Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tiếp cận để giải quyết các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là đổi mới dạy học theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. Tạo động lực để giáo viên và học sinh tìm hiểu là tìm ra giải pháp hữu hiệu khắc phục khó khăn cho học sinh trong nhiều bài toán khó về mũ và lôgarit, tạo hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tiếp cận để giải quyết các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit

MỤC LỤC Trang ̣ A. ĐĂT VÂN ĐÊ ́ ̀ 2 B. NỘI DUNG NGHIÊN CƯU ́ 4 ́ ̣ ̣ ̣ I. Tiêp cân các bài toán vân dung cao mũ, lôgarit băng đô ̀ ̉i biên sô. ́ ́ 4 ̉ ̣ 1. Đôi qua môt biên ́ 4 ̉ 2. Đôi qua nhiêu biên ̀ ́ 21 ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ưng. II. Tiêp cân các bài toán vân dung cao mũ, lôgarit băng ham đăc tr ̀ ̀ 26 ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ 1. Cac bai toan gia thiêt xuât hiên mũ 26 ̉ ́ ̣ ̉ ương hoăc hiêu lôgarit 2. Cac bai toan gia thiêt xuât hiên lôgarit cua th ́ ̀ ́ ́ ̣ ̣ 31 ́ ̀ ́ ̉ ́ ̉ 3. Cac bai toan gia thiêt ca mu va lôgarit ̃ ̀ 35 ́ ̣ ̣ ̣ III. Tiêp cân các bài toán vân dung cao mũ, lôgarit ch ưa nhiêu biên không cung ́ ̀ ́ ̀ 42 cơ sô băng đao ham theo môt biên. ́ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 47 D. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 48 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Thông tư số 32/2018/TTBGĐT ngày 26/12/2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo nêu định hướng về phương pháp giáo dục trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018 có nội dung :” Các hoạt động học tập của học sinh bao gồm hoạt động khám phá vấn đề, hoạt động luyện tập và hoạt động thực hành”. Nhưng ở chương trình sách giáo khoa hiện tại về chủ đề mũ và lôgarit, chỉ có các bài tập ở mức nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Ít có các bài tập vận dụng cao nên khả năng khám phá vấn đề mới, luyện tập và thực hành của học sinh cũng bị hạn chế. Ở các tài liệu tham khảo cũng như các trang mạng cũng viết nhiều về bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit nhưng mang tính rời rạc, chủ yếu đưa ra lời giải Trang 1
trực tiếp mà khi đọc học sinh rất khó để biết vì sao lại giải được như thế, gặp bài tương tự các em cũng khó vận dụng. Trong các đề thi THPT Quốc gia, đề học sinh giỏi các Tỉnh lớp 12 mấy năm gần đây, các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit luôn xuất hiện ngày càng nhiều, hay và mới mẻ. Đòi hỏi phải có tư duy cao và kĩ thuật giải toán điêu luyện mới giải quyết được trong khoảng thời gian ngắn. Do đó tôi luôn trăn trở làm thế nào để có tài liệu giảng dạy và cho học sinh ôn thi mang tính hệ thống giúp các em có tầm nhìn, cách tiếp cận vấn đề tốt để giải quyết nhanh các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit. Cùng với phong trào “mỗi thầy cô giáo là một tấm gương tự học và sáng tạo”. Đồng thời hưởng ứng tinh thần đổi mới về chương trình Toán THPT mới: “Tinh giản – thiết thực – hiện đại và khơi nguồn sáng tạo”. Vì vậy trong năm học 2020 – 2021 tôi đã nghiên cứu chuyên đề này. Tôi chọn trình bày đề tài: “phương phap tí ếp cận để giải quyết các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit” với mong muốn học sinh tự tin hơn, sáng tạo hơn, biết quy lạ về quen khi đứng trước các bài toán lạ và khó. Thực tiễn cho thấy sự sáng tạo chỉ bắt đầu khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết mà các phương pháp trước đó không đủ hoặc gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng yêu cầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ. Vì vậy quá trình giải bài tập toán cần phải tìm tòi, sáng tạo cái mới, phát triển trên cái đã biết để tìm ra giải pháp mới đáp ứng những yêu cầu nảy sinh. 2. Mục đích nghiên cứu: Đổi mới dạy học theo hướng phát triển phẩm chất, năng lực học sinh. Tạo động lực để giáo viên và học sinh tìm hiểu là tìm ra giải pháp hữu hiệu khắc phục khó khăn cho học sinh trong nhiều bài toán khó về mũ và lôgarit, tạo hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy học. 3. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi sử dụng các phương pháp: + Nghiên cứu các tài liệu tham khảo; + Phương pháp quan sát (quan sát học sinh giải bài tập và cách xử lý tình huống); + Phương pháp phân tích; Trang 2
+ Phương pháp thực nghiệm (thống kê có đánh giá kết quả). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các bài toán vận dụng cao mũ và lôgarit. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài được bắt đầu tìm hiểu và tiến hành từ tháng 9 năm 2020, áp dụng với một số nội dung trong chương 2 Giải tích lớp 12 THPT. 5. Kế hoạch triển khai nghiên cứu: STT Thời gian Nội dung công việc 1 Từ tháng 9/2020 đến 11/2020 Nghiên cứu tài liệu, chọn đề tài 2 Tháng 12 năm 2020 Viết đề cương nghiên cứu 3 Tháng 1 năm 2021 Áp dụng thực nghiệm Viết báo cáo, xin ý kiến của 4 Tháng 2 năm 2021 đồng nghiệp 5 Đầu tháng 3 năm 2021 Hoàn thiện bản báo cáo B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. Nhưng bai toan mu,lôgarit co thê dung công th ̃ ̀ ́ ̃ ́ ̉ ̀ ức biên đôi đê đ ́ ̉ ̉ ưa vê cung ̀ ̀ cơ sô thi thuôc dang toan quen thuôc va nhiêu tai liêu đa viêt.Do đo trong bai viêt ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ́ ̀ ́ ̉ ́ nay chu yêu tôi nghiên c ̀ ứu những bai toan không cung c ̀ ́ ̀ ơ số ̣ ̣ Bài toán vân dung cao mu,lôgarit trong các đ ̃ ề thi THPT Quốc gia, hoc̣ ̉ sinh gioi Toan trong vài năm tr ́ ở lại đây có nhiều người thấy lạ. Nên đa số đều hạn chế đường lối giải. Để khắc phục điều đó, chúng ta sẽ cùng nhau quy lạ về quen theo 3 hướng tiêp cân trong bài vi ́ ̣ ết này. I. Tiêp cân các bài toán vân dung cao mũ, lôgarit băng đô ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ̉i biên sô. ́ ́ ̉ ́ ̣ ̉ Trong gia thiêt bai toan xuât hiên nhiêu biêu th ́ ̀ ́ ̀ ức lôgarit hoăc mu ma dung ̣ ̃ ̀ ̀ công thưc biên đôi thông th ́ ́ ̉ ương trong sach giao khoa ta không đ ̀ ́ ́ ược đưa về ̀ ơ sô g cung c ́ ợi cho ta đôi biên sô. ̉ ́ ́ Trang 3
1. Đôi qua môt biên ̉ ̣ ́ x log 9 x = log 6 y = log 4 ( 2 x + y ) y Bai 1.1 ̀ ́ ực va ̀ dương thoa man Cho hai sô th ̉ ̃ . Giá trị bằng 1 3 log 3 2 log 2 2 2 2 A. 2. B. C. D. ̣ ́ ơ sô 9, 6, 4 ta không đ Phân tich: Xuât hiên cac c ́ ́ ́ ưa được vê chung môt c ̀ ̣ ơ số ́ ̉ nhăc ta đôi biên sô ́ ́ Lời giải log 9 x = log 6 y = log 4 ( 2 x + y ) = t Đặt . Ta co .́ Suy ra . t t x �9 � �3 � 1 = � �= � �= y �6 � �2 � 2 Vậy . Chọn phương án B. a − 4b a log100 a = log 40 b = log16 12 b Bai 1.2 ̀ Cho hai số thực dương va th ̀ ỏa mãn . Giá trị bằng A. 4. B. 12. C. 6. D. 2. Lời giải a − 4b a − 4b log100 a = log 40 b = log16 =t a = 100t , b = 40t , = 16t 12 12 Đặt . Ta có . t �2 � 1 t t � �= �4 � �2 � �5 � 6 100t − 4.40t = 12.16t � 12.� �+ 4.� �− 1 = 0 � �25 � �5 � t �2 � 1 � �= − �5 � 2 Suy ra t t t �2 � 1 a �100 � �5 � � �= � = � �= � �= 6 �5 � 6 b �40 � �2 � Do đó . Chọn phương án C. Trang 4
̀ ương tự ta co cac bai tâp sau: Hoan toan t ̀ ́ ́ ̀ ̣ log16 p = log 20 q = log 25 ( p + q ) 1.2.1. Giả sử p, q là các số thực dương thỏa mãn . Tìm p q giá trị của ? 4 5 1 2 ( 1+ 5 ) 8 5 1 2 ( −1 + 5 ) A. B. C. D. ĐS: Chọn phương án D. 1.2.2 Cho các số thực dương thỏa mãn . Tính A. . B. . C. . D. . ĐS: Chọn phương án B. 1.2.3. Cho các số thực dương thỏa mãn và , với a, b là các số nguyên dương, tính a + b. A. . B. . C. . D. . ĐS: Chọn phương án D. 1.2.4. Cho các số thực dương thỏa mãn Tinh , ́ A. . B. . C. . D. . ĐS: Chọn phương án A. ́ ̉ ́ ̉ ương tự cac bai trên va tăng đô kho băng cac bai toan sau: Ta co thê phat triên t ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ́ Bai 1.3 ̀ ́ ́ ực dương va ̀ thoa man . Cho cac sô th ̉ ́ ̣ ̉ ̃ Gia tri cua băng ̀ A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt . Ta co .́ Suy ra: . Ma . ̀ Khi đo:́ Chọn phương án B. Trang 5
̣ ̀ ̣ ̃ ̀ ược , nhưng lai găp v Binh luân: Co nhiêu hoc sinh vân tim đ ̀ ́ ̣ ̣ ướng măc khi tinh T. ́ ́ đên đây ta cân dân dăt cac em la t ́ ̀ ̃ ́ ́ ̀ ử sô va mâu th ́ ̀ ̃ ức cua T đăng câp bâc ba đôi v ̉ ̉ ́ ̣ ́ ới ̉ ử va mâu cho se xuât hiên . x va y nên ta chia ca t ̀ ̀ ̃ ̃ ́ ̣ 1 1 log 3 a = log 6 b = log 2 ( a + b ) + a, b > 0 a 2 b2 Bai 1.4 ̀ Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 18. B. 45. C. 27. D. 36. Lời giải a = 3t t �3 � t = log 3 a = log 6 b = log 2 ( a + b ) � b = 6 t � 3 + 6 = 2 � � �+ 3t = 1 t t t ( 1) �2 � a+b = 2 t Đặt t t �3 � �3 � �3 � f ( t ) = � �+ 3t f ( t ) = � �.ln � �+ 3t.ln 3 > 0, ∀t �� ﾡ f ( t) �2 � ﾡ �2 � �2 � Xét hàm số trên , có 1 1 1 1 ( 1) � f ( t ) = f ( −1) � t = −1 � a = , b = � 2 + 2 = 45 ﾡ 3 6 a b đồng biến trên và . Chọn phương án B. Vân theo ph ̃ ương châm la đăt đê chuyên vê ph ̀ ̣ ̉ ̉ ̀ ương trinh mu nh ̀ ̃ ưng muôn nâng ́ ̣ ́ ́ ̉ ̉ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ơi sau đô kho lên ta co thê thay đôi chut it gia thiêt bai toan trên ta co bai toan m ́ đây: Bai 1.5 ̀ Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 45. B. 18. C. 27. D. 36. Lời giải Đặt Ham sô. Co ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̣ Suy ra: đông biên trên . Ma ; . Nên tôn tai duy nhât sao cho . ̀ ́ ̣ ́ ́ ̉ Lai co , khi đo ta co bang biên thiên: ́ ́ Trang 6
Tư bang biên thiên suy ra ph ̀ ̉ ́ ương trinh co đung hai nghiêm . ̀ ́ ́ ̣ Vơi (loai). ́ ̣ Vơí Chọn phương án A. ̣ Binh luân: Nh ̀ ư vây sau khi đôi biên ta đ ̣ ̉ ́ ưa vê môt ph ̀ ̣ ương trinh mu kho h ̀ ̃ ́ ơn ̀ ́ ̀ ́ ước đo ma l nhiêu cac bai toan tr ́ ̀ ời giai cua bai 1.5 la môt mâu m ̉ ̉ ̀ ̀ ̣ ̃ ực. ́ ̉ ̣ ̀ ̣ ương tự Bai 1.5 Ta co thê tao ra bai tâp t ̀ như sau 1.5.1. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 1. B. 7. C. 12. D. 18. 1.5.2. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 3. B. 4. C. 6. D. 8. 1.5.3. Cho các số thỏa mãn . Giá trị bằng A. 15. B. 20. C. 21. D. 28. Bây giơ ta phát tri ̀ ển tương tự Bai 1.1 ́ ố với giả thiết hàm mũ ̀ cho cac s m > 0, n > 0, p > 0 4m = 10 n = 25 p Bai 1.6 ̀ Cho các số thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức n n T= + 2m 2 p . 5 1 T= T= T =1 2 T =2 10 A. B. C. D. Lời giải Đặt . Vì Suy ra: Chọn phương án A. Bai ̀ 1.7 Cho là các số thực khác 0 thỏa mãn . Khi đó bằng A. . B. . C. . D. . Lời giaỉ Trang 7
Đặt . Khi đó . Chọn phương án D. Bai 1.8 ̀ Cho các số thực và các số dương thay đổi thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A.. B.. C.. D.. Lời giải Đặt (Vi nên . Khi đo: ̀ ́ Suy ra: Có: Dấu bằng xảy ra khi . Vậy đạt được khi . Chọn phương án C. Bai 1.9 ̀ Cho các số thực và các số dương thay đổi thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A.. B. C.. D. Lơi giai ̀ ̉ Đặt (Vi nên . ̀ Khi đo: Do đo: . Ta co:. ́ ́ ́ ̣ ̉ ̣ ược khi Vây GTLN cua P băng 20 đat đ ̀ Chọn phương án A. Bai ̀ 1.10: Xét các số thực dương thỏa mãn và . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng (với ), tính gia tri cua ́ ̣ ̉ A. . B. . C. . D. . Lời giải Đăṭ Do nên tư Do đó theo BĐT cauchy: ̀ Trang 8
̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ băng do đo . Vây gia tri nho nhât cua ̀ ́ Chọn phương án D. ̀ ̣ ương tự: Xét các số thực dương thỏa mãn và Biết giá trị nhỏ nhất của Bai tâp t biểu thức có dạng (với là cac s ́ ố tự nhiên), tính . A. . B. . C. . D. Bai 1.11 ̀ Xét các số thực , , thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt . , (với ) , khi Suy ra Tiêp theo ta nghiên c ́ ưu môt sô ph ́ ̣ ́ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh môt ân không ̀ ̣ ̉ ̀ ơ sô ́ cung c Bai 1.12 ̀ Số các giá trị nguyên nhỏ hơn của tham số để phương trình có nghiệm là A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng . Xét hàm số: . +) Ta có bảng biến thiên: Trang 9
Với Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì .Vậy . Có số nguyên . ̣ Chon ph ́ ương an C. Bai 1.13 ̀ Có bao nhiêu số nguyên để PT có nghiêm ? ̣ A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt(*). Xét hàm số với .Ta có: .. Bảng biến thiên PT(*) có nghiệm. Do . Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn. ̣ Chon ph ́ ương an A. Trang 10
Bai 1.14 ̀ Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số để phương trình có nghiệm là A. B. C. D. Lời giải Điều kiện: (*). Đặt . Suy ra . Từ đó . Với mỗi nghiệm của phương trình thì là nghiệm của hệ phương trình đồng thời thỏa mãn điều kiện . Do đó là nghiệm của phương trình đã cho. Từ đó, điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình có nghiệm. Xét trên . Bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . Vậy tất cả các giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán là các số nguyên thuộc tập hợp , có tất cả 2022 giá trị. Chon ph ̣ ́ ương an D. Bai 1.15 ̀ Cho là số nguyên dương lớn nhất sao cho . Giá trị của xấp xỉ bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Từ giả thiết . Đặt . Ta được bất phương trình: . Đặt . , . Trang 11
Vậy là hàm số nghịch biến trên . Và ta lại có. Từ . Suy ra mà là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra . Vậy . Chon ph ̣ ́ ương an D. Bai 1.16 ̀ Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn bằng A. B.. C.. D.. Lời giải Theo đề bài: . Điều kiện: . Đặt . . Khi đó, trở thành: . Điều kiện: .Dễ thấy không là nghiệm của nên ta xét hàm số , . đồng biến trên chỉ có tối đa một nghiệm, mà là nghiệm duy nhất của . Do đó, Chỉ nhận vì thỏa mãn Để thì . . Vậy tổng các nghiệm bằng . Chon ph ̣ ́ ương an A. ̣ ́ ́ ̉ ̀ Nhân xet: ta co thê lông day sô vao bai toan logarit băng bai toan sau ̃ ́ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ́ : ( un ) log 3 ( 2u5 − 63 ) = 2 log 4 ( un − 8n + 8 ) ∀n ﾡ * Bai 1.17 ̀ Cho dãy số thỏa mãn , . un .S 2 n 148 < Sn = u1 + u2 + ... + un n u2 n .S n 75 Đặt . Tìm số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn . 18 17 16 19 A. . B. . C. . D. . Lời giải Trang 12
∀n ﾡ * log 3 ( 2u5 − 63) = 2 log 4 ( un − 8n + 8 ) � log 3 ( 2u5 − 63) = log 2 ( un − 8n + 8 ) Ta có , . 2u5 − 63 = 3t 2u5 − 63 = 3t t = log 3 ( 2u5 − 63) un − 8n + 8 = 2t u5 − 32 = 2t n = 5 � 1 = 3t − 2.2t Đặt (choṇ ) � t = 2 � u n = 8n − 4 u5 = 36 . Khi đó un = 8n − 4 u5 = 36 Với và , ta có: log 3 ( 2u5 − 63 ) = 2 log 4 ( un − 8n + 8 ) � log 3 ( 2.36 − 63 ) = 2 log 4 ( 8n − 4 − 8n + 8 ) � log 3 9 = 2 log 4 4 � 2 = 2 ∀n ﾡ * đúng . un +1 − un = 8 ( n + 1) − 4 − ( 8n − 4 ) = 8 ( un ) Ta có: . Vậy là cấp số cộng có số hạng đầu � S n = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) .n = 4n 2 u1 = 4 d =8 2 , công sai . . un .S2 n ( 8n − 4 ) .16 n 148 2 = < u2 n .Sn ( 16n − 4 ) .4n 2 75 � n < 19 Do đó ̣ . Chon ph ́ ương an A. Bây giơ ta nghiên c ̀ ứu môt sô bai toan lôgarit ch ̣ ́ ̀ ́ ứa nhiêu biên không cung c ̀ ́ ̀ ơ số Bai 1.18 ̀ ́ ̉ Có tât ca bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thực thỏa mãn ? A. . B. . C. . D. Vô số. Lời giải Cách 1: Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có  Trường hợp 1: .  Trường hợp 2: . Trang 13
 Trường hợp 3: mâu thuẫn với suy ra loại . Vậy có hai giá trị Cách 2: Đặt . Suy ra là tọa độ của điểm với thuộc đường thẳng và đường tròn . Để tồn tại tức tồn tại nên có điểm chung, suy ra trong đó nên . Khi đó . Minh họa quỹ tích điểm như hình vẽ sau Ta thấy có 3 giá trị có thể thỏa mãn là . Thử lại:  Trường hợp 1: .  Trường hợp 2: .  Trường hợp 3: mâu thuẫn với suy ra loại . Chon ph ̣ ́ ương an B. Tương tự Bai 1.18 ̀ ta co cac bai toan sau: ́ ́ ̀ ́ Bai 1.19 ̀ ́ ̉ Có tât ca bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thựcthỏa mãn ? A. B. C. D. Vô số Lời giải Điều kiện: . Đặt , suy ra Phương trình . Phương trình phải có nghiệm nên: . Do đó: ( vì ) Thử lại: Với Với Với Trang 14
Khi nên vô nghiệm, khi nên cũng vô nghiệm. Vậy . Chon ph ̣ ́ ương an C. Bai 1.20 ̀ ́ ̉ Có tât ca bao nhiêu số nguyên sao cho tồn tại số thựcthỏa mãn phương trinh: ̀ A. B. C. D. Lờigiải Đặt: . Suy ra: Ta có: nghịch biến trên nên. Do đó ( vì ) Thử lại: Với : Ta có: liên tục trên thỏa mãn nên phương trình có nghiệm . Nên thì tồn tại số thực thỏa mañ Với: Ta có: nên phương trình vô nghiệm. Do đó thì không tồn tại số thựcthỏa mãn đê bai. ̀ ̀ Với : Ta có: liên tục trên thỏa mãn nên phương trình có nghiệm . Do đó với thì tồn tại số thực thỏa mãn . Vậy . Chon ph ̣ ương an C. ́ ̀ ̣ Binh luân: Nh ư vây sau khi lam ba bai trên thi băng đôi biên sau đo dung đanh ̣ ̀ ̀ ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ̉ ̀ ới me ta nghiên gia bđt thi dang toan trên ta đa quy la vê quen. Đê thêm phân m ́ ́ ̃ ̉ cưu hai bai toan sau: ́ ̀ ́ Bai 1.21 ̀ ́ ́ ực thoa man va Khi biêu th Cho cac sô th ̉ ̃ ̀ ̉ ưc ̣ ́ ̣ ơn nhât, khi đo ́ đat gia tri l ́ ́ ́ ̣ ̉ thuôc khoang nao sau đây ̀ A. B. C. D. ̣ Nhân xet ̉ ̀ ơ sô nên nhăc ta đôi biên sô. ́ : Vân gia thiêt la lôgarit không cung c ̃ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ Lời giải Trang 15
̣ Đăt Khi đo ́ (do ). ̣ Do đo . Suy ra Khi đo . Chon ph ́ ́ ́ ương an D. Bai 1.22 ̀ ̣ ơi Co bao nhiêu bô v ́ ̀ ̀ ́ ực thoa man ́ va la sô th ̉ ̃ A. B. C. D. Lời giải ̣ Theo gia thiêt ta co Đăt ̉ ́ ́ ư ta xet cac tr ́ Khi đo t ̀ ́ ́ ường hợp sau: TH1: Khi đo .́ ̃ ́ ̣ ương cua ta thu đ TH2: Khi đo . Voi môi gia tri d ́ ́ ̉ ược môt gia tri cua . Vây co tât ̣ ́ ̣ ̉ ̣ ́ ́ ca ̉ bô sô thoa man yêu câu bai toan. Chon ph ̣ ́ ̉ ̃ ̀ ̀ ́ ̣ ương an B. ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̉ ̉ ̣ Binh luân: đây la môt bai toan đoi hoi kha năng suy luân cao. ̀ Chung ta đa nghiên c ́ ̃ ứu cac bai toan v ́ ̀ ́ ơi gia thiêt la cac ph ́ ̉ ́ ̀ ́ ương trinh ch ̀ ứa nhiêu ̀ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ương trinh thi chung ta co đôi biên đê giai quyêt bai biên, liêu gia thiêt la bât ph ́ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ ̉ ̉ ́ ̀ toan hay không. Bây gi ́ ờ ta đi vao tim hiêu môt sô bai nh ̀ ̀ ̉ ̣ ́ ̀ ư thê.́ x x 127 Bai 1.23 ̀ Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi có không quá số y log 3 ( x 2 + y ) log 2 ( x + y ) nguyên thỏa mãn ? 89 46 45 90 A. . B. . C. . D. . Lời giải log 3 ( x 2 + y ) log 2 ( x + y ) ( 1) t = x+ y ﾡ * x, y �ﾡ , x + y > 0 Ta có . Đặt (do ) (1) � log 3 ( x 2 − x + t ) �log 2 t � g (t ) = log 2 t − log 3 ( x 2 − x + t ) �0 ( 2 ) Trang 16
1 1 g (t ) = − 2 >0 t ln 2 ( x − x + t ) ln 3 y g ( t) [ 1; + ) với mọi . Do đó đồng biến trên x 127 t ﾡ * Vì mỗi nguyên có không quá giá trị nên ta có g (128) > 0 � log 2 128 − log 3 ( x 2 − x + 128 ) > 0 � x 2 − x + 128 < 37 � −44,8 �x �45,8 90 Như vậy có giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Chon ph ̣ ́ ương an D. Bai 1.24 ̀ Có bao nhiêu số nguyên sao cho ứng với mỗi có không quá số nguyên thỏa mãn ? A. . B. . C. . D. Lời giải Điều kiện: . Đặt , ta có . Nhận xét rằng hàm số đồng biến trên khoảng và với mọi . Gọi thỏa , khi đó Từ đó, ta có . Mặt khác, vì có không quá số nguyên thỏa mãn đề bài nên . Từ đó, suy ra . Mà nên . Vậy có giá trị nguyên của thỏa yêu cầu đề bài. Chon ph ̣ ́ ương an C. Bai tâp t ̀ ̣ ương tự: Co bao nhiêu sô nguyên sao cho ́ ́ ưng v ́ ơi môi co không qua ́ ̃ ́ ́ ́ ̉ sô nguyên thoa man ? ̃ A. . B. . C. . D. ̣ ĐS: Chon ph ́ ương an B. ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ̣ ́ ững bai toan đôi qua hai Trên đây la cac bai toan đôi qua môt biên. Liêu co nh ̀ ́ ̉ ́ ực hiên đ biên, ba biên ta co th ́ ́ ̣ ược không. Ta cung nghiên c ̀ ứu 2. Đôi qua nhiêu biên ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ̣ ̀ ơ sô hoăc cung c Khi gia thiêt xuât hiên tông, hiêu cac lôgarit không cung c ́ ́ ́ ́ ̣ ̀ ơ số nhưng biêu th ̉ ưc d ́ ươi dâu lôgarit khac nhau ta th ́ ́ ́ ường đôi qua nhiêu biên. ̉ ̀ ́ Bai 1.25 ̀ Xét các số thực dương lớn hơn ( với ) thỏa mãn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng Trang 17
A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt . Vì và nên suy ra hay . Từ giả thiết suy ra: ( vì ). Ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và , tức là Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng . Chon ph ̣ ương an A ́ Bai 1.26 ̀ Cho là các số thực dương khác thỏa mãn điêu kiên. G ̀ ̣ ọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Biến đổi đẳng thức đề bài ta được: . Đặt ta có phương trình: Ta có bất đẳng thức quen thuộc dấu bằng xảy ra khi , áp dụng bất đẳng thức này ta có (**) Từ (*), (**): Vậy suy ra . Chon ph ̣ ương an C. ́ Bai 1.27 ̀ Cho các số thực và thỏa mãn điều kiện . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại . Đặt mệnh đề nào sau đây đúng A. . B. . C. . D. . Lời giải Trang 18
Ta có . Đặt , (), ta được . Vì suy ra Suy ra .Xét hàm trên có: . Ta có: . Suy ra trên đoạn ta có: Vậy . ̣ Chon ph ương an D. ́ Bai 1.28 ̀ Cho các số thực dương khác thỏa mãn điêu kiên sau:. G ̀ ̣ ọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính giá trị biểu thức . A. . B. . C. . D. . Lời giải Đặt . Ta co:.́ PT có nghiệm khi Chon pḥ ương an A. ́ Bai 1.29 ̀ Cho các số thực dương thỏa mãn đồng thời và. Tính A. . B. . C. 2020. D. . Lời giải Đặt . Ta có và Vì vai trò như nhau nên giả sử và . ̣ Chon phương an A. ́ Bai 1.30 ̀ Cho các số thực dương thỏa mãn . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức bằng với nguyên dương và tối giản. Tổng bằng A. B. C. D. Lời giải Đặt , mà . Ta có . Từ , thay vào biểu thức , ta được: Trang 19
. Vậy khi và chỉ khi . Vậy Chon ph ̣ ương an C. ́ Cac bai toan luyên tâp, vân dung phân đôi biên: ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ̉ ́ 1. Cho cac sô th ́ ́ ực dương thoa man . Gia tri cua ̉ ̃ ́ ̣ ̉ băng ̀ A. B. C. D. 2. Cho cac sô th ́ ́ ực dương thoa man . Gia tri cua ̉ ̃ ́ ̣ ̉ thuôc tâp h ̣ ̣ ợp nao sau đây ̀ A. B. C. D. 3. Xét các số thực dương thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . 4. Cho cac sô th ́ ́ ực dương thoa man . Gia tri cua ̉ ̃ ́ ̣ ̉ la ̀ A. B. C. D. 5. Xét các số thực thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức thuộc tập nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . 6. Xét các số thực dương thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . 7. Xét các số thực dương thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức thuộc tập hợp nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . 8. Xét các số thực thỏa mãn và . Biêu th ̉ ưc đat gia tri nho nhât tai . Tinh . ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̣ ́ A. . B. . C. . D. . 9. Cho cac sô th ́ ́ ực thoa man ̉ ̃ Trang 20