Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu bài toán xác suất trong đề thi học sinh giỏi, tốt nghiệp, đại học và những vấn đề xác suất trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh biết phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất qua đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải lớp các bài toán tương tự.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ.............................................................................. Trang 3 1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 3 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài........................................................ Trang 3 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... Trang 4 1.4. Giới hạn của đề tài.............................................................................. Trang 4 1.5. Phương pháp nghiên cứu................................................................... Trang 4 1.6. Bố cục của đề tài SKKN..................................................................... Trang 4 Phần II. NỘI DUNG ......... ..................................................................... Trang 5 1.1. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 5 1.2. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 5 1.3. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 5 Chương 2. Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư Trang 6 duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. 2.1. Một số kiến thức cơ bản............................................................... Trang 6 2.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy................................................ Trang 6 2.1.2. Nội dung chủ đề tổ hợp, xác suất trong chương trình THPT…. Trang 9 2.2. Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải toán xác Trang 12 suất............................................................................................................ 2.3. Phân loại các dạng toán xác suất có sử dụng phương pháp tổ hợp và Trang 25 luật tích ..................................................................................................... 2.3.1. Phép thử một lần thực hiện........................................................... Trang 25 2.3.2. Phép thử hai lần thực hiện.......................................................... Trang 31 2.3.3. Phép thử ba lần thực hiện.......................................................... Trang 32 2.3.4. Phép thử nhiều lần thực hiện.......................................................... Trang 35 2.4. Một số ứng dụng của bài toán xác suất trong các tình huống thực Trang 39 tiễn............................................................................................................. 2.5. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 46 Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu................................ Trang 48 1
Phần III. KẾT LUẬN................................................................................. Trang 50 PHỤ LỤC................................................................................................... Trang 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................... Trang 57 2
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Thống kê và xác suất được xác định là một trong ba mảng kiến thức quan trọng của môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới. Giải toán xác suất là một nội dung toán học trong nhà trường, góp phần tăng cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học. Giải toán xác suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc trong thực tế, hình thành nâng cao sự hiểu biết và phương pháp nghiên cứu thế giới hiện đại cho học sinh. Một cách ngắn gọn và dễ hiểu, việc hiểu lý thuyết xác suất là quan trọng để hiểu các vấn đề như chính trị, dự báo thời tiết, thể thao, chính sách xã hội... Xác suất bao hàm cả những việc xảy ra trong đời sống hàng ngày của con người ở bất cứ lứa tuổi nào. Giải toán xác suất cung cấp cho chúng ta một mô hình toán học mà ở đó chúng ta có thể biểu diễn các biến cố ngẫu nhiên, các tính không chắc chắn của các sự kiện xảy ra trong vũ trụ, trong tự nhiên, trong đời sống hàng ngày. Cá nhân tôi cho rằng việc dạy giải toán xác suất là làm thế nào để giúp học sinh không còn lo sợ và gặp sai lầm trong giải toán, đồng thời giúp học sinh phát triển năng lực toán học trong đó có năng lực tư duy và lập luận toán học, cách nhìn và cách ứng phó với thế giới đầy biến động trong tương lai, đặc biệt như thế giới đang diễn ra, khi một chuyện hôm nay là đúng, ngày mai có thể đã không còn đúng nữa. Hơn thế nữa Bài toán xác suất là một trong những bài toán hay và khó trong chương trình Toán lớp 11 và trong các đề thi tốt nghiệp đại học và kì thi học sinh giỏi các cấp. Khi giải các bài toán này thì học sinh cần phải tư duy lập luận toán học, biết phân loại dạng toán và biết vận dụng nhiều thuật toán trong đó sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích là một trong các cách sẽ giúp học sinh giải quyết được hàng loạt các bài toán xác xuất, có hứng thú hơn trong học tập. Với lí do trên tác giả chọn đề tài: “Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.” 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài +) Nghiên cứu bài toán xác suất trong đề thi học sinh giỏi, tốt nghiệp, đại học và những vấn đề xác suất trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh biết phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất qua đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải lớp các bài toán tương tự. +) Tìm tòi, sưu tầm các cách giải bằng tổ hợp và luật tích, cách lập luận tư duy qua đó giúp học sinh giải và phân loại các bài toán. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu +) Học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học, ôn thi HSG cấp tỉnh. 3
+) Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán xác suất THPT theo cách giải tổ hợp và luật tích. 1.5. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài. Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…). Phương pháp đàm thoại phỏng vấn. Phương pháp thực nghiệm. 1.6. Bố cục của đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lý thuyết và thực tiễn. Chương 2. Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 4
Phần II. NỘI DUNG Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn 1.1. Thực trạng của đề tài +) Giải toán xác suất dạy cho ta cách tư duy đúng đắn và mạch lạc nhất trên dữ liệu hay hiện tượng quan sát được trong cuộc sống hàng ngày . Nó không chỉ bởi vẻ đẹp toán học mà vì ý nghĩa thực sự của nó trong cuộc sống. +) Bài toán xác suất xuất hiện nhiều trong các đề thi và vấn đề trong thực tiễn nhưng học sinh chưa biết tư duy và lập luận đúng đắn chưa biết phân loại và sử dụng cách giải nào nên còn khó khăn và mắc nhiều sai lầm trong giải toán. Do đó đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp dạy và hướng dẫn học sinh học. +) Bài toán xác suất đa dạng, nhiều loại, nhiều cách giải, nhiều trường hợp khác nhau. Không ít học sinh khi học toán xác xuất rơi vào tình trạng lúng túng khi xem các cách giải khác nhau, trong đó có cách giải sai nhưng không phân biệt được, không biết sai ở đâu. phân tích vấn đề khi giải toán không chặt chẽ chính xác. Chưa biết quy lạ về quen. 1.2. Cơ sở lý thuyết 1.2.1. Kiến thức về năng lực tư duy và lập luận toán học. 1.2.2. Kiến thức cơ bản về tổ hợp - xác suất. 1.3. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, logic và lập luận của các em còn hạn chế. Lượng kiến thức về tổ hợp xác suất trình bày trong các đề thi rất ít bài không thể áp dụng trực tiếp các tính chất, mà thường phải tư duy lập luận sử dụng các phương pháp để giải. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể năm 2019- 2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
Chương 2 Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy 2.1.1.1. Khái niệm tư duy Theo Từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”. Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào nhận thức bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”. 2.1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy 2.1.1.2.1. Tính có vấn đề Khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của chúng ta không đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có vấn đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái mới, hay nói cách khác chúng ta phải tư duy. 2.1.1.2.2. Tính khái quát Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng. Do đó, tư duy mang tính khái quát. 2.1.1.2.3. Tính độc lập tương đối của tư duy Trong quá trình sống con người luôn giao tiếp với nhau, do đó tư duy của từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định. Mặc dù được tạo thành từ kết quả hoạt động thực tiễn nhưng tư duy có tính độc lập tương đối. Sau khi xuất hiện, sự phát triển của tư duy còn chịu ảnh hưởng của toàn bộ tri thức mà nhân loại đã tích lũy được trước đó. Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó. Mặt khác, tư duy cũng có logic phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản ánh đặc thù logic khách quan theo cách hiểu riêng gắn với mỗi con người. Đó chính là tính độc lập tương đối của tư duy. 6
2.1.1.2.4. Tư duy quan hệ chăt chẽ với ngôn ngữ Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ. Kết quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ. Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ hình thức của tư duy. Ở thời kì sơ khai, tư duy được hình thành thông qua hoạt động vật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các kí hiệu từ đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng. Hệ thống các kí hiệu đó thông qua quá trình xã hội hóa và trở thành ngôn ngữ. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ. Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành công cụ giao tiếp chủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu cầu của nền sản xuất xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động. 2.1.1.2.5. Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cao cấp của nhận thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng… được phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ. Giai đoạn này được gọi là tư duy cụ thể. Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên, không căn bản của sự việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành những khái niệm, phạm trù, định luật… Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng. Từ những đặc điểm trên đây của tư duy, ta có thể ra kết luận: - Phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh. Bởi lẽ, không có khả năng tư duy học sinh không học tập và rèn luyện được. - Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề. - Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri thức. Mọi tri thức đều mang tính khái quát, nếu không tư duy thì không thực sự tiếp thu, lại không vận dụng được những tri thức đó. - Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ. Bởi lẽ có nắm vững ngôn ngữ thì mới có phương tiện để tư duy có hiệu quả. - Tăng cường khả năng trừu tượng và khái quát trong suy nghĩ. - Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ. Bởi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì tư duy không thể diễn ra được. - Để phát triển tư duy không còn con đường nào khác là thường xuyên tham gia vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn. Qua đó tư duy của con người sẽ không ngừng được nâng cao. 7
2.1.1.3. Phân loại tư duy Có hai cách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là: 2.1.1.3.1. Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy) Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau: - Tư duy kinh tế. - Tư duy chính trị. - Tư duy văn học. - Tư duy toán học. - Tư duy nghệ thuật… 2.1.1.3.2. Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau: - Tư duy cụ thể. - Tư duy trừu tượng. - Tư duy logic. - Tư duy biện chứng. - Tư duy sáng tạo. - Tư duy phê phán… 2.1.1.4. Một số việc cần làm để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh - Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo: Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bài toán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình… - Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên đưa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý. Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. - Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác: Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thầy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau. Ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. 8
2.1.2. Nội dung chủ đề tổ hợp, xác suất trong chương trình THPT 2.1.2.1. Quy tắc đếm 2.1.2.1.1. Quy tắc cộng Quy tắc cộng cho trường hợp hai đối tượng: (Áp dụng khi ta phân chia trường hợp để đếm) Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Tổng quát: Nếu có: m1 cách chọn đối tượng x1 m2 cách chọn đối tượng x2 …………………………... mn cách chọn đối tượng xn Và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn đối tượng x j nào  i  j; i, j  1, 2,..., n  thì có  m1  m2  ...  mn  cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 2.1.2.1.2. Quy tắc nhân (Áp dụng khi ta phân tích việc thực hiện một phép chọn ra thành nhiều bước liên tiếp) Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có mquát: Tổng cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Tổng quát: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp bước 1 có m1 cách chọn bước 2 có m2 cách chọn ……………………….. bước n có mn cách chọn 2.1.2.2. thì Hoán có vị, chỉnh hợp, tổ hợp m1.m 2 ...mn  cách chọn. 9
2.1.2.2. Hoán vị a. Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử  n  1 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp X được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Hoán vị n phần tử  Nhóm có thứ tự  Có đủ n phần tử của X b. Định lý: Ký hiệu số hoán vị của n phần tử là: Pn , ta có công thức: Pn  n!  1.2...n 2.1.2.3. Chỉnh hợp Bài toán: Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau. a. Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k 1  k  n  phần tử sắp thứ tự của tập hợp X được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của X. Chỉnh hợp n phần tử  Nhóm có thứ tự  Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của X b. Định lý: Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: A kn , ta có công thức: n! A kn   n  k ! 10
2.1.2.4. Tổ hợp a. Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử  0  k  n  của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Tổ hợp n phần tử  Nhóm không có thứ tự  Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của X b. Định lý: Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là: Ckn , ta có công thức: n! Ckn  k ! n  k ! c. Một số công thức về tổ hợp: Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây: a. Ckn  Cn-k n Với mọi k  0,1, 2,..., n b. Ckn  Ck+1 n  Cn+1 k+1 Với mọi k  0,1, 2,..., n 1 2.1.2.5. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu  . 2.1.2.6. Xác suất các biến cố Định nghĩa: Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký n  A hiệu là P( A) , được xác định bởi công thức: P( A)  , trong đó n  A và n    n  lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω. Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử) có xác suất bằng 1. Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử) xác suất bằng 0. 11
2.2. Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất Các bước tiến hành giải toán: Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu (số khả năng xảy ra). Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi). n  A Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra P  A  n  Sai lầm mà các em học sinh thường gặp phải khi giải dạng này chủ yếu là xác định sai số phần tử của không gian mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố A . Việc sai lầm này một phần là do tính toán, một phần khác là do các em chưa phân biệt rõ hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, dẫn đến tính n    sai. Một sai lầm nữa là việc xác định sai các kết quả thuận lợi cho biến cố A cụ thể là xác định thiếu hoặc thừa trường hợp, và kéo theo việc tính n  A sai. Như vậy để tìm P(A) ta chỉ cần tìm 2 con số ở tử và mẫu số với sự trợ giúp của giải tích tổ hợp. Đối với nhiều người học, tính P(A) bằng định nghĩa cố điển là bài toán khó. Tôi xin nêu một cách phân tích và tính toán như sau: Số có thể có của phép thử phụ thuộc vào phép thử, thế mà để tìm con số này nhiều bạn đã bỏ qua, không quan tâm gì đến phép thử của bài toán là thế nào. Đó là một sai lầm. Khi tìm số các trường hợp thuận lợi nếu ta đưa vào nhiều loại phép thử quá thì củng làm cho bài toán rối lên. Vì vậy khi giải bài toán này, đề nghị học sinh hãy tư duy theo các bước như sau: Hãy trả lời cho được: Ở đây phép thử là thế nào? Chưa trả lời được điều này thì đừng vội đi tìm số có thể hay số thuận lợi làm gì, vì nếu tìm, học sinh sẽ chỉ theo cảm tính, cho nên dễ bị sai hoặc không lý giải rõ ràng được. Thực ra nếu phải dùng đến giải tích tổ hợp để tìm, thì phép thử của bài toán có thể đưa về chỉ có 2 loại. Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Hãy đọc kỹ đầu bài để trà lời đúng câu hỏi này. (Bạn cần phân biệt số lần thực hiện với số cách thực hiện. Chẳngng hạn nếu lấy ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử (k ≤ n), mà thứ tự cùa các phần tử không có ý nghĩa gì thì đó là lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là một lần thực hiện (lấy cùng lúc hay lấy đồng thời). Số cách để thực hiện là Ckn ). Số cách của hoán vị, số cách thực hiện theo nghĩa của chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp,... đều có thể tìm được bằng cách dùng tổ hợp và luật tích. Như vậy học sinh hãy chọn lấy một trong hai loại phép thử chứ không phải phức tạp gì. Xác định được phép thử rồi, học sinh sẽ trả lời được ngay: - Số cách có thể cùa phép thử là bao nhiêu? - Số thuận lợi cho biến cố A là bao nhiêu? Để tìm số thuận lợi cho A ta chỉ cần gắn ràng buộc của A vào phép thử, hạn chế bớt số trưòng hợp có thể, dẫn đến số trường hợp thuận lợi cho A. Cách tìm như vậy sẽ dễ hơn là cách đưa vào một phép thử mới. Với cách phân tích như trên, về giải tích tổ hợp ta chỉ cần dùng đến tổ hợp và luật tích là đủ, không cần quan tâm đến hoán vị, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp 12
Chẳng hạn, ta xét các ví dụ sau cho 1 phép thử hay nhiều phép thử mà chỉ cần dùng tổ hợp và luật tích: Ví dụ 1. ( Phép thử 1 lần thực hiện) . Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Phân tích: Đây là một ví dụ mà học sinh hay nhầm lẫn giữa khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, giáo viên cần làm rõ cho các em từ 10 tấm thẻ lấy ra từ 30 thẻ cho trước, ta thu được duy nhất một bó thẻ mà thứ tự của các thẻ không có ý nghĩa gì . Để học sinh có thể nhớ lâu và không sai lầm khi giải dạng này giáo viên cần đặt câu hỏi cho các em: khi lấy ngẫu nhiên 10 thẻ rồi thay đổi thứ tự thẻ có thêm được kết quả khác hay không ? Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Học sinh trả lời được câu hỏi này thì cũng sẽ nắm được dùng công thức nào để tính số cách lấy. Điều này là rất quan trọng bởi vì nó quyết định đến kết quả của n    và n  A . Nếu không phân biệt được điều này thì các em sẽ tính được n      A3010 kết quả này khác rất xa so với kết quả đúng của đáp án là n      C3010 . Lời giải: Ở đây phép thử là lấy cùng lúc ra 10 cái thẻ nghĩa là 1 lần thực hiện Gọi  là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho. Suy ra   C3010 Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Gọi   là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Để tạo được 1 phần tử của   ta thực hiện liên tiếp 3 hành động đó là: lấy 5 thẻ lẻ từ 15 thẻ lẻ, lấy 1 thẻ chia hết cho 10 trong 3 thẻ 10,20,30; lấy 4 thẻ chẵn từ 12 thẻ chẵn còn lại sau khi loại 3 thẻ 10,20,30. Vậy theo luật tích:  A  C155 .C124 .C31 C155 .C124 .C31 99 Vậy P  A  10  . C30 667 Ví dụ 2. (Phép thử 1 lần thực hiện). Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên. Thí sinh X đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc. Phân tích: Đối với bài toán này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc câu: “ thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi… ” trong khi đề bài lại cho: “ Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên”. Do đó học sinh cần tư duy để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi cho biến cố A gắn với phép thử đó là bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây chỉ có 1 lần thực hiện (lấy một lúc 4 13
câu không liên quan thứ tự) , và số cách thực hiện của biến cố A trong từng trường hợp là thực hiện liên tiếp các hành động sao cho đủ 4 câu khi lấy ra. Khi đó ta phải dùng đến tổ hợp và luật tích như sau: Lời giải : Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi, n()  C204  4845 Gọi A là biến cố: “Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc” Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có C102 .C102  2025 cách Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc, có C103 .C101  1200 cách Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc, có C104  210 cách. 3435 229 Suy ra n( A)  2025  1200  210  3435 . Vậy xác suất để là P( A)   . 4845 323 Ví dụ 3. (Phép thử 1 lần thực hiện). Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thông quốc gia có 15 phòng thi gồm 6 phòng mỗi phòng có 24 thí sinh và 4 phòng mỗi phòng có 25 thí sinh. 5 phòng thi 23 thí sinh. Sau 1 buổi thi, 1 phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong số các thí sinh đã dự thi buổi đó để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất để trong 10 thí sinh được chọn phỏng vấn không có 2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phòng thi. Phân tích: Đây cũng là bài toán thực tế và cho nhiều giả thiết, đọc đề xong nhiều học sinh bị rối và nghĩ rằng đây là bài toán khó. Vì vậy học sinh khi tính toán rất dễ sai, có nhiều em không biết cách tính n    , không định hướng được việc chọn 10 em này là như thế nào. Thực ra đề cho nhiều giả thiết là để làm nhiễu và khiến cho nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu và không biết tính toán như thế nào. Nếu học sinh đọc kĩ đề thì chỉ cần thực hiện thêm một bước nữa là bài toán trở nên đơn giản hơn. Đó là tính tổng số học sinh tại điểm thi này được kết quả là 6.24 + 4.25+5.23 = 359 em. Và bài toán bây giờ trở thành bài toán chọn ngẫu nhiên 10 học sinh từ 359 học sinh. Các em dễ dàng tính được n      C359 10 . Đến phần tính n  A thì nhiều học sinh gặp khó khăn thực sự, các em không hiểu rõ cụm từ “ không có 2 thí sinh nào thuộc cùng 1 phòng thi” là phải chọn như thế nào, điều này dẫn đến không biết tính n  A ra sao. Giáo viên cần giúp học sinh hiểu rõ các cụm từ kiểu này, bởi vì chỉ cần hiểu rõ thì các em sẽ xác định được cách tính ngay. Không có 2 thí sinh nào thuộc cùng một phòng thi hiểu một cách đơn giản có nghĩa là bắt buộc phòng nào cũng có 1 em bởi vì chỉ có 10 phòng và chọn ra 10 em. Có một số học sinh hiểu được vấn đề nhưng khi tính n  A các em lại sử dụng quy tắc cộng và được kết quả n  A  6.C241  4.C251  5.C231 , công việc của giáo viên là phải làm cho các em nắm vững phần này, tránh sai lầm cho các bài tiếp theo. Cụ thể việc chọn 10 em này là công việc thực hiện liên tiếp, khi nào chọn xong thì mới hoàn thành công việc. Cho nên không thể dùng quy tắc cộng mà phải 14
dùng quy tắc nhân. Đến đây học sinh đã có thể tự giải quyết bài toán một cách đơn giản rồi. Như vậy để tính n  A ta thực hiện việc chọn 1 em từ mổi phòng và sau đó dùng quy tắc nhân và có kết quả là n  A  (C241 )6 .(C251 )4 .(C231 )5 . Và từ đó ta đi đến lời giải hoàn chỉnh như sau. Lời giải: Số thí sinh của điểm thi này là 6.24 + 4.25+5.23 = 359 em. Chọn 10 em từ 359 em để phỏng vấn ta có n      C359 10 . Để trong 10 thí sinh được chọn không có 2 em nào cùng một phòng có nghĩa là một phòng ta chỉ chọn đúng 1 em. Gọi A là biến cố “10 thí sinh được chọn không có 2 em nào cùng một phòng”. Chọn 1 em từ phòng 24 em thì có C241 cách, chọn 1 em từ phòng 25 em thì có C251 cách . Chọn 1 em từ phòng 23 em thì có C231 cách. Vì có 6 phòng 24 em và 4 phòng 25 em nên áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  (C241 )6 .(C251 )4 .(C231 )5 . (C124 )6 .(C125 )4 .(C123 )5 Xác suất của biến cố A là : P  A  = . C10359 Ví dụ 4. (Phép thử nhiều lần thực hiện). Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. Phân tích: Đây là bài toán học sinh rất dễ gặp sai lầm, sai lầm đầu tiên là khi tính n    , hầu hết các em quá chú tâm vào việc chọn bộ 3 câu hỏi cho từng thí sinh nên quên mất là phải chọn xong câu hỏi cho cả 2 em thì mới hoàn thành công việc. Vì vậy thay cho sử dụng quy tắc nhân nhiều học sinh lại sử dụng quy tắc cộng và được kết quả sai là C103  C103 . Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là mặc dù hai thí sinh thi độc lập nhưng việc chọn câu hỏi cho 2 em là công việc được thực hiện liên tiếp cho nên phải dùng quy tắc nhân. Kết quả đúng của bài toán là n     C103 .C103   C103  . 2 Sai lầm thứ hai là khi tính n(A), nhiều học sinh khi đọc đề nghĩ rằng hai em chọn đề giống nhau nên chỉ có 1 cách, một số học sinh khác lại cho rằng chọn đề cho em thứ nhất có C103 cách, và em thứ 2 cũng có C103 cách, vì câu hỏi của A và B là giống nhau cho nên n  A  C103  C103 . Giáo viên cần lưu ý cho học sinh việc chọn bộ câu hỏi cho bạn A có C103 cách, và ứng với mỗi cách chọn câu hỏi cho bạn A thì bạn B chỉ có 1 cách chọn là chọn đúng bộ 3 câu hỏi bạn A vừa chọn. Vì vậy áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  C103 .1 cách. Từ đó ta có lời giải hoàn chỉnh như sau. 15
Lời giải: Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. Vì A cũng như B đều có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ 10 câu hỏi thi nên theo quy tắc nhân, ta có n     C103 .C103   C103  . Gọi X là biến cố 2 “bộ 3 câu hỏi A chọn và bộ 3 câu hỏi B chọn là giống nhau”. Vì với mỗi cách chọn 3 câu hỏi của A, B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A nên C103 1 n  A  C103 .1  C103 . Suy ra xác suất của biến X là: P  X    . C  2 3 C103 10 Ví dụ 5. (Phép thử nhiều lần thực hiện). [THPT QUỐC GIA 2018]. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;19 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng 1027 2539 2287 109 A. . B. . C. . D. . 6859 6859 6859 323 Phân tích: Đối với bài toán này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc câu: “Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 1;19 ”. Do đó học sinh cần tư duy để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi cho biến cố A gắn với phép thử đó là bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây chỉ có 3 lần thực hiện mỗi bạn viết ngẫu nhiên là mỗi lần thực hiện, và số cách thực hiện của biến cố A trong từng trường hợp là thực hiện liên tiếp 3 hành động sao cho đủ 3 số viết ra. Khi đó ta phải dùng đến tổ hợp và luật tích như sau: Bạn A chọn một số từ 19 số có 19 cách chọn, bạn B cũng có 19 cách chọn có thể chọn số giống A, bạn C cũng có 19 cách. Áp dụng luật tích, ta có n     193 . Để tìm số thuận lợi cho biến cố A ta phân chia các trường hợp , cụ thể như sau: Lời giải: Không gian mẫu n     193 Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3” Trong các số tự nhiên thuộc đoạn 1;19 có 6 số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18 , có 7 số chia cho 3 dư 1 là 1;4;7;10;13;16;19 , có 6 số chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17 . Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau: TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3, trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1, trong trường hợp này có: 73 cách viết. TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2, trong trường hợp này có: 63 cách viết. TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1 , có một số chia cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết. 63  73  63  6.7.6.3! 2287 Vậy xác suất cần tìm là: p  A   . 193 6859 16
Ví dụ 6. (Phép thử nhiều lần thực hiện). Giải bóng chuyền do sở X tổ chức nhân dịp 8-3 gồm 12 đội tham dự trong đó có 9 đội các trường THPT và 3 đội phòng giáo dục . Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của phòng giáo dục ở 3 bảng khác nhau. Phân tích: Đây là bài toán mà học sinh dễ sai lầm nhất và phần lớn các em đều tính sai kết quả. Sai lầm đầu tiên mà các em gặp phải đó là khi tính n    , khi chia bảng đội bóng mỗi bảng có 4 đội từ 12 đội nhiều học sinh tính được kết quả là n    C124 .3!, nguyên nhân là do các em nghĩ rằng chỉ cần chọn một bảng rồi hoán vị các bảng cho nhau. Đây cũng là sai lầm phổ biến nhất, một số học sinh khác thì lại tính được n     C124 .3 , các em này lại có suy nghĩ đơn giản hơn là vì có 3 nhóm nên chỉ cần nhân 3 là được. Có học sinh thì đưa ra công thức đúng nhưng dùng quy tắc cộng và được kết quả n    C124  C84  C44 cũng sai. Để học sinh tránh được sai lầm và tính kết quả đúng giáo viên phải nhắc lại cho các em về quy tắc nhân, sau đó phân tích cho các em rõ phép thử ở đây là 3 lần thực hiện liên tiếp , mỗi lần ta chọn 4 đội vào bảng và sự phân chia đội về 3 bảng này diễn ra liên tiếp vì vậy phải dùng luật tích và các bảng này không có ưu tiên nên ta chọn bảng nào trước cũng được. Từ đó giáo viên đưa ra công thức tính kết quả n     C124 .C84 .1 . Sai lầm tiếp theo học sinh gặp phải là khi tính n  A , tương tự như khi tính n    các em sử dụng các công thức C124 .3! hoặc C124 .3 , sai lầm nữa là do học sinh dùng quy tắc cộng và có em sử dụng đúng quy tắc nhân nhưng lại chỉ chú trọng việc phân chia các đội của phòng giáo dục mà quên mất còn phải phân chia các đội của các trường THPT dẫn đến kết quả sai là C31.C21 .C11 . Để phân tích giúp học sinh tránh sai lầm đối với bài tập loại này điều đầu tiên là giáo viên phải hiểu được suy nghĩ của học sinh, tại sao các em lại đưa ra công thức đó. Và một lần nữa giáo viên nhấn mạnh cho học sinh về cách dùng tổ hợp và luật tích, yêu cầu phân chia ở đây là ra 3 cho nên phải phân chia xong cả 3 bảng thì mới hoàn thành công việc (phép thử phải thực hiện 3 lần), vì vậy phải dùng quy tắc nhân. Vì vậy khi chọn đội bóng cho bảng A ta chọn 3 đội THPT từ 9 đội THPT và 1đội phòng giáo dục từ 3 đội phòng giáo dục nên có C93 .C31 cách, khi đó chọn đội cho bảng B ta có C63 .C21 cách và cuối cùng chọn bảng C có C33 .C11 cách. Từ đó áp dụng quy tắc nhân ta tính được n  A  C93 .3.C63 .2.1 Lời giải: Chia 12 đội thành 3 bảng, mỗi bảng 4 đội ta tiến hành các bước sau: chọn 4 đội cho bảng A có C124 cách, chon 4 đội cho bảng B có C84 cách, chọn 4 đội cho bảng C có C44 cách. Theo quy tắc nhân ta có n     C124 .C84 .1 . 17
Vì mỗi bảng có 1 đội PGD cho nên lần 1: Chọn 3 đội THPT cho bảng A có C93 và chọn 1 đội PGD cho bảng này có C31 cách; lần 2: chọn 3 đội THPT cho bảng B có C63 cách, chọn 1 đội PGD cho bảng này có C21 cách; lần 3: chọn 3 đội THPT cho bảng C có C33 cách và chọn 1 đội PGD còn lại thì có 1 cách. Gọi A là biến cố “chia 3 bảng trong đó 3 đội bóng của phòng giáo dục ở 3 bảng khác nhau ”, áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  (C93.C31 ).(C63.C21 ).(C33.C11 ) hay n  A  C93 .3.C63 .2.1 . C93 .3.C63 .2.1 16 Từ đó ta có P  A  4 4  . C12 .C8 .1 55 Ví dụ 7. (Phép thử nhiều lần thực hiện). Trong cuộc thi an toàn giao thông học đường có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để tiếp tục cuộc thi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Phân tích: Đây cũng là một bài toán phân chia nhóm giống bài toán 7 và bài toán 8, chỉ khác là ở đây việc chia nhóm của biến cố A hơi khác một chút so với các bài toán trên. Như vậy sau khi phân tích giống hai bài toán trên thì học sinh sẽ tính được n     C205 .C155 .C105 .C55 . Tuy nhiên nếu tính tiếp n  A thì các em lại gặp một số sai lầm sau đây. Sai lầm thứ nhất là vì chỉ có 5 bạn nữ cho nên chọn nhóm nữ thì các em kết luận chỉ có một cách, sau đó chia 15 bạn nam ra 3 nhóm các em tính được C155 .3! , đây cũng là sai lầm khá phổ biến đối với học sinh khi giải bài toán này. Cần làm rõ cho học sinh biết rằng ở đây có 4 nhóm khác nhau cho nên việc chọn nhóm cho 5 bạn nữ sẽ có 4 cách, và phân tích tiếp cho các em việc chia nhóm ở đây là chia ra 3 nhóm với số người giống nhau là 5 người. Cho nên ta phải chọn người cho từng nhóm 1. Cụ thể sau khi chọn nhóm cho nữ có 4 cách thì ta còn 3 nhóm cho 15 bạn nam. Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có C155 , chọn 5 em cho nhóm thứ 2 có C105 , và chọn 5 em cho nhóm cuối cùng có C55 . Áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  4.C155 .C105 .C55 . Đến đây thì thay vào công thức ta có xác suất của biến cố A . Lời giải: Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có C205 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 2 có C155 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 3 có C105 cách, và chọn 5 em cho nhóm cuối cùng có C55 cách. Từ đó ta có n    C205 .C155 .C105 .C55 . Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. Chọn nhóm cho 5 bạn nữ có 4 cách, còn 15 bạn chia vào 3 nhóm còn lại. Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có C155 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 2 có C105 cách, và chọn 5 em cho nhóm cuối cùng có C55 . Áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  4.C155 .C105 .C55 . n  A 4 Xác suất của biến cố A là: P  A   5 . n    C20 18
Nhận xét: Ta có kết quả tổng quát hơn như sau: số cách chia n phần tử ra thành k nhóm nhỏ với số phần tử trong mỗi nhóm là n1 , n2 ,....nk ,tất nhiên n1  1; n1  n2  ....  nk  n . Theo tổ hợp và luật tích ta có số cách là: n! n  A  Cnn1 .Cnn2 ...1  . Ở đây thứ tự các nhóm là cố định trước và các n1 !.n2 !.n3 !...nk ! phần tử được coi là khác nhau thậm chí chúng giống nhau hoàn toàn. Ví dụ 8. (Phép thử nhiều lần thực hiện). Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Năm bạn nam ngồi gần nhau. Phân tích: Phép thử ở đây 10 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số còn lại vào 1vị trí. Vì đây chỉ là sắp xếp 10 bạn nên có 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  10!. Tuy nhiên đến phần tìm n  A , n  B  thì các em lại thường tính sai. Sai lầm đầu tiên khi các em sắp xếp nam và nữ xen kẽ các em thường chỉ tính một trường hợp là nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, mà quên mất trường hợp còn lại là nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam nữ, nam ,nữ, nam. Vì vậy mà kết quả các em thường chỉ được 5!.5!. Khi tính các kết quả thuận lợi cho biến cố ở câu b phần lớn các em học sinh chỉ tính một trường hợp là 5 bạn nam ngồi vị trí 1,2,3,4,5 và tiếp theo là 5 bạn nữ. Vì vậy kết quả các em tính được là 5!.5!. Một số em thì tính thêm trường hợp 5 bạn nam ngồi sau và 5 bạn nữ ngồi trước, và được kết quả là 5!.5! 5!.5!. Sai lầm này là do một số em nghĩ rằng nam ngồi gần nhau thì nữ cũng ngồi gần nhau, do đó không tính hết các trường hợp để 5 bạn nam ngồi cạnh nhau. Để tránh được các sai lầm này thì khi giải toán giáo viên nên cho các em đọc kỹ đề, phân tích rõ biến cố như ở câu b chỉ cần 5 bạn nam ngồi kề nhau còn các bạn nữ thì ngồi tự do ở 5 ghế còn lại. Giáo viên cũng cần chỉ rõ cho học sinh các trường hợp để 5 bạn nam ngồi kề nhau, đó là 5 bạn nam ngồi ở số ghế 1 đến 5, 2 đến 6, 3 đến 7, 4 đến 8, 5 đến 9 và 6 đến 10. Như vậy là có 6 trường hợp xảy ra, và ứng với mỗi trường hợp thì ta hoán vị 5 bạn nam với nhau, 5 bạn nữ với nhau và số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 6.5!.5!. Bài toán được giải chính xác như sau. Lời giải: n()  10! Gọi A là biến cố: “Xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ vào 10 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”, ta có n  A  5!.5! 5!.5!. Và B là biến cố: “Xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ vào 10 ghế kê theo hàng ngang mà 5 bạn nam ngồi cạnh nhau”, ta có n  B   6.5!.5! . n  A 1 n  B 1 Suy ra P  A   ; P  B   . n    126 n    42 19
Ví dụ 9. (Phép thử nhiều lần thực hiện). [Tham khảo THPTQG 2019]. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 5 10 Phân tích: Phép thử ở đây 6 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số còn lại vào 1 vị trí. Vì đây chỉ là sắp xếp 6 bạn nên có 6.5.4.3.2.1  6! . Tuy nhiên đến phần tìm n  A thì các em lại thường tính sai. Ta có thể tham khỏa lời giải sau: Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu là   6!  720 . Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ . Ta có: Xếp 3 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách. Xếp 3 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách. Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 23 cách. A 288 2 Suy ra A  3!.3!.23  288 . Vậy P  A    .  720 5 Ví dụ 10. (Phép thử nhiều lần thực hiện). Một đoàn tàu có 4 toa tiến vào sân ga, ở đó có 10 hành khách đang chờ từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để: a) Tất cả cùng lên một toa b) Toa I có 3 hành khách,toa II có 4 hành khách, toa III có 1 hành khách, còn lại toa IV . c) M ột toa có 3 hành khách, một toa có 5 hành khách và một toa 2 có hành khách,còn 1 toa không có khách nào. Phân tích: Đây là một dạng toán thực tế mà học sinh gặp khá nhiều và được ra ở nhiều tình huống khác nhau. Ví dụ như chọn toa tàu, chọn quán mua đồ, chọn phòng học,... Đa phần các em không biết rằng đây là bài toán sắp xếp nhưng không ràng buộc điều kiện, có nghĩa là hành khách lên tùy ý, một toa có bao nhiêu khách lên cũng được. Từ đây giáo viên cần làm rõ cho học sinh chúng ta phải chọn toa cho các hành khách và khi nào chọn xong cho cả 10 hành khách thì mới hoàn thành công việc. Vì vậy phép thử ở đây là: Mỗi người chọn cho mình một toa. Do đó có 10 lần thực hiện ( ai không chọn thì người đó ko lên tàu). Mỗi lần chọn là chọn 1 trong 4 toa nên có C41  4 cách chọn. Theo luật tích ( quy tắc nhân) ta có số có thể có của phép thử là n    4.4.4.4.4.4.4.4.4.4  410 ( đây chính là số cách để 10 người lên tàu). 20