Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của Đại số 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của Đại số 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)" nhằm đề xuất được quy trình các bước phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS thông qua dạy học giải các bài toán liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của Đại số 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC BÀI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ HÀM SỐ BẬC HAI CỦA ĐẠI SỐ 10 (BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG) LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NĂM HỌC 2022 - 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC BÀI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ HÀM SỐ BẬC HAI CỦA ĐẠI SỐ 10 (BỘ SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG) LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả: Nguyễn Văn Hậu Số điện thoại: 0814271188 Tổ chuyên môn: Toán - Tin Năm thực hiện: 2022 - 2023 NĂM HỌC 2022 - 2023
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ........................................................................................ 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................... 1 II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI......................................................... 2 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ......................................................................... 2 IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................. 3 VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI ........................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 4 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................................... 4 1. Khái niệm mô hình hoá toán học ................................................................. 4 1.1. Mô hình và mô hình hoá ........................................................................ 4 1.2. Mô hình hình hoá toán học .................................................................... 4 2. Quy trình mô hình hoá trong dạy học Toán .................................................. 4 3. Năng lực mô hình hoá toán học ................................................................... 5 3.1. Năng lực ................................................................................................ 5 3.2. Năng lực toán học.................................................................................. 5 3.3. Năng lực mô hình học toán học ............................................................. 5 3.3.1. Năng lực mô hình học toán học ....................................................... 5 3.3.2. Yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình học toán học ....................... 6 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN ...................................................................................... 7 1. Bài toán mô hình hoá trong chương trình Toán trung học phổ thông ........... 7 2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong chương trình hiện hành và trong các đề thi ............ 7 2.1. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống) ..................................................................................................... 7 3. Thực trạng giảng dạy của giáo viên ............................................................. 8 4. Thực trạng học tập của học sinh................................................................... 9 III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN .................................................... 9 1. Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai ......................................................................................................... 9 1.1. Hệ thống kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................ 9 1.1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ..................................................... 9 1.1.2. Biểu diển miền nghiện của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ ................................................................................ 9
1.1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn .............................................. 10 1.1.4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ .............................................................................. 10 1.1.5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ........................ 11 1.2. Hệ thống kiến thức về hàm số bậc hai ................................................. 11 1.2.1. Định nghĩa .................................................................................... 11 1.2.2. Bảng biến thiên ............................................................................. 11 1.2.3. Đồ thị ............................................................................................ 12 2. Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai với phát triển năng lực mô hình hoá ...................................... 12 3. Các bước thiết lập mô hình hoá các bài toán đại số 10 trong bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai ............................................. 13 4. Một số mô hình toán học sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh............... 13 4.1. Khai thác một số bài toán thực tiễn ứng dụng mô hình đồ thị đồ thị hàm số bậc hai ............................................................................................ 13 4.2. Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng mô hình hàm số bậc hai .......... 19 4.3. Bài toán thực tế sử dụng mô hình toán học hàm số bậc hai trong môn Vật lý lớp 10....................................................................................... 25 4.3.1. Phương trình chuyển động của ném ngang .................................... 25 4.3.2. Phương trình chuyển động của ném xiên: ...................................... 25 4.4. Khai thác một số bài toán thực tiến ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn............................................................................................ 30 5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất .................. 39 5.1. Mục đích khảo sát................................................................................ 39 5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát...................................................... 39 5.2.1. Nội dung khảo sát ......................................................................... 39 5.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ....................................... 40 5.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................. 40 5.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất ................................................................................................... 40 5.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất....................................... 40 5.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ........................................... 42 6. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 43 6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 43 6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................................... 43
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................... 43 6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm .................................... 43 6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................... 43 6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá ........................................................... 44 6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm......................................................... 44 6.4.1. Một số nhận xét chung .................................................................. 44 6.4.2. Phân tích định tính ........................................................................ 44 6.4.3. Phân tích định lượng ..................................................................... 45 PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 48 I. KẾT LUẬN ................................................................................................... 48 II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI....................................................... 48 III. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ....................................................... 48 IV. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT .............................................................. 48 1. Đối với nhà trường..................................................................................... 48 2. Đối với giáo viên ....................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ đầy đủ 1 ĐC Đối chứng 2 GV Giáo viên 3 HS Học sinh 4 MHH Mô hình hóa 5 SGK Sách giáo khoa 6 THPT Trung học phổ thông 7 THCS Trung học cơ sở 8 TN Thực nghiệm
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong những năm gần đây với sự phát triển của công nghệ số và sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin thì Toán học có vai trò rất quan trọng vào sự phát triển ấy, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết được nhiều vấn đề trong thực tế một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Điều đó đòi hỏi giáo dục phổ thông cần phải thay đổi để đáp ứng được với tốc độ phát triển đó. Nghị quyết Hội nghị Ban chấp hành Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực." Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hoá là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu: “Thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; Lí giải được tính đúng đắn của lời giải. Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn để đưa đến những bài toán giải được”. (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018). Mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình hóa toán học là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học. Trong đó, mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa… Trong chương trình môn Toán lớp 10 với cả ba bộ sách giáo khoa hiện hành vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và Hàm số bậc hai có mỗi liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học. Các nội dung này có tiềm năng rất lớn trong việc phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh. Thực tế sách giáo khoa chương trình mới trong các bài học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai đã đưa ra một số bài toán thực tiễn 1
nhưng còn quá ít so với nhu cầu cần tìm hiểu của học sinh và giáo viên. Mặt khác tài liệu liên quan đến các bài toán thực tiễn theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 để giáo viên tham khảo không nhiều. Hơn nữa trong quá trình dạy chương trình mới còn gây nhiều sự lúng túng với giáo viên hiện nay. Phương pháp dạy học mô hình hoá còn khá lạ lẫm với nhiều giáo viên, không ít giáo viên còn ngại tìm hiểu và thay đổi để đáp ứng yêu cầu đổi mới của chương trình. Với những lí do trên, Tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua khai thác bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai của Đại số 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống)”. II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới đó là khai thác kiến thức của hàm số bậc hai, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải các bài toán thực tiễn theo hướng mô hình hoá nhằm mục đích phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh (HS). Thứ hai, đề tài đã trình bày quan điểm phát triển năng lực mô hình hóa cho HS thông qua khai thác bài toán thực tiễn áp dụng kiến thức hàm số bậc hai và bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Khẳng định phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS là một vấn đề cần thiết và quan trọng trong dạy học. Đặc biệt phát triển năng lực mô hình hóa toán học phù hợp với xu thế phát triển năng lực của chương trình đổi mới giáo dục phổ thông. Thức ba, đề tài cũng đã đề xuất được quy trình các bước phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS thông qua dạy học giải các bài toán liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong thực tế. Thứ tư, đề tài đã góp phần phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho HS. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 10, 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi HSG và kỳ thi đánh giá năng lực của các trường Đại học năm học 2022 -2023. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Điều tra thực trạng về việc sử dụng phương pháp mô hình hoá, tình hình dạy và học vấn đề bài toán thực tế ở trường THPT. Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc hai qua SGK lớp 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống) và các tài liệu tham khảo. Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán thực tế giải bằng áp dạng kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc hai phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường lớp 10. Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với đồng nghiệp qua đó thấy được sự hiệu quả 2
của việc áp dụng đề tài đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để giải các bài toán thực tế; phương pháp dạy học mô hình hoá cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn toán nói chung. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Mô hình, mô hình hoá toán học Năng lực mô hình hoá toán học HS lớp 10, 12 bậc trung học phổ thông. Giáo viên (GV) dạy toán bậc trung học phổ thông. Tài liệu về phương pháp dạy học, Đại số 10. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp phân tích - tổng hợp Phương pháp điều tra, phân tích. Phương pháp thống kê, xử lí số liệu Phương pháp thực nghiệm. VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận 3
PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Khái niệm mô hình hoá toán học 1.1. Mô hình và mô hình hoá Mô hình được dùng để mô tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho vật mẫu. Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề nào đó xuất phát từ tình huống thực tiễn. 1.2. Mô hình hình hoá toán học Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đăng trên Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh với bài viết Mô hình hóc trong dạy đạo hàm, mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. Do đó, mô hình hóa toán học có thể được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học. Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình huống toán học tuân theo một quy trình với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết toán học từ đó học sinh dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn. 2. Quy trình mô hình hoá trong dạy học Toán Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu,… mà chúng ta có những sơ đồ khác nhau để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn. Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình mô hình hóa như sau: Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mô hình trung gian bằng cách chuyển ngữ, loại bỏ hoặc thêm vào một số dữ kiện để vấn đề cần giải quyết trở nên rõ ràng hơn và khả thi hơn. Có thể xuất hiện nhiều mô hình trung gian cùng lúc, yêu cầu người học phải lựa chọn, hoặc lần lượt trải qua. Bước 2: Chuyển mô hình trung gian ở bước 1 thành mô hình thuần tuý toán học. Trong đó, các đối tượng, mối quan hệ đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học. Người học có thể phải đối diện trước nhiều mô hình toán học. 4
Bước 3: Trước câu hỏi toán học được đặt ra trong bước 2, người học buộc phải huy động các kiến thức toán học để đưa ra một câu trả lời, cũng mang bản chất toán học. Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” ở bước 3 được biên dịch thành câu trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu. Có thể xuất hiện khả năng câu trả lời không phù hợp với bối cảnh thực tế ban đầu do lời giải toán học ở bước 3 có vấn đề, hoặc do mô hình toán học được xây dựng ở bước 2 chưa thoả đáng, hoặc có thể do mô hình trung gian ở bước 1 chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế. 3. Năng lực mô hình hoá toán học 3.1. Năng lực Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong thực tế có nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, tổng hợp từ các khái niệm và cách tiếp cận về năng lực, có thể rút ra một số điểm chung như sau: - Năng lực hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong một bối cảnh và điều kiện nhất định. - Năng lực bao gồm những yếu tố về kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc tính cá nhân như: xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,... - Năng lực chính là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và tiếp nhận được thông qua quá trình học tập và rèn luyện của người học. Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một tình huống nhất định. 3.2. Năng lực toán học Năng lực toán học là thuộc tính cá nhân, hình thành và phát triển thông qua quá trình học tập và rèn luyện. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học, gồm các thành phần cơ bản: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 3.3. Năng lực mô hình học toán học 3.3.1. Năng lực mô hình học toán học Theo Đỗ Thị Thanh (2020), năng lực mô hình hoá toán học là kĩ năng ứng dụng, thông hiểu, diễn tả - giao lưu và giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình hoá toán học. Maab (2006) quan niệm năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng 5
và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa, nhằm đạt được mục tiêu xác định, sẵn sàng đưa ra những hành động. Trong đề tài này tôi định nghĩa, năng lực mô hình hoá toán học là năng lực của cá nhân thực hiện được hoạt động mô hình hoá toán học và giúp cho quy trình mô hình hoá toán học diễn ra nhanh, dễ dàng và đạt hiệu quả cao trong quá trình giải quyết tình huống thực tiễn. Các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học như sau: i) Đơn giản giả thuyết ii) Làm rõ mục tiêu iii) Thiết lập vấn đề iv) Xác định biến, tham số, hằng số v) Thiết lập mệnh đề toán học vi) Lựa chọn mô hình vii) Biểu diễn mô hình thích hợp viii) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn 3.3.2. Yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình học toán học Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo), yêu cầu cần đạt của năng lực mô hình hoá toán học cho từng cấp học được thể hiện trong bảng sau: Thành phần Yêu cầu cần đạt cho từng cấp học năng lực Cấp tiểu học Cấp THCS Cấp THPT - Xác định được - Lựa chọn được - Sử dụng được các - Thiết lập được mô hình toán học các phép toán, mô hình toán học mô hình toán học (gồm công thức, công thức số học, (gồm công thức (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, bảng biểu, toán học, sơ đồ, phương trình, sơ bảng biểu, đồ hình vẽ để trình bảng biểu, hình vẽ, đồ, hình vẽ, bảng thị,...) cho tình bày, diễn đạt (nói phương trình, hình biểu, đồ thị,...) để huống xuất hiện hoặc viết) được biểu diễn,...) để mô mô tả tình huống trong bài toán thực các nội dung, ý tả tình huống xuất đặt ra trong một số tiễn. tưởng của tình hiện trong một số bài toán thực tiễn. huống xuất hiện bài toán thực tiễn trong bài toán thực không quá phức tiễn đơn giản. tạp. - Giải quyết được - Giải quyết được - Giải quyết được - Giải quyết được những vấn đề toán những bài toán những vấn đề toán những vấn đề toán học trong mô hình xuất hiện từ sự lựa học trong mô hình học trong mô hình được thiết lập. chọn trên. được thiết lập. được thiết lập. 6
Thành phần Yêu cầu cần đạt cho từng cấp học năng lực Cấp tiểu học Cấp THCS Cấp THPT - Thể hiện và đánh - Nêu được câu trả - Thể hiện được - Lí giải được tính giá được lời giải lời cho tình huống lời giải toán học đúng đắn của lời trong ngữ cảnh xuất hiện trong bài vào ngữ cảnh thực giải (những kết thực tế và cải tiến toán thực tiễn. tiễn và làm quen luận thu được từ được mô hình nếu với việc kiểm các tính toán là có cách giải quyết chứng tính đúng ý nghĩa, phù hợp không phù hợp. đắn của lời giải. với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để đưa đến những bài toán giải được. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Bài toán mô hình hoá trong chương trình Toán trung học phổ thông Các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thông không nhiều, cơ bản đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán này không hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả hình dáng Parabol, bài toán giao thông, bài toán kinh tế, chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,... Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả nhằm trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp". Nói như vậy không có nghĩa là các bài toán trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những bài toán có nội dung thực tiễn đó là cầu nối đầu tiên nối liền toán học với cuộc sống. 2. Thực trạng các bài toán thực tiễn phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai trong chương trình hiện hành và trong các đề thi 2.1. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 (Bộ sách kết nối tri thức với cuộc sống) Chương trình sách giáo khoa (SGK) môn Toán 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống) bài bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bài hàm số bậc hai đã xuất hiện các bài toán liên hệ với thực tiễn với số lượng rất ít ỏi. Cụ thể, xét trong chương trình SGK như sau: - SGK Toán 10 tập 1 (Kết nối tri thức với cuộc sống) trong bài hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn có 3 bài toán thực tế 7
- SGK Toán 10 tập 2 (Kết nối tri thức với cuộc sống) bài hàm số bậc hai đã đưa ra 7 bài toán thực tế. Từ số liệu trên chúng ta nhận thấy số lượng bài toán thực tiễn còn quá ít. Trong khi đó nội dung ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất và hàm số bậc hai có tiềm năng rất lớn để phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua giải quyết các bài toán thực tiễn. Do đó, học sinh cảm thấy môn Toán chưa thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc. Bên cạnh đó, giáo viên vì gặp nhiều khó khăn trong việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn trong việc tìm tòi các ví dụ từ đó dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ các bài toán thực tiễn mà không biết rằng những bài toán như vậy mới có thể hấp dẫn và lôi cuốn học sinh vào môn học của mình, giúp học sinh có thể liên hệ những kiến thức học được vào các tình huống bắt gặp trong cuộc sống. 3. Thực trạng giảng dạy của giáo viên (Tư liệu minh chứng tại Phụ lục 2) Đa số giáo viên đều đánh giá cao những hoạt động mô hình hoá trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác tình huống thực tế vào dạy học và sử dụng mô hình hóa còn nhiều khó khăn và hạn chế. Mặt khác cũng có không ít giáo viên có năng lực hướng dẫn cho học sinh giải quyết những tình huống thực tế ngoài sách giáo khoa. Phải khẳng định rằng việc tìm ra các tình huống liên quan đến thực tiễn hoặc các mô hình toán học để minh họa cho bài giảng đòi giáo viên phải có sự tìm tòi, suy nghĩ tích cực và mất nhiều thời gian trong khi sự am hiểu các lĩnh vực của cuộc sống của nhiều giáo viên còn hạn chế và thực trạng “thi gì, học nấy” vẫn còn tồn tại. Do đó, năng lực năng lực của giáo viên còn hạn chế, đặc biệt là năng lực thành lập và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa còn rất ít, hoạt động thực hành theo dự án còn hạn chế nên năng lực này rất kém. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn Toán, giao lưu chuyên môn với nhiều trường bạn tôi thấy vấn đề phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh còn nhiều hạn chế. Nó xảy ra ở cả phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách học tập của học sinh. Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông, không ít giáo viên ngại thay đổi phương pháp để đáp ứng với yêu cầu ngày càng cao của ngành. Phương pháp dạy học mô hình hoá còn khá lạ lẫm với nhiều giáo viên. Giáo viên chỉ chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, rập khuôn, máy móc về cách giải chưa thực sự chú trọng đưa ra các mô hình, các tình huống trong thực tiễn để áp dụng kiến thức vào giải các bài toán trong thực tiễn. Năng lực mô hình hóa của giáo viên còn nhiều hạn chế. Do đó không phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành và phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh. 8
4. Thực trạng học tập của học sinh (Tư liệu minh chứng tại Phụ lục 3) Năng lực mô hình hóa của cả giáo viên và học sinh còn nhiều hạn chế. Hầu hết học sinh đều không giải quyết trọn vẹn các bài tập mô hình hóa, đặc biệt là năng lực thành lập và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống; Học sinh THPT còn ngại học Toán, yếu Toán là do kiến thức bị hổng từ các cấp dưới, hơn nữa chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong quá trình học tập; Học sinh vẫn còn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng tạo của bản thân; Rất nhiều học sinh chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn chưa cao; Đa số học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài toán đúng hay sai, hoặc là hài lòng với lời giải của mình; ít tìm tòi lời giải khác, không khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới. Đặc biệt học sinh còn khá lúng túng với các bài toán thực tế nên không phát huy được nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1. Hệ thống các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai 1.1. Hệ thống kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1.1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y có dạng tổng quát là ax  by  c (1) ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c  trong đó a , b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. Cặp số x 0 ; y 0  được gọi là nghiệm của bất phương trình (1) nếu bất đẳng thức ax 0  by 0  c đúng 1.1.2. Biểu diển miền nghiện của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình (1). 9
- Nửa mặt phẳng không kể bờ là đường thẳng  : ax  by  c gồm các điểm có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c . - Nửa mặt phẳng còn lại không kể bờ là đường thẳng  : ax  by  c gồm các điểm có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c . Bờ gồm các điểm có toạ độ x ; y  thoả mãn ax  by  c . Ta có quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c như sau (tương tự cho bất phương trình ax  by  c ) Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường thẳng  : ax  by  c . Bước 2. Lấy một điểm M 0 x 0 ; y 0  không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu O   ). Bước 3. Tính ax 0  by0 và so sánh ax 0  by0 với c . Bước 4. Kết luận Nếu ax 0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M 0 là miền nghiệm của ax  by  c . Nếu ax 0  by 0  c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M 0 là miền nghiệm của ax  by  c . Chú ý Để biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình ax  by  c ; ax  by  c ; ax  by  c  ta cũng làm 4 bước như trên. 1.1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Cặp số x 0 ; y 0  được gọi là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi x 0 ; y 0  đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó. 1.1.4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. - Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. - Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn * Bước 1. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. * Bước 2. Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 10
1.1.5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp tìm cực trị của biểu thức F  ax  by trên một miền đa giác Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  ax  by ( a , b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0) với x , y thỏa mã hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có miền nghiệm là miền đa giác A1A2 ...Ai Ai 1 ...An ). Phương pháp Bước 1. Tìm miền đa giác A1A2 ...Ai Ai 1 ...An là miền nghiệm của hệ bất phương trình. Bước 2. Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 , ..., An . Bước 3. Tính F x i ; y i  trong đó Ai x i ; y i  với i  1 , 2 ,..., n là toạ độ các đỉnh của đa giác miền nghiệm. Bước 4. Kết luận  Giá trị lớn nhất M  max F x i , yi . i 1,2,...n  Giá trị lớn nhất m  min F x i  , yi . i 1,2,...n 1.2. Hệ thống kiến thức về hàm số bậc hai 1.2.1. Định nghĩa Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y  ax 2  bx  c với a  0 . Chú ý: + Hàm số bậc hai có tập xác định là D   . + Khi a  0 , b  0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y  bx  c . + Khi a  b  0 , hàm số trở thành hàm hằng y c . 1.2.2. Bảng biến thiên a 0 a 0  b  + Khi a  0 , hàm số đồng biến trên khoảng  ;  và nghịch biến trên   2a       b  khoảng ;   .       2a   b  + Khi a  0, hàm số đồng biến trên khoảng ;   và nghịch biến trên       2a  11
 b  khoảng  ;  .   2a      1.2.3. Đồ thị Đồ thị hàm số y  ax 2  bx  c, a  0 là một parabol có:  b  + Đỉnh I  ;   .    2a  4a    b + Trục đối xứng là đường thẳng x   . 2a + Bề lõm hướng lên trên nếu a  0 , hướng xuống dưới nếu a  0. + Giao điểm với trục tung là M 0; c  . + Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax2 bx c  0 . a 0 a 0 2. Tìm hiểu quan hệ giữa khai thác hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai với phát triển năng lực mô hình hoá Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã khẳng định, Mô hình hóa toán học là một trong những năng lực đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho HS phổ thông. Thực tế có nhiều cách tiếp cận để dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học. Trong đề tài này, tôi lựa chọn cách tiếp cận thông qua việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai. Vấn đề đặt ra là tại sao giải bài toán về khai thác ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có thể phát triển được năng lực mô hình hóa cho HS? Thứ nhất, nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai có mỗi liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn, có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học. Các nội dung này có tiềm năng rất lớn trong việc phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh. Thứ hai, chúng ta biết rằng, một bài toán thực tiễn sẽ có nhiều cách sử dụng các ngôn ngữ và công cụ toán học khác nhau để tìm ra cách giải. Tuy nhiên, các cách giải đó cần chỉ ra được các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm trong bài toán, mối quan hệ giữa các yếu tố đó làm căn cứ để xác định các bước giải bài toán theo một trình tự 12
logic. Các yếu tố này tạo nên mô hình toán học của bài toán thực tiễn. Do vậy, có thể hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để giải các bài toán thực tiễn có liên quan. Tùy theo mục đích và yêu cầu dạy học, giáo viên có thể phân loại hệ thống bài tập bằng các tiêu chí khác nhau để khai thác bài toán về ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai, tạo hứng thú và niềm say mê toán học cho học sinh. 3. Các bước thiết lập mô hình hoá các bài toán đại số 10 trong bài hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai Bước 1: Tìm hiểu tình huống thực tiễn và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố. Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài toán có liên đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc hàm số bậc hai. Sắp xếp các mối quan hệ và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic. Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học (Toán học hoá). Bước 3: Dùng công cụ toán học (ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hàm số bậc hai) và các vấn đề liên quan để giải bài toán đã được thiết lập. Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và kết luận. Đánh giá lời giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài toán. Từ đó, đưa ra kết luận về MHHTH cho bài toán thực tiễn ban đầu. 4. Một số mô hình toán học sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hàm số bậc hai để phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh 4.1. Khai thác một số bài toán thực tiễn ứng dụng mô hình đồ thị đồ thị hàm số bậc hai y B h OA = 2,26m AB = 20m 20m O A x Ảnh chụp lại từ trang izdesigner.blogspot.com Ví dụ 1: Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (xem hình vẽ). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp là 27m, chiều cao tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m. Tính độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất)? 13
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi gợi ý như sau: Đề bài yêu cầu cần xác định gì? Trụ tháp cầu có hình dạng gì? Nó là đồ thị của hàm số nào? Hãy chọn hệ trục toạ độ Oxy để thiết lập công thức hàm số đó. Độ cao h của đỉnh trụ tháp cầu tính như thế nào? HS: Huy động các kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và biết cách tạo ra hệ toạ độ Oxy hợp lý qua đó xác định được công thức của parabol là hình dáng của trụ tháp cầu từ đó tìm được toạ độ đỉnh của parabol và tính được chiều cao của trụ tháp cầu. Bước 2: (Toán học hoá) GV giúp HS chuyển đổi tình huống thực tế ban đầu sang ngôn ngữ toán học: Ta có thể phát biểu bài toán thực tế trên như sau. “Xác định tung độ đỉnh của parabol P  : y  ax 2  bx , biết rằng P  đi qua 27 điểm B 2, 26; 20 và có trục đối xứng là đường thẳng x  ” 2 Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học y B h OA = 2,26m AB = 20m 20m O A x P  : y  ax 2  bx . Theo bài ra ta có 27 trục đối xứng là đường thẳng x   b  27a . (1) 2 Đồ thị đi qua điểm B 2, 26; 20 nên ta có: 2, 262.a  2,26.b  20 . (2) Từ (1), (2) ta tìm được: 50000 1350000 50000 2 1350000 a  ,b   P  : y   x  x. 139781 139781 139781 139781 Do đó tung độ đỉnh là y  65, 2m Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: Chiều cao của đỉnh trụ tháp là 65,2m . 14