Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa" giúp các em học sinh tìm hiểu nội dung bài học qua khái niệm và ví dụ đơn giản sách giáo khoa đến những bài toán có tính chất nâng cao một cách nhẹ nhàng và hiểu quả nhất. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn học sinh lớp 12 có thêm tài liệu học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN ------- * * * --------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA MÔN:TOÁN HỌC Tác giả: Thái Thị Bích Hường Tổ chuyên môn : Toán – Tin Năm thực hiện: 2022 ĐT: 0378 447 053
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phát triển chương trình theo hướng tiếp cận năng lực là xu thế chung của nhiều quốc gia trên thế giới áp dụng và cũng là một trong những mục tiêu giáo dục của chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018. Nghị quyết hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: ‘ Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực.’ Từ năm học 2016-2017 đến nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết định thi môn Toán trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Câu hỏi đặt ra là ‘ Khi chuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan thì sách giáo khoa có cần phải thay đổi không? Sách giáo khoa là tài liệu cụ thể hóa những nội dung giáo dục được quy định trong chương trình; cung cấp tri thức nền tảng, hệ thống, toàn diện và được chọn theo các quy luật sư phạm, hướng dẫn hoạt động học, hỗ trợ hoạt động dạy. Vì vậy, không có sách giáo khoa nào soạn riêng cho thi tự luận hay cho thi trắc nghiệm khách quan. Trong dạy học Toán, năng lực giải toán là một trong những năng lực cơ bản, quan trọng mà học sinh phổ thông phải đạt được. Cho nên việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh phổ thông là một trong những yêu cầu cần thiết góp phần vào việc hình thành và phát triển năng lực, phẩm chất cho học sinh. Hoạt động giải bài tập là hoạt động chủ yếu của toán học, để hoạt động giải bài tập được tốt thì phải cho học sinh hiểu rõ bản chất, nguồn gốc của vấn đề và mỗi chủ đề cần có các dạng bài tập có chất lượng và phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Vì học sinh mỗi lớp vừa có sự giống nhau vừa có sự khác nhau về nhận thức, tư duy, năng khiếu, sở trường… ‘Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số’ đóng một vai trò quan trọng và chiếm thời lượng khá lớn trong chương trình học cũng như thi tốt nghiệp của học sinh. Trong đó cực trị hàm số luôn hấp dẫn nhờ vào vẻ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kĩ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Trong kì thi THQG, Tốt nghiệp THPT cũng như các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh bài toán cực trị được đề cập nhiều và có giá trị phân hóa chất lượng bài thi cao. Vì vậy: tác giả thực hiện đề tài: “Giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối từ một hoạt động trong sách giáo khoa ”. Trong bài viết này tác giả đi từ một hoạt động trong sách giáo khoa để giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết bài toán tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng nhóm định nghĩa quy tắc, tính chất hàm số, phương pháp 1
sử dụng đồ thị, phương pháp sử dụng hàm ẩn…. Sử dụng các biến đổi quan trọng, phù hợp, và các hoạt động, các nội dung chú ý của sách giáo khoa để giúp học sinh giải quyết bài toán hiệu quả. 2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu là học sinh THPT, cụ thể là học sinh lớp 12 các trường THPT. Học sinh tham trong các kì thi học sinh giỏi cũng như tốt nghiệp THPT Quốc Gia. 3. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Đề tài giúp các em học sinh tìm hiểu nội dung bài học qua khái niệm và ví dụ đơn giản sách giáo khoa đến những bài toán có tính chất nâng cao một cách nhẹ nhàng và hiểu quả nhất. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn học sinh lớp 12 có thêm tài liệu học tập. Các dạng bài tập có thể lựa chọn áp dụng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Học sinh giỏi phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình từ việc phát triển bài toán, dự đoán tính khả thi của bài toán , tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa bài toán. Học sịnh trung bình không những lấp ‘lỗ hổng’ kiến thức mà còn nắm vững kiến thức cơ bản. Ngoài ra đề tài còn là một tài liệu giúp học sinh hiểu sâu sắc nội dung sách giáo khoa đưa ra và khẳng định ý nghĩa thực tiễn của nó. 4. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là qua các vấn đề được nêu trong sách giáo khoa giáo viên giúp học sinh phát hiện, giải quyết các dạng bài tập đi từ cụ thể đến các bài tập nâng cao nhằm phát triển năng lực toán học. Ngoài ra giáo viên tìm hiểu được năng lực của từng nhóm học sinh, Giúp các em nhất là học sinh khá giỏi phát huy được năng lực trong các bài toán lạ, các bài toán khó. Đề tài có được một hệ thống các bài toán từ nhận biết đến vận dụng cao có thể sử dụng trong dạy học cũng như ra đề thi. 2
PHẦN II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận: Từ năm học 2016-2017 đến nay, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết định thi môn Toán trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Đây là một thử thách đối với cả thầy và trò nhưng cũng là cơ hội cho học sinh trung học phổ thông phát huy hết khả năng thông minh sáng tạo của mình. Vì thi trắc nghiệm môn Toán với thời lượng 90 phút cho 50 câu nên đa số học sinh có cảm giác bị ngợp trước số lượng câu hỏi lớn trong thời gian ngắn. Nhưng thi trắc nghiệm cũng có rất nhiều ưu điểm, như: Phù hợp với xu thế hội nhập quốc tế, rèn tính năng động sáng tạo cho học sinh, kiểm tra được kiến thức bao quát, tránh học lệch, học tủ…Đặc biệt, vì thi trắc nghiệm chỉ cần chọn đúng 1 đáp án duy nhất trong 4 đáp án đã cho và kết quả đã có sẵn nên người học có thể sáng tạo ra nhiều phương pháp, kỹ thuật giải nhanh độc đáo cho riêng mình. Tôi thiết nghĩ đây cũng là mục đích của môn Toán – giúp người học sáng tạo hơn, nhanh nhẹn hơn, quyết đoán hơn và chính xác hơn trong khi giải toán cũng như trong xử lý công việc trong đời sống thực tiễn hàng ngày. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Việc đổi mới trong kì thi TN THPT là một thử thách đối với cả thầy và trò, cũng là cơ hội cho thầy cô và học sinh trung học phổ thông tiếp cận nội dung sách giáo khoa với tính tương tác và chuyên sâu. II. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẪN ĐỀ. Hiện nay với cách thức thi mới, còn sách giáo khoa thì được viết từ những năm còn hình thức thi cũ nên nhiều học sinh tìm hiểu các dạng toán và bài tập ở nguồn khác không phải sách giáo khoa. Dù thi theo hình thức nào sách giáo khoa là tài liệu cụ thể hóa những nội dung giáo dục được quy định trong chương trình; cung cấp tri thức nền tảng, hệ thống, toàn diện và được chọn theo các quy luật sư phạm, hướng dẫn hoạt động học, hỗ trợ hoạt động dạy. Vì vậy giáo viên cần định hướng dẫn dắt các em tìm hiểu phát triển các dạng toán qua các bài tập, các ví dụ, các hoạt động hay chú ý từ sách giáo khoa. Từ đó khuyến khích được học sinh khá giỏi có năng lực tự học, giúp cho các em hứng thú khám phá phát triển tìm hiểu các vấn đề qua nội dung trong sách. III. GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ MỘT HOẠT ĐỘNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA Mở đầu: Hoạt động dẫn tới bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chứng minh hàm số y =| x | không có đạo hàm tại x = 0 . Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không? ( Hoạt động 4 trang 16 SGK Giải Tích 12 ) 3
Cách giải 1:  x khi x  0 1 khi x  0 Xét hàm số y = x =   y'=  − x khi x  0 −1 khi x  0 Hay lim y = 1  lim y = −1 x → 0+ x → 0− Suy ra hàm y =| x | không có đạo hàm tại x = 0 Mặt khác y ' = 1  0, x  0; y = −1  0, x  0 Ta có bảng biến thiên: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Vậy: hàm y =| x | không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại x = 0 Cách giải 2:  x khi x  0 1 khi x  0 Xét hàm số y = x =   y'=  − x khi x  0 −1 khi x  0 Hay lim y = 1  lim y = −1 . Suy ra hàm y =| x | không có đạo hàm tại x = 0 . x → 0+ x → 0− Sử dụng đồ thị hàm số y y= x 0 x Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . Nếu đối với bài toán tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi có công thức đạo hàm thì giải theo quy tắc được không? Ta xét lời giải tiếp theo. Cách giải 3: ( Sử dụng quy tắc 1) Ta có: y ' =| x | ' = ( x ) ' = 2 2xx 2 2 = x | x| suy ra y =| x | đạo hàm không xác định tại x = 0 . Ta có bảng biến thiên: 4
Vậy các quy tắc cách giải đều áp dụng vào bài toán tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, với công thức đạo hàm hàm số trị tuyệt đối sau: ( x ) ' = 2 2xx = | xx | y ' =| x | ' = 2 2 | u | ' = ( u )' = 2u.u ' u.u ' 2 = 2 u 2|u| 1. Bài toán tìm cực trị hàm số y = f ( x) 1.1. Giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua bài toán cụ thể Bài 1.1.1. Cho hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Cách giải 1: (2 x − 4)( x 2 − 4 x + 3) y' = =0 x=2 | x2 − 4x + 3 | x = 1 y ' không xác định tại x 2 − 4 x + 3 = 0   x = 3 Ta có bảng biến thiên x − 1 2 3 + y' − + 0 − + + 1 + y 0 0 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | có 3 điểm cực trị. Cách giải 2: Xét hàm số y = x2 − 4 x + 3 ta có đồ thị hàm số là: Do đồ thị hàm số y = x2 − 4 x + 3 cắt trục ox tại hai điểm phân biệt nên ta có đồ thị của hàm y =| x2 − 4 x + 3 | là : 5
Dựa vào đồ thị ta có hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | có 3 điểm cực trị Nhận xét: 1. Số cực trị của hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | chính bằng số ngiệm của y ' = 0 và y ' không xác định mà tại các điểm đó y ' đổi dấu. 2. Số cực trị của hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | bằng tổng số cực trị của hàm số y = x 2 − 4 x + 3 và số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 với trục hoành. 3. Số cực trị của hàm số y =| x2 − 4 x + 3 | bằng tổng số nghiệm của y ' = 0 và số nghiệm của phương trình y = 0 ). Tổng quát: Đồ thị hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị 2 f ( x). f ( x) (Áp dụng công thức). y = f ( x) = f 2 ( x)  y = f 2 ( x) y = 0  f '( x) = 0 (1) , y ' không xác định tại điểm f ( x) = 0 ( 2 ) Còn số nghiệm của (1) là số cực trị của hàm số y = f ( x) , Số nghiệm của ( 2 ) chính là số giao điểm của đồ thị y = f ( x) và trục hoành y = 0 . Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và ( 2 ) chính là số cực trị cần tìm. Bài 1.1.2. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị? Giải. Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có dạng sau 6
 Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị y = f ( x ) có 2 điểm cực trị nằm phía trên trục Ox và cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất. Suy ra đồ thị y = f ( x ) có 3 điểm cực trị (tham khảo hình vẽ) Nhận xét: Ta có thể nhận xét trực tiếp các điểm cực trị hàm số và giao điểm trục hoành qua bảng biến thiên mà không qua đồ thị. Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị và cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất. Suy ra đồ thị y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Bài 1.1.3. Cho hàm số y = f ( x ) với bảng biến thiên dưới đây x − −1 0 2 + y' − 0 + 0 − 0 + + 3 + y −4 −2 Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? Giải: Dựa vào nhận xét : hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị và đồ thị cắt ox tại 4 điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x) có 7 điểm cực trị. Bài 1.1.4. Cho hàm số y f x xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . 7
Giải: Dựa vào nhận xét : hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị và đồ thị cắt ox tại 1 điểm có nghiệm bội lẻ nên hàm số y = f ( x) có 3 điểm cực trị. Nhận xét: Từ cách giải tổng quát bài toán đồ thị hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị ta có thể tổng quát bài toán dưới dạng mới như sau: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R ( có thể cho dạng hàm số, cho đồ thị hàm số, cho bảng biến thiên hàm số hay cho dạng đạo hàm của nó) tìm số điểm cực trị của hàm số h( x) =  f ( x ) ( n  N , n  2) . n Giải: n −1 Ta có h '( x) = n  f ( x ) . f '( x) n −1  f ( x) = 0(1) h '( x) = 0  n  f ( x )  . f '( x) = 0    f '( x) = 0(2) Với n chẵn thì n − 1 lẻ ta có tổng số nghiệm bội lẻ của (1) và ( 2 ) chính là số cực trị cần tìm. Với n lẻ thì n − 1 chẵn nên nghiệm của (2) luôn là nghiệm bội chẵn suy ra số nghiệm bội lẻ của (1) chính là số cực trị cần tìm. Vậy: n chẵn cho ta đưa bài toán về số điểm cực trị hàm y = f ( x) còn n lẻ cho ta bài toán về số cực trị hàm y = f ( x) Bài 1.1.5. Cho hàm số y f x xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y =  f ( x ) . 2 Giải: Từ đồ thị ta suy ra f ( x ) = 0 có 1 nghiệm bội lẻ, f  ( x ) = 0 có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó, hàm số y =  f ( x ) có 3 điểm cực trị. 2 8
Bài 1.1.6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên 0;6 . Đồ thị của hàm số y = f  ( x ) trên đoạn 0;6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y =  f ( x ) 2022 có tối đa bao nhiêu cực trị trên đoạn 0;6 . Giải: Từ đồ thị ta suy ra f ( x ) = 0 có tối đa 4 nghiệm, f  ( x ) = 0 có 3 nghiệm. Do đó, hàm số y =  f ( x ) có tối đa 7 điểm cực trị. 2022 Bài 1.1.7. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + 8 − x ) . Giải: Điều kiện 0  x  8 Xét hàm số g ( x ) = f ( x + 8 − x )  g  ( x ) = f  ( x + 8 − x )   1 1  −   x 8− x  Từ đồ thị ta có f ( x ) = 0  x = a, x = 2 2, x = 4 và hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị ( ) ( b  a;2 2 ,c  2 2;4 )  x + 8− x = 4  f ( ) x + 8− x = 0   x + 8− x = 2 2  (  x + 8 − x = a  0; 2 2  )   1 − 1 = 0  x = 4 x = 4  g ( x) = 0   x 8− x  (  f  x + 8 − x = 0 ) (   x + 8 − x = b  a; 2 2 )  (  f  x + 8− x = 0 )  ( x + 8 − x = c  2 2; 4 )  Xét hàm số h( x) = x + 8 − x 9
Có bảng biến thiên - Phương trình ( ) x + 8 − x = c  2 2; 4 có 2 nghiệm - Phương trình x + 8 − x = a  ( 0;2 2 ) vô nghiệm - Phương trình x + 8 − x = b  ( a;2 2 ) vô nghiệm - Phương trình x + 8 − x = 4 có nghiệm kép x = 4 Từ đó ta suy ra phương trình g  ( x ) = 0 có ba nghiệm, f ( ) x + 8 − x = 0 không có nghiệm đơn thỏa mãn. Vậy đồ thị hàm số y = f ( x + 8 − x ) có tất cả 3 điểm cực trị. Bài 1.1.8. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) =  f ( x + 8 − x ) . 2 ( Câu 2a đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán cấp tỉnh Nghệ An năm học 2021 – 2022) Nhận xét: Theo tính chất số cực trị hàm số y =  f ( x ) cũng chính bằng số cực trị 2 của hàm số y =| f ( x ) | nên theo bài 1.1.8 hàm số y =  f ( x ) có tất cả 3 điểm cực trị. 2 Bài 1.1.9. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên , đồ thị hàm số y = f ( x) là đường cong ở hình vẽ. Hỏi hàm số h ( x ) =  f ( x)2 − 4 f ( x ) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 7 . (HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT Sở GDĐT Quảng Nam năm 2019) 10
Giải: Đặt g ( x ) =  f ( x)2 − 4 f ( x ) + 1 .  x = a ( a  2)  f ( x) = 2  Khi đó, g  ( x ) = 2 f ( x). f ( x) − 4 f  ( x ) = 0     x = −1  f ( x) = 0 x = 2  Do đó, ta có bảng biến thiên: x − −1 2 a + y' y' 0 x 0 y' 0 x + 13 + y −3 g (2)  0 Suy ra đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba điểm cực trị không nằm trên trục hoành và bốn giao điểm với Ox . Vậy đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ( x ) có số cực trị là 3 + 4 = 7 . Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = h  f ( x) ( với g ( x ) = h  f ( x )  ) bằng tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình g' ( x ) = 0 và phương trình h  f ( x) = 0 . Bài 1.1.10. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x3 + 3x 2 ) ? Giải: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau x − a b c + f ( x) − 0 + 0 − 0 + + + f ( x) Xét hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x 2 )  g' ( x ) = ( 3x 2 + 6 x ) . f  ( x3 + 3x 2 ) x = 0  3 x + 6 x = 0 2  x = −2 Cho g' ( x ) = 0     x 3 + 3 x 2 = a; a  0  f ( x + 3x ) = 0   3 3 2  x + 3 x 2 = b; 0  b  4  3  x + 3 x = c; c  4 2 11
x = 0 Xét hàm số h ( x ) = x3 + 3x 2  h ( x ) = 3x 2 + 6 x . Cho h ( x ) = 0    x = −2 Bảng biến thiên Ta có đồ thị của hàm h ( x ) = x3 + 3x 2 như sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại 1 điểm. Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại 3 điểm. Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) tại 1 điểm. Như vậy phương trình g  ( x ) = 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.  x3 + 3x 2 = m; m  a  0  3 x + 3x 2 = 0; Mặt khác: f ( x + 3x ) = 0   3 3 2 x + 3x 2 =4   x3 + 3x 2 = n; n  c  4 Tương tự dựa vào đồ thị và các đường thẳng trên ta có phương trình f ( x3 + 3x2 ) = 0 có 4 nghiệm đơn. Vậy hàm số y = f ( x3 + 3x 2 ) có 11 điểm cực trị. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( u ( x) ) ( với g ( x ) = f ( u ( x) ) ) bằng tổng số nghiệm bội lẻ của phương trình g' ( x ) = 0 và phương trình f (u ( x)) = 0 . Bài 1.1.11. Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0 . Biết y = f  ( x ) là hàm số bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x 4 ) − x 2 là A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. (Câu 45 Mã 103 đề thi TN THPT năm 2020 Lần 2) 12
Giải: Xét hàm số h ( x ) = f ( x 4 ) − x 2 có h ( x ) = 4 x3 f  ( x 4 ) − 2 x . Theo nhận xét trên ta đi tìm số nghiệm h ( x ) = 0 và số nghiệm h ( x ) = 0 Dạng bài này ta thường giải tìm số nghiệm h ( x ) = 0 qua đồ thị sau đó lập bảng biến thiên hàm số h ( x ) và tìm số nghiệm qua bảng biến thiên. x = 0 h ( x ) = 0    f  ( x4 ) = 1 2 ( *)  2x Xét phương trình (*) : Đặt t = x 4 thì (*) thành f  ( t ) = 1 với t  0 . 2 t Dựa vào đồ thị, phương trình (*) có duy nhất một nghiệm a  0 . Suy ra h ( x ) = 0 có ba nghiệm x =  4 a , x = 0 Bảng biến thiên của hàm số y = h ( x ) = f ( x 4 ) − x 2 x − −4 a 0 4 a + y' 0 0 0 + + 0 y Từ bảng biến thiên h ( x ) = 0 có hai nghiệm bội lẻ nên số cực trị của g ( x ) là 5. Chọn đáp án D Nhận xét: Để giải bài toán dạng hàm ẩn g ( x ) = f ( u ( x) ) + v( x) cần tìm được số cực trị hàm sô h ( x ) = f ( u ( x) ) + v( x) và số nghiệm bội lẻ của phương trình h ( x ) = 0 . Qua bài toán trên thấy được có thể tìm h ' ( x ) = 0 sau đó lập bảng biến thiên hàm số h ( x ) để tìm số nghiệm. Khó khăn của bài toán nằm ở bước ta tìm nghiệm h ' ( x ) = 0 . Để giải quyết vấn đề ta có dùng phương pháp hàm số , xét tính chất hàm số, …, hay dùng đồ thị hàm số để 13
tìm giao điểm. Vì thế học sinh cần chú ý các hình dạng đồ thì hàm số đã cho trong sách giáo khoa như đồ thị hàm đa thức, hàm lũy thừa… Bài 1.1.12. Cho f ( x ) là hàm bậc bốn thỏa mãn f ( 0 ) = 0. Hàm số f  ( x ) đồ thị như hình vẽ: y 1 2 O 1 2 x 1 3 Hàm số g ( x ) = 2 f ( x 2 + x) − x 4 − 2 x 3 + x 2 + 2 x có bao nhiêu điểm cực trị: A. 4 . B. 6 . C. 7 . D. 5 . (ĐỀ KSCL thi TN THPT Trường Lê Lai Thanh Hóa năm 2022) Giải: Đặt h ( x ) = 2 f ( x 2 + x) − x 4 − 2 x3 + x 2 + 2 x .  h( x) = 2 (2 x + 1) f ( x 2 + x) − 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x + 2 = 2 (2 x + 1)  f ( x 2 + x) − ( x 2 + x − 1)   1  x=−  h( x) = 0  2 (2 x + 1)  f ( x + x) − ( x + x − 1)  = 0  2 2 2   f ( x + x) − ( x + x −1) = 0 2 2 Đặt t = x2 + x. Ta được f ( t ) = t −1 . Vẽ đồ thị hàm số y = f  ( t ) và y = t − 1 trên cùng một hệ trục tọa độ ta được y 1 2 O 1 2 x 1 3 Dựa vào đồ thị suy ra:  x = 0 t = − 2  x + x = − 2 2  t = 0   x 2 + x = 0    x = − 1     x =1 t = 2  x2 + x = 2     x = − 2 Bảng biến thiên: 14
Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x ) = h( x) có 7 cực trị. 1 Bài 1.1.13. Cho f ( x ) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f ( 0 ) = . Hàm số f ' ( x ) có 2021 bảng biến thiên như sau: Hàm số g ( x ) = f ( x3 ) + x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 ( Đề thi thử TN THPT môn toán 2021 Trường ĐH SPHN lần 2) Xét hàm số h ( x ) = f ( x3 ) + x ta có h ' ( x ) = 3x 2 f ' ( x3 ) + 1 = 0  f ' ( x3 ) = − 1 ( *) . 3x 2 1 Đặt t = x3  x = 3 t , khi đó (*)  f ' ( t ) = − (**) . 33 t 2 1 Có đồ thị của hàm số y = − . 33 t 2 1 Dựa vào hình dạng đồ thị của hàm số y = − . Và bảng biến thiên hàm số 33 t 2 y = f ' ( t ) Thì phương trình (**) có một nghiệm duy nhất hay phương trình h ' ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất. 15
Suy ra hàm số h ( x ) có 1 điểm cực trị nên ta có bảng biến thiên hàm số h ( x ) như sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số g ( x ) = h ( x ) có 2 + 1 = 3 điểm cực trị. 1.2. Bài toán phát triển chứa tham số và dạng hàm ẩn có chứa tham số . Bài 1.2.1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + m có 7 điểm cực trị? A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 ( Câu 43 đề tham khảo THPTQG môn Toán Năm 2018) Giải: Xét hàm số y = f ( x ) = 3x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m Ta có: f  ( x ) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x ; f  ( x ) = 0  x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 2 . Do hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị nên hàm số y = f ( x ) có 7 điểm cực trị khi m  0 Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm    0 m 5. m − 5  0 Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa đề bài là m = 1; m = 2; m = 3; m = 4 . Suy ra đáp án C Nhận xét: Hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e có tối đa ba cực trị nên hàm số y = f ( x) có 7 điểm cực trị khi phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Mà khi phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt thì hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e có ba cực trị. Từ đó suy ra: Hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 1.2.2. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị? 16
Giải: Đồ thị hàm số y x4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình x 4 2mx 2 2m2 m 12 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 phương trình bậc hai ẩn x 2 : x 2 2mx 2 2m 2 m 12 0 có hai nghiệm dương phân biệt m2 2m 2 m 12 0 m 0 1 97 2m 0 4 m 3 m 3 2 4 2m m 12 0 1 97 1 97 m m 4 4 Vậy không có giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x 4 2mx 2 2m 2 m 12 có bảy điểm cực trị. Bài 1.2.3. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 với m là tham số thực. Số giá trị nguyên trong khoảng  −2; 2 của m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là Giải: x = 0 Đặt f ( x ) = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 , f  ( x ) = 4 x3 − 4mx , f  ( x ) = 0   x = m 2 + Trường hợp 1: hàm số y = f ( x ) có một cực trị  m   −2;0 . Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một điểm cực trị là A ( 0; 2m − 1) . Do m  −2;0  yA = 2m − 1  0 nên đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn. + Trường hợp 2: hàm số y = f ( x ) có ba cực trị  m  ( 0;2 . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A ( 0; 2m − 1) , B ( ) m ; − m 2 + 2m − 1 , ( ) C − m ; −m2 + 2m − 1 suy ra y = f ( x ) có ba điểm cực trị khi đồ thị hàm số y = f ( x ) không cắt trục hoành. Hệ số a của f ( x ) = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1 là a = 1  0 nên đồ thị hàm số y = f ( x) không cắt trục hoành với nghiệm đơn  yB = yC  0 Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán.  − m 2 + 2m − 1  0  m = 1 . Bài 1.2.4. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số y = 3x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m − 1 có 7 điểm cực trị. Giải: Xét hàm số f ( x) = 3x4 − 4 x3 − 12 x2 −1  f '( x) = 12 x3 − 12 x 2 − 24 x = 12 x ( x 2 − x − 2 ) x = 0 f '( x) = 0   x = −1 .  x = 2 17
Bảng biến thiên: x − −1 0 2 + y' 0 0 0 + + −1 y −6 −33 Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) + m : x − −1 0 2 + y' 0 0 0 + + −1 + m y −6 + m −33 + m Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y = f ( x) + m có 7 điểm cực trị  đồ thị hàm số y = f ( x) + m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  m − 6  0  m − 1  1  m  6 . Nhận xét: Cho học sinh nhận xét về hình dạng hai đồ thị hàm số y = f ( x) + m và y = f ( x) qua hai bảng biến thiên trên . Từ có thể thấy đồ thị của hàm số y = f ( x) + m là đồ thị hàm y = f ( x) tịnh tiến theo trục tung m đơn vị. Bài 1.2.5. Cho y = f ( x ) là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  −12;12 để hàm số g ( x ) = 2 f ( x − 1) + m có 5 điểm cực trị? A. 13 . B. 14 . C. 15 . D. 12 . (Đề thi thử trường chuyên Thái Bình năm 2020) Giải: Dựa vào đồ thị thấy hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị nên hàm số y = 2 f ( x − 1) + m cũng có ba điểm cực trị. Suy ra hàm số y = f ( x − 1) + m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 2 f ( x − 1) + m = 0 có hai nghiệm đơn phân biệt 18
 −m  −6   −3 −m 6  m  12 f ( x − 1) + m = 0  f ( x − 1) =  2  2  −m  2  m  −4  2 Do m  * , m  [-12;12] suy ra có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn Bài 1.2.6. Cho hàm số bậc ba y = f (x ) có đồ thị của hàm đạo hàm f ' (x ) như hình vẽ và f (b ) = 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   −5;5 để hàm số () () () g x = f 2 x + 4 f x + m có đúng 5 điểm cực trị? Giải: Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x ) : x − a b + f '( x) 0 0 + f (a) f ( x) − f (b) = 1 Xét hàm số h (x ) = f 2 (x ) + 4 f (x ) + m ( ) ( ) ( ) ( )  h ' x = 2f ' x f x + 4 f ' x  h ' x = 2f ' x  f  ( ) ( ) (x ) + 2 ( ) ( ) ( ) h ' x = 0  2f ' x  f x + 2 = 0   f ' x = 0  ( ) x = a; x = b     f x = −2 ( ) ( ) x = c c a x − c a b + h '( x) 0 0 + + h( a ) h( x ) 5+ m −4 + m 19