Sáng kiến kinh nghiệm: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm này khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 nhằm phục vụ cho công tác bồi dưỡng các khối 6,7,8 và làm tài liệu tự học cho các em giúp các em tìm cho mình phương pháp học tập tích cực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8

Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 PhÇn I: giíi thiÖu ®Ò tµi: A.Lý do chän ®Ò tµi: “Gi¶i to¸n lµ mét nghÖ thuËt thùc hµnh;gièng nh− b¬i léi,tr−ît tuyÕt,hay ch¬i ®µn …”V× vËy ®Ó cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp .Tuy r»ng,kh«ng ph¶i lµ cø gi¶i bµi tËp lµ cã kü n¨ng.ViÖc luyÖn tËp sÏ cã hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo ®ã. Thùc tiÔn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n kh«ng chó ý ®Õn ph−¬ng ph¸p gi¶i nªn khi gÆp nh÷ng bµi to¸n cã sö dông ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù gÆp nhiÒu lóng tóng. VËy kh«ng ngoµi t©m huyÕt víi c¸c em häc sinh,niÒm ®am mª dµnh cho bé m«n to¸n häc vµ sù mong muèn n©ng cao chÊt l−îng –t«i ®Q tiÕn hµnh häc tËp tÝch luü so¹n ra ®Ò tµi nµy”….” B.nhiÖm vô: +C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: viÖc khai th¸c bµi tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng? +VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 C.Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu: +ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn,lý thuyÕt +ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm +ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm s− ph¹m D.Giíi h¹n ®Ò tµi vµ môc ®Ých nghiªn cøu: -Giíi h¹n ®Ò tµi khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8:¸p dông ®Ó d¹y häc sinh líp 6,7,8 -Môc ®Ých ®Ò tµi:Phôc vô cho c«ng t¸c båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 vµ lµm tµi liÖu tù häc cho c¸c em gióp c¸c em t×m cho m×nh ph−¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc. PhÇn 2: néi dung A.C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: Gi¶i bµi tËp to¸n lµ qu¸ tr×nh suy luËn,nh»m kh¸m ph¸ ra quan hÖ l«gic gi÷a c¸i ®Q cho (gi¶ thiÕt) víi c¸i ph¶i t×m (.kÕt luËn).Nh−ng c¸c quy t¾c suy luËn,còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ch−a ®−îc d¹y t−êng minh.Do ®ã,häc sinh th−êng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi gi¶i bµi tËp.Thùc tiÔn d¹y häc còng cho thÊy:HS kh¸ giái th−êng ®óc kÕt nh÷ng tri thøc,ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt cho m×nh b»ng con ®−êng kinh nghiÖm;cßnHS trung b×nh ,yÕu, kÐm gÆp nhiÒu lóng tóng.§Ó cã kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp.Tuy r»ng,kh«ng ph¶i cø gi¶i nhiÒu bµi tËp lµ cã nhiÒu kÜ n¨ng.ViÖc luyªn tËp sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 1
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo®ã. Quan s¸t ®Æc ®iÓm bµi to¸n,kh¸i qu¸t ®Æc ®iÓm ®Ò môc lµ v« cïng quan träng,song quan träng h¬n lµ sù kh¸i qu¸t h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i.Sù thùc lµ khi gi¶i bµi tËp th× kh«ng chØ lµ gi¶i mét vÊn ®Ò cô thÓ mµ lµ gi¶i ®Ò bµi trong mét lo¹t vÊn ®Ò nµo ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp còng nhÊt ®Þnh cã mét ý nghÜa chung nµo ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã mµ kh¸i qu¸t ®−îc h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i cña vÊn ®Ò nµo ®ã lµ g× th× ta sÏ cã thÓ dïng nã ®Ó chØ ®¹o gi¶i vÊn ®Ò cïng lo¹i vµ sÏ më réng ra.Nhµ to¸n häc §Òc¸c nãi rÊt ®óng r»ng: “Mçi vÊn ®Ò mµ t«i gi¶i quyÕt ®Òu sÏ trë thµnh vÝ dô mÉu mùc dïng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸c”.Do ®ã sau khi gi¶i mét bµi to¸n nªn chó ý khai th¸c h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i. B.VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: xÐt bµi to¸n 28 trang 21 s¸ch bµi tËp to¸n 8 –tËp 1: 1 1 1 a.Chøng minh: − = (1) x x + 1 x( x + 1) b.§è: §è em tÝnh nhÈm ®−îc tæng sau: 1 1 1 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 1 x +1− x 1 -H−íng dÉn:a.BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh vÕ ph¶i : − = = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) b.XÐt ®Æc ®iÓm ®¼ng thøc ë c©u a:VP cã mÉu lµ 1tÝch 2biÓu thøc c¸ch nhau 1;1 1 1 1 chÝnh lµ tö th× cã − = .T−¬ng tù víi ®Æc ®iÓm nh− VP ë c©u a;ta cã: x x + 1 x( x + 1) 1 1 1 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + = x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x -C¸ch ph¸t biÓu kh¸c cña bµi to¸n: 1 a.ViÕt ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc cã tö bµng 1 x( x + 1) b.VËn dông kÕt qu¶ c©u a,hQy rót gän biÓu thøc sau: 1 1 1 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 I.khai th¸c øng dông bµi 28 trong tÝnh to¸n;trong to¸n rót gän;to¸n chøng minh ®¼ng thøc: Tõ(1),nÕu thay x=1 th× ta cã c¸c bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 2
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi1:TÝnh: 1 1 1 1 1 1 a. + + + + + ..... + 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 + + + + + ..... + = 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + ... + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 99 100 100 100 1 1 1 1 + Tõ ®ã cã bµi to¸n tæng qu¸t :b.TÝnh tæng + + + ...... + víi n ≥ 1 2 2 .3 3 .4 n(n + 1) 1 n H−íng dÉn:t−¬ng tù c©u a;ta cã kÕt qu¶ lµ:1- = n +1 n +1 *)NhËn xÐt ®Æc ®iÓm mÉu c¸c ph©n thøc ®Ó tõ ®ã ta cã c¸c d¹ng bµi to¸n kh¸c:c¸c h¹ng tö trong tæng trªn ®Òu lµ nh÷ng ph©n thøc cã d¹ng:mÉu lµ mét tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ chÝnh b»ng tö.VËy mÉu lµ tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 2 hay 3 hay 4…th× gi¶i bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Bµi2:TÝnh tæng: 1 1 1 1 1 1 1 1 a. + + + .... + b. + + + .... + víi n ≥ 0 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) H−íng dÉn:a.ViÕt mçi h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu 2ph©n thøc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − );...... = ( − ) .VËy 1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 + + + .... + = 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + .... + − ) = (1 − )= 2 1 3 3 5 5 7 2005 2007 2 2007 2007 b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù nh− c©u a. 1 1 1 1 XÐt h¹ng tö tæng qu¸t: = ( − ) nªn ta cã: (3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5 1 1 1 1 + + + .... + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n +1 ( − + − + − + ... + − )= ( − )= 3 2 5 5 8 8 11 3n + 2 3n + 5 3 2 3n + 5 3n + 5 +T−¬ng tù nh− vËy cã thÓ ®Ò xuÊt mét lo¹t bµi to¸n cïng lo¹i vµ gi¶i quyÕt víi cïng ph−¬ng ph¸p. *)Chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm tö vµ mÉu c¸c ph©n thøc ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n:tö lµ mét sè(biÓu thøc) bÊt kú,mÉu lµ tÝch cña 2 sè(biÓu thøc) c¸ch ®Òu nhau th× gi¶i quyÕt bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 3
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi3:TÝnh tæng: 5 5 5 5 5 a. + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n b. + + + ...... víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a k a k +1 H−íng dÉn:a.Ph−¬ng ph¸p lµm:viÕt c¸c h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu(t−¬ng 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 tù bµi 2) = ( − ); = ( − ); = ( − );....; = ( − ) do ®ã: 2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + .... + = ( − + − + − + .... + − )= 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 2 4 4 6 6 8 98 100 5 1 1 49 = ( − )= 2 2 100 20 b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù c©u a.§©y chÝnh lµ bµi to¸n tæng qu¸t rót ra tõ c¸c bµi to¸n trªn.VËy ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +Tr−êng hîp 1:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n Bµi to¸n nµy gi¶i ®−îc dÔ dµng theo c¸ch ph©n tÝch cña bµi 1 v× khi ®ã: n 1 1 = − a 1a 2 a 1 a 2 ………………………. n 1 1 = − a k a k +1 a k a k +1 n n n n 1 1 Céng tõng vÕ ta cã: + + + ...... = − a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 a k a k +1 +Tr−êng hîp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n n n n n n b b b b Ta cã + + + ...... = ( + + + .... + ) a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 Bµi to¸n nµy thùc chÊt ®Q ®−a vÒ d¹ng bµi 2;bµi3.Do ®ã ta cã kÕt qu¶ lµ n 1 1 ( − ) b a k a k +1 -NÕu mÉu lµ tÝch cña 3 sè tù nhiªn c¸ch ®Òu nhau th× sao?Tõ ®ã ta cã c¸c bµi to¸n khã h¬n : 1 1 1 1 Bµi4:TÝnh tæng :A= + + + .... + víi n≥1 ,n ∈ N 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1).n.(n + 1) 1 1 1 1 B= + + + .... + víi n ∈ N ; n ≥ 2 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i t−¬ng tù nh− c¸c bµi trªn:viÕt c¸c h¹ng tö d−íi d¹ng hiÖu. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 4
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 1 NhËn xÐt: = − Do ®ã ta cã: (n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= ( − + − + ... + − )= ( − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1) 4 1 1 NhËn xÐt: = − Do ®ã ta cã: (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B= ( − + − + − + ... + − ) 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 = ( − ) 4 3 (2n + 1)(2n + 3) 1 1 b −a *)NhËn xÐt: Tõ (1) ta cã ®¼ng thøc tæng qu¸t h¬n: − = víi a ≠ 0; b ≠ 0 th× a b a.b viÖc ¸p dông ng−îc c«ng thøc trªn trong thùc tÕ ®−îc sö dông rÊt nhiÒu. Ch¼ng h¹n víi bµi to¸n sau: Bµi 5: Cho biÕt a,b,c lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh: b−c c−a a−b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a H−íng dÉn:§èi víi ®Ò nµy nÕu dïng c¸ch hoµ ®ång mÉu sè vÕ tr¸i ®Ó chøng minh th× qu¸ tr×nh tÝnh phøc t¹p.Cã c¸ch g× ng¾n gän kh«ng?Quan s¸t c¸c sè h¹ng ë vÕ tr¸i ta thÊy tö sè võa ®óng b»ng hiÖu cña 2 thõa sè ë mÉu sè: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).§iÒu ®ã gîi cho ta nhí ®Õn dïng b−a 1 1 b−c 1 1 ng−îc c«ng thøc = − tøc = − . Do ®ã: a.b a b (a − b)(a − c) a − b a − c b−c c−a a−b 1 1 1 1 1 1 + + = − + − + − = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + + + + = + + (§PCM) a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a *)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ cã c¸c bµi to¸n luyÖn cho häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Bµi6:Rót gän c¸c biªñ thøc sau: 1 1 1 1 1 a. M= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 1 1 b. N= 2 + 2 + 2 + 2 x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 H−íng dÉn:a.§Ó rót gän M cÇn ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö Ta cã: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2); x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 5
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 M= + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 1 1 5 = − = x x + 5 x(x + 5) b.T−¬ng tù ta cã: 1 1 1 1 N= + + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6 1 1 −4 = − = x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6) Bµi 7: Rót gän: a a a a 1 a.K= 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a 1 b.H= 2 + 2 2 + 2 2 + .. + 2 2 + x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a H−íng dÉn: a a a a 1 a.K= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 = x a a a a 1 b.H= + + + + - x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 a 1 + ... + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H== − + − + − + − + - x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 1 1 + ... + − + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a 1 H= x 2x + 1 1 1 *)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2 2 = 2 − x .(x + 1) x (x + 1) 2 Do ®ã ta cã bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 6
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi8:Rót gän biÓu thøc sau: 3 5 2x + 1 A= 2 + 2 + ........ + (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 H−íng dÉn: 2x + 1 1 1 -NhËn xÐt: = − nªn ta cã: x .(x + 1)2 2 x 2 (x + 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 1 2 2 3 3 4 x (x + 1) 2 1 x(x + 2) =1- 2 = (x + 1) ( x + 1) 2 II.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Bµi9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 : 1 1 1 1 1 1 a.A = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 1 b.B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 3 5 7 (2 n + 1) 4 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 1 1 a.NhËn xÐt: 2 = . 2 < . mµ = − nªn ta cã: (2 n ) 4 n 4 ( n − 1).n (n − 1).n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn 2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n 1 1 1 1 1 A< (1 + + + + ... + ) hay 4 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 A< (1 + 1 − + − + − + ... + − ) hay 4 2 2 3 3 4 n −1 n 1 1 1 1 1 A< (1 + 1 − ) hay A < − hay A< (§PCM) 4 n 2 4n 2 b.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < 2 ⇔ 2 < ⇔ 2 < ( − ) (2n + 1) (2n + 1) − 1 (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2 2n 2n + 2 nªn ta cã: 1 1 1 1 B< + 2 2 + 2 + ... + hay 3 −1 5 −1 7 −1 (2n + 1)2 − 1 1 1 1 1 B< + + + ... + hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 7
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B< ( − + − + − + ... + − ) hay 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 1 1 1 1 1 1 B< ( − )⇒B < − ⇒B< (§PCM) 2 2 2n + 2 4 4(n + 1) 4 Bµi10:Chøng minh víi n nguyªn,n>1 th×: 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2 − 1 2 3 n n H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi,t−¬ng tù nh− bµi 9. 1 1 1 1 1 -NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 2 < hay 2 < − (2) k (k − 1).k k k −1 k LÇn l−ît cho k=2;3;4;…;n trong (2) råi céng l¹i vÕ theo vÕ ta ®−îc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... + − hay 1 2 3 4 n 1 2 2 3 n −1 n 1 A
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 C< (§PCM) 3 Bµi13: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 1 1 1 1 D= 3 + 3 + 3 + ..... + 3 < 2 3 4 n 4 H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi.VËy sö dông nh− thÕ nµo?HQy xem nhËn xÐt sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 < 3 hay 3 < hay 3 < ( − ) Do ®ã ta cã: k k −k k (k − 1)k(k + 1) k 2 (k − 1)k k(k + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D< 3 + 3 + .... + 3 hayD< ( − + − + ... + − ) 2 −2 3 −3 n −n 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1)n n.(n + 1) hay 1 1 1 1 D< ( − ) hay D < (§PCM) 2 2 n(n + 1) 4 Bµi14: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 3 ta cã: 1 1 1 1 1 E= 3 + 3 + 3 + .... + 3 < 3 4 5 n 12 1 1 1 1 1 1 1 1 H−íng dÉn:Ta cã: < hay < hay < ( − ) n3 n 3 − n n3 (n − 1)n(n + 1) n3 2 (n − 1)n n(n + 1) Do ®ã : 1 1 1 1 1 1 1 E< ( − + − + ... + − ) hay 2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n − 1)n n(n + 1) 1 1 1 E< ( − ) hay E < 1 (§PCM) 2 2.3 n(n + 1) 12 Bµi15:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n;n ≥ 2 ta cã: 1 2 3 n −1 H= + + + ... +
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 5 11 n + n −1 K= + + + ….+
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 III.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong gi¶i ph−¬ng tr×nh,bÊt ph−¬ng tr×nh: Bµi19:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 1 a.( + + ..... + ).x = + + ... + . 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 1 1 1 1 148 98 b.( + + + ... + ).(x − 2) + x = x− 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 1 1 1 2007 c. + + + ... + = 3 6 10 x(x + 1) 2009 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H−íng dÉn:a.XÐt + + ... + = (1 − + − + ... + − ) 1.101 2.102 10.110 100 101 2 102 10 110 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + + ... + ) − ( + + ... + ) 100 2 3 10 100 101 102 110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 XÐt + + ... + = ( − + − + ... + − ) 11 2.12 100.110 10 1 11 2 12 100 110 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + + ... + − − − ... − − ... − ) 10 2 3 100 11 12 100 110 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ... + − − − ... − ) Do ®ã ta cã: 10 2 10 101 102 110 1 1 x= : = 10 10 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b.XÐt + + + ... + = (1 − + − + − + ... + − ) 1 .3 3 .5 5 .7 97.99 2 3 3 5 5 7 97 99 1 1 49 = (1 − ) = Khi ®ã ta cã: 2 99 99 49 148 98 ( x − 2) + x = x− hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay 99 99 99 49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x∈ R 1 1 1 1 2007 c. + + + ... + = hay 3 6 10 x ( x + 1 ) 2009 2 2 2 2 2 2007 + + + ... + = 2.3 3.4 4.5 x(x + 1) 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 ⇔ 2( − + − + − + ... + − )= 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 ⇔ 2( − )= ⇔ 1- = ⇔ = ⇔ x=2008(tho¶ mQn 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 x≠ o; x ≠ −1 ) Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 11
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi21:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 9 a.( + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b.( + + + .... + )x = ( + + + ... + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 9 H−íng dÉn:a. ( + + + .... + )( x − 1) + x = x − 1 .2 2 .3 3 .4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ⇔ ( 1 − + − + − + ... + − ) (x-1)+ x = x − 2 2 3 3 4 9 10 10 10 9 1 9 ⇔ ( x − 1) + x = x − ⇔ 0x=0 ⇔ x ∈ R 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b. .( + + + .... + )x = ( + + + ... + ) 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 − + − + − + ... + − ) x = ( − + − + ... + − ) 50 51 2 52 3 53 10 60 10 1 11 2 12 50 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 3 10 51 52 60 10 2 50 11 12 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ (1 + + ... + − − − ... − ) x = (1 + + ... + − − − ... − ) 50 2 10 51 52 60 10 2 10 51 52 60 1 1 ⇔ x= : =5 10 50 Bµi22:Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1 1 1 a. 2 + 2 = x + 4x + 3 x + 8x + 15 6 1 2 3 −6 b. 2 + 2 + 2 = x − 5x + 6 x − 8x + 15 x − 13x + 40 5 1 1 1 c. 2 + 2 = x + 9x + 20 x + 13x + 42 18 1 1 1 1 1 d. 2 + 2 + 2 + .... + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 15x + 56 14 H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: x 2 +4x+3=(x+1)(x+3) x 2 +8x+15=(x+3)(x+5) §KX§:x ≠ −1;x ≠ −3;x ≠ −5 1 1 1 PT ®Q cho ®−îc viÕt: + = (x + 1)(x + 3) (x + 3)(x + 5) 6 1 1 1 1 1 1 ⇔ ( − + − )= 2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 12
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 ⇔ ( − )= 2 x +1 x + 5 6 ⇒ 3(x + 5 − x − 1) = (x + 1)(x + 5) 2 2 ⇔ (x + 3) = 4 ⇔ x+3=4 hoÆc x+3=-4 ⇔ x=1 hoÆc x=-7 (tho¶ mQn §KX§) *)C¸c c©u b;c;d ph−¬ng ph¸p lµm hoµn toµn t−¬ng tù c©u a. Bµi 23:Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 1 1 1 ( + + ... + )x < + + + ... + 1.51 2.52 10.60 11 2.12 3.13 50.60 H−íng dÉn:C¸ch lµm t−¬ng tù bµi 21b);chØ cã chó ý dÊu bÊt ®¼ng thøc thay cho dÊu ®¼ng thøc vµ ta cã gi¸ trÞ biÓu thøc sau lu«n d−¬ng : 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + − − − ... − nªn ta cã kÕt qu¶ lµ x < 5 2 3 10 51 52 60 PhÇn 3:kÕt luËn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp cã hÖ thèng lµ mét yÕu tè c¬ b¶n gióp häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc,gi¶i quyÕt linh ho¹t c¸c bµi tËp to¸n vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp m«n to¸n.§iÒu quan träng nhÊt cÇn ®Ò cËp bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau,nghiªn cøu kü ,kh¶o s¸t kü tõng chi tiÕt vµ kÕt hîp c¸c chi tiÕt cña bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch ®Ó më réng cho c¸c bµi to¸n kh¸c.§ång thêi qua ®ã cã thÓ khai th¸c c¸c øng dông cña mét bµi to¸n c¬ b¶n vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n cïng lo¹i. Hi väng r»ng víi mét sè vÝ dô t«i ®−a ra trong ®Ò tµi nµy gióp c¸c em häc sinh sÏ biÕt c¸ch lµm chñ ®−îc kiÕn thøc cña m×nh,thªm yªu mÕn m«n to¸n,tù tin trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu sau nµy. §©y míi chØ lµ kinh nghiÖm cña b¶n th©n t«i nªn ch¾c ch¾n cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt,hi väng ®−îc c¸c b¹n ®ång nghiÖp quan t©m vµ gãp ý ®Ó ®Ò tµi ®−îc hoµn chØnh h¬n. *)Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp ®Ò nghÞ: Bµi 1:TÝnh c¸c tæng sau: 1 1 1 1 a. + + + ... + 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 1 1 1 b. + + ... + 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 7 7 7 1 c. + + ... + + 1.8 8.15 (7n − 6)(7n + 1) 7n + 1 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 13
Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 d. + + + ... + 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) Bµi 2:Rót gän c¸c biÓu thøc sau: 2 2 2 2 a. + + + (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) x + 4 1 1 1 1 1 + + + ... + + A 1.(2n − 1) 3.(2n − 3) 5(2n − 5) (2n − 3).3 (2n − 1).1 b. = B 1 1 1 1 + + + ... + 3 5 2n − 1 Bµi 3:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1 149 99 a.( + + ... + )(2x − ) + x = .x − 1.2 2.3 99.100 2 50 200 1 1 1 1 b. 2 + 2 + 2 = x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 6 Bµi 4:Chøng minh r»ng víi n lµ sè nguyªn d−¬ng bÊt kú th×: 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2