intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
35
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

  1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP BÁO CÁO KẾT QUẢ  NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ  phần “Lượng giác”. Việc  học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh  vì học sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt  công thức lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả  năng nhận dạng các  phương trình lượng giác của học sinh còn hạn chế  đó là một trong những lí do tôi   chọn sáng kiến kinh nghiệm này.  2. Tên sáng kiến:  Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường  gặp 3. Tác giả sáng kiến: ­ Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch ­ Lập Thạch ­ Vĩnh Phúc ­ Số điện thoại: 0948028536. E_mail: nguyenthanhnhan@vinhphuc.edu.vn 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến  5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: ­ Về nội dung của sáng kiến: Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận:    ­ Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.    ­ Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học  tập bộ môn Đại số và giải tích 11.     ­ Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu. Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 1
  2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP     ­ Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo  khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).      ­ Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11.  Cơ sở thực tiễn      ­ Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại số và giải  tích và nhất là phần phương trình lượng giác.     Mục đích nghiên cứu: ­ Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng  dạy. ­ `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi. a. Kết quả khảo sát đầu năm học Sĩ  Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 11A1 36 03 8,3 06 16,7 17 47,2 06 16,7 04 11,1 11A3 31 0 03 9,6 16 51,6 06 19,4 06 19,4 b. Nguyên nhân * Nguyên nhân khách quan ­ Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều. ­ Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số  tiết học Toán  giảm nhiều so với chương trình cũ. * Nguyên nhân chủ  quan ­ Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn. ­ Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc   học toán nói riêng và học tập nói chung . ­ Chưa có phương pháp học để  khắc sâu kiến thức để  từ  đó vận dụng kiến thức  một cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải phương trình  lượng giác ...còn yếu. Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 2
  3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP c.  Các giải pháp thực hiện Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề  “Lượng giác” đòi hỏi  học sinh cần nắm vững  kiến thức từ  thấp đến cao, phải học toán thường xuyên   liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận  dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để  từ  đó tiếp thu dể  dàng hơn, thuận  lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình  môn Toán   trung học phổ  thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng  dạy Toán  ở  trường THPT với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp  với kết quả khảo sát đầu năm học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải pháp chính là:   hệ   thống  lại  “Các  công   thức  lượng  giác  liên  quan,  công  thức  nghiệm  của  các   phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác   thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao”  đảm bảo cho tính liên tục  và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ôn tập. Phần II NỘI DUNG A. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:  Công thức cộng:  cos(a   b) = cosa cosb + sina sinb  cos(a + b) = cosa cosb   sina sinb         sin(a   b) =  sina cosb   cosa sinb    sin(a + b) =  sina cosb + cosa sinb      tan a − tan b tan a + tan b   tan( a − b) =         tan( a + b) =                          1 + tantan b 1 − tan a tan b  Công thức nhân đôi:  cos2a =  cos2a   sin2a  = 2cos2a   1 = 1   2sin2a    2 tan a  sin2a = 2sinacosa     tan 2a =      1 − tan 2 a  Công thức hạ bậc: 1 + cos 2a 1 − cos 2a   cos 2 a =       sin 2 a =      2 2  Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos ( a + b ) + cos ( a − b ) �   cosa.cosb = � � �  2 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 3
  4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1   sina.sinb  = −  [cos ( a  +  b ) − cos(a − b)]    2 1 sin ( a + b ) + sin ( a − b ) �   sin a.cos b = � � �     2  Công thức biến đổi tổng thành tích:    a+b a −b a+b a −b   cosa + cos b = 2cos cos   cos a − cos b = −2sin sin    2 2 2 2 a+b a −b a+b a −b   sina  +  sinb  =  2sin cos           sina  −  sinb  =  2cos sin     2 2 2 2  Một số cung liên quan đặc biệt Cung đối:(cos đối) Cung bù: (sin bù) * /  sin(− x) = − sin x * /  cos( − x) = cos x * /  sin(π − x) = sin x * /  cos(π − x) = − cos x * /  tan( − x) = − tan x * /  cot( − x) = − cot x * /  tan(π − x) = − tan x * /  cot(π − x) = − cot x Cung phụ:(phụ chéo) Cung khác  π : (khác  π  tang và côtang) π π * /  sin( − x) = cos x − x) = sin x * /  cos( 2 2 * /  sin( x π ) = − sin x * /  cos( x π ) = − cos x π π * /  tan( x π ) = tan x * /  cot( x π ) = cot x * /  tan( − x) = cot x * /  cot( − x) = tan x 2 2  Phương trình lượng giác cơ bản: a. Phương trình  sin x = a         � a > 1 : Phương trình vô nghiệm         ţ a 1 x = α + k 2π sin x = sin α �� (k  ) x = π − α + k 2π x = β 0 + k 3600 sin x = sin β 0 �� (k  ) x = 1800 − β 0 + k 3600 x = arc sin a + k 2π sin x = a �� (k  ) x = π − arc sin a + k 2π f ( x ) = g ( x ) + k 2π  Tổng quát:  sin f ( x ) = sin g ( x ) �� (k  ) f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π * Các trường hợp đặc biệt Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 4
  5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP π � sin x = 1 � x = + k 2π ( k � ) 2   � sin x = −1 � x = − π + k 2π ( k � ) 2 � sin x = 0 � x = kπ ( k � ) b.Phương trình  cos x = a        � a > 1 : Phương trình vô nghiệm        ţ a 1 cosx = cosα � x = �α + k 2π ( k � ) cosx = cosβ � x = �β + k 360 ( k � 0 0 0 ) cosx = a � x = �arccosa + k 2π ( k � )  Tổng quát:  cosf ( x ) = cosg ( x ) � f ( x ) = �g ( x ) + k 2π ( k � ) * Các trường hợp đặc biệt � cosx = 1 � x = k 2π( k � ) � cosx = −1 � x = π + k 2π ( k � )               π � cosx = 0 � x = + kπ ( k � ) 2 c. Phương trình  tan x = a �tan x = t anα � x = α + kπ ( k � )          �tan x = t anβ 0 � x=β 0 + k1800 ( k � ) �tan x = a � x = arctan a + kπ ( k � )   ổng quát:    tan f ( x ) = tan g ( x ) � f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k � )     T d. Phương trình  cot x = a �cot x = cot α � x = α + kπ ( k � )            �cot x = cot β 0 � x = β 0 + k1800 ( k � )   �cot x = a � x = arc cot a + kπ ( k � )     Tổng quát:  cotf ( x ) = cotg ( x ) � f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k � ) B.  M ỘT SỐ PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG  GIAC TH ́ ƯỜNG GẶP DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM  SỐ LƯỢNG GIÁC. 1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác  Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 5
  6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương  trình có dạng  at + b = 0  (1) trong đó a,b là các hằng số  ( a 0 ) và t là một trong các hàm  số lượng giác. Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1)  về các phương trình lượng giác  cơ bản. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau  1 a )2sin x − 1 = 0; b)cos2 x + = 0; c)3 tan x − 1 = 0; d ) 3 cot x + 1 = 0 2  Giải π x = + k 2π 1 π 6         a) 2sin x − 1 = 0 � sin x = � sin x = sin �� (k  ) 2 6 5π x= + k 2π 6 1 −1 2π 2π b) cos2 x + = 0 � cos2 x = � cos2 x = cos � 2 x = � + k 2π ( k � ) 2 2 3 3 π                                                      � x = � + kπ ( k � ) 3 1 1 c) 3 tan x − 1 = 0 � tan x = � x = arctan + kπ ( k � ) 3 3 −1 2π 2π d) 3 cot x + 1 = 0 � cot x = � cot x = cot �x= + kπ ( k � ) 3 3 3 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2 cos x − sin 2 x = 0  (Phương trình đưa về phương trình   bậc nhất đối với một hàm số lượng giác) Giải          cos x − sin 2 x = 0 � cos x − 2sin x cos x = 0 � cos x ( 1 − 2sin x ) = 0 π + kπx= 2 cos x = 0 cos x = 0 π � � 1 � x = + lπ ( k , l � ) 1 − 2sin x = 0 sin x = 6 2 5π x= + lπ 6   1.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:  Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương  trình có dạng  at 2 + bt + c = 0 (2), trong đó a, b, c là các hằng số  ( a 0 )  và t là một trong  các hàm số lượng giác.     Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ  bản. Ví dụ 3:  Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 6
  7. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP       a)  2sin 2 x + sin x − 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  sin x .       b)  cos 2 x + 3cosx − 1 = 0  là phương trình bậc hai đối với  cos2 x .       c)  2 tan 2 x − tan x − 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  tan x .       d)  3cot 2 3 x − 2 3 cot 3 x + 3 = 0  là phương trình bậc hai đối với  cot 3x . Giải a ) 2sin x + sin x − 3 = 0(1) 2 Đặt  t = sin x , điều kiện  t 1 . Phương trình (1) trở thành: t = 1 ( nhân ) 2t + t − 3 = 0 2 3 ( loai ) t= 2 Với t=1, ta được  sin x = 1 � x = k 2π ( k � ) b) cos 2 x + 3cosx − 1 = 0 ( 2 ) Đặt  t = cosx , điều kiện  t 1 . Phương trình (2) trở thành: −3 + 13 t= ( nhân ) 2 t 2 + 3t − 1 = 0 −3 − 13 t= ( loai ) 2 −3 + 13 −3 + 13 −3 + 13 Với  t =  ta được  cosx = � x = �arccos + k 2π ( k � ) 2 2 2 Các câu còn lại giải tương tự Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a )3sin 22 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 b)7 tan x − 4 cot x = 12 Giải ( ) a )3sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 � 3 1 − cos 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 � 3cos 2 2 x − 7 cos 2 x = 0 � cos 2 x ( 3cos 2 x − 7 ) = 0 cos 2 x = 0 3cos 2 x − 7 = 0 π π π *) Giải phương trình: cos 2 x = 0 � 2 x = + kπ � x = + k , ( k � ) 2 4 2 7 *) Giải phương trình:  3cos 2 x − 7 = 0 � cos 2 x = 3 7 Vì  > 1  nên phương trình  3cos 2 x − 7 = 0  vô nghiệm. 3 π π Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là  x = + k , ( k  ) 4 2 b)7 tan x − 4 cot x = 12 ( 1) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 7
  8. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP     Điều kiện:  sin x 0 và  cos x 0     Khi đó:  1 ( 1) � 7 tan x − 4.− 12 = 0 � 7 tan 2 x − 12 tan x − 4 = 0 tan x Đặt  t = tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t:  7t 2 − 4t − 12 = 0 Bài tập tương tự Bài tập 1. Giải các phương trình sau: � π �         a)  2 cos x − 3 = 0 b)  3 tan 3 x − 3 = 0        c)  2sin �3x + �− 3 = 0 � 6 �     Bài tập 2. Giải các phương trình sau:  a)  2cos2 x − 3cos x + 1= 0 b)  cos2 x + sin x + 1= 0   c)  2cos2x − 4cos x = 1 � π� � π�  d)  2sin 2 x + 5sinx – 3  = 0 e)   3 tan 2 x − (1 + 3) tan x =0  g) sin 2  �x − �+ 2cos  �x − �= 1 � 3 � � 3 �  h)  tan x + 2 cot x − 3 = 0         i)  2 cot x − 6 cot x + 4 = 0     k)  sin x − cos x = cos x − 2            4 2 4 4    Bài tập trắc nghiệm: Câu 1. Phương trình nào  sau đây vô nghiệm?  A .  3 cos x 1 0 .     B.  3 sin x 4 0 . C. 3 tan x 1 0 .    D.  cot x 2 0. ̀ ất cả các  nghiêm cua ph Câu 2. Tim t ̣ ̉ ương trinh: ̀ cos 2 x 3 cos x 2 0 . A.     x = k 2π .    B.  x = kπ .               C.  x = π + k 2π .    D. x = − π + k 2π . 2 2 Câu3.Tìm  tất cả các  nghiệm  của phương trình:  3 cot(2 x 30 0 ) 3 0 . k A.  x 30 0 k180 0 , k Z .  B.  x 30 0 , k Z .       2 C.  x 30 0 k 90 0 , k Z .                                D.  x 60 0 k 90 0 , k Z .  Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình . A.  T k 2 ; arcsin( 3) k 2 , k Z .  B.  T k2 ; arcsin( 3) k 2 , k Z 3 3 C.  T k2 ,k Z . D.  T k2 ,k Z . 6 3              DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx  asinx   +  bcosx   =  c. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x  là phương trình có  dạng  a sin x + b cos x = c  trong đó  a, b, c   và  a 2 + b 2 0   C¸ch gi¶i: Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 8
  9. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho  a 2 + b2  ta được: a b c        sin x + cos x = a +b 2 2 a +b 2 2 a + b2 2 c Nếu  > 1 : Phương trình vô nghiệm. a + b2 2 c a b Nếu  1  thì đặt  cosα = � sin α = a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2 a b        (hoặc  sin α = � cosα = ) a 2 + b2 a 2 + b2 c c  Đưa phương trình về dạng:  sin ( x + α ) = (hoặc  cos ( x − α ) =  ) sau  a +b 2 2 a + b2 2 đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Phương trình  a sin x + b cos x = c  trong đó  a, b, c   và  a 2 + b 2 0  có nghiệm khi  c2 a2 + b2 . C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc x Bíc 1: Víi cos = 0 � x = π + k 2π (k � ) thö vµo ph¬ng tr×nh (1) xem cã lµ 2 nghiÖm hay kh«ng? x Bíc 2: Víi cos �۹ 0+� x π k 2π ( k Z ) 2 x 2t 1− t2 §Æt t = tan suy ra sin x = , cos x = 2 1+ t2 1+ t2 Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 2t 1− t2 a + b = c � (c + b)t 2 − 2at + c − b = 0 (2) 1+ t 2 1+ t 2 Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x. * D¹ng ®Æc biÖt: π . sin x + cos x = 0 � x = − + kπ ( k � ) 4 π . sin x − cos x = 0 � x = + kπ (k � ) . 4 Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau − a 2 + b 2 a sin x + b cos x a 2 + b 2 tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m a sin x + b cos x GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng y = a sin x + b cos x , y = c sin x + d cos x vµ ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c . Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 9
  10. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 2 x − 3cos 2 x = 3 (1) Gi¶i : C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph¬ng tr×nh (1) cho 12 + 32 = 10 ta ®îc 1 3 3 sin 2 x − cos 2 x = 10 10 10 3 1 §Æt = sin α , = cos α . Lóc ®ã ph¬ng tr×nh (1) viÕt ®îc díi d¹ng 10 10 cos α sin 2 x − sin α cos 2 x = sin α � sin(2 x − α ) = sin x x = α + kπ 2 x − α = α + k 2π k  � � π 2 x − α = π − α + k 2π x = + kπ 2 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm C¸ch 2:Ta nhËn thÊy cos x = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh π -Víi cos x �۹ 0+� x kπ , k  . §Æt t = tan x ,ta cã 2 2t 1− t2 sin 2 x = , cos 2 x = 1+ t2 1+ t2 2t 1− t2 Ph¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng − 3 = 3 � 2t − 3(1 − t 2 ) = 3(1 + t 2 ) � t = 3 1+ t 2 1+ t 2 Hay tan x = 3 = tan α � x = α + kπ , k � VËy ph¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm C¸ch 3: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng sin 2 x = 3(1 + cos 2 x) � 2sin x.cos x = 6cos 2 x cos x = 0 � tan x = 3 = tan α � � (sin x − 3cos x)cos x = 0 � � �� sin x − 3cos x = 0 � cos x = 0 � x = α + kπ � π , k � x = + kπ 2 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a)  sin x + cos x = 1; b)  3cos 2 x − 4sin 2 x = 1;         Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a)  2sin x − 2cos x = 2 b)  3sin x + 4cos x = 5c)  3sin( x + 1) + 4cos( x + 1) = 5 d)  3cos x + 4sin x = −5   e)  2sin 2 x − 2 cos 2 x = 2   g)  5sin 2 x − 6 cos 2 x = 13;(*) Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 10
  11. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP � π� 1 h)  sin4 x + cos4 �x + �= (*) i)  sin x = 3cos x � 4� 4 Chú ý:  Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên  dập khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài .        Bài tập trắc nghiệm:                   1 Câu 1. Các nghiệm của phương trình  2 ( sin x + cos x ) = cos 2 x  là: 2 3π 2π π π A.  + k 2π , k Z B.  − + kπ , k Z C.  + k 2π , k Z         D.  − + kπ , k Z 2 3 6 4 Câu 2: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A.  3 sin 2 x − cos 2 x = 2 B.  3sin x − 4 cos x = 5 π C.  sin x = cos D.  3 sin x − cos x = −3 4 Câu 3: Phương trình:  3.sin 3x + cos 3x = −1  tương đương với phương trình nào sau đây: � π� 1 � π� π � π� 1 � π� 1 3x − �= − A.  sin � B.  sin �3x + �= − C.  sin �3x + �= − 3x + �= D.  sin � � 6 2� 6 � � 6 � � 6 2 6 2 � � m Câu 4: Tìm m để pt  sin2x + cos2x  =    có nghiệm là: 2 A.  1 − 5 m 1 + 5 B.  1 − 3 m 1 + 3 C.  1 − 2 m 1 + 2 D.  0 m 2 Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x  là: 2 π 5π π A.  x = B.  x = C.  x = π D.  6 6 12 Câu 6: Tìm m để pt  2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 4 4 4 4 A. 0 
  12. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP � t 2 = 1 + 2sin x cos x        t 2 −1 � sin x cos x = (*) 2 t2 1       (1)  at b. c 0 bt 2 2at 2c b 0 (1.1) . 2       Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn  t 0 2.        Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT  sin2x =  t 02 1  để tìm x. 2)  Phương trình chứa hiệu và tíc h  ( còn gọi là phương trình phản xứng)  Dạng phương trình :  a(sinx ­ cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R ) (2)  Cách giải  : Đặt t = sinx ­ cosx =  2 sin x t 2 4 � t 2 = 1 − 2sin x cos x        1− t2 � sin x cos x = (**) 2 1− t2 � at + b. +c =0       (1)  2 . � bt − 2at − 2c − b = 0 (2.1) 2       Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn  t 0 2.        Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT  sin2x = 1­ t 02  để tìm x Ví dụ : Giải các phương trình sau : a.  s inx+sin 2 x + cos3 x = 0 3           b.  sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x 2 c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx           d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2 Giải a.  s inx+sin x + cos x = 0  .  2 3 � s inx+sin 2 x + cos 3 x = 0 � s inx ( 1 + s inx ) + cosx ( 1 − sin 2 x ) = 0 π s inx=1 x = + k 2π � ( 1 + s inx ) ( s inx+cosx ( 1­sinx ) ) =0� � 2 sinx+cosx­sinxcosx=0 t + 2t − 1 = 0 2 t = −1 − 2 < − 2 ( l ) � π� � π � 2 −1 � � 2 sin �x + �= 2 − 1 � sin �x + �= = sin α t = 2 −1 � 4� � 4� 2 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 12
  13. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP π x =α − + k 2π 4 Do đó :  (k Z) 3π x= − α + k 2π 4 3 sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x b.  2 (1) � ( s inx+cosx ) ( 1 − s inxcosx ) − 1 = 3sin xcosx �t 2 − 1 � �3 − t 2 � 2 + 3 ( t − 1) 2 � t 2 −1 � 2 ( 1) Đặt :  t = s inx+cosx; t ��� 1− t� �= 1 + 3 � �� t � �= � 2 � �2 � �2 � 2 t = −1 � t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 � ( t + 1) ( t 2 + 4t + 1) = 0 � t = −2 − 3 < − 2 ( l ) . t = −2 + 3  Do đó phương trình : � π� � π� 1 π 2 sin �x + �= 1 sin �x + �= x = k 2π �x = + k 2π � 4� � 4� 2 2 � � �   � π� � π � 3−2 π 3π 2 sin �x + �= 3 − 2 sin �x + �= = sin α x = α − + k 2π �x = − α + k 2π � 4� � 4� 2 4 4 s inx 0 π c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx . Điều kiện :  x k ( *) . Khi đó phương trình  cosx 0 2 sinx cosx 1 (c) trở thành :  � 2 ( s inx+cosx ) = + = � 2 ( s inx+cosx ) s inxcosx=1 cosx sinx s inx.cosx t = s inx+cosx t 2 Đặt :  t2 −1 . Thay vào phương trình ta được : s inxcosx= 2 �t 2 − 1 � � 2t � �2 � 3 3 2 ( �= 1 � 2t − 2t − 2 = 0 � t − t − 2 = 0 � t − 2 t + 2t + 1 = 0 )( ) � π� � π� π � t = 2 � 2 sin �x + �= 2 � sin �x + �= 1 � x = + k 2π ( k �Z ) � 4� � 4� 4 Thỏa mãn điều kiện . s inx 0 π d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2 . Điều kiện :  x k ( *) . cosx 0 2 �cos x sin x � �1 � Khi đó :  � 3 � − + s inx­cosx �= 2 + 2sin x � − 1� �s inx cosx � �cosx � �cosx+ s inx � � � 1 − cosx � � � 3 ( cosx­sinx ) � − 1�= 2 � s inx � �+ 1� �s inxcosx � � � cosx � � �s inx+cosx­sinxcosx � = 2� � � cosx � Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 13
  14. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP �cosx+ s inx­sinxcosx � �s inx+cosx­sinxcosx � � 3 ( cosx­sinx ) � �− 2 � �= 0 � s inxcosx � � cosx � � ( cosx+sinx­sinxcosx ) �3 ( cosx­sinx ) − 2 �= 0 � � cosx � sinx � cosx+sinx­sinxcosx=0 3 ( cosx­sinx ) = 0 π Trường hợp :  cosx­sinx=0 � tanx=1 � x= + kπ ( k �Z ) 4 Trường hợp : sinx+cosx­sinx cosx=0 . t = s inx+cosx t 2 Đặt :   t2 −1 Cho nên phương trình :  s inxcosx= 2 t 2 −1 t = −1 − 2 < − 2 ( l ) �t+ = 0 � t 2 + 2t − 1 = 0 � 2 t = 2 −1 � π� � 2 sin �x + �= 2 − 1 � 4� π x =α − + k 2π � π � 2 −1 4 � sin �x + �= = sin α � ( k �Z ) � 4� 2 3π x= − α + k 2π 4 Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a ) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x + 3 = 0 b) sin x − cos x + 4sin x cos x + 1 = 0 c) sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 d ) sin 3 x + cos3 x = 1 Bài tập 2: Giải các phương trình sau : 3 a.  s inx+sin 2 x + cos3 x = 0 b.  sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x 2 c.  2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx d.  3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx­sinx ) = 2 DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx                                                   a sin 2 x + b sin x.cosx + ccos 2 x = d Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x  là phương  trình có dạng  a.sin 2 x + b.sin x cos x + c.cos 2 x = d ( a, b, c 0 )   Cách giải: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 14
  15. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  Caùch giaûi 1 : (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và  côsin cùng cung) 1 − cos 2 x b 1 + cos 2 x          (1)   a + sin 2 x + c +d =0 2 2 2                � b sin 2 x + (c − a) cos 2 x = −(2d + a + c) .      Caùch giaûi 2  (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)              Kiểm tra  cos x = 0 có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.      cos x 0 chia cả hai vế cho  cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo  tan x :             ( a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0     Ví duï: Giaûi phöôngtrình a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) b. 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 + 4 ) cos2x = 4 (2) c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) 2 2 d. cos x + sinxcosx + 3sin x = 3. (4)  GI Ả    I   a. (1) 2 cos x sin x 2 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x 1 1 3 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 2 2 3 3 b.   +Xét cosx = 0 thì  sin 2 x 1  nghiệm đúng phương trình (2).  Vậy (2) có nghiệm  x k . 2 1  +Xét  cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho  cos 2 x  và thay  1 tan 2 x  và đặt  cos 2 x ăn    phụ t = tanx : 3  Ta có :  4t 2 3t 3 4 4(1 t 2 ) t tan x tan x k 3 6 6 Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :  x k  ;   x k ; k Z 2 6 5 3 c. (3)  5(1 cos 2 x) sin 2 x (1 cos 2 x ) 3 2 2 7 cos 2 x 5 sin 2 x 7 d. +Xét cosx = 0 thì  sin x 1  nghiệm đúng phương trình (2). 2  Vậy (2) có nghiệm  x k . 2 1  +Xét  cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho  cos 2 x  và thay  1 tan 2 x  và đặt  cos 2 x ẩn  phụ t = tanx : Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 15
  16. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  Ta có : 1 t 3t 2 3(1 t 2 ) t 2 tan x 2 x arctan 2 k Bài tập tương tự: Bài tập 1:  Giải các phương trình sau: ( ) a ) 3sin 2 x + 8sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0 b) 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2cos 2 x = 4 c) sin 2 x + sin 2 x − 2cos 2 x = 1 2 ( d ) 2sin 2 x + 3 + 3 sin x cos x + ) ( ) 3 − 1 cos 2 x = − 1 Phö ô n g  trìn h  th u a à n  nha á t  ba ä c  ca o  th e o  sin  va ø  co â s i n   cuø n g  m o ä t  cun g Ví dụ 1: Giải phương trình:  tan x sin x cos x cos 2 x  (1) Giải cách 1:  +ĐK:  x m . 2 +(1)  sin x cos 2 x cos 3 x   (*)    (đẳng cấp bậc 3). sin x +cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì  1 0  ; vô lý) +cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :    tan x(1 tan 2 x) tan x 1 t3 1 t 1 tan x 1 x k  (t = tanx) 4 Giải cách 2: (*)  sin x(1 cos 2 x) cos 3 x sin 3 x cos 3 x       (**)            tan 3 x 1 tan x 1 x k 4 Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như  sau:  (**) sin 3 x cos 3 x 0 (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0 (sin x cos x)(2 sin 2 x) 0 sin x cos x 0 tan x 1 x k     4 .         Ví dụ 2 :  Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp          bậc 4) Giải cách 1:                + cosx = 0 thì sinx =  1  không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx  0                + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:                            t 2 4t 3 0 t 1 t 3 Giải cách 2: (4)  (3 cos 4 x 3 sin 2 x cos 2 x) (sin 2 x cos 2 x sin 4 x) 0 3 cos 2 x(cos 2 x sin 2 x) sin 2 x(cos 2 x sin 2 x) 0 Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 16
  17. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP cos 2 x 0 cos 2 x (3 cos 2 x sin 2 x ) 0 tan x 3 Ví dụ 3: Giải phương trình :  sin 6 x cos 6 x cos 2 2 x sin x cos x  (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi :  sin 6 x cos 6 x (sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x)                                             =  sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x Và biến đổi :  cos 2 2 x (cos 2 x sin 2 x) 2 cos 4 x sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x Thì PT (5)  sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0    (*) Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn  giản + Nếu từ PT:  sin 6 x cos 6 x (cos 2 x sin 2 x) 2 sin x cos x  (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: t 0  (Với t = tanx )   t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0 t4 t3 2t 2 t 1 0 (5.1) 1 1 1 1    Khi đó PT (5.1) t2 t 2 0 t2 t 2 0  (5.2) t t2 t2 t 1  PT (5.2) đặt ẩn phụ   u t  thì được PT bậc hai  u 2 u 0 u 0 u 1. t Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.  + Với t = 0  tan x 0 x k . Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng  cấp bậc 6 nên: k x k  cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =  phù hợp với  2 2 mọi cách giải. Bài tập tương tự: 1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x  (đẳng cấp  bậc 3) 2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0               (đẳng cấp bậc 3) 4) Giaûi phöông trình :  sin 3 x − cos 3 x = sinx + cosx                 (đẳng cấp bậc 3)         5) Giải phương trình  :  3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x      (đẳng cấp bậc 3)              6) Giải phương trình :  3 (cos 3x sin x) sin 3x cos x       (đẳng cấp bậc 3)         7) Giaûi phöông trình :  sin 3 x + cos3 x = sinx − cosx                 (đẳng cấp bậc 3)                 8) Giaûi phöông trình : 4 (sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2          (đẳng cấp bậc 4)                9) Giaûi phöông trình :  8 sin 6 x cos 6 x 3 3 sin 4 x 2       (đẳng cấp bậc 6)        10) Giaûi phöông trình :  sin 6 x + cos 6 x = 2cos 2 x − 1                (đẳng cấp bậc 6) Bài tập trắc nghiệm : Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x  là: Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 17
  18. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP sin 3x Câu 2:  Số nghiệm của phương trình  = 0  thuộc đoạn  [ 2π ; 4π ]  là: cos x + 1 A.  2    B.  4               C.  5                 D.  6 Câu 3.  Phương trình  2sin 2 x − 2sin x cos x + cos 2 x = 1  có nghiệm là: π A.  x = + k 2π � x = kπ B.  x = kπ � x = k 2π 6 π π  C .   x = + kπ � x = k                                                 D. Đáp án khác. 8 2 Câu 4. Phương trình  6sin 2 x + 7 3 sin 2 x − 8cos 2 x = 6  có các nghiệm là: π π π 3π x = + kπ x = + kπ x = + kπ x= + kπ 2 4 8 4 A.  B.  C.  D.  π π π 2π x = + kπ x = + kπ x = + kπ x= + kπ 6 3 12 3 Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x ­ 1. π π A) x = + k 2π    B)  x = π + k 2π      C)  x = kπ    D)  x = + kπ 2 2 Câu 6.  Phương trình  sin8 x − cos6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )  có các họ nghiệm là: π π π π x = + kπ x = + kπ x = + kπ x = + kπ 4 3 5 8 A.  B.  C.  D.  π π π π π π π π x= +k x= +k x= +k x= +k 12 7 6 2 7 2 9 3 DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Cách giải  + Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết  + Đưa về phương trình tích. + Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số A=0 + Áp dụng tính chất:   A + B = 0 2 2 B=0 A M ( hay A M) A=M + Áp dụng tính chất:   �B N ( hay B N) � B=N A+ B = M + N Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 18
  19. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A M A=M + Áp dụng tính chất:   �B M � B=M A= B Bài  1: Giải phương trình   sin 3 x sin 2 x 2 cos x 2 0                                       (1) Giải : (1)  (1 cos x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0 x k2 cos x 1                      k sin x cos x sin x cos x 1 0 x 2 Bài tập áp dụng:  Bài tập 1: Giải các phương trình: a) cosxcos7x = cos3xcos5x                (1) b) sin2x + sin4x = sin6x          (2) c)  sin 2 4 x + sin 2 3x = sin 2 2 x + sin 2 x       (3) d)  sin 3 x + cos3 x = cos 2 x       (4) Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,  công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác. Giải:  1 1 π a) ( 1) � ( cos8 x + cos6 x ) = ( cos8 x + cos 2 x ) � cos6 x = cos 2 x � x=k ( k �Z ) 2 2 4 Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a ) cos5 x cos 4 x = cos3 x cos 2 x b) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos3 x c) sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0 d ) tan x + tan 2 x = tan 3 x Giải tương tự như bài tập 1 Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a ) sin 2 x sin 2 2 x sin 2 3 x sin 2 4 x 2 3 − cos 6 x b) sin 4 x + cos 4 x = 4 c) 2 cos 2 4 x sin10 x 1 Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi Bài tâp 4: Giải các phương trình sau: a ) ( 1 + sin 2 x ) ( 1 − tan x ) = 1 + tan x b) tan x + tan 2 x = sin 3 x cos x c) tan x + cot 2 x = 2cot 4 x Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 19
  20. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a ) sin x = 2 sin 5 x − cos x b) 3 + 2sin x sin 3 x = 3cos 2 x c) 2sin x cos 2 x − 1 + 2cos 2 x − sin x = 0 Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x  Bài tập trắc nghiệm: Câu 1. Nghiệm của phương trình  sin ( π cos x ) = 1  là: π π π π A.  x = + k 2π , k Z  B.  x = + kπ , k Z    C. x = + k 2π , k Z     D.  x = + kπ , k Z 6 4 3 2 3 Câu 2. Phương trình  2 = 3tan x + 3 có nghiệm là: cos x π π π π A.  x = + kπ ,  x = − + kπ B.  x = + k 2π ,  x = + kπ 2 6 2 6 π −π π C.  x = kπ ,  x = + kπ D.  x = + kπ ,  x = − + kπ 3 2 3 Câu 3. Cho phương trình  cos5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3cos 2 x + 1 . Các nghiệm thuộc  khoảng  ( −π ;π ) của phương trình là: 2π π π 2π π π π π A.  − ,                            B.  − ,     C.  − , D.  − , 3 3 3 3 2 4 2 2 sin 3 x Câu 4. Số nghiệm của phương trình  = 0  thuộc đoạn  [ 2π ; 4π ]  là: cos x + 1 A.  2    B.  4               C.  5                 D.  6 Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ  của pt  sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự  là: π π π 2π π π π π A.  x = − ; x =        B.  x = − ; x =     C.  x = − ; x = D.  x = − ;x =   18 6 18 9 18 2 18 3 DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC –                        THPTQG KD­2002: Tìm  x [ 0;14]  nghiệm đúng pt:  cos3x − 4cos2 x + 3cos x − 4 = 0 KB­2002:  sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x � cos3x + sin 3 x � KA­2002: Tìm nghiệm thuộc  ( 0;2π )  của pt:  5 � sinx + �= cos2 x + 3 � 1 + 2sin 2 x � Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn                                                                      Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2