x − α ) x + px + q , ∆ = p − 4q < 0 thì đặt 2 2 P( x) A Bx + C = + 2 . Q( x) x − α x + px + q + Khi Q ( x) = ( x − α ) ( x − β ) với thì đặt 2 P ( x) A B C = + + 2 . Q( x) x − α x − β ( x − β ) 1 4 x + 11 Ví dụ 7. Tính tích phân: dx . 0 x2 + 5x + 6 Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A ( 2 x + 5) B = + , ∀x �ᄀ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 4 x + 11 2 Ax + ( 5 A + B ) = , ∀x �ᄀ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �2A = 4 �A = 2 � � �� 5 A + B = 11 �B = 1 �
- http://ebooktoan.com 11 4 x + 11 2 ( 2 x + 5) 1 Vậy = + , ∀x �ᄀ \ { −3; −2} . x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 1 1 1 4 x + 11 2x + 5 dx Do đó 0 �x 2 + 5 x + 6 dx = 2 0 x 2 + 5�x + 6 dx + �0 x2 + 5x + 6 1 x+2 1 9 = 2ln x + 5 x + 6 + ln = ln . 2 0 x+3 0 2 Cách 2. Vì x + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ) nên ta có thể tính tích phân trên bằng 2 cách: Tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A B = + , ∀x �ᄀ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 4 x + 11 ( A + B ) x + 3 A + B , ∀x �ᄀ \ −3; −2 � = { } x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �A + B = 4 �A = 3 � � �� �3 A + 2 B = 11 �B = 1 4 x + 11 3 1 Vậy = + , ∀x �ᄀ \ { −3; −2} . x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 1 1 1 4 x + 11 dx dx Do đó 0 �x 2 + 5x + 6 dx = 3 0 + � � x+2 0 x+3 1 1 9 = 3ln x + 2 + ln x + 3 = ln . 0 0 2 1 dx Ví dụ 8:Tính tích phân: . 0 x + x +1 2 Giải: 1 1 dx dx 2� Do x + x + 1 = � 1 � 2 3 � 0 0 �x + �+ � 2� 4
- http://ebooktoan.com 12 1 3 �π π� 3 Đặt x + = 2 2 tan t , t �� � ; � dx = ( 1 + tan 2 t ) dt �6 3 � 2 π 3 π π 1 dx 3 ( 1 + tan 2 t ) dt 2 3 3 2 3 3 π 3 Vậy � 0 x2 + x + 1 = � π 2 3 (1 + tan t ) 2 = 3 � π dt = 3 t π = 9 . 6 4 6 6 1 2 Ví dụ 9. Tính tích phân: x3 dx . 0 x −1 2 Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 x3 � x � xdx �0 x2 − 1 dx = 0 � �� x + x 2 − 1 dx = xdx + � � 1 � � 0 x2 − 1 1 1 x2 1 1 1 3 = 2 + ln x − 1 2 = + ln . 2 2 2 8 2 4 0 0 2. Tích phân các hàm l ượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: π 2 a) J = sin 2 x sin 7 xdx ; π − 2 π 2 b) K = cos x (sin 4 x + cos 4 x)dx ; 0 π 2 c) M = 4sin 3 x . dx 0 1 + cos x Giải
- http://ebooktoan.com 13 π π 2 2 1 1 a) J = � 2 π − cos5 xdx − 2 π � cos9 xdx − 2 2 π π 1 1 4 = sin 5 x 2 − sin 9 x 2 = . 10 π 18 π 45 − − 2 2 ( ) 2 b) Ta có cos x(sin x + cos x) = cos x �sin x + cos x − 2sin 2 x cos 2 x � 4 4 2 2 � � � 1 2 � � 1 � 3 1 = cos x � 1 − ( 1 − cos 4 x ) �= cos x + cos x cos 4 x 1 − sin 2 x �= cos x � � 2 � � 4 � 4 4 3 1 = cos x + ( cos5 x + cos3x ) . 4 8 π π π π 2 2 2 2 3 1 1 � K = cos x(sin 4 x + cos 4 x)dx = 0 � 40 cos xdx + � 80 cos5 xdx + 80 co3xdx � π π π 3 1 1 3 1 1 11 = sin x 2 + sin 5 x 2 + sin 3 x 2 = + − = . 4 40 24 4 40 24 15 0 0 0 4sin 3 x 4sin 2 x sin x 4(1 − cos 2 x)sin x c) = = = 4(1 − cos x)sin x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x M = 2. 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác dx 2.2.1.Tính I = asinx + b cos x + c Phương pháp: x 2dt Đặt t = tan � dx = 2 1+ t2
- http://ebooktoan.com 14 2t 1− t 2 Ta có: sin x = và cos x = 1+ t 2 1+ t2 dx 2dt I= � asinx + b cos x + c = � ( c − b ) t 2 + 2at + b + c đã biết cách tính. dx Ví dụ 11. Tính 4cos x + 3sin x + 5 x 1� x� 2dt Giải: Đặt t = tan � dt = � 1 + tan 2 � dx � = dx 2 2� 2� 1+ t2 2dt dx 1+ t2 dt � cos x + 3sin x + 3 = 1− t 2 �+ 3 2t + 3 = 2 t + 3t + 2 � 1+ t2 1+ t2 x tan + 1 t +1 2 = ln + C = ln +C. t+2 x tan + 2 2 dx 2.2.2. Tính I = a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d dx Phương pháp: I = ( a + d ) sin 2 x + b sin x cos x + ( c + d ) cos 2 x dx = cos 2 x ( a + d ) tan 2 x + b tan x + ( c + d ) dx � I = dt Đặt t = tgx � dt = đã tính được. cos 2 x ( a + d ) t + bt + ( c + d ) 2 dx Ví dụ 12. Tính: I = . sin x + 2sin x cos x − 3cos x 2 2 dx Giải:Ta có dx cos 2 x I= � sin x + 2sin x cos x − 3cos x 2 2 = � tan x + 2 tan x − 3 2
- http://ebooktoan.com 15 dx Đặt t = tan x � dt = cos 2 x dt dt 1 t −1 1 tan x − 1 �I = � t + 2t − 3 2 = � = ln ( t − 1) ( t + 3) 4 t + 3 + C = ln 4 tan x + 3 +C m sin x + n cos x + p 2.2.3. Tính I = dx . a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C sao cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x m sin x + n cos x + p +) Vậy I = dx = a sin x + b cos x + c a cos x b sin x dx = A dx B dx C a sin x b cos x c a sin x b cos x c Tích phân dx tính được a cos x b sin x Tích phân dx ln a sin x b cos x c C a sin x b cos x c dx Tích phân tính được. a sin x b cos x c cos x + 2sin x Ví dụ 13. Tính: I = dx . 4cos x + 3sin x Giải: Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( 4 A + 3B ) cos x + ( 3 A − 4 B ) sin x, ∀x
- http://ebooktoan.com 16 2 A= 4 A + 3B = 1 5 �� �� 3 A − 4B = 2 1 B=− 5 �2 1 −4sin x + 3cos x � 2 1 I = �− . dx = x − ln 4cos x + 3sin x + C . � �5 5 4cos x + 3sin x � 5 5 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân. x 2dt Trường hợp chung: Đặt t = tan � dx = 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x,cos x ) là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t. +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = cos x . +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x . 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
- http://ebooktoan.com 17 1 dx Ví dụ 14. Tính tích phân: I = . 0 x +1 + x Giải 1 1 1 2 dx ( ) 2� ( ) 3 ( x + 1) 2 − x 2 � 3 I= � 0 x +1 + x = �0 x + 1 − x dx = � 3� � = 2 2−2 �0 3 1 x 3 dx Ví dụ 15:Tính tích phân . 0 x + 1 + x2 1 1 x 3 dx 2 2 −1 Giải: � x+ 0 1 + x2 =� ( x 3 1 + x 2 − x 4 )dx = 0 15 . 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng Ví dụ 15:Tính 1 I x 3 1 x 2 dx 0 Giải: 1 1 3 2 I x 1 x dx x 2 1 x 2 .xdx 0 0 Đặt t= 1 x 2 t 2 1 x2 x2 1 t 2 Ta có: xdx=tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 Vậy 1 0 3 5 t t 2 I (1 t 2 )t 2 dt 1 3 5 0 15
- http://ebooktoan.com 18 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 2 Ví dụ 16: Tính J = x 2 − 1 dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu của x 2 − 1 trên đoạn [ −2;2] x 2 1 1 2 x2 − 1 + 0 0 + 2 −1 1 2 Do đó I = � x 2 − 1 dx = ( x − 1) dx + � � 2 ( 1 − x ) dx + � ( x − 1) dx 2 2 −2 −2 −1 1 �x 3 �−1 � x 3 �1 �x 3 �2 = � − x � + �x − � + � − x � = 4 . �3 �−2 � 3 �−1 �3 �1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn [ − a; a ] . Khi đó a I = f ( x)dx = 0 . −a π 2 xdx Ví dụ 17: Chứng minh I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2 π π Giải: Đặt x = −t � dx = − dt . Khi x= 2 thì t = 2 , khi x = − thì t = 2 2 2 tdt Do đó : I= I 4 sin 2 t 2 π 2 xdx Suy ra : 2I = 0. Ta được I = = 0. π 4 − sin 2 x − 2
- http://ebooktoan.com 19 2.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [ − a; a ] . Khi đó a a I= � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx . −a 0 a 0 a Chứng minh : Ta có I = � � � f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx (1) −a −a 0 0 Ta tính J = f ( x )dx bằng cách đặt x = −t ( 0 ��� t a) dx = −dt −a 0 0 a a �J = � −a � � � f ( x)dx = − f (−t )dt = f (t )dt = f ( x)dx (2) a 0 0 a a Thay (2) vào (1) ta được I = � � f ( x)dx = 2 f ( x)dx −a 0 π 2 x + cos x Ví dụ 18: Tính tích phân: I = dx π 4 − sin 2 x − 2 π π π 2 2 2 x + cos x x cos x Giải: Ta có I = � − π 4 − sin 2 x dx = � − π 4 − sin 2 x dx + � − π 4 − sin 2 x dx 2 2 2 π 2 x �π π � x Do f1 ( x ) = là hàm số lẻ trên − � ; �nên dx = 0 4 − sin x 2 � 2 2 � π 4 − sin 2 x − 2 cos x �π π � và f 2 ( x ) = là hàm số ch ẵ n trên − ; �nên ta có: � 4 − sin 2 x �2 2�
- http://ebooktoan.com 20 π π π 2 2 2 cos x cos x d (sin x) � − π 4 − sin 2 x dx = 2 0 4 − � sin 2 x dx = − 2 π � (sin x + 2) ( sin x + 2 ) − 2 2 π 1 sin x − 2 1 Vậy I = − ln 2 = ln 3 . 2 sin x + 2 2 0 3.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn : . Khi đó f ( x) 1 I dx f ( x)dx ax 1 2 Chứng minh: Đặt t= x dt= dx a t +1 x t Ta có f(x) = f(t)= f(t); a +1= a +1= at Khi x= thì t = ; x = thì t = f ( x) a t f (t ) at 1 1 Vậy I x dx t dt t f (t ) dt a 1 a 1 a 1 f (t ) f (t )dt dt f ( x)dx I at 1 f ( x) 1 Suy ra I x dx f ( x)dx a 1 2 1 x4 Ví dụ 19 : Tính tích phân: I = dx . −1 2 x + 1 Giải:Đặt t= x dt= dx Khi x= 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =1 1 1 1 x4 t4 2t Vậy I x dx t dt t t 4 dt 1 2 1 1 2 1 1` 2 1
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản
2 p | 636 | 239
-
CHỦ ĐIỂM: PHƯƠNG TIỆN VÀ LUẬT LỆ AN TOÀN GIAO THÔNG - MÔN: MÔI TRƯỜNG XUNG QUANH ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG TIỆN GIAO THÔNG PHỔ BIẾN
7 p | 570 | 63
-
Bài giảng Công nghệ 10 bài 13: Ứng dụng công nghệ vi sinh trong sản xuất phân bón
36 p | 433 | 62
-
CÔNG DÂN VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẤP THIẾT CỦA NHÂN LOẠI
5 p | 401 | 50
-
Bài giảng Công nghệ 7 bài 8: Thực hành nhận biết một số loại phân bón thông thường
19 p | 359 | 28
-
Tìm hiểu bí quyết phát hiện ra manh mối để lựa chọn cách giải hiệu quả nhất đề thi Đại học - Cuốn 4: Hình học OXY & OXYZ: Phần 1
187 p | 114 | 27
-
Giáo án chương trình mới: Lớp Chồi Chủ Đề: MỘT SỐ LOẠI RAU ĐỀ TÀI: THẾ GIỚI CỔ TÍCH
4 p | 249 | 20
-
Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số biện pháp dạy học các dạng bài của phân môn Luyện từ và câu cho học sinh lớp 4, trường Tiểu học Chấn Hưng - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc
20 p | 74 | 13
-
Bài giảng Địa lý 12 bài 34: Thực hành Phân tích mối quan hệ giữa dân số với việc sản xuất lương thực ở Đồng bằng sông Hồng
16 p | 187 | 11
-
Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số kinh nghiệm và giải pháp dạy học diện tích các hình cho học sinh lớp 5 nhằm phát triển năng lực và phát huy tính tự học chủ động của học sinh
30 p | 27 | 11
-
Chuyên đề Hàm số - Đình Nguyên
35 p | 93 | 10
-
Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số biện pháp xác định đúng từ loại Tiếng Việt cho học sinh lớp 5 Trường Tiểu học Mai Thủy
30 p | 31 | 8
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tích hợp một số nội dung pháp luật mới vào dạy học GDCD 12
41 p | 37 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12
63 p | 15 | 5
-
SKKN: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh
30 p | 85 | 4
-
Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn
29 p | 28 | 4
-
SKKN: Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
30 p | 51 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn